凸优化理论与应用_逼近与拟合
凸优化理论与应用凸优化PPT课件_1-51
可编辑
9
可分离变量优化问题
性质： 其中
inf f (x, y) inf f%(x)
x, y
x
f%(x) inf f (x, y)
y
定理：优化问题
minimize f0 (x1, x2 ), x R n
subject to fi (x1) 0, i 1,..., m1
f%i (x2 ) 0, i 1,..., m2 可以分离变量 x1, x2
h%i (z) i (hi (z)) 0, i 1,..., p
可编辑
7
优化问题的等价形式(4)
定理：原优化问题与以下优化问题等价
minimize f0 (x), x R n subject to fi (x) si 0, i 1,..., m
si 0 hi (x) 0, j 1,..., linear minimization
问题描述
minimize
上半图形式 minimize
f (x) im1,a...x,m(aiT x bi ) t
LP形式
subject to im1,a...x,m(aiT x bi ) t minimize t
subject to aiT x bi t,i 1,..., m
y
x eT x
f
Ay bz 0 eT y fz 1
z
1 eT x
f
z0
可编辑
31
二次规划(quadratic program,QP)
QP问题的基本描述
minimize (1/ 2)xT Px qT x r subject to Gx p h
Ax b P Sn , G Rmn , A R pn
凸优化课件
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
凸优化理论与应用-暑期学习总结
“凸优化理论与应用”暑期学校学习总结一、专家介绍Stephen Boyd：斯坦福大学教授，曾多次来哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心开展学术讲座和交流活动。
讲课全部是英文，很开朗。
段广仁：哈尔滨工业大学教授，曾于外国留学，讲了一口流利的英语，和Stephen Boyd教授交流时全部是英语。
谭峰：段广仁的学生，曾去Stephen Boyd教授那里做一年博后，然后回国，现在就职于哈尔滨工业大学，讲师。
所以此次由她给大家做辅导。
二、课程安排7.13上午8:15-9:15 开幕。
段广仁老师对于本次暑期学校开展、Stephen Boyd、谭峰以及幕后的工作人员做了简单的介绍，谈了课程的变动的原因以及可能给我们加课等事宜。
9:30-11:00讲座1(Lecture 1) Stephen Boyd 教授。
7.14上午8:15-9:15 谭峰博士对于前一天Stephen Boyd 教授讲的知识的一个回顾。
9:30-11:00讲座2(Lecture 2) Stephen Boyd 教授。
下午14:00-15:00讲座3(Lecture 3)Stephen Boyd 教授。
7.15上午8:15-9:15 谭峰博士。
9:30-11:00讲座4(Lecture 4) Stephen Boyd 教授。
7.16上午8:15-9:15 谭峰博士。
9:15-9:30 所有人一起拍一张照片。
9:30-11:00讲座5(Lecture 5) Stephen Boyd 教授。
三、主要知识1.凸优化相应理论.本部分一共有8章，老师只用了两节课共3个小时就讲完了。
这部分的内容虽然我很认真的听了，也只能知道一点概况，说实话想学明白还需要以后投入大量的时间精力。
1.1 绪论此部分介绍了在现实生活中存在的凸优化问题，最小二乘，线性规划，凸优化问题等。
1.2. 凸集在此部分介绍了凸集里包含的集合的形式，如仿射集、凸集、凸锥、超平面和半空间、多面体、半正定锥、交集（凸集的交集还是凸的）以上这些都是凸的。
07凸优化理论与应用_无约束优化
T
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10
步长因子搜索
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m
11
梯度下降法
下降方向： x f ( x) 终止条件： f ( x) 2 收敛性： f ( x( k ) ) p* ck ( f ( x(0) ) p* ) 其中 c (0,1) 。
xnt 2 f ( x)1f ( x)
2 f ( x )
( xT 2 f ( x) x)1/ 2 上的最速下降方向。
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19
牛顿法
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20
牛顿减量
T 2 2
p* 为最优值，则
1 f ( x) p f ( x ) 2m
* 2 2
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5
强凸性
若函数 f ( x ) 在 S 上具有强凸性，则可以证明存 在M 0 ，满足 2 f ( x) MI 则有
M f ( y ) f ( x) f ( x) ( y x) yx 2
l1 范数：
f ( x) xsd ei xi
16
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最速下降法
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收敛性分析
范数界：
x * x 2 , (0,1]
c 1 2m 2 min{1, 2 / M }
令
( x) (f ( x)T 2 f ( x)1f ( x))1/ 2
凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
凸优化理论与应用_凸集
03
凸优化问题建模与求解
凸优化问题定义及示例
凸优化问题定义
凸优化问题是一类特殊的数学优化问题，其目标函数是凸函数，约束条件为凸集。凸函数在数学上具有很好的性 质，如局部最优解即为全局最优解，这使得凸优化问题的求解相对简单。
凸优化问题示例
支持向量机（SVM）、线性回归、逻辑回归、最小二乘法等机器学习算法中的优化问题都可以转化为凸优化问题 进行求解。
凸函数与凹函数关系
凹函数定义
凹函数与凸函数相反，满足f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
凸凹性转换
通过取负操作，可以将凸函数转换为凹函数，反之亦然。即，如果f是凸函数，则-f是凹函数；如果f是凹函数，则-f 是凸函数。
凸凹组合
凸函数和凹函数的线性组合可能既不是凸函数也不是凹函数，但可以通过一定的条件判断其凸凹性。
01
03
02 04
多面体与单纯形
多面体是由有限个线性不等式定 义的集合，即{x | Ax ≤ b}。单纯 形是一种特殊的多面体，每个顶 点都是其他顶点的邻居。
锥与凸锥
锥是由原点出发的射线组成的集 合。如果锥还是凸集，则称为凸 锥。
02
凸函数及其性质
凸函数定义及示例
凸函数定义
在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于该函数定义域内的任意两个点x1 和x2，以及任意实数λ∈[0,1]，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)成立。
稀疏表示与重构
在压缩感知中，利用凸 集理论对信号进行稀疏 表示，并通过求解凸优 化问题实现信号的重构 。
噪声鲁棒性
针对压缩感知中的噪声 问题，利用凸集理论构 建鲁棒性优化模型，提 高信号恢复的精度和稳 定性。
逼近与拟合
19
5
罚函数的例
l p , p 1 范数： p (r ) r
死区线性罚函数：
r a 0 (r ) r a r a 对数门限罚函数 2 2 a log(1 ( r / a ) ) (r )
r a r a
6
7
鲁棒的罚函数
某些异常点导致残差值过大，影响逼近的效果。 若 r 大到一定程度时，罚函数为 r 的线性函数，则称 该罚函数为鲁棒的罚函数。 Huber罚函数
2 r (r ) M (2 r M )
r M r M
8
鲁棒的罚函数
9
最小范数问题
问题描述：minimize
n
最小罚问题：
minimize
( x )
i 1 i
subject to Ax b
绝对值和最小问题：范数 1 ，原问题可转换为LP问题： minimize 1T y
subject to Ax b, y x y
11
正则逼近
二元矢量优化பைடு நூலகம்题描述：
minimize(w.r.t. R )
1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 2 0 x n ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0
信号复原
已知加噪信号：
xcor x v
信号复原问题的描述：
2
minimize(w.r.t. R ) 函数 ( x ) : R n R 为正则函数或光滑函数。
13
正则逼近
02凸优化理论与应用_凸函数
6
下水平集(sublevel set)
定义：集合
C { x dom f | f ( x ) }
称为 f 的 下水平集。
定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。
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7
函数上半图(epigraph)
定义：集合
epi f {( x , t ) | x dom f , f ( x ) t }
称为函数
f
的上半图。
f
定理：函数
为凸函数当且仅当
f
的上半图为凸集。
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Jensen不等式
f
为凸函数，则有：
yC
凸函数的透视算子
g ( x , t ) tf ( x / t )
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共轭函数(conjugate function)
定义：设函数 f : R 定义为
*
n
R
，其共轭函数 f : R
T
*
n
R
，
f ( y ) su p ( y x f ( x )).
n
为真锥，函数 f : R
n
R
称为 K 单调增，若函数 f ( x ) 满足：
x K y f (x) f ( y)
广义凸函数的定义：设K R 均有
m
为真锥，函数 f : R
n
R
m
称为 K 凸，若函数 f ( x ) 满足对 x , y dom f , 0 1
凸优化理论在信号处理中的应用研究
凸优化理论在信号处理中的应用研究引言：信号处理作为一门重要的交叉学科，广泛应用于通信、图像处理、声音处理等领域。
信号处理的目标是从实际场景中提取有用的信息，并对其进行优化和改进。
凸优化理论作为一种数学工具，能够帮助解决信号处理中的优化问题，提高信号处理算法的性能。
本文将重点探讨凸优化理论在信号处理中的应用研究。
一、凸优化理论概述凸优化理论于20世纪60年代发展起来，是数学规划领域的一个重要分支。
凸优化问题的目标函数和约束条件都是凸函数，具有较好的可解性和唯一的最优解。
凸优化理论研究了凸优化问题的性质、求解方法和应用领域，为信号处理提供了理论基础和解决方案。
二、凸优化在信号重构中的应用研究信号重构是信号处理中的一个关键问题，即根据信号的部分观测数据恢复原始信号。
凸优化理论能够解决信号重构中的优化问题，并提供了一些有效的重构算法。
例如，基于拟凸优化的稀疏重构算法通过最小化一组约束条件来恢复稀疏信号，广泛应用于信号压缩和图像恢复领域。
凸优化理论还可以用于信号采样优化，通过选择合适的采样方案来提高信号重构的质量和效率。
三、凸优化在信号分类中的应用研究信号分类是信号处理中的另一个重要问题，即将信号分为不同的类别或状态。
凸优化理论可以用于优化信号分类的准确性和效率。
例如，支持向量机是一种基于凸优化理论的分类算法，通过在特征空间中构建一个最优的超平面来实现分类任务。
其他一些凸优化算法，例如逻辑回归和线性判别分析，也被广泛应用于信号分类中，取得了良好的效果。
四、凸优化在信号降噪中的应用研究信号处理中常常遇到信号受到噪声的影响而产生失真或损失信息的问题。
凸优化理论可以用于优化信号降噪中的相关问题。
例如，基于凸优化的正则化方法可以通过添加一些先验信息来恢复受损的信号，并降低噪声的影响。
这些方法通过最小化噪声和信号之间的距离，提高了信号降噪的质量和准确性。
五、凸优化在自适应滤波中的应用研究自适应滤波是一种广泛应用于信号处理中的技术，用于提取信号中的特定成分或抑制干扰信号。
凸优化理论与应用
i0
i0
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半正定锥(Positive semidefinite cone)
n阶对称矩阵集：
S n {X nn | X X T }
n阶半正定矩阵集：
S
n
{X
S
n
|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
0}
n阶正定矩阵集：
Sn
{X
Sn
|
n阶半正定矩阵集为
展函数 f : n {} 为
扩展函数
f
(x)
f
(x)
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x domf x domf
也是凸函 数！
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凸函数的一阶微分条件
若函数 f 的定义域 domf为开集，且函数 f 一阶可微， 则函数 f 为凸函数当且仅当 domf 为凸集，且对 x, y domf
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真锥(proper cone)
真锥的定义：锥 K Rn 满足如下条件 1.K为凸集；
2.K为闭集；
K具有内点
3.K非中空；
4.K有端点。
K内不含直线
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广义不等式
真锥 K下的偏序关系：
x K y y x K
广义不等式
凸优化问题理论上有 有效的方法进行求解！
3
本课程的主要内容
理论部分
凸集和凸函数 凸优化问题 对偶问题
应用部分
逼近与拟合 统计估计 几何问题
算法部分
非约束优化方法 等式约束优化方法 内点法
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凸优化理论与应用_凸函数
25
共轭函数 具有凸性！
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共轭函数的性质
Fenchel’s inequality
f ( x) f * ( y) yT x.
性质：若 f ( x )为凸函数，且 f ( x ) 的上半图是闭集，则有
f ** f .
n z R 性质：设 f ( x ) 为凸函数，且可微，对于 ，若 y f ( z )
若 f ( x ) 为准凸函数，根据 f ( x ) 的任意 t 下水平集，我们 可以构造一个凸函数族 t ( x)，使得
f ( x) t t ( x) 0
例：
f ( x) t 0 t ( x) . otherwise
性质：若 t ( x) 为准凸函数 f ( x ) 的凸函数族表示，对每一 个 x domf ，若 s t ，则有
7
函数上半图(epigraph)
定义：集合
epif {( x, t ) | x domf , f ( x) t}
称为函数 f 的上半图。
定理：函数 f 为凸函数当且仅当 f 的上半图为凸集。
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Jensen不等式
凸函数的一阶微分条件
若函数 f 的定义域 domf 为开集，且函数 f 一阶可微， 则函数 f 为凸函数当且仅当 domf 为凸集，且对 x, y domf
f ( y) f ( x) f ( x)T ( y x)
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定理：若函数 f ( x ) 一阶可微，则 f ( x ) 为准凸函数，当且仅 当 domf 为凸集，且对 x, y domf ，有
凸优化理论与应用
凸优化理论与应用凸优化是一种数学理论和方法，用于寻找凸函数的全局最小值或极小值。
凸优化理论和方法广泛应用于工程设计、经济学、金融学、计算机科学等多个领域，其重要性不言而喻。
凸优化首先要明确凸函数的概念。
凸函数在区间上的定义是：对于区间上的任意两个点x1和x2以及任意一个介于0和1之间的值t，都有f(tx1+(1-t)x2) <= tf(x1)+(1-t)f(x2)。
简单来说，凸函数的图像在任意两个点之间的部分都在这两个点的上方或相切，不会出现下凹的情况。
这个定义可以推广到多元函数。
凸优化问题的数学模型可以写成如下形式：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中f(x)是凸目标函数，g_i(x)是凸不等式约束，h_i(x)是凸等式约束。
凸优化问题的目标是找到使得目标函数最小化的变量x，同时满足约束条件。
凸优化理论和方法有多种求解算法，包括梯度下降、牛顿法、内点法等。
其中，梯度下降是一种迭代算法，通过计算目标函数的梯度来更新变量的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。
牛顿法则是通过计算目标函数的二阶导数来进行迭代，收敛速度更快。
内点法是一种求解线性规划问题的方法，在凸优化中也有广泛的应用。
凸优化的应用非常广泛，以下列举几个典型的应用领域。
1.机器学习和模式识别：凸优化在机器学习和模式识别中有重要的应用，例如支持向量机和逻辑回归。
这些算法的优化问题可以通过凸优化来求解，从而得到具有较高准确率的分类器。
2.信号处理：凸优化在信号处理中有广泛的应用，例如滤波、压缩和频谱估计等。
通过凸优化可以得到更高效的信号处理算法，提高信号处理的准确性和速度。
3.优化调度问题：在工业生产、交通运输和电力系统等领域，凸优化可以用来优化调度问题，通过合理安排资源和调度任务，提高效率和经济性。
4.金融风险管理：凸优化在金融风险管理中有广泛的应用，例如投资组合优化和风险控制。
凸优化应用方法
凸优化应用方法凸优化是数学领域中的一个重要概念，广泛应用于工程、金融、计算机科学等众多领域。
本文将介绍凸优化的应用方法以及其在不同领域中的具体应用。
一、凸优化的基本概念和性质在介绍凸优化的应用方法之前，先来了解一些凸优化的基本概念和性质。
凸优化问题的目标函数和约束条件满足以下两个条件：目标函数是凸函数，约束条件是凸集。
根据这个特性，凸优化问题可以通过凸优化算法高效地求解。
二、常用的凸优化算法1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代的方式，不断调整模型参数以降低目标函数的值。
对于凸优化问题，梯度下降法能够以较快的速度逼近最优解。
2. 内点法（Interior Point Method）内点法是一种专门用于求解线性和非线性凸优化问题的方法。
相比于传统的最优化算法，内点法具有更快的收敛速度和更好的数值稳定性。
3. 对偶法（Duality Method）对偶法是一种将原始问题转化为对偶问题求解的方法。
对于凸优化问题，通过对偶法可以得到原始问题的解析解，从而简化求解过程。
三、凸优化在工程中的应用1. 信号处理在信号处理中，凸优化被广泛应用于信号重构、信号去噪等问题。
通过优化目标函数，可以将含噪声的信号恢复为原始信号，提高信号处理的准确性。
2. 电力系统在电力系统中，凸优化被用于最优潮流问题的求解。
通过优化电力系统中的功率分配和电压控制，可以使得系统的供电效率最大化，减少能源浪费。
3. 无线通信在无线通信领域，凸优化被应用于信号调制、功率分配等问题。
通过优化信号传输的方式和功率调整，可以提高无线通信的可靠性和效率。
四、凸优化在金融中的应用1. 证券组合优化在金融投资中，凸优化被广泛应用于证券组合的优化。
通过优化投资组合中的资产配置和权重分配，可以实现风险最小化和回报最大化的目标。
2. 风险管理在风险管理领域，凸优化被用于寻找最优的资产组合以降低投资风险。
通过优化投资组合的配置权重和风险控制，可以实现投资组合的风险最小化。
机器学习里的数学第7课凸优化初步_课堂笔记版
管老师
七月在线
June, 2016
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
主要内容
优化与凸优化简介
– 优化问题基本形式
– 凸优化问题基本形式 – 凸优化的应用
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
凸集合与凸函数
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
凸集合与凸函数
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
凸集合与凸函数的对应性质 (光学投影)
凸集合性质 若 Ω 是凸集合，那么 Ω 在任何一个平面上的投影仍是凸集 合（平行光源投影） 若 Ω ⊂ Rn 是凸集合，那么 Ωn ˆ = {(x1 /xn , ·, xn−1 /xn , 1) : (x1 , · · · , xn ) ∈ Ω且xn ̸= 0} 也是凸集合.(点光源投影) 若 Ω ⊂ Rn 是一个凸集合，那么椎体 tx : x ∈ Ω, t ∈ R+ 也 是个凸集合.(点光源)
凸优化理论与应用_逼近与拟合
凸优化理论与应用_逼近与拟合引言：在实际的科学与工程问题中，我们常常需要通过已知的数据点来建立一个数学模型来描述现象并进行预测与分析。
逼近与拟合就是解决这一问题的方法之一，通过寻找合适的函数形式来近似地表示已知的数据点，从而实现对未知数据点的预测与分析。
凸优化理论提供了一种有效的数学工具，可以帮助我们解决逼近与拟合的问题。
一、凸优化理论的基础：凸优化理论是一种研究目标函数为凸函数，约束条件为凸集的优化问题的数学理论。
在逼近与拟合的问题中，我们通常希望找到一个凸函数来近似地描述已知的数据点。
凸函数具有很好的性质，在优化过程中可以保证得到全局最优解，而不会陷入局部最优解。
二、逼近与拟合方法：1.线性回归：线性回归是一种广泛应用于逼近与拟合问题中的方法。
通过寻找一条直线来近似地表示已知的数据点集合，从而实现对未知数据点的预测与分析。
在线性回归中，目标函数是一个关于线性参数的凸函数，因此可以应用凸优化理论来解决这个问题。
2.多项式拟合：多项式拟合是一种将数据点通过多项式函数进行逼近与拟合的方法。
通过选取合适的多项式次数，可以实现对不同复杂度的数据进行拟合。
在多项式拟合中，目标函数是一个关于多项式系数的凸函数，因此可以利用凸优化理论来解决这个问题。
3.样条插值：样条插值是一种通过多个分段多项式来逼近与拟合数据点的方法。
通过选取合适的样条节点和插值条件，可以得到一个光滑的插值曲线。
在样条插值中，目标函数是一个关于样条插值系数的凸函数，因此可以使用凸优化理论来解决这个问题。
三、凸优化在逼近与拟合中的应用：1.数据拟合：在数据拟合问题中，我们通常需要找到一个函数来最好地逼近已知的数据点集合。
通过应用凸优化理论，可以确保得到全局最优的逼近函数，以最好地匹配数据点。
2.数据插值：在数据插值问题中，我们常常需要通过已知的数据点来构建一个函数，使得它在这些数据点上具有特定的性质。
凸优化理论可以帮助我们设计出一个光滑的插值函数，以最好地满足插值条件。
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f (v j ) f (vk ) L v j vk , j , k 1,..., m
一阶微分约束
f (u)
x f ( u ) M i i i 1
n
二阶微分约束
mI 2 f (u ) MI
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19
信号复原
已知加噪信号：
xcor x v
信号复原问题的描述：
minimize(w.r.t. R ) 函数 ( x ) : R n R 为正则函数或光滑函数。
2
( x xcor 2 , ( x ))
其中 x0 zu 为方程组 Ax b 的解。
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13
最小范数问题
最小平方范数问题：范数 2 ，最优解满足： 2 x* AT * 0, Ax* b
最小罚问题：
minimize
(x )
i 1 i
n
subject to Ax b
minimize
sup ( Ax b )
AI A
若 I A 为有限集，可转换为：
minimize t subject to Ai x b t , i 1,..., m
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函数拟合
已知一函数族：
fi , i A
x* arg min Ax b n
*
xR
注：若 b R( A) ，则 u b 为平凡情况。
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4
范数逼近问题
问题描述：
minimize A R
m n
Ax b
, m n,
残差向量
r Ax b
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x z
其中
z 是稀疏的。则对信号 x 进行测量，得到测量值 y ， y x
minimize
当 和 满足约束一致性条件时，优化问题
x y 2 1 x , 0 0 的最优解以接近1的概率可恢复得到信号 x 。
近似问题为凸优化问题
minimize
x y 2 1 x , 0
绝对值和最小问题：范数 1 ，原问题可转换为LP问 题： minimize 1T y
subject to Ax b, y x y
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正则逼近
二元矢量优化问题描述： 2 minimize(w.r.t. R ) 正则化问题： minimize
误差可用范数形式表示：
n
i 1 i i
a x b
A a1 a2 ... an 原误差可表示为： Ax b 当 m n 时，假设矩阵 A 的秩为 m ，则 Ax b 0 ，为平凡情
况。
将向量组依次按列排列，可形成矩阵
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9
罚函数的例
l p , p 1 范数：
(r ) r
p
死区线性罚函数： 函数
2 2 a log(1 (r / a) ) (r )
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7
绝对值和最小逼近
范数采用 l1 范数 1 ，原问题为
minimize A R
m n
Ax b 1
, m n,
m i 1
即
minimize
a x b ik k i k 1
n
可转换为LP问题
minimize 1T y subject to - y Ax b y
2
问题原型-测量问题
问题描述：线性测量模型为
y Ax v
m n y R 其中 为测量值向量， A 为输入值，x R 为待测定的 向量参数，而 v 为测量误差。 测量问题希望估算获得最佳的 x ，使得测量误差值尽可能的 小，即 Ax y 尽可能小。
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信号复原
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信号复原
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鲁棒逼近
问题描述：minimize
Ax b , A不确定
随机鲁棒逼近： A 为随机变量，逼近问题转换为最小化 期望 minimize E( Ax b ) 例：
凸优化理论与应用
第五章 逼近与拟合
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1
问题原型-回归问题
问题描述：给定一组 m 维向量 a1 , a2 ,..., an ，对给定的向量 b ，用向量组 a1 , a2 ,..., an 的线性组合近似表示 b ，使误差最小。
切比雪夫逼近
范数采用 l 范数 ，原问题为
minimize
Ax b
A R mn , m n,
即
minimize
max
n
a x b , i 1,..., m ik k i k 1
可转换为LP问题
minimize t subject to - t1 Ax b t1
5
最小平方逼近
范数采用 l 2 范数 2 ，原问题为：
minimize
Ax b
Ax b
2 2
2
A R m n , m n ,
等价问题：
minimize
A R m n , m n ,
最优解满足：
A Ax A b
T * T
6
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A 为随机变量： A A U
最小平方随机鲁棒逼近为：
minimize E Ax b
转换为：
2 2
minimize
其中
Ax b P x
1/ 2 2
2
2 2
P EU TU
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25
最坏情况鲁棒逼近
考虑 A I A ，最坏情况鲁棒逼近为：
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8
罚函数逼近
问题描述：
minimize
(r )
i 1 i
n
subject to r Ax b
罚函数 ( r ) 表示逼近问题误差的代价，一般为对称、非 负且 (0) 0
若罚函数为凸函数，则罚函数逼近问题为凸优化问题。
函数拟合问题
最小化范数函数拟合：给定m个指定点 (ui , yi ), i ，优化问题： m
1, 2,..., m
minimize
i 1
( f (ui ) yi )
n
2
例：（多项式拟合）给定m组点 多项式函数 求解优化问题 其中 aij uij 1
p (u ) i 1 xi u i 1
fi (t ) t , i 1, 2,...
i 1
sin kt , k 1, 2,...,
cos kt , k 0,1,...
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函数拟合与内插的约束条件
内插点约束 Lipschitz约束
f (vi ) zi , i 1, 2,..., m
17
2
2
x 为二阶差分算子：
1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 2 0 x n ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0
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回归问题的稀疏逼近
问题描述：
minimize
f (u ) xi f i (u )
函数
f
用函数族拟合可表示为：
函数族 fi , i A 通常称为基函数。基函数可以张出一个定义 域上的函数子空间。 向量
x 称为函数空间中的系数向量。
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函数拟合
多项式基函数 三角基函数
最优解的形式： x ( AT A I )1 AT b
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正则逼近
Tikhonov光滑正则化问题：
minimize
Ax b x , 0
... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 x ... ... ... 2 1 0 1 2 1 0 0
P( A Ai ) pi
随机鲁棒逼近为： minimize 转换为：
p
i 1
n
i
Ai x b
minimize pT t subject to Ai x b ti , i 1,..., n
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