排队论模型

即
P (t , t t ) o(t )
n2 n

P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δt)区间内没有顾客到达的概率为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
22
为了求Pn(t),即Pn(0,t)，需要研究它在（t，t+Δt）上的改变量,建立Pn(t)的微分方程。 对于区间[0,t+Δt)可以分成[0，t)和[t，t+Δt),其到达总数是n，不外有下列三种情况：
排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为 A/B/C/n， 其中 A表示输入过程， B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
排队模型的表示： X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。 M—负指数分布、D—确定 型、Ek —k阶爱尔朗分布。
i!
( fi npi ) npi
2
见下页表所示
查表知:
(k r 1) 0.05 (6) 12.592 6.2815
故可接受泊松分布假设。
15
fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0
pi 0.015 0.063 0.132 0.185 0.194 0.163 0.114 0.069 0.036 0.017 0.007 0.003 0.002
npi 1.5 6.3 13.2 18.5 19.4 16.3 11.4 6.9 3.6 1.7 0.7 0.3 0.2
fi-npi -1.8 2.8 -1.5 6.6 -5.3 -2.4 2.1
(fi-npi)2/npi 0.415 0.594 0.122 2.245 1.723 0.505 0.639
情形 [0，t) A n B n-1 n-2 n-3 C ... 0
概 率 [t，t+Δ t) 概率 [0，t+Δ t ） Pn(t) 0 1-λ Δ t + O(Δ t) Pn(t)(1-λ Δ t + O(Δ t)) Pn-1(t) 1 λ Δt Pn-1(t)·λ ·Δ t Pn-2(t) 2 Pn-3(t) 3 O(Δ t) O(Δ t) ... ... n P0(t)
K-r-1= 8-1-1
-0.5
0.0385
∑=6.2815
16
概率论知识复习
随机变量 数 随着实验的结果的不同而变化 至多可列个 连续型：（）取值于某个区间（a，b） 离散型：的所有可能只有限或
分布函数(连续):
F x p x
pa b F b F a
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在 一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人 数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
令Δt→0取极限（并注意初始条件）得：
凑微分
Pn (t t ) Pn (t ) tPn (t ) tPn1 (t ) O(t )
dPn (t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) dt
Pn (0) 0
当n=0时，没有B，C两种情况，则：
区间长度（0，0） 有n 个顾客到达 ……… (3)
过渡状态
稳定状态
t
10
图3 排队系统状态变化示意图
8-3 到达间隔时间分布和服务时间 的分布
一个排队系统的最主要特征参数是顾客 的到达间隔时间分布与服务时间分布。 要研究到达间隔时间分布与服务时间分 布需要首先根据现存系统原始资料统计 出它们的经验分布，然后与理论分布拟 合，若能照应，我们就可以得出上述的 分布情况。
顾客的到达过程就是一个泊松过程。
若设 N(t) 表示在时间区间 [0,t) 内到达的顾客数 (t>0),Pn(t1,t2) 表示在时间区间 [t1,t2)(t2>t1)内有n(≥0)个顾客到达的概率。即：
Pn{t1, t 2} P{N (t 2) N (t1) n}
（t2>t1，n≥0） 当Pn(t1,t2)符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程(顾客到达 形成普阿松流)。
第4讲
排队论模型
排队系统的描述
服务系统
顾客总体
输入
队伍
服务台
输出
排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。 1.顾客源总体:有限还是无限 2.到达类型：单个到达还是成批到达 3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
8
排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。 排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率，也称瞬态概率。
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
排队论研究的基本问题
1. 排队系统的统计推断 : 即通过对排队系统主要参 数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一 个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排 队理论进行研究。 2.系统性态问题 :即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分 布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
n 1 t C 0 C
∴ C = 0
n P0 ( t ) t
∴
Pn (0) 0
dPn ( t ) Pn ( t ) Pn1 ( t ) dt
t P0 ( t ) e （没有顾客到达的概率）
……(5)
描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数
等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数
2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间
与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和
3.系统的忙期与闲期
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
排队服务系统的基本概念
服务机构：
1.服务台的数目
2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
(连续) E(ξ)=
方差:
D E E


xf x dx
2 =

E
E
2
2
条件概率:
p AB pB p A B
18
理论分布
1.泊松分布
在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变 量为X，则有：
P{x n}
e
n
20
普阿松流具有如下特性：
① 无后效性：各区间的到达相互独立,即Markov性。
. t0 t1
. t2
. …
.
. tn-1 tn
.
.
P{x(tn ) n |x(t1 )x1 ,x(t2 )x2 ,...,x(tn1 )xn1 } P{x(tn ) n |x(tn1 )xn1 }
12
一、经验分布
经验分布是对排队系统的某些时间参数根 据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果 假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方 法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数 的经验数据服从该假设分布。 分布的拟合检验一般采用χ2检验。由数理统 计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则 当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度 为k-r-1的χ2分布，其中k为分组数，r为检验分布 中被估计的参数个数。
13

当 下接受假设H0
பைடு நூலகம்
2
( f i npi ) 2 npi i 1
k
2 2 (k r 1)
时，在显著水平α
式中：fi——实际频数 ni——理论频数 上面方法的应用必须注意n要足够大，npi不能 太小。一般地n要大于50，而分组的npi应不小于5。 例题：某公共汽车站，统计来站的乘客流，规定 每隔 1 分钟统计一次乘客到达情况，共统计 100 次， 其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。
的概率分布(离散):
p xi pxi
i=1,2,3……
p x 1
i 1 i
17

密度函数:(连续)
F x


x
, f t dt

, f x 0 f t dt 1


数学期望:(离散) E(ξ)=
x p
i 1 i

i
23
在[0，t+Δt]内到达n个顾客应是上面三种互不相容的情况之一，所以有：
Pn (t t ) Pn (t )(1 t ) Pn1 (t )t O(t )
Pn (t t ) Pn (t ) O(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) t t
dP0 (t ) P0 (t ) dt
(0,t)有n-1,n-2个顾客到达 ………(4)
24
P0 (0) 1
dP0 ( t ) dt P0 ( 0 )
两边积分得：
dP0 (t ) P0 (t ) dt
n P0 ( t ) t C
P0(0)=1
代入初始条件(t=0)有：
也就是说过程在t+Δt所处的状态与t以前所处的状态无关。 ②平稳性：即对于足够小的Δt，有：
P1 ( t，t t ) t ( t )
在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,而与Δt成正比。
21
λ>0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。
③ 普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt）内有2个或2个以上顾客到达的 概率是一高阶无穷小.
9
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程， 通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出 确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此常常使用它 的极限(如果存在的话)： lim p n (t ) p n
t
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State) 的解。 pn 稳态的物理意义图，系统的稳态一般很 快都能达到，但实际中达不到稳态 的现象也存在。要注意的是求稳态 概率Pn并不一定求t→∞的极限,只需 求Pn’(t)=0 。
14
状 态i 实 际 频 数 fi
0 1
1 5
2 3 4 5 16 17 26 11
6 9
7 9
8 2
9 1
10 11 ≥12 2 1 0
解：先估计分布的参数λ，由极大似然估计法得：
ˆ x 4.2 ,并根据公式
可计算出理论频率、理论频数及项
P{x i}
fi npi
e
i
n=0,1,2,…
（ 1）
n!
式中λ为常数(λ>0)，称X服从参数为λ的泊松分布，若在上式中引入时间参数t，即 令λt代替λ，则有：
( t ) n t Pn{t } e n!
与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程，即
t>0，n=0,1,2,… （2）
泊松过程。
19
在一定的假设条件下