2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第九章 第三节 几何概型 含解析

课时规范练 A 组 基础对点练

1．(2018·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x 、则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ) A.3

4 B.23 C.13

D.14

解析：因为log 0.5(4x －3)≥0、所以0<4x －3≤1、即3

4

选D. 答案：D

2.如图、在矩形区域ABCD 的A 、C 两点处各有一个通信基站、假设其信号

的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源、基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点、则该地点无信号的概率是( ) A ．1－π

4

B.π2－1 C ．2－π

2

D.π4

解析：由题意知、两个四分之一圆补成半圆、其面积为12×π×12＝π

2、矩形面积为2、则所

求概率为2－π

22＝1－π

4.

答案：A

3．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P 、则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( ) A.1

27 B.2627 C.827

D.18

解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合、且棱长为1的正方体、该正方体的体积是V 1＝13＝1、而原正方体的体积为V ＝33＝27、故所求的概率P ＝V 1V ＝127.

答案：A

4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P 、使△APB 的最大边是AB ”发生的概

率为12、则AD

AB ＝( )

A.12

B.14

C.32

D.74

解析：由已知、点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点、由勾股定理可得AB 2＝(3

4AB )2＋AD 2、

解得(AD AB )2＝716、即AD AB ＝7

4、故选D.

答案：D

5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中、其中AB ＝2、BC ＝1、则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是

( )

A.π2

B.π4

C.π

6

D.π8

解析：由几何概型的概率计算公式可知、质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝半圆的面积长方形的面积＝12π

2＝π

4、故选B.

答案：B

6．在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上随机取一个数x 、则cos πx 的值介于22与3

2之间的概率为( ) A.1

3 B.1

4 C.15

D.16

解析：区间⎣⎡⎦⎤－12，12的长度为1、满足cos πx 的值介于22与32之间的x ∈⎝⎛⎭⎫－14，－16∪⎝⎛⎭⎫16，14、区间长度为1

6、由几何概型概率公式得P ＝1

61＝16.

答案：D

7．为了测量某阴影部分的面积、作一个边长为3的正方形将其包含在内、并向正方形内随机投掷600个点、已知恰有200个点落在阴影部分内、据此可以估计阴影部分的面积是( ) A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13、所以阴影部分的面积约为9×13＝3.

答案：B

8．如图所示、A 是圆上一定点、在圆上其他位置任取一点A ′、连接AA ′、得到一条弦、则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(

)

A.1

2 B.32

C.13

D.14

解析：当AA ′的长度等于半径长度时、∠AOA ′＝π

3、A ′点在A 点左右都可取得、故由几

何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝1

3.

答案：C

9.如图、矩形ABCD 中、点A 在x 轴上、点B 的坐标为(1,0)、且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点、则

此点取自阴影部分的概率等于( ) A.1

6 B.14 C.38

D.12

解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)、所以C 点坐标为(1,2)、D 点坐标为(－

2,2)、A 点坐标为(－2,0)、故矩形ABCD 的面积为2×3＝6、阴影部分的面积为12×3×1＝3

2、

故P ＝3

26＝1

4.

答案：B

10．(2018·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点、PB →＋PC →＋2P A →

＝0、现将一粒豆随机撒在△ABC 内、则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.12

D.23

解析：如图所示、设点M 是BC 边的中点、因为PB →＋PC →＋2P A →

＝0、所以点P 是中线AM 的中点、所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝1

2

、故选

C.

答案：C

11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x 、y ∈R)、若|z |≤1、则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π

D.14－12π

解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心、以1为半径的圆及其内部、图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域、该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－1

2、故满足y ≥x 的概率为14π－

12π×12＝14－12π、

故选D. 答案：D

12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a 、b 、则事件“⎩

⎪⎨⎪

⎧

3a －1>03b －1>0”发生的概率为( )

A.4

9 B.19 C.23

D.13

解析：由题意可知⎩

⎪⎨⎪⎧

0≤a ≤1

0≤b ≤1.该不等式组表示的区域为一个边长为1

的正方形、其面积是