2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习:第九章 第三节 几何概型 含解析
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课时规范练 A 组 基础对点练
1.(2018·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x 、则事件“log 0.5(4x -3)≥0”发生的概率为( ) A.3
4 B.23 C.13
D.14
解析:因为log 0.5(4x -3)≥0、所以0<4x -3≤1、即3
4<x ≤1、所以所求概率P =1-341-0=14、故
选D. 答案:D
2.如图、在矩形区域ABCD 的A 、C 两点处各有一个通信基站、假设其信号
的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源、基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点、则该地点无信号的概率是( ) A .1-π
4
B.π2-1 C .2-π
2
D.π4
解析:由题意知、两个四分之一圆补成半圆、其面积为12×π×12=π
2、矩形面积为2、则所
求概率为2-π
22=1-π
4.
答案:A
3.在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P 、则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( ) A.1
27 B.2627 C.827
D.18
解析:正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合、且棱长为1的正方体、该正方体的体积是V 1=13=1、而原正方体的体积为V =33=27、故所求的概率P =V 1V =127.
答案:A
4.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P 、使△APB 的最大边是AB ”发生的概
率为12、则AD
AB =( )
A.12
B.14
C.32
D.74
解析:由已知、点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点、由勾股定理可得AB 2=(3
4AB )2+AD 2、
解得(AD AB )2=716、即AD AB =7
4、故选D.
答案:D
5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中、其中AB =2、BC =1、则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是
( )
A.π2
B.π4
C.π
6
D.π8
解析:由几何概型的概率计算公式可知、质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P =半圆的面积长方形的面积=12π
2=π
4、故选B.
答案:B
6.在区间⎣⎡⎦⎤-12,12上随机取一个数x 、则cos πx 的值介于22与3
2之间的概率为( ) A.1
3 B.1
4 C.15
D.16
解析:区间⎣⎡⎦⎤-12,12的长度为1、满足cos πx 的值介于22与32之间的x ∈⎝⎛⎭⎫-14,-16∪⎝⎛⎭⎫16,14、区间长度为1
6、由几何概型概率公式得P =1
61=16.
答案:D
7.为了测量某阴影部分的面积、作一个边长为3的正方形将其包含在内、并向正方形内随机投掷600个点、已知恰有200个点落在阴影部分内、据此可以估计阴影部分的面积是( ) A .4
B .3
C .2
D .1
解析:由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13、所以阴影部分的面积约为9×13=3.
答案:B
8.如图所示、A 是圆上一定点、在圆上其他位置任取一点A ′、连接AA ′、得到一条弦、则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(
)
A.1
2 B.32
C.13
D.14
解析:当AA ′的长度等于半径长度时、∠AOA ′=π
3、A ′点在A 点左右都可取得、故由几
何概型的概率计算公式得P =2π32π=1
3.
答案:C
9.如图、矩形ABCD 中、点A 在x 轴上、点B 的坐标为(1,0)、且点C 与点D 在函数f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点、则
此点取自阴影部分的概率等于( ) A.1
6 B.14 C.38
D.12
解析:因为f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
x +1,x ≥0,-12x +1,x <0,B 点坐标为(1,0)、所以C 点坐标为(1,2)、D 点坐标为(-
2,2)、A 点坐标为(-2,0)、故矩形ABCD 的面积为2×3=6、阴影部分的面积为12×3×1=3
2、
故P =3
26=1
4.
答案:B
10.(2018·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点、PB →+PC →+2P A →
=0、现将一粒豆随机撒在△ABC 内、则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.12
D.23
解析:如图所示、设点M 是BC 边的中点、因为PB →+PC →+2P A →
=0、所以点P 是中线AM 的中点、所以黄豆落在△PBC 内的概率P =S △PBC S △ABC =1
2
、故选
C.
答案:C
11.设复数z =(x -1)+y i(x 、y ∈R)、若|z |≤1、则y ≥x 的概率为( ) A.34+12π B.12+1π C.12-1π
D.14-12π
解析:复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心、以1为半径的圆及其内部、图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域、该区域的面积为14π-12×1×1=14π-1
2、故满足y ≥x 的概率为14π-
12π×12=14-12π、
故选D. 答案:D
12.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a 、b 、则事件“⎩
⎪⎨⎪
⎧
3a -1>03b -1>0”发生的概率为( )
A.4
9 B.19 C.23
D.13
解析:由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤1
0≤b ≤1.该不等式组表示的区域为一个边长为1
的正方形、其面积是
1.⎩⎪⎨⎪⎧
3a -1>03b -1>00≤a ≤10≤b ≤1表示的区域为一个边长为23的正方形、面积是49、所以所求概率为4
9
.
答案:A
13.(2018·郑州模拟)若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M 、不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x -y ≥0,x +y ≥0,
y ≥2x -6
表
示的平面区域为N 、现随机向区域N 内抛一粒豆子、则豆子落在区域M 内的概率为________. 解析:作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示、平面区域N 的面积为12×3×(6+2)=12、区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2=π
2、
故所求概率P =π
212=π
24.
答案:π
24
14.在区间[-2,4]上随机地取一个数x 、若x 满足|x |≤m 的概率为5
6、则m =________.
解析:由几何概型知56=m -(-2)
6、解得m =3.
答案:3
15.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a 、则事件“3a -1>0”发生的概率为________. 解析:由题意知0≤a ≤1、事件“3a -1>0”发生时、a >1
3且a ≤1、取区间长度为测度、由
几何概型的概率公式得其概率P =1-131=2
3.
答案:2
3
16.已知函数f (x )=x 2-x -2、x ∈[-5,5]、若从区间[-5,5]内随机抽取一个实数x 0、则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________.
解析:令x 2-x -2≤0、解得-1≤x ≤2、由几何概型的概率计算公式得P =2-(-1)5-(-5)=3
10.
答案:3
10
B 组 能力提升练
1.在区间[-π、π]内随机取两个数分别记为a 、b 、则使得函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π有零点的概率为(
)
A.78
B.34
C.12
D.14
解析:建立如图所示的平面直角坐标系、
则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部.要使函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π有零点、则必须有Δ=4a 2-4(-b 2+π)≥0、即a 2+b 2≥π、其表示的区域为图中阴影部分.故所求概率P =S 阴影S 正方形=3π24π2=3
4.
答案:B
2.如图、在圆心角为直角的扇形OAB 中、分别以OA 、OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点、则此点取自阴影部分的概率是( )
A.12-1
π B.1π C .1-2
π
D.2π
解析:设OA =OB =r 、则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2[14π·(r 2)2-12×(r
2)2]=
(π-2)r 28、两个半圆外部的阴影部分的面积为14πr 2-[12π(r 2)2
×2-(π-2)r 28]=(π-2)r 28、所以所求概率为2×
(π-2)r 2
814πr 2=1-2
π.
答案:C
3.在区间[0,1]上随机取两个数x 、y 、记p 1为事件“x +y ≤12”的概率、p 2为事件“xy ≤1
2”
的概率、则( ) A .p 1<p 2<1
2
B .p 2<1
2
<p 1
C.1
2<p 2<p 1 D .p 1<1
2
<p 2
解析:如图、满足条件的x 、y 构成的点(x 、y )在正方形OBCA 内、其面积为1.事件“x +y ≤1
2”
对应的图形为阴影△ODE 、其面积为12×12×12=18、故p 1=18<12、事件“xy ≤1
2”对应的图形
为斜线表示部分、其面积显然大于12、故p 2>12、则p 1<1
2
<p 2、故选D.
答案:D
4.在底和高等长的锐角三角形中有一个内接矩形、矩形的一边在三角形的底边上、如图、在三角形内任取一点、则该点落入矩形内的最大概率为( ) A.1
2 B.1
3 C.25
D.34
解析:设矩形长为x 、宽为y 、则x a =a -y
a 、y =a -x 、S
矩形=xy =x (a -x )≤
⎝⎛⎭⎫x +a -x 22=a 2
4
、
其概率的最大值为(S 矩形)max S △=1
2.故选A.
答案:A
5.把半径为2的圆分成相等的四段弧、再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内、现在往该圆内任投一点、此点落在星形内的概率为 ( )
A.4
π-1 B.2π C.4π-12
D.12
解析:星形弧半径为2、所以点落在星形内的概率为
P =
π×22
-⎝⎛⎭⎫π×22
4-1
2×2×2×2×4
π×22
=4
π
-1、故选A.
答案:A
6.已知A (2,1)、B (1、-2)、C ⎝⎛⎭⎫35
,-15、动点P (a 、b )满足0≤OP →·OA →≤2、且0≤OP →·OB →≤2、
则动点P 到点C 的距离大于1
4的概率为( )
A .1-5π
64
B.5π
64 C .1-π
16
D.π16
解析:依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
0≤2a +b ≤2,
0≤a -2b ≤2,
目标函数
⎝⎛⎭⎫a -352+⎝⎛⎭⎫b +152>14表示以C ⎝⎛⎭⎫35
,-15为圆心、
半径为14的圆外.画出可行域如图所示、可行域的面积为45、可行域内的圆外面积为45-π
16、
故概率为45-π1645
=1-5π
64.故选A.
答案:
A
7.运行如图所示的程序框图、如果在区间[0、e]内任意输入一个x 的值、则输出的f (x )值不小于常数e 的概率是( )
A.1e B .1-1
e
C .1+1
e
D.1e +1
解析:由题意得f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ,0≤x ≤1,
ln x +e ,1<x ≤e ,如图所示、当1<x ≤e 时、f (x )>e 、故输出的f (x )
值不小于常数e 的概率是e -1e =1-1
e
、故选B.
答案:B
8. 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数、记为a 、b 、则方程x 2a 2+y 2
b 2=1表示焦点在x 轴上且离心
率小于3
2
的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732
D.3132
解析:∵x 2a 2+y 2b 2=1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2、∴a >b >0、a <2b
.
它对应的平面区域如图中阴影部分所示:
则方程x 2a 2+y 2b 2=1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2的椭圆的概率为
P =S 阴影S 矩形=1-12×(1+3)×2+12×1
2×12×4=15
32、故选B.
答案:B
9.已知O 、A 、B 三地在同一水平面内、A 地在O 地正东方向2 km 处、B 地在O 地正北方向2 km 处、某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点、用测绘仪进行测绘、O 地为一磁场、距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰、使测量结果不准确、则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A.1
2 B.22
C .1-
32
D .1-
22
解析:在等腰直角三角形OAB 中、以O 为圆心、3为半径的圆截AB 所得的线段长为2、
而|AB |=22、故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-222=1-2
2、故选D.
答案:D
10.一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行、则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________.
解析:如图所示、该三角形为直角三角形、其面积为1
2×5×12=30、阴
影部分的面积为12×π×22=2π、所以其概率为2π30=π
15.
答案:π
15
11.(2018·南昌质检)在边长为2的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M 、用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点、落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个、则在这次模拟中、不规则图形M 的面积的估计值为________. 解析:由题意、因为在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点、落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个、 所以概率P =2 00010 000=15
.
∵边长为2的正方形ABCD 的面积为4、 ∴不规则图形M 的面积的估计值为 15×4=45. 答案:45
12.已知正方形ABCD 的边长为2、H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P 、则满足|PH |<2的概率为________.
解析:如图、设E 、F 分别为边AB 、CD 的中点、则满足|PH |<2的点P
在△AEH 、扇形HEF 及△DFH 内、由几何概型的概率计算公式知、所求概率为
14π(2)2+1
2×1×1×22×2=π8+1
4. 答案:π8+1
4
13.若m ∈(0,3)、则直线(m +2)x +(3-m )y -3=0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9
8的
概率为________.
解析:对于直线方程(m +2)x +(3-m )y -3=0、令x =0、得y =33-m ;令y =0、得x =3m +2
、由题意可得12·|3m +2|·|33-m |<98
、因为m ∈(0,3)、所以解得0<m <2、由几何概型的概率计算公式可得、所求事件的概率是23
. 答案:23。