2019届杨浦区高三一模数学Word版(附解析)

上海市杨浦区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则U A =ð

2. 已知扇形的半径为6，圆心角为3

π，则扇形的面积为 3. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为

4. 若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n =

5. 若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是

6. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm

7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2

n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 8. 若函数1()ln 1x f x x

+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的 取值范围为

9. 在行列式2744

34651

x

x --中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则 1()y f x =+的零点是

10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+

，2cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为

11. 当0x a <<时，不等式22

112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 12. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2

n n n n T b +=-（n ∈*N ）， 且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ， 若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的 k 的值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ）

A. ()arcsin f x x =

B. ()lg ||f x x =

C. ()f x x =-

D. ()cos f x x =

14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.

310

B. 35

C. 25

D. 23

15. 已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2

a f θθ+=，

b f =， sin 2()sin cos

c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a c b ≤≤ B. b c a ≤≤ C. c b a ≤≤ D. a b c ≤≤

16. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合

{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）

A. [0,4)

B. [1,4)-

C. [3,5]-

D. [0,7)

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.

（1）求三棱锥E PAD -的体积；

（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .

18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13

B =. （1）若4sin 5A =

，求cos C ； （2）已知4b =，证明：5AB BC ⋅≥-u u u r u u u r .

19. 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是

3(51)x x

+-元，其中110x ≤≤. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.

20. 如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、 B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.

（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；

（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；

（3）若P 是曲线2

2

14y x +=（0x <）上的动点，求△PAB 面积的最小值.

21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n n n M m b +=

，n ∈*N . （1）若2cos 2

n n n a π=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；

（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.