2020年重庆市江津中学、实验中学等七校高考数学三诊试卷(理科) (解析版)

2020年高考（理科）数学三诊试卷
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）
2．设z=
1+3i
，则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）
A．不存在x0∈R，x03−x02+1≤0
B．存在x0∈R，x03−x02+1≤0
C．∃x0∈R，x03−x02+1＞0
D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36
5．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6．如图，给出的是1+1
3
+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）
A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞99
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给
出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈1
36
L2h，它实际上是将
圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V ≈3112
L 2
h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．
227
B ．
258
C ．
289
D ．
8227
8．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线
x 2
a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2
B ．√3
C ．2
D ．√5
10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种
B ．120种
C ．188种
D ．156种
11．已知k ∈R ，设函数f(x)={
x 2−2kx +2k ，x ≤1
(x −k −1)e x
+e 3
，x ＞1
，若关于x 的不等式f （x ）≥0
在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[0，e 2]
B ．[2，e 2]
C ．[0，4]
D ．[0，3]
12．函数f （x ）＝sin （2x +θ）+cos 2x ，若f （x ）最大值为G （θ），最小值为g （θ），则（ ）
A ．∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π
B ．∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π
C ．∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π
D ．∃θ0∈R ，使|G(θ0)
g(θ0
)|=π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a→=（1，1），b→=(m，−2)，且a→∥(a→+2b→)，则m的值等于．14．(x2−2)(1x−1)5展开式的常数项是．
15．已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，过直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l的斜率为．
16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=
1
a n+1
+1
a n+2
+1
a n+3
+⋯+1a
2n
，
若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+1
3＞b n恒成立，则实数t的取值
范围是．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π
3，PA＝AB＝
BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．
19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：
空气质量指数（0，
50]
（50，
100]
（100，
150]
（150，
200]
（200，
300]
300以上
空气质 量等级
一级 （优） 二级 （良） 三级 （轻度污染） 四级 （中度
污染） 五级 （重度
污染） 六级 （严重
污染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．
20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π
3．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证
明：当k 2=k
1
k 1
−1时，直线MN 过定点．
21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k
记为
c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{
x =2cosα
y =2+2sinα
（α为参数），直线l 的参
数方程为{
x =√3−√3
2t
y =3+1
2t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π
2，π）
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|2x +1
2
|+a |x −32
|． （1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；
（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |log 2x ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）
B ．（0，1）
C ．（﹣∞，2）
D ．（﹣1，1）
【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ． 解：∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， B ＝{x |log 2x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}＝（01，2）． 故选：A ．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设z =
2i
1+3i
，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：∵z =
1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)
=√32+1
2i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（√32
，1
2
），位于第一象限．
故选：A ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是（ ）
A ．不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0
B ．存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0
C ．∃x 0∈R ，x 03−x 02+1＞0
D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是：存在x 0∈R ，x 03−x 02
+1＞0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4找出首项a1与公差d的关系式求出a5，再代入前n项和的关系式求出S9．
解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4可得a1+2d+a1+5d＝4+a1+3d，整理得：a1+4d＝4＝a5，
所以S9=9(a1+a9)
2
=9a5＝36．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题．
5．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）
A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，则α⊥β，得解．
解：设m⊂α，且m∥l，
由l⊥β，则m⊥β，
由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，
即选项A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．
6．如图，给出的是1+1
3
+15+⋯+199的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）
A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞99
【分析】由已知中该程序的功能是计算1+1
3
+15+⋯+199的值，由循环变量的初值为1，
步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．
解：∵该程序的功能是计算1+1
3
+15+⋯+199的值，
由循环变量的初值为1，步长为2，
则最后一次进入循环的终值为99，
即小于等于99的数满足循环条件，
大于99的数不满足循环条件，
故判断框中应该填的条件是：i≤99
故选：A．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给
出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈1
36
L2h，它实际上是将
圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式V≈
3
112
L2h相当于将圆锥体积公
式中的π近似取为（）
A．22
7
B．
25
8
C．
28
9
D．
82
27
【分析】用L ，h 表示出圆锥的体积V =L 2ℎ12π，根据L 2ℎ12π=3112
L 2h 计算π即可． 解：由L ＝2πr 可得r =
L
2π，故圆锥的第面积为S ＝πr 2=L 24π
， ∴V =13Sh =L 2
ℎ12π
，
若V ≈
3112L 2h ，则112π=3112
，故π=11236=28
9． 故选：C ．
【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
8．函数f （x ）＝（x ﹣3sin x ）cos x 在[﹣π，π]上的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以根据函数奇偶性的定义可知，函数f （x ）为奇函数，可排除选项B ，对比选项A 、C 和D 后，分别计算出f(π2)=0，f(π
6)＜0，可分别排除选项A 和C ，故而得解．
解：∵f （﹣x ）＝[﹣x ﹣3sin （﹣x ）]•cos （﹣x ）＝﹣（x ﹣3sin x ）•cos x ＝﹣f （x ）， ∴函数f （x ）为奇函数，排除选项B ， 而f(π2)=(π
2−3)×0=0，可排除选项A ， f(π
6)=(π
6−3×1
2)×√3
2＜0，可排除选项C ， 故选：D ．
【点评】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，以AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2
B ．√3
C ．2
D ．√5
【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可． 解：∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，
由对称性知△ABF 的面积S ＝2S △OBF ＝2×1
2c h ＝ch ＝4a 2，
即h =4a 2
c
，即B 点的纵坐标为y =4a 2
c
，
则由x 2+（
4a 2c
）2＝c 2，得x 2＝c 2﹣（
4a 2c
）2＝c 2−
16a 4
c 2
， B 在双曲线上，
则c 2
−16a 4c 2
a 2
−
16a 4c 2b 2
=
1， 即c 2a 2−16a 2c 2−
16a 4
c 2(c 2−a 2)=1，
即c 2a −16a 2c （1+a 2
c 2−a
2）＝1，
即c 2a −16a 2c •
c 2c −a =1，
即c 2a 2−
16a 2c 2−a 2
=1，
即
c 2a 2
−1=16a 2c 2−a
2=c 2−a 2a
2
， 得16a 4＝（c 2﹣a 2）2，
即4a 2＝c 2﹣a 2，得5a 2＝c 2，得c =√5a ，
则离心率e =c a =√
5a a
=√5，
方法2：设双曲线的左焦点为F ′，由图象的对称性得，圆O 经过点F ′，
且|BF′|＝|AF|，
设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，∵BF⊥AF
∴S△ABF=1
2mn＝4a
2，m2+n2＝4c2，
则mn＝8a2，
∵|BF′|﹣|BF|＝2a，
∴m﹣n＝2a
则m2﹣2mn+n2＝4a2，
∴4c2﹣16a2＝4a2，
即c2＝5a2，
则c=√5a，
即离心率e=c
a
=√5a a=√5，
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．
10．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）
A．240种B．120种C．188种D．156种
【分析】根据题意，按甲的位置分3种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，甲班必须排在前三位，分3种情况讨论：
①，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，
此时有8×6＝48种安排方案；
②，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有3A22＝6种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，
此时有6×6＝36种安排方案；
③、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，
此时有8×6＝48种安排方案；
则一共有48+36+48＝120种安排方案；
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11．已知k∈R，设函数f(x)={x2−2kx+2k，x≤1
(x−k−1)e x+e3，x＞1
，若关于x的不等式f（x）≥0
在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）
A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]
【分析】当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，分k＜1、k≥1两类讨论，可求得k≥0；当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，分k≤1、k＞1两类讨论，可求得k≤3；取其公共部分即可得到答案．
解：（1）当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，
∴f（x）的对称轴为x＝k，开口向上．
①当k＜1时，f（x）在（﹣∞，k）递减，（k，1）递增，
∴当x＝k时，f（x）有最小值，即f（k）≥0，∴0≤k＜1；
②当k≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上递减，
∴当x＝1时，f（x）有最小值，即f（1）＝1，
∴1≥0显然成立，此时k≥1．
综上得，k≥0；
（2）当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，∴f'（x）＝（x﹣k）e x，
①′当k≤1时，f（x）在（1，+∞）上递增，
∴f（x）＞f（1）＝﹣ke+e3≥0，∴k≤e2，∴此时k≤1；
②′当k＞1时，f（x）在（1，k）递减，（k，+∞）递增，
∴f（x）≥f（k）＝﹣e k+e3≥0，∴k≤3，
∴此时1＜k≤3．
综上：0≤k≤3，
∵关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为0≤k≤3，
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．
12．函数f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），则（）
A．∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝π
B．∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝π
C．∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝π
D．∃θ0∈R，使|G(θ0)
g(θ0)
|=π
【分析】由三角函数的辅助角公式得：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+1 2）
•cos2x+1
2=√54+sinθsin（2x+φ）+
1
2，所以G（θ）=√
5
4
+sinθ+12，g（θ）=
−√54+sinθ+12，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．
解：f（x）＝sin（2x+θ）+cos2x＝cosθ•sin2x+（sinθ+1
2）•cos2x+
1
2
=√54+sinθsin
（2x+φ）+1 2，
所以G（θ）=√5
4
+sinθ+12，g（θ）=−√54+sinθ+12，
①对于选项A，G（θ0）+g（θ0）=√5
4
+sinθ+12−√54+sinθ+12=1，显然不满足题意，即A错误，
②对于选项B，G（θ0）﹣g（θ0）=√5
4
+sinθ+12+√54+sinθ−12=2√54+sinθ∈[1，
3]，显然不满足题意，即B错误，
③对于选项C，G（θ0）•g（θ0）＝（√5
4
+sinθ+12）•（√54+sinθ−12）＝1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，
④对于选项D ，|
G(θ)g(θ)
|＝|
√54+sinθ−12
+1
|∈[2，+∞），
即∃θ0∈R ，使|G(θ0)
g(θ0
)|=π，故D 正确，
故选：D ．
【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a →
=（1，1），b →
=(m ，−2)，且a →
∥(a →
+2b →
)，则m 的值等于 ﹣2 ．
【分析】根据题意，求出a →
+2b →
的坐标，进而由向量平行的坐标表示公式可得1+2m ＝﹣3，解可得m 的值，即可得答案．
解：根据题意，向量a →
=（1，1），b →
=(m ，−2)， 则a →
+2b →
=（1+2m ，﹣3），
若a →
∥(a →
+2b →
)，则有1+2m ＝﹣3，解可得：m ＝﹣2； 故答案为：﹣2
【点评】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量的坐标计算公式，属于基础题．
14．(x 2−2)(1x
−1)5展开式的常数项是 ﹣8 ．
【分析】把(1x
−1)5按照二项式定理展开，可得(x 2−2)(1x
−1)5展开式的常数项． 解：(x 2−2)(1
x −1)5=（x 2﹣2）•（
1x −
5x +
10x −
10x +
5x
−1）的展开式的常数项为
﹣10+2＝﹣8， 故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．已知圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1，过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为√15，则直线l 的斜率为 −3
4
．
【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，把过直线l ：3x +ay ﹣5＝0（a ＞0）上的任意一点作圆C 的切线，切线长最小转化为圆心到直线l 的距离最小，利用点到直线的距离
公式得答案．
解：如图，由（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，得圆心坐标为（3，4），
要使切线长最小，即圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离最小，∵圆的半径为1，切线长为√15，
∴圆心到直线l：3x+ay﹣5＝0（a＞0）的距离等于√12+(√15)2=4．
再由
√9+a2
=4，解得：a＝4．
此时直线l的斜率为−3
a
=−34．
故答案为：−3 4．
【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．
16．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），设b n=
1
a n+1
+1
a n+2
+1
a n+3
+⋯+1a
2n
，
若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+1
3＞b n恒成立，则实数t的取值
范围是（﹣∞，1）．
【分析】通过并项相加可知当n≥2时a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，进而可得数列{a n}
的通项公式a n=1
2n（n+1），裂项、并项相加可知b n＝2（
1
n+1
−
1
2n+1
）=
2n
2n2+3n+1
=
2
2n+1n+3，通过求导可知f（x）＝2x+1
x（x≥1）是增函数，进而问题转化为m
2﹣mt+
1
3＞
（b n）max，由恒成立思想，即可得结论．
解：∵a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2，n∈N），
当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣1，…，a2﹣a1＝2，
并项相加，得：a n﹣a1＝n+（n﹣1）+…+3+2，
∴a n＝1+2+3+…+n=1
2n（n+1），
又∵当n＝1时，a1=1
2
×1×（1+1）＝1也满足上式，
∴数列{a n}的通项公式为a n=1
2n（n+1），
∴b n=
1
a n+1
+1
a n+2
+1
a n+3
+⋯+1a
2n
=2
(n+1)(n+2)+2
(n+2)(n+3)
+⋯+2
2n(2n+1)
＝2（1
n+1−
1
n+2
+
1
n+2
−
1
n+3
+⋯+
1
2n
−
1
2n+1
）
＝2（1
n+1−
1
2n+1
）=
2n
2n2+3n+1
=2
2n+1n+3，
令f（x）＝2x+1
x（x≥1），则f′（x）＝2−
1
x2
，
∵当x≥1时，f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
故当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝3，即当n＝1时，（b n）max=1 3，
对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2﹣mt+1
3＞b n恒成立，
则须使m2﹣mt+1
3＞（b n）max=
1
3，
即m2﹣mt＞0对∀m∈[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，
可得得t＜1，
∴实数t的取值范围为（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=√13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．
【分析】（Ⅰ）（2b﹣c）cos A＝a cos C，由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cos A，结合范围A∈（0，π）．解
得A．
（Ⅱ）利用余弦定理，三角形的面积公式可求b+c的值，即可计算得解三角形的周长．解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b﹣c）cos A＝a cos C，
∴由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，
∴可得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B，
∵sin B≠0，
∴解得：cos A=1 2．
∵A∈（0，π）．
∴可得：A=π3．
（Ⅱ）∵A=π
3，a=√13，
∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：13＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，
又∵△ABC的面积为3√3=12bc sin A=√3
4
bc，解得：bc＝12，
∴13＝（b+c）2﹣36，解得：b+c＝7，
∴△ABC的周长a+b+c＝7+√13．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，考查了计算能力，属于基础题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠BAD=2π
3，PA＝AB＝
BC＝2，AD＝4，点M是棱PD的中点．
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求二面角M﹣AC﹣D的大小．
【分析】（1）取AP的中点E，连接BE、EM．推导出四边形BCME为平行四边形，CM∥BE，由此能证明CM∥平面PAB．
（2）在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A
为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AC ﹣D 的大小． 解：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM ． ∵M 是PD 的中点，∴EM =12
AD ，EM ∥AD ， 又BC =1
2AD ，BC ∥AD ，所以EM ＝BC ，EM ∥BC ，
∴四边形BCME 为平行四边形， ∴CM ∥BE ，
又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， ∴CM ∥平面PAB ．
（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直， 以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝4，∠BAD =
2π3
， 可得A （0，0，0），C(√3，1，0)，M （0，2，1）， ∴AC →
=(√3，1，0)，AM →
=(0，2，1)， 设平面MAC 的法向量为n →
=(x ，y ，z)，
则由{n →
⋅AC →
=0n →⋅AM →=0，即{√3x +y =02y +z =0，令y ＝﹣3，则x =√3，z ＝6， ∴n →
=(√3，−3，6)为平面MAC 的一个法向量． ∵PA ⊥底面ABCD ，
∴可取平面ACD 的一个法向量为m →
=(0，0，1)， ∴cos〈n →
，m →
〉=
n →⋅m →
|n →
|⋅|m →|
=48=√32， ∵二面角M ﹣AC ﹣D 为锐二面角， ∴二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为π
6．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面解的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：
空气质量指数（0，
50]
（50，
100]
（100，
150]
（150，
200]
（200，
300]
300以上
空气质量等级
一级
（优）
二级
（良）
三级
（轻度
污染）
四级
（中度
污染）
五级
（重度
污染）
六级
（严重
污染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X的分布列和数学期望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．
【分析】（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；
（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求解期望． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为1
10
，乙不宜进行户外体育运动的概率为
3
10
，然后求
解概率即可．
解：（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在（90，110]的天数为2天， 空气质量指数在（110，130]的天数为1天， 所以估计空气质量指数在（90，100]的天数为1天， 故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天．
（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，
∴P(X =0)=C 24
2
C 302=92145，P(X =1)=C 61
⋅C 241
C 302=48145，P(X =2)=C 62
C 30
2
=1
29， X 0
1
2
P
92145
48145
129
∴X 的分布列为 ∴EX =0×
92145+1×48145+2×129=
2
5
． ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110
，乙不宜进行户外体育运动的概率为
3
10
，
∴P =C 32⋅(
110)2⋅910⋅C 21⋅310⋅710=56750000
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布表的应用，是基本知识的考查，中档题．
20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为F 1（﹣1，0），C 与y 轴正半轴交点为A ，且，∠AF 1O =π3．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作斜率为k 1，k 2（k 1k 2≠0）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M ，N ．证
明：当k 2=k
1k 1−1时，直线MN 过定点． 【分析】（1）由题意可求出c ，b ，a ，可得方程；
（2）先设方程，可得M ，N 横坐标之间的关系，代入题给的等式，化简可得． 解：（1）x 24+y 23=1，
（2）由题不妨设MN ：y ＝kx +m ，
联立{x 24+y 23=1y =kx +m
，方程组的解M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 消去y 化简得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，
且x 1+x 2=−8km
4k 2+3，x 1x 2=4m 2−12
4k 2+3，
∵k 1k 2＝k 1+k 2，
∴y 1−√3x 1⋅y 2−√3
x 2=y 1−√3x 1+y 2−√3x 2，
∴代入y ＝kx +m ，化简得
(k 2−2k)x 1x 2+(k −1)(m −√3) （x 1+x 2）+m 2−2√3m −3=0，
8√3k(m −√3)=3(m −√3)2，
∵m ≠√3，8√3k =3(m −√3)，
∴m =8√3k 3
+√3， 直线MN ：y =kx +8√3k 3+√3，MN 过定点（−8√33
，√3）． 【点评】本题考查圆锥曲线，设直线方程是，注意斜率，属于中档题．
21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +a ，g （x ）＝kx ﹣xlnx ﹣b ，其中a ，b ，k ∈一、选择题． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）若对任意a ∈[1，e ]，任意x ∈[1，e ]，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立时最大的k 记为
c ，当b ∈[1，e ]时，b +c 的取值范围．
【分析】（1）求导可得f′(x)=a−x x ，然后分a ≤0及a ＞0两种情况讨论即可得出单调性；
（2）依题意，分析可知k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x
，而a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，构造g(x)=
1+lnx−x+xlnx+b x ，则g′(x)=−lnx+x−b x 2，令p(x)=−lnx +x −b ，则p′(x)=−1x +1，故p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递增，利用
导数分p （1）≥0，可得此时c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2，当p （e ）≤0，c =g(x)min =g(e)=b+2e ⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e
+1]，当p （1）p （e ）＜0，c =g(x)min =g(x 0)=
1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0，则b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0，再利用导数求其最值即可．
解：（1）∵f （x ）＝alnx ﹣x ﹣a （x ＞0，a ∈R ），
∴f′(x)=a x −1=a−x x ，
∵x ＞0，a ∈R ．
∴①当a ≤0时，f （x ）的减区间为（0，+∞），没有增区间；
②当a ＞0时，f （x ）的增区间为（0，a ），减区间为（a ，+∞）；
（2）原不等式f （x ）≥g （x ）恒成立⇔k ≤
a(1+lnx)−x+xlnx+b x ， ∵a ∈[1，e ]，x ∈[1，e ]，
∴a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，
令g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ⇒g′(x)=−lnx+x−b x 2
， 令p(x)=−lnx +x −b ⇒p′(x)=−1x +1≥0⇒p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在（1，+∞）上递
增；
①当p （1）≥0时，即b ≤1，
∵b ∈[1，e ]，所以b ＝1时x ∈[1，e ]，p （x ）≥0⇒g '（x ）≥0，
∴g （x ）在[1，e ]上递增，
∴c ＝g （x ）min ＝g （1）＝b ⇒b +c ＝2b ＝2．
②当p （e ）≤0，即b ∈[e ﹣1，e ]时x ∈[1，e ]，p （x ）≤0⇒g '（x ）≤0，
∴g （x ）在[1，e ]上递减；
∴c =g(x)min =g(e)=b+2e
⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ，e +2e +1]． ③当p （1）p （e ）＜0时，p （x ）＝﹣lnx +x ﹣b 在上递增；
存在唯一实数x 0∈（1，e ），使得p （x 0）＝0，则当x ∈（1，x 0）时⇒p （x ）＜0⇒g '（x ）＜0，
当x ∈（x 0，e ）时⇒p （x ）＞0⇒g '（x ）＞0，
∴c =g(x)min =g(x 0)=
1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0， ∴b +c =lnx 0+1x 0
+x 0−lnx 0=x 0+1
x 0．此时b ＝x 0﹣lnx 0， 令h(x)=x −lnx ⇒h′(x)=1−
1x =x−1x
＞0⇒h(x)在[1，e ]上递增，b ∈（1，e ﹣1）⇒x 0∈（1，e ），
∴b +c ∈(2，e +1e )． 综上所述，b +c ∈[2，e +2e
+1]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，推理能力及计算能力，属于较难题目．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{
x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12
t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为（2√3，θ），其中θ∈（π2，π） （Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．
【分析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程，利用点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），即可求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA 与直线l 相交于点B ，求出A ，B 的坐标，即可求|AB |的值．
解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα
（α为参数），普通方程为x 2+（y ﹣2）
2＝4，极坐标方程为ρ＝4sin θ，
∵点A 的极坐标为（2√3，θ），θ∈（π2，π），∴θ=
2π3； （Ⅱ）直线l 的参数方程为{x =√3−√32t y =3+12t
（t 为参数），普通方程为x +√3y ﹣4√3=0， 点A 的直角坐标为（−√3，3），射线OA 的方程为y =−√3x ，
代入x +√3y ﹣4√3=0，可得B （﹣2√3，6），∴|AB |=√3+9=2√3．
【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|2x +12|+a |x −32
|．
（1）当a ＝﹣1时，解不等式f （x ）≤3x ；
（2）当a ＝2时，若关于x 的不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，求实数b 的取值范围．
【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最大值为14，可得|1﹣b |≤7，由此解得b 的范围．
解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）≤3x 可化为{x ＜−14−(2x +12)+(x −32)≤3x
①；或{−14≤x ＜322x +12+(x −32)≤3x ②；或{x ≥322x +12−(x −32)≤3x ③． 解①求得−12≤x ＜−14，解求得−14≤x ＜32，解求得x ≥32
． 综上可得，不等式的解集为{x |x ≥−12}．
（2）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +12|+|2x ﹣3|≥|2x +12−（2x ﹣3）|=72，（当且仅当−14≤x ≤32时取等号），
则f （x ）的最大值为4•72=14，不等式4f （x ）＜2|1﹣b |的解集为空集，
等价于|1﹣b |≤7，解得﹣6≤b ≤8，故实数b 的取值范围是[﹣6，8]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。