【例9.2】数字金字塔-2018-11-15

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cout << F[1][1] << endl; //fclose(stdin); //fclose(stdout); return 0; } /* 由于 F[x][y]对于每个合法的(x,y)都只计算过一次， 而且计算是在 O(1)内完成的，因此时间复杂度为 O(N^2)。 可以通过本题。 */
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int a[1010][1010]; int main() { memset(a,0,sizeof(a)); memset(f,0,sizeof(f)); int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=i;j++) { cin>>a[i][j]; } } for(int i=1;i<=n;i++)//初始状态 { f[n][i]=a[n][i]; } for(int i=n;i>=1;i--)//i 个阶段 { for(int j=1;j<=i;j++)//j 个状态 { f[i][j]=a[i][j]+max(f[i+1][j],f[i+1][j+1]);//取两个方向的最大数字和 } } cout<<f[1][1]<<endl; return 0; }
/* 方法三：动态规划(顺推法)01 方法二通过分析搜索的状态重复调用自然过渡到记忆化搜索， 而记忆化搜索本质上已经是动态规划了。 下面我们完全从动态规划的算法出发换一个角度给大家展示一下动态规划的解题过程， 并提供动态规划的迭代实现法。 ①确定状态： 题目要求从(1,1)出发到最底层路径最大权值和， 路径中是各个点串联而成， 路径起点固定，终点和中间点相对不固定。 因此定义 F[x][y]表示从(1,1)出发到达(x,y)的路径最大权值和。 最终答案 Ans=max{F[N][1],F[N][2],...,F[N][N]}。 ②确定状态转移方程和边界条件： 不去考虑(1,1)到(x,y)的每一步是如何走的， 只考虑最后一步是如何走， 根据最后一步是向左还是向右分成以下两种情况： 向左：最后一步是从(x-1,y)走到(x,y),此类路径被分割成两部分， 第一部分是从(1,1)走到(x-1,y)， 第二部分是从(x-1,y)走到(x,y)， 要计算此类路径的最大权值和， 必须用到第一部分的最大权值和， 此部分问题的性质与 F[x][y]的定义一样， 就是 F[x-1,y]， 第二部分就是 A[x][y]， 两部分相加即得到此类路径的最大权值和为 F[x-1,y]+A[x,y]； 向右：最后一步是从(x-1,y-1)走到(x,y),此类路径被分割成两部分， 第一部分是从(1,1)走到(x-1,y)， 第二部分是从(x-1,y)走到(x,y)， 分析方法如上。 此类路径的最大权值和为 F[x-1,y-1]+A[x,y]； F[x][y]的计算需要求出上面两种情况的最大值。 综上，得到状态转移方程如下：
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cin>>a[x][y][1]; a[x][y][2]=a[x][y][1]; a[x][y][3]=0; } for (x=n-1;x>=1;x--) for (y=1;y<=x;y++) if (a[x+1][y][2]>a[x+1][y+1][2]) //选择路径，保留最大路径值 { a[x][y][2]=a[x][y][2]+a[x+1][y][2]; a[x][y][3]=0; } else { a[x][y][2]=a[x][y][2]+a[x+1][y+1][2]; a[x][y][3]=1; } cout<<a[1][1][2]<<endl; //cout<<"max="<<a[1][1][2]<<endl; /* y=1; for (x=1;x<=n-1;x++) { cout<<a[x][y][1]<<"->"; y=y+a[x][y][3]; } cout<<a[n][y][1]<<endl; */ return 0; } //输出数塔最大值的路径 //输出数塔最大值 //路径走向，默认向下
/* 方法四：动态规划(逆推法)01 */ #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int main() { int n,x,y; int a[51][51][3]; //out<<"please input the number of rows:"; cin>>n; memset(a,0,sizeof(a)); for (x=1;x<=n;x++) for (y=1;y<=x;y++) { //输入数塔的初始值
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for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=i;j++) { cin>>a[i][j]; } } f[1][1]=a[1][1]; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=i;j++) { f[i][j]=a[i][j]+max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]); } } int maxn=0; for(int i=1;i<=n;i++) { maxn=max(maxn,f[n][i]); } cout<<maxn<<endl; return 0; }
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因此路径总数为 2N-1， 所以该方法的时间复杂度为 O(2N-1)，超时。 */ /* 方法二：记忆化搜索 */ #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 505; int A[MAXN][MAXN],F[MAXN][MAXN],N; int Dfs(int x,int y) { if (F[x][y]==-1) { if (x==N) { F[x][y]=A[x][y]; //cout<<"x="<<x<<" y="<<y<<" "<<F[x][y]<<endl; } else { F[x][y]=A[x][y]+max(Dfs(x+1,y),Dfs(x+1,y+1)); //cout<<"x="<<x<<" y="<<y<<" "<<F[x][y]<<endl; } } return F[x][y]; } int main() { //freopen("a.in","r",stdin); //freopen("b.out","w",stdout); cin >> N; for(int i = 1;i <= N;i ++) for(int j = 1;j <= i;j ++) cin >> A[i][j]; for(int i = 1;i <= N;i ++) for(int j = 1;j <= i;j ++) F[i][j] = -1; Dfs(1,1);
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F[x][y]=max{F[x-1,y-1],F[x-1][y]}+A[x,y] 与递归关系式还需要递归终止条件一样， 这里我们需要对边界进行处理以防无限递归下去。 观察发现计算 F[x][y]时需要用到 F[x-1][y-1]和 F[x-1,y]， 是上一行的元素，随着递归的深入， 最终都要用到第一行的元素 F[1][1],F[1][1]的计算不能再使用状态转移方程来求， 而是应该直接赋予一个特值 A[1][1]。这就是边界条件。 综上得： 状态转移方程：F[x][y]=max{F[x-1][y-1],F[x-1][y]}+A[x,y] 边界条件：F[1][1]=A[1][1] */ #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 1005; int A[MAXN][MAXN],F[MAXN][MAXN],N; int main( ) { cin >> N; for(int i = 1;i <= N;i ++) for(int j = 1;j <= i;j ++) cin >> A[i][j]; F[1][1] = A[1][1]; for(int i = 2;i <= N;i ++) for(int j = 1;j <= i;j ++) F[i][j]=max(F[i-1][j-1],F[i-1][j])+A[i][j]; int ans =0; for(int i = 1;i <= N;i ++) ans = max(ans,F[N][i]); cout << ans << endl; return 0; } /* 方法三：动态规划(顺推法)02 5 13 11 8 12 7 26 6 14 15 8 12 7 13 24 11 */ #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int f[1010][1010];//f[i][j]从第 i 行第 j 个数到最后一行的最大数字和