职高数学一轮复习不等式
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高职高考不等式问题专题复习一、不等式基础题1、不等式 x 2+1＞ 2x 的解集是()A.{x|x ≠ 1,x ∈ R}B.{x|x ＞ 1,x ∈ R}C.{x|x ≠ - 1 ,x ∈ R }D. {x|x ≠ 0,x ∈ R}2、不等式 |x+3|＞ 5 的解集为()A.{x|x ＞ 2|}B. ｛ x|x ＜- 8 或 x ＞2｝C.{x|x ＞ 0}D.{x|x ＞ 3}3、二次不等式 x 2 - 3x+2<0 的解集为()A.{x ︱ x ≠0}B.{x ︱ 1<x<2}C.{x ︱ - 1<x<2}D. {x ︱x>0}4.已知 a>b ，那么1 > 1的充要条件是 ( )a bA.a 2+b 2≠ 0B.a>0C.b<0D.ab<05、若 a ≥ b ， c ∈R ，则- 3-( )22B. ∣ac ∣≥∣ bc ∣223A.a ≥bC.ac ≥ bcD. a≥ b6、下列命题中，正确的是( )A.若 a>b ，则 ac 2>bc2ab ，则 a>bB. 若2c 211cD.若 a>b ， c>d ，则 ac>bdC.若 a>b ，则ba7、如果 a>0， b>0,那么必有()A. b 22 b a B.b 2 b a C. b 2b a D. b 22b aaa2a2a8、对任意 a ， b ，c ∈R +，都有( )A.b c a 3 B.b c a3C. b c a3 D.b c a3a b ca b ca b ca b c9、对任意 x ∈R ，都有( )A.(x-3)2 >(x-2)(x-4) B.x2 >2(X+1) C.( x 3) 2 x2 D. x 21 1x 4x 2110、已知 0<x<1 ，都有()A. 2x>x 2>xB. 2x>x>x 2C.x 2>2x>xD.x > x 2 >2x11、若不等式 2x 2- bx+a<0 的解集为 {x ︱ 1<x<5} ，则 a=()A.5B.6C.10D.1212、不等式x 31的解集是( )x 2A.{ x ∣x< -2}B.{x ∣x<-2 或 x>3} C.{ x ∣x> -2}D.{x ∣ -2<x<3}13 、不等式 lgx+lg(2x-1)<1 的解集是( )A. { x 2 x5 }B.{ x 0 x5 } C.{ x1x5} D.{ x x1 }2222214 、不等式︱ x+2︱ +︱ x-1 ︱ <4 的解集是()A. { x 2 x 1 }B. { x x3} C.{ x5 x 3} D.{ x x5 }222215 、已知 a 是实数，不等式 2x 2- 12x+a ≤0的解集是区间 [1 ，5] ，那么不等式 a x 2- 12x+2≤0的解集是()A. [ 1,1]B.[-5， -1]C.[-5， 5]D.[-1， 1]516 、不等式（ 1+x ）（ 1- ︱ x ︱） >0 的解集是()A.{x ∣ -1 <x< 1} B.{x ∣x< 1} C.{ x ∣x <-1 或 x<1} D.{ x ∣ x<1 且 x ≠ -1}17、若不等式 x 2m( x6) 0 的解集为 x3 x 2 ，则 m=（）A ．２B ．－２C ．－１D ．１18、函数 y2x 的值域为区间（）x 21A ．［－２ , ２］B ．（－２ , ２）C ．［－１ , １］D ．（－１ , １）19、如果 a>b ， ab=1， 则 a2b 2 的取值范围为区间（ ）abA ． [2 2,)B ．[17,) C ．(3,) D ．(2,)617、不等式︱ 3x － 5︱ <8 的解集是 ____ ____.18、不等式 |5x+3|＞ 2 的解集是 _____ ___.19、不等式 |3-2x|-7≤0的解集是 ___________.20 、不等式 |6x- 1 |≤ 3的解集是 __________.2221、不等式 4 x- 3 (1) x - 4>0 的解集是.222、不等式 log 2 x < log 4 (3x + 4) 的解集是.二、不等式的简单应用23、已知关于 x 的不等式 x 2- ax+a ＞0 的解集为实数集R ，则 a 的取值范围是()A.(0,4)B.[2,+ ∞）C.[0,2 ）D.( - ∞ ,0)∪ (4,+ ∞ ) (98 年成人 )、函数 y =x.24 1 + x 2(x > 0)的值域是区间25、已知方程（ k+1）x=3k - 2 的解大于 1，那么常数 k 的取值范围是数集 {k ∣ }.三、不等式解答题26、解下列不等式：（1） ( x 6)(3x 15)0（2）23x 124 x2（3）( 1 )2 x25x 5124（5）∣ 5x- x2∣ >6 (7)4 x - 6x - 2×9x<032(9)x x1（ 4）lg( x2) lg( x 3)1 (6) x43x2(8) log1( x 2)log 1(3x 4)24 (10)x2x 22(11) log 2 (4 3x x 2 ) log 2 ( 4x 2)（ 12） 5x4 2x427、 k 取什么值时，关于 x 的方程（ k- 2） x 2- 2x+1=0 有： （ 1）两个不相等的实数根；（ 2）两个相等的实数根；（ 3）没有实数根 .28、设实数 a 使得方程 x 2+（ a- 1） x+1=0 有两个实根 x 1， x 2. (1) 求 a 的取值范围；11(2) 当 a 取何值时，22 取得最小值，并求出这个最小值 .x 1 x 2附：参考答案 (四 )1- 16ABBDCBBCABCACCAD 17.{ x1 x13} 18. { x x1或 x1}3519.{x ︱ - 2≤ x ≤ 5}1x121.{x ︱ x< - 2}22.{x ︱0<x< 4}23.A 20.{x ︱}1 ] 633124. (0,25.{x ︱ k1或k} 26.(1) {x ︱ - 5<x<4 或 x>6} (2) {x ︱ x> }226(3) {x ︱3 x 1 } (4){x ︱ 3<x<32(5) {x ︱ x< - 1 或 2<x<3 或 x>6} 2}9(6) {x ︱ x≥ - 1}(7) {x ︱ x> log22 }(8) {x ︱ - 1<x< 0}(9) {x ︱ x<0 或 1<x<3}3(10) {x ︱ - 2<x≤ - 1 或 2≤ x<3}27. (1)k<3 且 k≠ 2 (2)k=3(3)k>328.(1) a ≤- 1 或 a≥3 (2) a= - 1 或 3，最小值为 2.。
2.6 不等式的应用课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．[0，＋∞)∪(－∞，－4) B．[0，＋∞)
( A)
C．[－4，0]
D．[－4，＋∞)
【解析】 由题意知，方程判别式 Δ＝a2＋4a≥0，得 a≥0 或 a≤－4，
故选 A.
2．满足函数 f(x)＝ x－1＋ 1－x的取值是( C )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．{1}
10．某工厂要建一个长方体无盖水池，容积为 1600 立方米，深为 4 米，已知池底每平方米的造价为 40 元，池壁每平方米的造价为 20 元， 问怎样设计能使总造价最低？最低造价是多少？
(2)y＝225x＋720×x 180－360(x＞0) ≥2 225x×720×x 180－360＝2×15×360－360＝10 440. 当且仅当 225x＝723×x 180时，等号成立， 解得 x＝24 或 x＝－24(舍去)． 所以当 x＝24 时，ymin＝10 440. 答：当 x 为 24 米时，修建场地的总费用最小，最小总费用为 10 440 元．≥00，得xx≥ ≤11，即 x＝1，故选 C.
3．不等式 ax2＋5x＋b＞0 的解集为x|13＜x＜12，则 bx2＋ax－5＞0 的
解集是( C )
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|1＜x＜6}
C．{x|－5＜x＜－1} D．{x|1＜x＜5}
【解析】 由题意得 a＜0，利用根与系数的关系 x1＋x2＝－5a＝56⇒a＝ －6，x1x2＝16＝ba⇒b＝－1，∴ bx2＋ax－5＞0，即－x2－6x－5＞0， 化为 x2＋6x＋5＜0，解得－5＜x<－1，故选 C.
【融会贯通】 某商品提价 10%后要恢复原价，应由现价降价( A )
A．9%
职高数学一轮复习不等式
不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2011年浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1.则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 D ．不确定4．已知三个不等式：ab >0；bc －ad ＞0；c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2010届湖北八校联考)若a ＜b ＜0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A.1a ＞1b B.1a －b ＞1b C.－a ＞－b D ．|a |＞－b6．(2011年湖北黄冈质检)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－2，32B.⎝⎛⎦⎤－2，32 C.⎣⎡⎭⎫－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车______辆．9．a ＞0，b ＞0，求证⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2011年福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(x ≤0)，－x ＋2，(x ＞0)，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．(2011年湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)6．(2010年上海)不等式2－xx ＋4＞0的解集是__________．7．(2011年上海)不等式x ＋1x≤3的解为____________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，则有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0，其中正确的结论的序号是_________．9．已知不等式2x ＋1＞1的解集为A ，不等式x 2－(2＋a )x ＋2a ＜0的解集为B .(1)求集合A 及B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R 且t ≠1)．(1)求证：a ＜0，c ＞0；(2)求证：0≤ba<1.第3讲 算术平均数与几何平均数1．A 为两正数a ，b 的等差中项，G 为a ，b 正的等比中项，则ab 与AG 的大小关系为( )A ．ab ≤AGB ．ab ≥AGC ．ab >AGD ．ab <AG2．(2011年上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 3．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.144．(2011年重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．45．对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，则对于a ，b ∈R 且a ，b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界为( )A.12 B ．2 C.14D ．4 6．(2011年湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2· ⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 7．(2011年浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．8．(2011年湖北模拟)设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数．如图K5－3－1，C为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D .连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．图K5－3－19．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，求实数m 的取值范围．10．投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为W ＝kx ＋1x ＋1(x ≥0)，且知投入广告费1万元时，可销售2万件产品．预计此种产品年销售收入M (万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的150%与年广告费用50%的和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？第4讲 简单的线性规划1．(2011年天津)设变量x ，y ，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．42．(2011年浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．283．(2011届安徽淮南模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 24．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]5．(2011年湖北)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]6．(2011年福建)已知点O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]7．(2011年四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元8．(2010年北京)若点p(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点p在不等式2x＋y ＜3表示的平面区域内，则m＝_____________________________________.9．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表．若用甲、乙、丙三种食物分别为x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.甲乙丙维生素A(单位/千克)600700400维生素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)119 4(1)用x，y表示混合食物成本c元；(2)确定x，y，z的值，使成本最低．10．(2010年广东)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？第5讲不等式的应用1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大()A ．3B ．4C ．5D ．6 2．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t＋16，则该商场前t 天平均售出⎝⎛⎭⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．163．(2011年安徽)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1 4．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)6．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是______．7．(2011年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．8．汽车在匀速行驶过程中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油耗油量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v (单位：km/h)之间满足：g ＝11 600(v －40)2＋3(0<v <150)，若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最少(单位：L/km)，则汽油的使用率最高时，汽车速度是________km/h.9．迎世博，要设计如图K5－5－1的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小．图K5－5－110．(2011届深中、广雅、华附、省实四校联考)某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A m2的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用(总费用为建筑费用和征地费用之和)．。
22一元二次不等式-中职高考数学一轮复习(讲)
2.2一元二次不等式【考点梳理】1．区间取遍数轴上所有的值2．任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ；当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a ．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是a ＝0，b ＜0 ．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． (4)一元二次不等式的解：有两相等实根 考点一 一元二次不等式的解法【例题】（1）不等式2340x x --<的解集为（ ）A ．(,1)(4,)-∝-+∝B ．（－4，1）C ．（－1，4）D ．(,4)(1,)-∝-+∝【答案】C【解析】因为不等式2340x x --<可化为:(1)(4)0x x +-<，解得:14x -<<，所以解集为:(1,4)-，故选:C.（2）不等式240x -≤的解集是（ ）A ．(,5)-∞-B ．[)5,2--C ．[]22-,D ．()2,+∞【答案】C【解析】由240x -≤得()()220x x +-≤，解得22x -≤≤，即解集为[]22-,，故选：C. （3）不等式2230x x --+≤的解集是 .【答案】(][),31,-∞-+∞【解析】不等式可化为()()310x x -+-≤，则解集为(][),31,-∞-+∞，故答案为：(][),31,-∞-+∞.（4）已知关于x 的不等式220x mx n -+<的解集是()2,3，则m n +的值是（ ）A ．2-B ．2C ．22D ．22-【答案】C【解析】由题意得：2与3是方程220x mx n -+=的两个根，故232m +=，232n⨯=，所以101222m n +=+=，故选：C.（5）已知0a <，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是 .（用区间表示）【答案】()5,a a -【解析】因为22450x ax a --<，所以()()50x a x a -+<，又0a <，所以不等式22450x ax a --<的解集为()5,a a -，故答案为：()5,a a -.【变式】（1）不等式()()130x x ++<的解集是（ ）A ．RB ．∅C ．{31}x x -<<-∣D ．{3x x <-∣，或1}x >- 【答案】C【解析】由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}xx -<<-∣，故选：C. （2）不等式220x x ->的解集为A ．{|0}x x >B ．{|2}x x <C ．{|02}x x <<D ．{|0x x <或2x >}【答案】D【解析】不等式220x x ->，即()20x x ->，由函数零点及穿根法可知不等式的解集为0x <或2x >，即不等式220x x ->的解集为{|0x x <或2x >}，故选:D.（3）不等式(1)0x x ->的解集是 .【答案】0,1【解析】∵不等式(1)0x x ->可化为(1)0x x -<，解得：01x <<，∵该不等式的解集是0,1，故答案为：0,1．（4）不等式220x mx n ++>的解集是{3xx >∣或2}x <-，则m n +的值是（ ） A ．14 B ．0 C ．10- D ．14-【答案】D【解析】∵不等式2x 2+mx +n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜﹣2}，∴一元二次方程2x 2+mx +n ＝0的两个根为3，﹣2．由根与系数关系得232232m n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得：m ＝﹣2，n ＝﹣12．所以14m n +=-，故选：D ．（5）若01a <<，则不等式()10x a x a⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是（ ）A ．1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,,a a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,,a a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为01a <<，所以1a a <，则不等式解集为：1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A.考点二 一元二次不等式的应用【例题】（1）若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为 .【答案】－2，3【解析】不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别－2，3,故答案为：－2，3.（2）若关于x 的一元二次不等式23208x kx -+>对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为 .【答案】(【解析】由题意234208k ∆=-⨯⨯<，k <(．（3）若关于x 的一元二次不等式210x mx ++≤的解集为∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),22,-∞-+∞B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．[]22-,【答案】B【解析】由于关于x 的一元二次不等式210x mx ++≤的解集为∅，所以()()24220m m m ∆=-=+-<，解得22m -<<，所以实数m 的取值范围是()2,2-，故选：B.（4）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（ ） A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件x 元,利润为y ，则(8)[10010(10)]y x x =---，依题意,得(8)[10010(10)]320x x --->，即2281920x x -+<,解得1216x <<，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选:C.（5）关于x 的不等式20ax x b -+>的解集为{}|21x x -<<，则不等式210bx ax +-≤的解集为___________.【答案】1{|1}2x x -≤≤【解析】由题意可知方程20ax x b -+=的两根为2-，1，所以12121a b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1,2a b =-⎧⎨=⎩则不等式210bx ax +-≤即为2210x x --≤，其解集为：1{|1}2x x -≤≤，故答案为：1{|1}2x x -≤≤.【变式】（1）二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则y >0的解集为（ ）A ．{x |2<x <1}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <0或x >3} 【答案】B【解析】由题图知y >0的解集为{x |1<x <2}，故选B.（2）若关于x 的不等式2310x ax -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围是 .【答案】{|a a -≤≤【解析】由题意，得2120a ∆=-≤，所以a -≤≤a的取值范围是{|a a -≤.故答案为：{|a a -≤≤.（3）不等式2210kx kx ++>的解集为R ，则k 的取值范围是 .【答案】[)0,1【解析】∵当0k =时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为R ，符合题意；∵当0k ≠时，要使得不等式的解集为R ，则满足20,Δ(2)410k k k >⎧⎨=-⨯<⎩，解得01k <<；综上可得，实数k 的取值范围是[)0,1，故答案为：[)0,1.（4）已知20ax bx c ++<的解集为{|1x x <或3}x >，则不等式20cx bx a -+>的解集为______．【答案】11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】∵20ax bx c ++<的解集为{|1x x <或3}x >，∵1x =，或3x =是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，于是1313b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即43b a c a =-⎧⎨=⎩，于是22210,340,3410,13cx bx a ax ax a x x x -+>∴++>∴++<∴-<<-．因此不等式20cx bx a -+>的解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（5）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（ ） A ．11元B ．16元C ．12元到16元之间D ．13元到15元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件x 元,利润为y 元，则()()81001010y x x =---⎡⎤⎣⎦，由题意可得：()()81001010320x x --->⎡⎤⎣⎦，即2281920x x -+<， 所以()()12160x x --<，解得：1216x <<，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C.【方法总结】1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．3．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．4．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：。
高职数学复习题不等式
高职数学复习题：不等式一、单变量不等式1. 解以下不等式：2x + 3 > 5解：将不等式中的2x + 3 > 5移项，得到2x > 5 - 3，即2x > 2。
接下来将不等式除以2，得到x > 1，所以不等式的解集为x > 1。
2. 解以下不等式：4x - 2 ≤ 10解：将不等式中的4x - 2 ≤ 10移项，得到4x ≤ 10 + 2，即4x ≤ 12。
接下来将不等式除以4，得到x ≤ 3，所以不等式的解集为x ≤ 3。
3. 将不等式2x + 1 < 3x - 2转化为等价不等式。
解：将不等式2x + 1 < 3x - 2移项，得到1 + 2 < 3x - 2x，即3 < x。
所以不等式2x + 1 < 3x - 2的等价不等式为3 < x。
二、多变量不等式1. 解以下不等式组：{x + y ≥ 3, 2x - y < 4}解：首先将不等式组的第一个不等式x + y ≥ 3转化为等价不等式x ≥ 3 - y。
然后将该不等式代入到不等式组的第二个不等式，得到2(3 - y) - y < 4。
解这个不等式可以得到y > -2。
接下来将y的解代入到第一个不等式中，得到x + (-2) ≥ 3，即x ≥ 5。
所以不等式组{x + y ≥ 3, 2x - y < 4}的解集为{x ≥ 5, y > -2}。
2. 解以下不等式组：{2x + y > 6, x - y ≤ 2}解：首先将不等式组的第二个不等式x - y ≤ 2转化为等价不等式x ≤ 2 + y。
然后将该不等式代入到不等式组的第一个不等式，得到2(2 + y) + y > 6。
解这个不等式可以得到y > -1。
接下来将y的解代入到第二个不等式中，得到x - (-1) ≤ 2，即x ≤ 3。
所以不等式组{2x + y > 6, x - y ≤ 2}的解集为{x ≤ 3, y > -1}。
不等式知识点职高高三
不等式知识点职高高三不等式是高中数学中的重要知识点之一，也是高职高三数学难点中的一个重要内容。
掌握不等式的相关知识，对于考生提高数学成绩、应对高考具有重要意义。
下面将从不等式的基本定义、性质和解不等式的方法等几个方面来探讨不等式知识点。
一、基本定义不等式是数学中的一种关系式，用来比较两个数或者表达两个数之间的数量关系。
不等式的基本符号有"大于"和"小于"两种，分别用>和<表示。
当两个数之间满足大小关系时，就可以用不等式来表示。
二、性质1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
这个性质可以推广到多个数之间的关系，非常有用。
2. 不等式的加减性：如果a > b，那么a+c > b+c。
同样地，如果a > b，那么a-c > b-c。
通过这个性质，我们可以对不等式进行加减运算，简化形式，求得更简洁的解。
3. 不等式的乘除性：如果a > b，c > 0，那么ac > bc。
同样地，如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
这个性质可以帮助我们对不等式进行乘除运算，找到不等式的解集。
4. 不等式的倒置性：如果a > b，那么-b > -a。
这个性质告诉我们，对于不等式两边同时取负号，不等号方向需要倒置。
三、解不等式的方法1. 利用不等式性质简化问题：通过不等式的加减性、乘除性和倒置性，可以将不等式简化为更简单的形式，进而求解。
例如，对于不等式3x - 2 > 4x + 1，可以依次进行加2、减3、除-1的操作，得到x < -1，即可求得不等式的解集。
2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以通过画图来找到解。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 < 0，可以将不等式左边的二次函数图像画出来，找到函数图像位于x轴下方的部分，即可求得不等式的解集。
中职对口升学-高三数学第一轮复习：不等式的解法
得原不等式组的解集为
首先分别求绝对值不等式和一元二次不等式的解集,再求两个不
等式解集的交集.
同学们！再见！
知识点二 一元二次不等式的解法
2.一般一元二次不等式的解法
一元二次不等式
的解集可以联系二次函数
的
图像,图像在x 轴上方部分对应的横坐标x 值的集
合为不等式
的解集,图像在x 轴下
方部分对应的横坐标x 值的集合为不等式
的解集.
知识点二 一元二次不等式的解法
2.一般一元二次不等式的解法
如果一元二次方程
1
2
3
• 看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数.
①当Δ>0时,求出两根
且
• 写出相应的方程
计算判别式Δ.
(注意灵活运用因式分解法和配方法).
②当Δ=0时,求根
• 根据不等式,写出解集.
③当Δ<0时,方程无解.
考点三 含绝对值不等式的求解
1.绝对值的定义
代数意义
一个数的绝对值是非负数,即
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况见表2-1.
不等式组（a＜b）
图示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
空集
小小、大大找不到
知识点二 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
例如：
任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:
(3)利用不等式的性质:
(4)两边平方法:
典例解析
例1 一元一次不等式
解析
的解集是( ).
整理后为x >-3,因此选C.
中职对口升学-高三数学第一轮复习：不等式的基本性质及区间
解析
对于本题选项A ,若c = 0 ,则 ac = bc = 0 ,A选项不成立 ; 对于选项B和选项D ,可以通过特殊值来判断,令a=0,b=1,c=-2,d=-3,可排除选项B和D. 本题选项C正确.
技巧 点拨
解答此类题目,要注意不等式性质的正确应用,同时也 要考虑其他知识 另外也可用特殊值法来判断.
典例解析
例3 已知 的取值范围.
解析
对于a +b ,a b 的取值范围可直接利用不等式的同向可加性和同向可乘性求
得.对a - b 和 的取值范围,应先求出-b 和 的取值范围.
根据不等式的同向可加性可知8<a +b <13;根据不等式的同向可乘性可知
12<a b <30;
因为2<b <3,所以-3<-b <-2.
第一轮 复习
第一节 不等式的基本性质及区间
知识梳理 知识点一 不等式的基本性质
1.不等式的定义 表示不等关系的式子称为不等式，满足不等式的未知数的取 值的集合称为不等式的解集.
知识点一 不等式的基本性质
2.实数的大小比较基本性质
（1）作差比较法.对于任意两个实数a,b.
（2）作商比较法.对于任意两个实数a,b.
又因为6<a <10,所以6-3<a -b <10-2,即3<a -b <8.
又因为
所以
既
技巧 点拨
利用不等式的性质求取值范围时一定要熟练掌握不等式的性质,特别 是同向可加性和同向可乘性.
同学们！再见！
知识点一 不等式的基本性质
3.不等式的基本性质
性质1 性质2 性质3
如果a >b ,并且b >c ,那么a >c 如果a >b ,那么a +c >b +gt;b c ;如果a >b ,c <0,那么a c <b c
不等式复习课件(职高)
平方消元法
通过平方消去根号，将无理不等式转化为有 理不等式求解。
分母有理化法
通过分母有理化将无理不等式转化为有理不 等式求解。
复合函数单调性判断方法
导数判断法
求复合函数的导数，根据导 数的正负判断函数的单调性 。
定义判断法
根据复合函数的定义，结合 内外函数的单调性判断复合 函数的单调性。
图像判断法
公式法
利用一元二次方程的求根公式，求出不等式的解集。 Nhomakorabea因式分解法
将一元二次不等式因式分解，转化为两个一次不等式 的乘积，再分别求解。
判别式在解一元二次不等式中应用
判别式定义
一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式为Δ=b^2-4ac。
判别式在解一元二次不等式中的应用
当Δ>0时，一元二次不等式有两个不相等的实数解；当Δ=0时，一元二次不等式有两个相等的实数解 ，即一个重根；当Δ<0时，一元二次不等式无实数解。
04
分式不等式与无理
不等式
分式不等式解法
移项通分法
将分式不等式转化为整式不等式，通过移项和 通分的方式求解。
分离常数法
将分式不等式中的常数项分离出来，再对剩余 部分进行求解。
变量代换法
通过变量代换将分式不等式转化为易于求解的形式。
无理不等式解法
三角换元法
利用三角函数的性质，将无理不等式转化为 三角不等式求解。
THANKS.
02
线性规划问题的解 法
通过列出约束条件和目标函数， 构造可行域，然后在可行域内寻 找最优解。
03
线性规划问题的应 用
生产计划、资源分配、运输问题 等。
最值问题
最值问题的定义
2_第二章 不等式【浙江省高职(单考单招)数学第一轮复习课件PPT】
可加性
a>b⇔_a_＋__c_>_b_＋__c_
可乘性
a>b c>0
⇒_a_c_>_b_c
a>b c<0
⇒_a_c<__b_c
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意c的符号
同向可加性 同向同正可乘性
可乘方性
a>b c>d
⇒_a_＋__c_>_b_＋__d_
a>b>0 c>d>0
⇒_a_c_>_b_d_
a>b>0⇒ an>bn (n∈N，n≥1)
b x x
a
若a 0, b ≥ 0时，解集是；当a 0, b 0时,解集是R
2.一元一次不等式组（不妨设b>a）
1
x x
a b
2
x x
a b
ab
3
x
x
a b
a
b
a
b
4
xxຫໍສະໝຸດ a bab
组成不等式组的各个不等式的解的公共部分 就是不等式组的解. 注: 当它们没有公共部分时,则称这个不等式组 无解,即空集.
跟踪训练2 (1)若a，b，c∈R，给出下列命题：①若a>b，c>d，则a＋c>b
＋d；②若a>b，c>d，则b－c>a－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④a>b，
c>0，则ac>bc.其中正确命题的序号是
A.①②④
√ B.①④
C.①③④
D.②③
解析 ①∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故①正确； ②由①正确，可知②不正确； ③取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故③不正确； ④∵a>b，c>0，∴ac>bc.故④正确. 综上可知，只有①④正确.故选B.
(完整版)中等职业学校不等式一轮复习
一元一次不等式及不等式组的解法 一、课前知识储备：1、什么叫一元一次不等式？2、什么叫一元一次不等式组？3、不等式的解集可以用 和 来表示.二、例题讲解例1. 用区间记法表示下列不等式的解集：（1）5.83≤<-x （2）10≥x例2. 用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示：（1）[]12,4 （2）()8,∞-例3．利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1)4x ＋3＜3x （2）4－x ≥4(3） 2x －4≥0 （4）－31x ＋2＞5例4、 解不等式121532+-≥+x x 。
例5、 解不等式组⎩⎨⎧<+≤xx x x -9134-25-总结解一元一次不等式的步骤并归纳 三、探究训练：1、下列不等式一定成立的是（ ）A ．a a 34>B ．a a 2->-C ．x x -<-43D ．aa 23> 2．若a >b ,则下列不等式中正确的是（ ） （A) 0<-b a （B ）b a 55-<- (C ） 88-<+b a （D ） 44b a<3．在数轴上表示不等式x ≥2-的解集，正确的是（ ）（A ） (B ） （C ） （D)4．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为 （ ）（A ） x ≥1- (B)1>x （C ） 13-≤<-x （D ）3->x5．不等式2x －1＞5的解集为________________。
6．下列不等式求解的结果，正确的是 （ )（A ）不等式组⎩⎨⎧-≤-≤53x x 的解集是3-≤x (B)不等式组⎩⎨⎧-≥->45x x 的解集是5-≥x (C)不等式组⎩⎨⎧-<>75x x 无解 （D ）不等式组⎩⎨⎧->≤310x x 的解集是103≥≤-x 四、学以致用1、解不等式，并把解集表示在数轴上。
22不等式的基本性质和区间2023届高三中职数学一轮复习 课件(共20张ppt)
(3)乘法法则
若a=b,则ac=bc
探究新知:比较实数的大小
怎么比较实数的大小？
1.利用数轴
数轴上任意两点右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大
2.观察两个实数差的方法
一般的，对于任意的实数a和b,有
a b 0 a b
a b 0 a b
a b 0 a b
巩固新知
例1、比较下列两个数的大小
9
7
5
4
7 9 35 36
1
0
解：
4ห้องสมุดไป่ตู้5 20 20
20
7 9
所以
4 5
例2.已知实数 a>b，试比较 a+2 和b-1的大小.
解：
a b
a b 0
a 2 (b 1)
a 2 b 1
a b3 0
思考？
那么，对于以任意两个, ( < ሻ端点区间怎样表示？
定义
名称
符号
数轴表示
备注
{x 丨 a＜x＜b}
开区间
(a，b)
不包含线段的两个端点
{x 丨 a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
包含线段的两个端点
{x 丨 a＜x≤b}
左开右闭区间
(a，b]
包含右端点，不包含左端点
{x 丨 a≤x＜b}
左闭右开区间
2.1不等式的性质
1.比较实数大小的方法
2.不等式的基本性质
1、观察下面的式子，回答什么叫不等式
3x 5
a 4 b3
a2 1 0
用“>,<,≥,≤,≠”表示大小关系的式子叫做不等式
考点9不等式的应用课件-2021年浙江中职升学数学一轮复习
典例剖析
【变式训练2】 园林工人计划使用可以做出20米栅栏的材料， 在靠墙的位置围出一块矩形的花圃，要使得花圃的面积不小 于42平方米，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
解：设栅栏长x m，则宽 20 x m,
2
x· 20 ≥x42 x（20－x）≥84 6≤x≤14.
2
答：与墙平行的栅栏长度在6 m与14 m之间.
典例剖析
【例4】 某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管 理费共计9千元，这种生产设备各年的维修费为：第一年2千 元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量增加. 问:这种生产设备使用多少年报废最划算？（即使用多少年的 平均费用最少？）
解：设使用x年的平均费用为y万元.
y=
10
0.9x
5.在一次知识竞赛中，有10道抢答题，答对一题得10分，答错 一题扣5分，不答得0分.小玲有一道题没有答，成绩仍然不低 于60分，她至少答对几题？
解：设小玲答对x题，10x－5×（9－x）≥60 x≥7, 答：小玲至少答对7题.
基础过关
6.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与货价p元/件 之间的关系为p=160－2x，生产x件所需成本为c=500+30x 元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？
才能在规定的时间内超额完成任务？
解：设以后每天至少加工x个零件，则 24×3+x·（15－3）>408 x>28. 答：以后每天至少加工29个零件，才能超额完成.
典例剖析
【例2】 某酒店有200张床位，若以50元/床的单价出租， 则可全部租出.每提高10元/床的标准，则出租的床位数就会 减少10张，现该酒店每晚收入需超过15000元，则床位出租 的价格应定在什么范围内？
2.3 一元一次不等式(组)与绝对值不等式课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
C．(－4，1)
D．R
【解析】 x＋3＜4 解得 x＜1，x＋3>－1 解得 x＞－4，故该不等式组
的解集为(－4，1)．
8．不等式－1<1－2x<3的解集是( C )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(－1，1)
D．(2，4)
【解析】 －1<1－2x<3⇒－2<－2x<2⇒1>x>－1，则解集为(－1，
3．不等式|3x|≤－6的解集是( D )
A．(－∞，－2)
B．(－2，＋∞)
C．(－2，2)
D．∅
【解析】 因为对任意实数x，都有|x|≥0，所以不等式|3x|≤－6的解集
是∅，故选D.
4．不等式|3x|＞0的解集是( D )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．R
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B.－∞，－52∪52，＋∞
C.－52，25
D.－∞，－25∪25，＋∞
【解析】 由 5|x|＜2 得|x|＜25，所以－25＜x＜25，故选 C.
2．有下列句子：
① 由－x2＞5，得 x＞－10；② 由 7－2x≤1，得 x≤－3；
③ 由 3x－1≤5，得 x≤2；④ 由 1－2x＞2，得 x＜－12.
【融会贯通】 不等式|x－3|＜2 的解集是___{x_|_1_＜__x_＜__5_}_或__(1_，___5_) ____． 【解析】 原不等式可化为－2＜x－3＜2，解得1＜x＜5，所以原不 等式的解集是{x|1＜x＜5}或(1，5)．
例5 设关于x的不等式|x－a|＜1的解集为(b，3)，求a－b的值．
中职高考数学一轮复习讲练测专题2-1 不等式的基本性质及区间(讲)解析版
专题2.1 不等式的基本性质及区间【考纲要求】1．了解不等式的性质．2．理解区间的含义。
3．掌握一元一次不等式、一元二次不等式、及含绝对值不等式(如：|a x+b|<c)的解法)，在此基础上，会解其它的一些简单的不等式.4.能够利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题【考向预测】1.不等式性质的应用2.集合的区间表示【知识清单】1.实数的大小与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.比较大小的常用方法作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．3.不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__；(3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d；(4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0⇒a n_>__b n(n∈N，n≥2)；(6)可开方性：a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)．4. 区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a＜b，规定如下：(2)特殊区间的表示．考点一 比较实数的大小例1．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥b D ．a ≤b【答案】C【解析】 a －b ＝3x 2－x ＋1－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a －b ≥0即a ≥b ，故选C ． 例2．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是__ _． 【答案】x ＜y【变式探究】1 ．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．与x 有关 【答案】A【解析】 M －N ＝x2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0，故M ＞N ．2．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2＞2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2＜2xy －1 D ．x 2＋y 2≤2xy －1 【答案】A【解析】 x2＋y2－(2xy －1) ＝x2－2xy ＋y2＋1 ＝(x －y)2＋1＞0，∴x2＋y2＞2xy －1，故选A ．3．已知两实数a ＝－2x 2＋2x －10，b ＝－x 2＋3x －9，a ，b 分别对应数轴上两点A ，B ，则点A 在点B 的 (填“左边”或“右边”)．【答案】 左边【解析】 ∵a －b ＝－2x2＋2x －10－(－x2＋3x －9)＝－2x2＋2x －10＋x2－3x ＋9 ＝－x2－x －1＝－(x ＋12)2－34＜0，∴a ＜b ，∴点A 在点B 的左边． [归纳提升]比较大小的方法作差法的依据：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b ． 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．考点二 不等式性质的应用例1．(1)若a ＜b ＜0，则下列结论正确的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．1a ＞1bD ．ac 2＞bc 2(2)若1a ＜1b ＜0，有下面四个不等式：①|a |＞|b |，②a ＜b ，③a ＋b ＜ab ，④a 3＞b 3，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】（1）C （2）C【分析】 (1)通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误． (2)利用性质进行变形、并判断．【解析】 (1)若a ＜b ＜0，对于A 选项，当a ＝－2，b ＝－1时，不成立；对于B 选项，等价于a ＞b ，故不成立；对于C 选项，1b ＜1a＜0，故选项正确；对于D 选项，当c ＝0时，不正确．(2)由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a3＞b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式探究】1．(2021·湖北省黄石一中检测)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞bcB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d【答案】B【解析】 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0．2．给定下列命题：①0＞a ＞b ⇒a 2＞b 2；②a 2＞b 2⇒a ＞b ＞0；③a ＞b ⇒ba ＜1；④a ＞b ⇒a 3＞b 3．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】 对于①，由0＞a ＞b 可知，0＜－a ＜－b ，则由性质7可知，(－b)2＞(－a)2，即b2＞a2，故①错误；对于②，性质7不具有可逆性，故②错误；对于③，只有当a ＞0且a ＞b 时，ba ＜1才成立，故③错误；对于④，因为a ＞b ，所以a －b ＞0，所以a3－b3＝(a －b)(a2＋ab ＋b2)＝(a －b)[(a ＋b 2)2＋3b24]＞0，故a3＞b3，④正确． 考点三 区间的应用例1. 已知集合(,2)A =-∞，集合(,4]B =-∞，求AB ，A B ．【解析】观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 （1）(,4]AB B =-∞=；（2）(,2)A B A =-∞=． 例2. 设全集为R ，集合(0,3]A =，集合(2,)B =+∞， （1）求A ，B ；（2）求AB ．【解析】 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 (1) (,0](3,)A =-∞+∞,(,2]B =-∞；(2) (0,2]A B =．【变式探究】集合A=2|3100}x x x +-≤｛用区间表示为 . 【答案】[-5,2]。
考点4不等式的概念与性质课件-2021年浙江省中职升学数学一轮复习
a b
>1
___a_>_b____;
a b
=1
__a_=_b_____;
a <1 __a_<_b____.
b
知识要点
3.基本不等式
（1）若a，b R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）. （2）若a，b ____R_+____，则a+b≥2 ab （当且仅当 _（__变a_=_式b__）__若时a等，号b 成立__）__R.__+___，则ab≤___(_a_2_b_)_2_（当且仅当
3．若x∈R，下列不等式一定成立的是( B )
A. x < x B．5－x>2－x C．x2>0 D．(x＋1)2>x2＋x＋1
4.当a5<b2<0时，a+b____<_____0，a
b
____>_____0，1a
1
_____>____ b
.
5.若1<x<2，则（x－1）（x－2）____<_____0.
目标检测
5.若0<a<b<1，c>1，则( C )
A．ac>bc B．ac>bc
C. c > c
ab
D. a > b
cc
【提示】 代入特殊值a＝ 1 ，b＝ 1 ，c＝2.
4
2
6．设x，y∈R，则“x≥1，y≥2”是“x＋y≥3”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．用作差比较法来比较两个代数式的大小，其一般步骤 是：作差——变形——判断符号——得出结论，这样把两个 数的大小问题转化为判断它们差的符号问题．
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不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2011年浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1.则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 D ．不确定4．已知三个不等式：ab >0；bc －ad ＞0；c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2010届湖北八校联考)若a ＜b ＜0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A.1a ＞1b B.1a －b ＞1b C.－a ＞－b D ．|a |＞－b6．(2011年湖北黄冈质检)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－2，32B.⎝⎛⎦⎤－2，32 C.⎣⎡⎭⎫－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车______辆．9．a ＞0，b ＞0，求证⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2011年福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(x ≤0)，－x ＋2，(x ＞0)，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．(2011年湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)6．(2010年上海)不等式2－xx ＋4＞0的解集是__________．7．(2011年上海)不等式x ＋1x≤3的解为____________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，则有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0，其中正确的结论的序号是_________．9．已知不等式2x ＋1＞1的解集为A ，不等式x 2－(2＋a )x ＋2a ＜0的解集为B .(1)求集合A 及B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R 且t ≠1)．(1)求证：a ＜0，c ＞0；(2)求证：0≤ba<1.第3讲 算术平均数与几何平均数1．A 为两正数a ，b 的等差中项，G 为a ，b 正的等比中项，则ab 与AG 的大小关系为( )A ．ab ≤AGB ．ab ≥AGC ．ab >AGD ．ab <AG2．(2011年上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 3．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.144．(2011年重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．45．对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，则对于a ，b ∈R 且a ，b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界为( )A.12 B ．2 C.14D ．4 6．(2011年湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2· ⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 7．(2011年浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．8．(2011年湖北模拟)设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数．如图K5－3－1，C为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D .连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．图K5－3－19．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，求实数m 的取值范围．10．投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需投入18万元，又知年销量W (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为W ＝kx ＋1x ＋1(x ≥0)，且知投入广告费1万元时，可销售2万件产品．预计此种产品年销售收入M (万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的150%与年广告费用50%的和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？第4讲 简单的线性规划1．(2011年天津)设变量x ，y ，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．42．(2011年浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．283．(2011届安徽淮南模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 24．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]5．(2011年湖北)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]6．(2011年福建)已知点O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]7．(2011年四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元8．(2010年北京)若点p (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点p 在不等式2x ＋y＜3表示的平面区域内，则m ＝_____________________________________.9．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表．若用甲、乙、丙三种食物分别为x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和(1)用x ，y (2)确定x ，y ，z 的值，使成本最低． 10．(2010年广东)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6 2．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0＜t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t＋16，则该商场前t 天平均售出⎝⎛⎭⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．163．(2011年安徽)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1 4．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)6．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是______．7．(2011年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．8．汽车在匀速行驶过程中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油耗油量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v (单位：km/h)之间满足：g ＝11 600(v －40)2＋3(0<v <150)，若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最少(单位：L/km)，则汽油的使用率最高时，汽车速度是________km/h.9．迎世博，要设计如图K5－5－1的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小．图K5－5－110．(2011届深中、广雅、华附、省实四校联考)某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A m2的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用(总费用为建筑费用和征地费用之和)．。