高等数学期末复习资料大全

《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法

A.极限的求法（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.61

2arctan lim )21ln(arctan lim

3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)

(6lim

0)(6sin lim

x x f x x xf x x x +=+>->-，求

解：

2

0303'

)(6cos 6lim

)(6sin lim

x xy x f x x x xf x x x ++=+>->-

72

)0(''06)0(''32166'

''''36cos 216lim

6'''26sin 36lim

00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 36272

2''lim 2'lim )(6lim

0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）

3.1

21)12(lim ->-+x x

x x x （重要极限）

4.已知a 、b 为正常数，x

x x x b a 3

0)2(lim +>-求

解：令]

2ln )[ln(3

ln ,)2(3

-+=+=x x x x x b a x t b a t

2

/300)()

ln(23)ln ln (3lim

ln lim ab t ab b b a a b a t x

x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)

1ln(1

2

)(cos lim x

x x +>-

解：令

)

ln(cos )1ln(1

ln ,)(cos 2)1ln(1

2

x x t x t x +=

=+

2

/100

21

2tan lim

ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）

6.设

)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求

1

)()(lim

2

2

=⎰

⎰

>-x

x x dt

t f x

dt

t f

（洛必达与微积分性质）

⎧≠=-0,)ln(cos )(2x x x x f

三、补充习题（作业）

1.

3

cos

1

1

lim

-

=

-

-

-

-

>

-x

x

x

e x

x

（洛必达）

2.

)

1

sin

1

(

lim

0x

x

ctgx

x

-

>

-（洛必达或Taylor）

3.

1

1

lim

2

2

=

--

-

>

-

⎰

x

x t

x e

dt

e

x

（洛必达与微积分性质）

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求

1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）

会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图

会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.

⎩

⎨

⎧

=

+

-

=

=

5

2

arctan

)

(2t

e

ty

y

t

x

x

y

y由

决定，求

dx

dy

2.

x

y

x

y

x

x

y

y sin

)

ln(

)

(3

2+

=

+

=由

决定，求

1

|

=

=x

dx

dy

解：两边微分得x=0时

y

x

y

y=

=cos

'

，将x=0代入等式得y=1

3.

y

x

x

y

y xy+

=

=2

)

(由

决定，则

dx

dy

x

)1

2

(ln

|

-

=

=

B.曲线切法线问题

4.求对数螺线

)2/

,2/π

θ

ρ

ρπ

θe

e（

）

，

在（=

=

处切线的直角坐标方程。

解：

1

|'

),

,0(

|)

,

(,

sin

cos

2/

2/

2/

-

=

=

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=π

θ

π

π

θ

θ

θ

θ

θ

y

e

y

x

e

y

e

x

x

e

y-

=

-2/π

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。

解：需求

)1('

),1(

)6('

),6(f

f

f

f或

，等式取x->0的极限有：f(1)=0