三用MATLAB实现定积分计算
三个参数matlab程序,用matlab求定积分的三个实例代码
三个参数matlab程序,⽤matlab求定积分的三个实例代码⼀、符号积分符号积分由函数int来实现。
该函数的⼀般调⽤格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指⽰的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为⾃变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表⽰定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是⼀个符号表达式，还可以是⽆穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回⼀个定积分结果。
当a,b中有⼀个是inf 时，函数返回⼀个⼴义积分。
当a,b中有⼀个符号表达式时，函数返回⼀个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805⼆、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值⽅法多种多样，如简单的梯形法、⾟普⽣(Simpson)法、⽜顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采⽤的⽅法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个⼦区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
matlab求解定积分方程
matlab求解定积分方程
在MATLAB中求解定积分方程，你可以使用int函数或者integral 函数。
下面我将为你展示如何使用这些函数求解一个简单的定积分问题。
例如，我们要求解函数f(x) = e^x在区间[0,2]上的定积分。
1.
使用int函数求解：
2.
matlab复制代码
syms x; % 定义符号变量x
y = exp(x); % 定义被积函数y=e^x
int1 = int(y, x, 0, 2); % 计算定积分
disp(vpa(int1)); % 用vpa函数转化精度并显示
结果
1.
使用integral函数求解：
2.
matlab复制代码
syms x; % 定义符号变量x
y = exp(x); % 定义被积函数y=e^x
int1 = integral(y, 0, 2); % 计算定积分
disp(vpa(int1)); % 用vpa函数转化精度并显示结果
注意：在两种方法中，我们都使用了vpa函数来提高计算精度。
这是因为int函数和integral函数默认的精度可能不足以满足你的需求。
详解Matlab求积分的各种方法
详解Matlab求积分的各种方法一、符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =57/-/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.9232805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
MATLAB计算积分
函数的积分和椭圆的周长1．正弦函数的积分[问题]求正弦函数从0到π的积分y = sin x当x = 0时，积分为0，画出积分的函数曲线。
[数学模型]定积分的结果为ππ00sin d cos 2S x x x ==-=⎰ 不定积分的结果为sin d cos I x x x C ==-+⎰其中C 是积分常量，由初始条件决定。
当x = 0时，积分为I = 0，必有C = 1。
结果为I = -cos x + 1[算法]根据积分的基本概念，将积分区域分为多份，用矩形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值1()ni i S f x x ==∆∑矩形法的函数是sum(f)。
用梯形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值1101[()()]2n i i i S f x f x x -+==+∆∑梯形法的函数是trapz(f)。
用数值积分的函数是quad 和quadl ，常用使用格式是S = quad(f,a,b)其中，f 表示被积函数，a 表示积分的下限，b 表示积分的下限。
用符号的函数是int ，常用使用格式是S = int(f,a,b)[程序]zqy4_1.m 如下。
%正弦函数的积分clear %清除变量x=linspace(0,pi); %自变量向量dx=x(2); %间隔y=sin(x); %被积函数s1=sum(y)*dx %矩形法积分s2=trapz(y)*dx %梯形法积分f=inline('sin(x)'); %被积的内线函数s3=quad(f,0,pi) %数值定积分s4=int('sin(x)',0,pi) %符号积分sc1=cumsum(y)*dx; %矩形法累积积分(精度稍差)sc2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法累积积分figure %创建图形窗口plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,'.',x,sc2,'o') %画解析式和矩阵法以及梯形法积分曲线 s=int('sin(x)') %符号积分sc3=subs(s,'x',x); %替换数值求符号积分的值C=-sc3(1) %求积分常数hold on %保持图像plot(x,sc3+C,'c*') %画符号法积分曲线grid on %加网格fs=16; %字体大小xlabel('\itx','FontSize',fs) %横坐标ylabel('\intsin\itx\rmd\itx','FontSize',fs)%纵坐标title('正弦函数的积分','FontSize',fs) %标题legend('解析解','矩形法','梯形法','符号法')%图例zqy4.1图 zqy4.2图2.三角函数和指数的积分[问题]求如下函数的积分y = e ax sin bx其中a = 0.5，b = 2。
matlab函数积分
matlab函数积分在MATLAB中，可以使用多种方法进行函数积分。
下面将详细介绍几种常用的方法。
1.基于符号计算的积分MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了一个功能强大的符号计算引擎，可以用于解析函数并求解积分。
首先，需要定义一个符号变量，然后使用int函数对其进行积分。
```matlabsyms x;f=x^2+3*x+2;integral_f = int(f, x);```这将返回一个符号表达式，表示函数f的积分。
如果要计算具体的数值积分，可以使用double函数对符号表达式进行求值。
```matlabnumerical_integral_f = double(integral_f);```这将返回函数f在积分区间上的数值积分结果。
2.数值积分对于无法通过符号方法求解的复杂函数，可以使用数值积分方法。
MATLAB提供了多种数值积分函数，其中最常用的是quad和quadl函数。
这些函数可以用于计算定积分和自适应积分。
```matlabintegral_f = quad(f, a, b);```这将返回函数f在积分区间[a, b]上的定积分结果。
quadl函数与quad函数类似，但可以处理更广泛的函数类型。
3.数值积分的误差控制在使用数值积分方法时，可以通过指定误差容限来控制积分的准确性。
例如，可以使用quad函数的相对误差容限选项来指定积分结果的相对误差范围。
```matlabintegral_opts = quadOptions('RelTol', 1e-6);integral_f = quad(f, a, b, integral_opts);```这将返回函数f在积分区间[a,b]上的定积分结果，并确保相对误差小于1e-64.多重积分MATLAB的Symbolic Math Toolbox还支持多重积分。
可以通过嵌套多个符号积分来进行多重积分的计算。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
MATLAB数学实验三求积分实验报告
数学实验报告三：MATLAB 中一元函数积分的计算
1、积分有定积分和不定积分，运用函数int 可以求得符号表达式的积分．
int(f) 求函数f 对默认自由变量x 的不定积分
int(f,t) 求函数f 对符号变量t 的不定积分
int(f,a,b) 求函数f 对默认自由变量x 从a 到b 的定积分
int(f,t,a,b) 求函数f 对符号变量t 从a 到b 的定积分
2、积分应用——求面积
解方程 [x,y]=solve(‘f1=0’,‘f2=0’)
作图：ezplot(f,[x1,x2],[y1,y2]); hold on 在同一坐标系作图
写出积分表达式进行积分
3、清除变量clear 清屏clc 清除图像 clf
班级 姓名 学号 成绩
1、 求下列函数的积分
（1） ln x xdx ⎰ （2）2cos x xdx ⎰
（3）20sin d 2x x π⎰ （4）1
01x x e dx e +⎰
2、 求抛物线2x y =与直线20x y --=所围图形面积．
要求：（1）解方程，求交点
（2）作图：在同一坐标系作出这两个函数的图形
（3）写出积分表达式 进行积分计算。
matlab中积分
matlab中积分Matlab中积分Matlab是一种强大的数学软件，可以用于解决各种数学问题，其中包括积分问题。
在Matlab中，积分函数非常简单易用，可以帮助我们快速地计算各种类型的积分。
Matlab中的积分函数Matlab中有两个主要的积分函数：quad和integral。
这两个函数都可以用于求解定积分和不定积分。
1. quad函数quad函数是一个数值积分函数，它可以用于求解定积分。
该函数的语法如下：I = quad(fun,a,b)其中，fun是需要被积的函数句柄，a和b是积分区间的上下限。
该函数返回一个数值I，表示在[a,b]区间内fun(x)的定积分。
例如，要计算sin(x)在[0,pi]区间内的定积分，可以使用以下代码：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;I = quad(fun,a,b)运行结果为：I =2.0000这意味着sin(x)在[0,pi]区间内的定积分为2。
2. integral函数integral函数也是一个数值积分函数，它可以用于求解定积分和不定积分。
该函数的语法如下：I = integral(fun,a,b)或者[I,err] = integral(fun,a,b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。
该函数返回一个数值I，表示在[a,b]区间内fun(x)的定积分。
如果同时指定err输出参数，则该函数还会返回一个误差估计值。
例如，要计算sin(x)在[0,pi]区间内的定积分，可以使用以下代码：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;I = integral(fun,a,b)运行结果为：I =2.0000这意味着sin(x)在[0,pi]区间内的定积分为2。
Matlab中的符号积分除了数值积分外，Matlab还提供了符号积分功能。
符号积分是指对一个未知函数进行积分，并得到该函数的解析式。
Matlab中的符号积分功能由syms工具箱提供。
详解Matlab求积分的各种方法
详解MQtlQb求积分的各种方法一、符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s):没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v):以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b):求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间［a,b］上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f尖于变量x在闭区间［a,b］上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a.b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a.b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y ;对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是"2；对x的积分下限1,上限是2,求解如下：»syms xy z%定义符号变量»F2 二i nt(i nt(i nt(xA2+yA2+zA2,z,sqrt(x*y),xA2*y),y,sqrt(x),xA2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =57/-/348075*2 八(1/2)+14912/4641 *2 八(1/4)+64/225*2 八(3/4) % 给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.9 232805二、数值积分1 ■数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)?法、牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间凶,xi+1], i=1其中x 仁a, xn+仁b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
2. 数值积分的实现方法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
matlab 定积分函数
matlab 定积分函数一、函数简介matlab 定积分函数是一个非常重要的数学函数，它可以用来计算给定区间内的函数积分值。
在实际的数学应用中，定积分函数广泛应用于各种领域，例如物理、经济学、工程学等等。
二、函数语法matlab 定积分函数的语法如下所示：Q = integral(fun,a,b)其中，fun 是被积函数句柄；a 和 b 是积分区间的上下限；Q 是计算得到的积分值。
三、参数说明1. fun：被积函数句柄，即指向一个可以接受一个输入参数并返回单个输出值的 matlab 函数。
该函数必须定义在当前工作空间中。
2. a 和 b：定积分区间的上下限。
如果 a 大于 b，则计算得到的结果为负数。
3. Q：计算得到的定积分值。
四、使用示例以下是一个简单的使用示例：% 定义被积函数fun = @(x) x.^2;% 计算 [0,1] 区间内 fun 的定积分Q = integral(fun, 0, 1);disp(Q);运行以上代码，将会输出 0.3333，即 [0,1] 区间内 x^2 的定积分值为1/3。
五、注意事项1. 被积函数必须是连续的。
如果被积函数在定积分区间内不连续，那么计算得到的结果可能会不准确。
2. 如果被积函数有奇点，则需要进行适当的变量替换或数值调整，以避免计算得到的结果无穷大或无法收敛。
3. 在使用定积分函数时，需要对积分区间进行合理的选择，以保证计算得到的结果准确可信。
4. 定积分函数可以处理多重积分问题，只需依次指定多个被积函数即可。
六、总结matlab 定积分函数是一个非常强大和实用的数学工具。
通过使用该函数，我们可以轻松地计算出给定区间内各种复杂函数的积分值。
在实际应用中，我们需要注意被积函数是否连续、是否存在奇点等问题，并对积分区间进行合理选择。
Matlab数值实验定积分的近似计算教程
Matlab数值实验定积分的近似计算教程一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1．矩形法2．梯形法3．抛物线法4.直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline 定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开文件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，0.78540024673078，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式．仍用的近似计算为例，取，0.78539399673078，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．仍用的近似计算为例，取，=0.78539816339745，理论值，此时计算的相对误差4. 直接应用Matlab命令计算结果（1）数值计算方法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)方法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）方法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算方法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）方法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法二重数值积分）四、自己动手1．实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算，取，并比较三种方法的精确程度．2．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．3．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法？并找出其他例子支持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．。
如何用matlab计算定积分
用matlab 计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为∑∫=→∆∆==ni iix baxf dx x f I i 1)max()(lim)(ξ其中.,,2,1),,(,,1110n i x x x x x b x x x a i i i i i i n =∈−=∆=<<<=−−ξ从几何意义上说，对于],[b a 上非负函数)(x f ，记分值I 是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围的曲边梯形的面积。
有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。
微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）：)(x f 在],[b a 上连续，且],[),()('b a x x f x F ∈=，则有)()()(a F b F dx x f ba−=∫这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(x f 的定积分，需要找到一个函数)(x F ，使)(x F 的导数正好是)(x f ，我们称)(x F 是)(x f 的原函数或不定积分。
不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。
从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。
在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。
一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。
多元函数的积分称为多重积分。
二重积分的定义为∑∑∫∫∆∆=→∆+∆ijji jiy x Gy x f dxdy y x f i i ),(lim),(0)max(22ηξ当),(y x f 非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。
二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。
matlab求定积分之实例说明
一、符号积分符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2 ^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
用matlab求数值积分的方法
用matlab求数值积分的方法
数值积分是一种求解定积分近似值的方法。
在实际应用中，很多复杂函数难以通过解析方法求得定积分，因此需要借助数值积分方法来求解。
Matlab作为一种高效的数值计算软件，提供了多种数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、高斯积分法等。
下面分别介绍这些方法的具体实现。
梯形法：将积分区间等分成若干个小区间，每个小区间内的积分近似用其两端点的函数值的平均值。
最终将所有小区间的积分结果相加即为整个积分的近似值。
辛普森法：同样将积分区间等分成若干个小区间，每三个小区间内的积分近似用一个二次函数来拟合。
最终将所有小区间的积分结果相加即为整个积分的近似值。
高斯积分法：通过将积分区间变换为[-1,1]区间上的积分，利用预先计算好的高斯积分点和权重，将原函数在[-1,1]区间上积分近似为高斯点的函数值和权重之积的加权和。
以上就是Matlab中求解数值积分的三种常用方法。
不同方法在精度和计算速度上也有所差别，具体使用时可以根据实际需求进行选择。
- 1 -。
matlab中积分运算
matlab中积分运算积分运算是基本数学运算中最常用的计算方法，是非常重要的基础知识。
积分运算允许我们根据给定的条件来计算任何函数的积分值，这为工程师、学者和科学家解决各种复杂的实际问题提供了重要的参考。
Matlab是一种常用的计算机软件，具有强大的数据处理能力，其内置的Integral函数功能可以快速准确地完成积分运算。
本文旨在介绍Matlab中积分运算的基本原理和实现方法。
Matlab中提供了多种不同类型的积分运算方法，通过对数学表达式进行积分，可以获得一种特定函数的积分值，这种值可以为后续计算提供参考。
Matlab中提供了Integral函数用于实现积分运算，它由三个参数组成：（1）积分运算的函数表达式。
（2）积分的范围或者区间。
（3）积分的方法，通常可以使用四种数值积分方法：梯形法、Simpson法、Legendre-Gauss法和Clenshaw-Curtis法。
Integral函数的语法如下：I = integral(fun,xmin,xmax,method)其中，fun为要积分的函数，xmin和xmax表示积分的最小值和最大值，method为指定的积分方法，输出参数I为计算得出的积分值。
下面以一个简单的例子来介绍Matlab中积分运算的应用，积分下列函数：f(x)=x^2在区间[0,1]内求积分，用梯形法解答。
首先，根据Integral函数的使用语法，定义函数fun，并指定最小值和最大值：fun = @(x) x^2;xmin = 0;xmax = 1;然后，使用Integral函数，设置method参数为“trapezoid”，以梯形法求解该积分，即：I = integral(fun,xmin,xmax,trapezoid运行结果如下：I = 0.3333可以看到，在定义函数和指定积分范围的基础上，Matlab只需要简单地一行代码就可以实现积分运算，在解决非常复杂的积分问题时大大减轻了工作量。
用matlab求数值积分的方法
用matlab求数值积分的方法
数值积分也称为数值积分法，是一种用计算机来近似求解定积分的方法。
在MATLAB中，可以使用三种数值积分方法：梯形法、辛普森法和积分变换法。
梯形法是最简单的数值积分方法之一，它通过将被积函数在区间上近似为一条直线，然后计算这条直线下的面积来近似定积分。
在MATLAB中，可以使用trapz函数来使用梯形法进行数值积分。
辛普森法是梯形法的改进版，它通过将被积函数在区间上近似为一个二次函数，然后计算这个二次函数下的面积来近似定积分。
在MATLAB中，可以使用quad函数来使用辛普森法进行数值积分。
积分变换法是一种更加精确的数值积分方法，它通过将被积函数进行一定的变换，然后将变换后的函数在区间上近似为一个多项式函数，最后计算这个多项式函数下的面积来近似定积分。
在MATLAB中，可以使用quadgk函数来使用积分变换法进行数值积分。
总之，MATLAB提供了许多数值积分的函数，选择合适的数值积分方法可以根据具体问题的要求来确定。
matlab用梯形法计算定积分代码
matlab用梯形法计算定积分代码
以下是用MATLAB计算定积分的梯形法则代码:
```matlab
% 定义函数
f = -(1/3) * cos(3x);
% 定义变量
x = [0 2*pi];
y = [0 1];
% 计算定积分
total_积分 = 0;
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if x(i) == x(j)
积分值 = y(j) - y(i);
total_积分 = total_积分 +积分值;
end
end
end
% 计算最终结果
result = total_积分 / length(x)
```
在这个例子中,我们定义了函数 `f` 以表示要计算的定积分,变
量 `x` 和 `y` 分别表示函数的行和列。
我们使用 `for` 循环计算定积分,其中 `i` 和 `j` 分别表示行和列的起始位置。
在计算的过程中,我们使用 `if` 语句来判断 `x` 和 `y` 的条件是否相同,如
果是,则将积分值相加,并将结果存储在 `total_积分` 变量中。
最后,我们计算出定积分的总量,并将其除以 `length(x)`。
需要注意的是,由于 `f` 是周期函数,因此我们需要将其分解为无周期部分和有周期部分。
在这个例子中,我们简单地将 `f` 分解成两个部分:一个关于 `x` 的函数和一个关于 `y` 的函数。
然后,我们可以使用上述代码来计算这两个部分的积分,并将它们相加得出最终结果。
MATLAB复化梯形法及龙贝格法计算定积分
MATLAB复化梯形法及龙贝格法计算定积分复化梯形法是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
该方法的基本思想是将积分区间等分成多个子区间，并在每个子区间上使用梯形公式来进行近似计算。
具体步骤如下：1.将积分区间[a,b]等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
2.在每个子区间上，使用梯形公式计算近似积分值。
梯形公式可以表示为：T=(f(x0)+f(x1))*h/2，其中x0和x1分别是子区间的左右边界，f(x)是被积函数。
3.对所有子区间的近似积分值进行求和，得到整个积分区间的近似积分值。
复化梯形法的精度可以通过增加子区间的数量来提高，即使n越来越大，积分值的近似精度也会越来越高。
以下是一个用MATLAB实现复化梯形法计算定积分的示例代码：```matlabh=(b-a)/nresult = 0;for i = 0:n-1x0=a+i*h;x1=a+(i+1)*h;result = result + (f(x0) + f(x1)) * h / 2;endend```接下来，我们来介绍龙贝格法，龙贝格法是一种迭代数值积分方法，用于计算定积分的近似值。
该方法的基本思想是在梯形公式的基础上应用Richardson外推技术，通过逐步加密和外推，提高积分值的精度。
具体步骤如下：1.初始化一个矩阵，矩阵的第一列为复化梯形法的近似积分值。
2.逐列递推计算，每一列的元素为由前一列的元素计算得到。
计算公式为：R(j,k+1)=R(j,k)+(R(j,k)-R(j-1,k))/((4^k)-1)其中，R(j,k)是第j次迭代中计算的近似积分值，k表示第k次迭代。
3.判断是否达到预设的精度要求，如果满足要求，则返回最终近似积分值；否则，继续迭代计算。
以下是一个用MATLAB实现龙贝格法计算定积分的示例代码：```matlabfunction result = romberg(f, a, b, epsilon, max_iter)R = zeros(max_iter, max_iter);h=b-a;R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;for k = 2:max_iterh=h/2;sum = 0;for i = 1:2^(k-2)x=a+(2*i-1)*h;sum = sum + f(x);endR(k, 1) = R(k-1, 1) / 2 + h * sum;for j = 2:kR(k,j)=R(k,j-1)+(R(k,j-1)-R(k-1,j-1))/((4^(j-1))-1); endif abs(R(k, k) - R(k-1, k-1)) < epsilonresult = R(k, k);return;endendresult = R(max_iter, max_iter);end```这个代码定义了一个名为`romberg`的函数，它接受五个参数：被积函数`f`、积分区间的左边界`a`、积分区间的右边界`b`、精度要求`epsilon`和最大迭代次数`max_iter`。
28.matlab计算定积分
28．如何计算定积分∫f(x)dx ba的值？ MATLAB 中求定积分的指令为 quad ，具体使用这一命令的格式为 quad(’函数名’, a, b)。
使用中，要用到被积函数的调用，也要注意给定积分上下限。
例如求定积分 I =∫sinxdx π0的值，在 MATLAB 环境下直接键入下面指令quad('sin',0,pi)计算机运行后，屏幕将显示ans = 2.0000这表明用指令 quad 直接计算出积分I =∫sinxdx π0=2在上面的计算中由于正弦函数是 MATLAB 的一个内部函数， 所以可以直接 调用，而对于任意一个连续函数的定积分计算，就必须先定义被积函数才能用 quad 指令求积分值。
例如求定积分1√2πe −x 22+∞−∞dx的值，必须先编辑被积函数的文件（函数文件名： ff3.m ）如下： function y=ff3(x)y=exp(-x.^2/2)/sqrt(2*pi);将这一函数文件保存在当前工作目录下后，可以直接调用函数 ff3(x)，在MATLAB 环境下用有穷积分来求该积分的近似值，选取积分限为-4 到+4 积分： quad('ff3',-4,4)MATLAB 计算出积分的近似值为 ans = 0.9999这实际上是用有限定积分1√2πe−x22+4−4dx代替原来的无穷区间上积分的值。
******************************************************************quad和int积分命令的区别：1.quad命令只能计算定积分，是数值积分，使用辛普森积分法逐段积分加起来，计算出定积分的数值；2.int命令可以用于定积分和不定积分，是符号积分，计算出函数积分的解析式，并将定积分上下限数值带入。
使用int命令进行积分√2πe−x22+4−4dx计算如下：使用double命令计算后结果同样为0.9999。
matlab梯形法求定积分
matlab梯形法求定积分Matlab是一种强大的数学计算软件，广泛应用于各个领域的科学研究和工程计算中。
其中，梯形法是一种常用的数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
梯形法的基本思想是将被积函数在积分区间上的图像划分为若干个小梯形，然后计算这些梯形的面积之和。
通过增加小梯形的数量，可以提高计算结果的精度。
具体而言，梯形法的步骤如下：1. 将积分区间[a, b]均匀划分为n个子区间，其中n为任意正整数。
每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
2. 在每个子区间上，选取两个端点对应的函数值，即f(a), f(b)，作为梯形的两个底边。
3. 计算每个子区间上的梯形面积，即S=(f(a)+f(b))*h/2。
4. 将所有子区间上的梯形面积相加，得到整个积分区间上的近似积分值。
在Matlab中，可以通过编写函数来实现梯形法的计算。
下面是一个简单的示例代码：```matlabfunction result = trapezoidal(f, a, b, n)h = (b - a) / n;x = a:h:b;y = f(x);result = (sum(y) - (y(1) + y(end)) / 2) * h;end```在这个示例代码中，`f`表示被积函数，`a`和`b`表示积分区间的上下限，`n`表示子区间的数量。
函数首先计算出每个子区间的长度`h`，然后生成一个等差数列`x`，用于表示各个子区间的起始点。
接下来，通过调用被积函数`f`，计算出每个子区间上的函数值`y`。
最后，根据梯形法的公式，将所有子区间上的梯形面积相加，并乘以子区间长度`h`，得到近似积分值。
使用这个函数，我们可以计算任意函数在给定积分区间上的定积分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分，代码如下：```matlabf = @(x) x.^2;a = 0;b = 1;n = 1000;result = trapezoidal(f, a, b, n);disp(result);```运行这段代码，我们可以得到近似积分值为1/3。
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形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
n
In Ai f (xi )
(11)
i1
如何选择节点xi 和系数Ai ，使(11)计算的精度更高？
令我f们(x不)=妨xk只，考用虑(11)I式计11算f (
Ix)dx
b a
f而( x构)d造x,代若数对精于度k为=03,的1,.形..,m如都
有In = I ，而G当2=kA=1mf(+x11)时+ A，2Ifn(x≠2)I ，则称In 的代数精度为m(1。2)梯
s1=s1+y(2*i); end for j=1:m-1
s2=s2+y(2*j+1); end s=(y(1)+y(n)+4*s1+2*s2)*h/3;
当被积函数不是解析表示时, 比如离散数据表表示的函数 通常就用这个函数按辛甫森 公式计算积分。
二 高斯（Gauss)求积公式
各种近似求积公式都可以表示为
tqruaapdz(('yf)un',a(按b,b-)a梯)/形n（公参用式考辛计书甫算P森定22（积3）2分阶（）单公位式步计长算）函。数fun在区间 trapz(x,y) x , y同长[ 度a, ，b]的输积出分y ，对自x动的选按择梯步形长公。式计算的积分 quad('fun',a（,b变,to步l) 长）与。上同，但指定了相对误差 tol。 quadl(‘fun’,a,b,tol) 用自适应Gauss-Lobatto公式计算，精度 更高。
f2k1 2 f2k
k 1
k 1
§1 MATLAB作数值积分
一 用于数值积分的几种命令：
sum(x) 输入数组x，输出为x的和，用于矩形公式求积1分。
通常还要乘以等分小区间的长度(b-a)/n计算 exdx
0
cumsum(x) 返回与x一样长的向量。此向量的第n个元素为x的 前n个元素之和.用于矩形公式求积分，同样要乘
根据
b
m
f (x)dx
a k 1
xk xk 1
f
( x)dx
h 2
m
[
k 1
f
(
z (1) k
)
f
(
z(2) k
)]
zk(1)
xk
xk1 2
2h3 , zk(2)
xk
xk1 2
h 23
定义高斯积分函数M文件：
定义任何一个被积函数
function s=gaussinteg(f,a,b,m) function y=jifenfun(x)
a
已知n+1对节点数据(xi , yi)(i=0,1,…n)，求积分.
数值分析中主要介绍三种等距节点的求积公式(牛顿-科茨公式) :
1、矩形公式（k=0） y
fi fi+1
fn-1 fn
f1 f2 f3 f0
h=(b-a)/n fk=f(xk)
o b a h x1 x2
2、梯形公b式（k=1） fn(1x)dx
的方程组。 精度为3。
1
1 f (x)dx A1 f (x1) A2 f (x2 )
将 f (x) =1, x , x 2 , x 3 依次代入，得：
A1 A2 2
A1x1
A2 x2
0
A1x12
A2 x22
2 3
A1x13
A2 x23
0
x1
3、辛甫森公f式(x)dx
（k=2） a
ah fi
b fi(0x)dx
a
x3
h 2 [ f0
h f 3
x
xi xi+1
xn-1 b
2( f1b f2 fn1) nfn ]
f (x)dx h fi
m
(a) fa(b) 4
i m11
x xk xk1 xk xk1 t xk xk1 h t
2
2
22
将x∈ [xk-1, xk]化为t∈[-1, 1]
Ik
xk f (x)dx h
xk 1
2
1 1
f
xk
xk 1 2
h 2
t
dt
h[ 2
f
(zk(1) )
f
根据辛甫森求积公式
Sn
h 3
f1
fn
m
4
k 1
f2k
m1
2
k 1
f2k
1
,
n
2m
1
function s=simp(x,y) if mod(length(x),2)==0
error('数据点必须为奇数') end n=length(x);m=(n-1)/2; h=(x(n)-x(1))/2/m; s1=0; s2=0; for i=1:m
1 3
,
x2
1, 3
A1 A2 1
n=2的高斯公式为：
G2
f (
1 ) f( 3
1 )
3
1
f (x)dx
1
提高精度可以通过增加节点数n ，(11)的代数精度可达到2n-1,
但增加了解高维线性方程组的难度，实用价值不大；另一方法
是将区间分小，在小区间上用G2。
将区间(a, b)作m等分，记h=(b-a)/m，xk=a+kh, k=0,1,...,m, 作变换
本次课的主要内容
数值积分的四种方法
1、矩形公式
sum 或 cumsum
2、梯形公式
trapz
3、辛普森公式
quad
编程1：simp
4、高斯公式
编程2：gaussinteg
Gauss-Lobatto方法 quadl
b
f (x)dx
a
3.3 数值积分
(教材P54,参考书P222)
b
数值积分:用数值的方法近似地求一个定积分 f (x)dx
(zk(2) )]Байду номын сангаас
其中
zk(1)
xk
xk1 2
h 23
, zk(2)
xk
xk1 2
h 23
常用的高斯公式就是：
b
m
f (x)dx
a k 1
xk xk 1
f
( x)dx
h 2
m
[
k 1
f
(
z (1) k
)
f
(
z(2) k
)]
下面我们来编写M文件，应用高斯公式计算定积分。