用数轴标根法巧解不等式(组)
数轴标根法求解一元二次不等式步骤详解
数轴标根法求解一元二次不等式步骤详解数轴标根法是一种直观且实用的方法，用于求解一元二次不等式。
这种方法主要基于一元二次方程的根与不等式解集之间的关系。
以下是将数轴标根法应用于一元二次不等式求解的详细步骤：1. 解一元二次方程首先，你需要解出对应的一元二次方程 ax 2+bx +c =0（其中 a ≠0）的根。
这可以通过求根公式 x =−b±√b 2−4ac 2a 来完成。
记得到的根为 x 1,x 2（注意，有时可能只有一个实根，即重根，或者没有实数根，但在这里我们主要关注有实数根的情况）。
2. 将根标在数轴上然后，将求解得到的根 x 1,x 2（从小到大）标在数轴上。
如果只有一个实根（即重根），则在该位置只标一个点。
3. 判断不等式的符号和开口方向根据不等式的符号（是“>”还是“<”）和二次项系数 a 的符号（决定函数图像的开口方向），你可以确定不等式的解集是在数轴上哪些区间内。
● 如果 a >0，则二次函数图像开口向上。
对于不等式 ax 2+bx +c >0，解集是两根之外的区间；对于不等式 ax 2+bx +c <0，解集是两根之间的区间（如果根存在且不相等）。
● 如果 a <0，则二次函数图像开口向下。
对于不等式 ax 2+bx +c >0，解集是两根之间的区间；对于不等式 ax 2+bx +c <0，解集是两根之外的区间（同样，假设根存在且不相等）。
4. 确定解集最后，根据数轴上的根的位置和二次函数的开口方向，你可以确定满足不等式的x的取值范围，即解集。
示例考虑不等式x2−4x+3<0。
1.解方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。
2.将根x1=1和x2=3标在数轴上。
3.因为a=1>0，所以二次函数开口向上。
4.由于不等式是“<”号，我们需要找到使函数值小于0的x的取值范围。
5.根据二次函数的开口方向和根的位置，我们可以确定解集是两根之间的区间，即1<x<3。
数轴标根法在解不等式与函数题中的应用
数轴标根法又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”，是把各个因式的根标在数轴上，形成若干个区间，用一根线从右上方依次穿过每一个根所对应的点，直至穿过最后一个点后就不再变方向的方法.数轴标根法不仅适用于求解高次不等式的解集，而且在求函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点时发挥着巨大的作用.下面我们结合实例谈一谈数轴标根法在解高中数学题中的应用.一、解不等式若一个高次不等式可分解成若干个一次因式的积，如k (x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )（其中k >0）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，用一根线从右往左穿过，进而根据图形求出不等式的解集.设f (x )=k (x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )（其中k >0），当f ()x <0时，数轴的下方有弧的开区间就是不等式的解集；当f ()x >0时，数轴的上方有弧的开区间就是不等式的解集；当f ()x ≤0或f ()x ≥0时，需加上零点.例1.解不等式x ()x -2x +2≤0.图1解：将不等式变形可得x (x -2)(x +2)≤0，令x (x -2)(x +2)=0，则x =0或2或-2，在数轴上依次标注各个零点，如图1所示，则不等式的解集为x <-2或0<x <2.用数轴标根法解不等式，需先将不等式变形为k (x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )≥0或≤0（其中k >0）的形式，然后借助数轴来解题.二、求函数的单调区间和极值运用数轴标根法求函数的单调区间和极值，需对函数求导，然后令导数f '()x =0，求出其零点，在数轴上标注各个零点，用一根线穿过数轴，进而根据图形求得函数的单调区间和极值.一般地，位于数轴的上方有弧的开区间即为函数的单调递增区间；位于数轴的下方有弧的开区间即为函数的单调递减区间.而从函数的单调递增区间过渡到函数的单调递减区间的零点，且这个零点有定义，这个点就是极大值点；从函数的单调递减区间过渡到函数的单调递增区间的零点，且这个零点有定义，这个点就是极小值点.例2.求函数y =x 4-8x 2+2的单调区间和极值.解：对函数y =f ()x 求导可得f '()x =4x 3-16x =4x ()x +2()x -2，其零点为0,2，-2，将其在数轴上标注出来，如图2所示.则该函数的单增区间是()-2,0和()2,+∞；该函数的单减区间是()-∞,-2和()0,2；当x =0时，函数有极大值，y 极大=2；当x =±2时，函数有极小值，y 极小=2.图2一般地，在函数所有满足条件的极大值和端点值中，最大者为函数的最大值；在所有的极小值点和端点值中，最小者为函数的最小值.三、求函数的凹凸区间和拐点解答此类问题，第一步需求出函数的二阶导数，并求得f ''()x =0的零点，将其标注在数轴上，那么位于数轴的上方有弧的开区间就是函数的单调凹区间；位于数轴的下方有弧的开区间即为函数的单调凸区间；曲线穿过数轴并且有定义的点，就是该函数的拐点.例3.求函数y =ln ()1+x 2的凹凸区间和拐点.解：对函数求导可得f '()x =2x1+x 2，则f ''()x =2()1+x 2-2x ∙2x ()1+x 22=2()1-x ()1+x ()1+x 22，则函数的二阶导数的零点为1和-1，由图3可知该函数的凹区间为()-1,1；凸区间为()-∞,1和()1,+∞；拐点为()-1,ln 2，()1,ln 2.图3可见，运用数轴标根法求函数的凹凸区间和拐点非常简单、直接，这个方法比常规方法要简单很多.数轴标根法可以帮助同学们高效解答高次不等式的解集、函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点等问题，且解法非常简单.值得注意的是，数轴标根法只适用于解答二次或者二次以上的不等式、函数问题.（作者单位：江苏省丰县民族中学）马培养46。
数轴标根法解不等式中诸多问题的解释
数轴标根法解不等式中诸多疑问的解释摘要：数轴标根法是解不等式常用的一种方法，并且是解不等式的一种通用方法，但在用它解不等式的过程中，学生存在着很多的疑问，这些疑问的解释过程麻烦且不易说清楚，如果疑问不解决，就要影响学生用这种方法解不等式的可信度。
关键词：数轴标根，疑问，解释，图象分布。
正文：数轴标根法解不等式是解不等式非常实用的一种方法，它既可快速的求解高次不等式，也可解像一元一次不等式、一元二次不等式这样的低次不等式，可以说是求解不等式的一种通用方法。
在高中阶段，学习不等式的内容时，几乎所有的老师们都要向学生介绍这种方法，这种方法经学生解不等式的实践证明，它的确是一种快速有效的方法，特别是在解高次不等式时，它避免了那种分类、转化为不等式组求解的繁琐过程，能简洁、明快、直观地求出不等式的解集，所以在解不等式时它也是首先受到学生青睐的一种方法。
1．问题的提出：现在大多数老师在向学生介绍用数轴标根的方法解不等式时，往往直接告诉学生在解不等式的过程中如何进行具体操作，而不告诉学生为什么这样做的理由，特别是年轻老师，这样在利用这种方法解不等式的过种中，难免会在学生心中产生疑问，下面举例说明：1.1例1：解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是1-、1、3。
在数轴上把它们标出（如图1）。
3）从最大根3的右上方开始，向左依次穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。
4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。
∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,21(+∞-。
数轴标根法
用数轴标根法”来解可分解的高次不等式或分式不等式具体方法步骤如下：①将不等式等价化为X—X i X—X2…X—X n ・0C：0）形式，并将各因式X的系数化“ +”为了统一方便）；②求出对应方程X-X i X-X2…X-X n =0的根（或称零点），并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意奇穿偶不穿”（奇穿偶不穿”是指当左侧f（x有因式（x—X i）n时，n为奇数时，曲线在X i点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在X i点处不穿过数轴）；④若不等式（X的系数化“ +后）是“ 0”则找线”在x轴上方的区间；若不等式是“:0”则找线”在X轴下方的区间。
例1解不等式（X .4）（x_i）：：:0 由标根法知一4VXV1例2、解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)乞0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2乞0；②求得相应方程的根为：-2 (偶次根)，-1, 3;③在数轴上表示各根并穿线，如图：④.••原不等式的解集是{x|-1 *3或x=-2}.说明：注意不等式若带“二”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“二”的条件，不能漏掉.例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1 , 2, 3 (注意：2是偶次根，3 是奇次根)；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始),如下图：④.••原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.6例4解不等式(1 x)(x 3)- o1 —X.所以-lvxv-3 或—3<x<1例4解不等式X2-3X—40x(x-2I X + 3)解析：先将原不等式等价化为不等式x2 - 3x - 4 x x - 2 x 3 0且x -3, x = 0, x = 2 ,即x x -2 x 3 x 1 x - 4 :: 0且x = 一3, x = 0,x = 2，用数轴标根法”二原不等式的解是- ：：,-3 '-1,0 2,4】【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.。
灵活运用数轴解决不等式
灵活运用数轴解决不等式数轴在解决不等式问题中起着重要的作用。
通过将不等式转化为数轴上的图像，我们可以直观地理解不等式的解集，并且能够更加灵活地处理复杂的不等式问题。
本文将介绍一些常见的数轴解不等式的方法，并通过实例加深理解。
首先，我们来看一个简单的例子：求解不等式2x + 3 > 7。
我们可以通过数轴上的图像来解决这个问题。
首先，将数轴上的原点对应到不等式中的x，然后在数轴上标出不等式中的常数项，即3和7。
接下来，我们需要确定不等式的符号。
由于不等式中的系数是正数，所以不等式的符号为大于号。
然后，我们将数轴分成两个部分，一个是大于7的部分，一个是小于7的部分。
最后，我们需要确定不等式的解集。
根据数轴上的图像，我们可以看出不等式的解集为x > 2。
接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
这个不等式是一个二次函数的不等式，我们可以通过数轴上的图像来解决这个问题。
首先，我们需要将不等式转化为二次函数的图像。
通过求解方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以得到二次函数的零点为x = 1和x = 3。
然后，我们可以画出二次函数的图像，并标出零点。
接下来，我们需要确定不等式的符号。
由于不等式中的系数是正数，所以不等式的符号为大于号。
然后，我们将数轴分成三个部分，一个是大于3的部分，一个是小于1的部分，一个是位于1和3之间的部分。
最后，我们需要确定不等式的解集。
根据数轴上的图像，我们可以看出不等式的解集为x < 1或x > 3。
除了基本的数轴解不等式的方法外，我们还可以通过数轴上的图像来解决一些复杂的不等式问题。
例如，求解不等式|x - 2| < 3。
这个不等式中包含了绝对值，我们可以通过数轴上的图像来解决这个问题。
首先，我们需要将不等式转化为两个不等式：x - 2 < 3和x - 2 > -3。
然后，我们可以画出两个不等式的图像，并标出对应的常数项。
第4讲------不等式的解法
第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。
一元二次不等式数轴穿根法
一元二次不等式数轴穿根法一元二次不等式，这听起来像个让人抓狂的数学概念，它就像那种初恋的心情，复杂却又充满期待。
咱们今天就来聊聊这玩意儿，别紧张，听我慢慢道来。
不等式的“穿根法”就像是寻找宝藏的冒险，咱们要在数轴上找到那些“根”。
想象一下，你站在一条宽广的数轴上，左边是负无穷，右边是正无穷，中间那条线就像是你的人生，充满了未知。
当我们有了一个一元二次不等式，比如说 ( ax^2 + bx + c < 0 )，这可不是一件简单的事儿。
你得找到这个不等式对应的方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的根。
根就像是你在游戏里找到的两个关键道具，没有它们，你就没法往下走。
一般来说，求根的方法多着呢，最常用的就是求根公式，虽然看上去有点复杂，但其实也不难。
你只要记住那神奇的公式 ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )，就能得到两个根，真是个神奇的公式，对吧？然后，我们来看看这些根在数轴上的表现。
根把数轴分成了几个区域，每个区域就像是不同的派对，热闹得很。
你要做的就是确定哪些区域能让你的不等式成立。
比如，假设你的两个根是 ( r_1 ) 和 ( r_2 )，那么数轴被分成了三部分：左边的 ( (infty, r_1) )，中间的 ( (r_1, r_2) )，和右边的 ( (r_2, +infty) )。
每个部分都有可能是解的区域，也都有可能不是。
咱们就要进行“试水”了，选择每个区域里的一个点代入原不等式，看看哪个区域符合要求。
这个过程就像在选菜，尝一尝，觉得不错的就放进购物车。
比如，你在 ( (infty, r_1) ) 这个区域随便挑一个点，比如说 ( x = r_1 1 )，代入不等式，看看结果。
如果这个结果小于零，恭喜你，这个区域就可以了。
然后继续到中间的区域和右边的区域重复这个动作。
你就能找出哪些区域是符合不等式的，真是简单又有趣。
有的时候，遇到那些特殊情况，比如说判别式 ( b^2 4ac = 0 )，这时候根就重合了，数轴上的情况就变得特别。
高中数学不等式与不等式组的解法
高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式主要问题包括：大小比较(方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法);证明题(比较法，反证法，换元法，综合法…);恒成立问题(判别式法，分离参数法…)等，下面是店铺为大家精心推荐不等式与不等式组的解法，希望能够对您有所帮助。
不等式与不等式组的数轴穿根解法数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
做法：1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;⒊画数轴,并把根所在的点标上去;⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：x(x+2)(x-1)(x-3)>0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根x=0，x=1，x=-2，x=3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。
数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法
数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法第一篇：数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法一、数轴标根法解不等式例1.解下列不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02.（x-1）（x-2）(x+3)<03.（1-x）（x-2）(x+1)≤04.（x-1）2（x-2）3(x+1)≥0用穿根法解的步骤如下：（1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2)m2…(x-xn)mn >0（或<0），mi∈N*(i=1,2,…,n)（2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。
（3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。
遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶不穿”。
（4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。
二．分式不等式思考（1）x-3x-2>0与(x-3)(x-2)>0解集是否相同，为什么？（2）x-3x-2≥0与(x-3)(x-2)≥0解集是否相同，为什么？解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。
方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）f(x)>0⇔f(x)⋅g(x)>0（2）f(x)≥0⇔⎪⎧f(x)⋅g(x)≥0gx gx⎨⎪⎩g(x)≠0例2.解下列不等式1.x-3≥02.12-xx≤13.2x-1x+3>14.x2-3x+2x-2x-3≤05.x(x-3)129-x2≤06.0<x-x<1三、含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)⇔________________|x|0)⇔________________例3:解下列不等式1.2x-≤32.x-(x+1)≥03.|x2-2x|>x 2.4.x-(x+1)>0巩固练习1.解不等式2x2+3x+13x+13x2-7x+2>02.解不等式3-x>-13.不等式2x-12x-1的解集是x>x.（2012 山东理）若不等式kx-4≤2的解集为{x≤x≤3}，则实数k=__________.5.解不等式（2x-1）2（x-2）3(x+1)≥06.解不等式（3-x）2（x-2）(x+1)7≤046第二篇：分式和绝对值不等式的解法（一）分式不等式：f(x)f(x)为整式且ϕ（x）的不等式称为分式不等式。
中考数学复习技巧如何利用数轴解决不等式题
中考数学复习技巧如何利用数轴解决不等式题数轴是数学中常用的图形工具，能够直观地表示数的大小和相对位置关系。
在中考复习中，掌握如何利用数轴解决不等式题是非常重要的。
本文将介绍如何运用数轴解决不等式问题，并给出相关的技巧和实例。
一、数轴的基本概念数轴是一条直线，上面的每一个点都与一个实数对应。
数轴通常由两个端点和一个原点组成，端点表示数轴上的最大值和最小值，原点表示0。
我们可以通过在数轴上标点的方式表示实数的大小和相对位置。
二、数轴上的标点表示1. 对于不带变量的不等式，我们可以直接在数轴上标出相应的点。
例如，在数轴上表示x > 3，我们可以在点3的右边画一个封闭的小圆点，表示x的取值范围为大于3的实数。
如果不等式是x < -2，则在点-2的左边画一个开放的小圆点，表示x的取值范围为小于-2的实数。
2. 对于带变量的不等式，我们需要用代数方式来表达和解决。
首先，将不等式转化为以变量为中心的数轴，通过把不等式中的变量移到一边，将不等式化简为一个小于或大于0的表达式。
然后，根据表达式的符号确定数轴上的区间，并在相应的区间上标注点。
三、数轴解决不等式问题的技巧1. 利用数轴解决不等式问题的关键是要理解不等式的含义，搞清楚应该在数轴上标注哪些点。
根据不等式中的关系符号，判断是在相应点上画封闭的小圆点还是开放的小圆点。
同时，要注意区间的开闭性，根据不等式中的等号判断区间是开区间还是闭区间。
2. 定义好数轴上的符号，例如正方向和负方向，可以简化问题的求解过程。
比如，对于x > 3，将3设为原点，表示正方向为大于3的实数，可使问题更加直观。
3. 多练习不等式题目，并重点掌握数轴图形与不等式之间的转换关系。
通过不断的练习，熟悉不同类型的不等式题目，提高解题的准确性和速度。
四、实例分析以下是一些常见的不等式题目及其解答过程，通过数轴解决这些问题。
例1：解不等式2x - 5 ≥ 7。
首先将不等式化简为2x - 5 - 7 ≥ 0，得到2x - 12 ≥ 0。
数轴穿根法导数
数轴穿根法导数数轴穿根法是一种解决不等式问题的方法，其基本思想是利用数轴上的点来表示不等式的解集。
对于一元二次不等式，我们可以使用数轴穿根法来求解。
首先，我们需要找到不等式的根，即解方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个解 x1 和 x2。
然后，我们将这两个根在数轴上标出，并使用穿根法来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 找到不等式的根 x1 和 x2。
2. 在数轴上标出这两个根，并将数轴分为三个区间：x < x1、x1 < x < x2 和 x > x2。
3. 根据不等式的符号变化情况，确定不等式的解集。
如果 a > 0，则当 x < x1 时，f(x) > 0；当 x1 < x < x2 时，f(x) < 0；当 x > x2 时，f(x) > 0。
如果 a < 0，则当 x < x1 时，f(x) < 0；当 x1 < x < x2 时，f(x) > 0；当 x > x2 时，f(x) < 0。
4. 根据以上情况，我们可以得出不等式的解集为 (x | x < x1) ∪ (x | x > x2)。
对于导数问题，我们可以使用数轴穿根法来求解函数的单调性。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数 f'(x)。
2. 找到导数的零点，即解方程 f'(x) = 0 的解。
3. 在数轴上标出这些零点，并将数轴分为若干个区间。
4. 在每个区间上判断 f'(x) 的符号，确定函数的单调性。
如果 f'(x) > 0，则函数在该区间上单调递增；如果 f'(x) < 0，则函数在该区间上单调递减。
5. 根据以上情况，我们可以得出函数的单调性结论。
高次不等式解法-标根法.ppt
2、解不等式
x1 x2
0.
尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：
x10 (1)或
x10
(2)
x20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}.
总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
例四： （x+2)(x+1)2 (x 1)3(x 3) 0
例二： (x2 4)(x2 12x 36) 0
二、高次不等式的解法：
(请说说利用数轴标根法的步骤) 1、找根；2、画轴；3、标根； 4、画波浪曲线；5、看图得解。
注意的两点： 1：从右向左画； 2：遇奇穿过，遇偶折回（这里的奇偶是什么？）
0 例一 解不等式
x2 3x2 x2 2x3
解：原不等式转化为
0. (x1)(x2)
-1
( x3)(x1)
1
2
3
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相
同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：
{x︳-1<x<1或2<x<3}.
为{x x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为{x x 2或x 1}
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
数轴标根法解不等式
０
正区间
负区间１ ２ ３ ４ x
函数f(x)＝（x+1)(x-2)的正负草图
联想：
形如：“（ax+1)(bx-2)＞０”(a,b ＞０)这种不等式
的标准形式，不等号的左边如果是3个因式或4个因式 积
的形式，那么函数 f(x)的正负草图从右至左，自上而下有什 么变化规律？
如：(x+4)(x+2)(2x-1)(x-3) ＜0
{x | x＜-1或x＞2 }
-2 1 ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9
2 4
-3
将上例中的图象隐去 y 轴，用数轴代替 x 轴得：
-4 -3 -2 -1
０ １ ２ ３ ４x
正区间 -4 -3 -2 -1
０
正区间
负区间１ ２ ３ ４ x
函数f(x)=(x+1)(x-2)的正负草图
观察不等式（x+1) (x-2) ＞０ 方程( x +1) (x-2) = 0的根及数
引例： 解不等式 x 2 － x ＞ ２
方法一：因式分解法 方法二：图象法。
（图象法）解不等式 x2 x ＞２ y 2
解：原不等式化为标准形式为：
x2x2 ＞０
即（x + 1)(x – 2) ＞0 -2
由二次函数f(x) = (x + 1)( x - 2)
1
-1 ０ １ ２ x -1
的图象(如右图）可得原不等式的解 集为：
轴，回答下面三个问题：
⑴、 方程的两根将数轴分为几段，分别用区间怎么表示？
⑵ 、讨论：每个区间的取值代入不等式中，不等式取值
的变化？
⑶ 、从右至左，自上而下，不等式的取值有什么变化规 律？
数轴标根法解不等式与解含参不等式
不等式阅读材料一、数轴标根法是解不等式的重要方法，具体做法是：⑴先将不等式化成f(x)＞0或f(x)＜0的形式（最好让最高次数的系数为正）；⑵把方程0)(=x f 中的f(x)分解为若干个一次因式（要保证每个一次因式的一次项的系数为正）的积，并求出这些一次因式的根。
⑶把这些根依次标在数轴上（不等式含等号时标为实点，不含等号时标为空圈），从最大根的右上方开始依次向左通过每一个根画曲线（奇数根穿过，偶数根穿而不过）⑷根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集（满足大于（大于等于）要数轴上方的部分，小于（小于等于）要数轴下方部分）。
原理其实很简单：那就是负负得正，偶数个负数的积为正数，奇数个负数的积为负数。
最右根的右上方穿过是因为最右根的右边取x 值的话，所有的数都是正数，他们之积当然也就是正数，所以要从右上方开始，向左每过一个根，就表明乘数中多了一个负数，数轴标根法显得直观一点而已。
应用举例：1.解不等式：2x ＋4＜0解：方程2x ＋4=0的根是x=-2，所以如图5，所以原不等式的解集为(-∞，-2)2. 解不等式：0322>--x x解：∵11-=x ，32=x ，∴如图6，原不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，＋∞) 3。
解不等式(4-x)(x-2)(x+1)(x+2)≤0解：0)2)(1)(2)(4(0)2)(1)(2)(4(≥-+--⇔≤++--x x x x x x x x ∵x1=-2，x ２=-1，x ３=2，x ４=4，∴如图7，所以原不等式的解集为(-∞，-2〕∪〔-1，2〕∪〔4,＋∞)4．解不等式：0)4()1)(1(32<--+x x x 5．解不等式(x-a)(x-2)(x+1)＞0解：(1)当a ＜-1时，如图8，解集为(a ，-1)∪(2，＋∞) (2)当a=-1时，所 以 如图9，解集为：(2，＋∞)(3)当-1＜a ＜2时，如图10，解集为：(-1，a)∪(2，+∞)(4)当a=2时，所 以如图11，解集为：(-1，2)∪(2，+∞)(5)当a ＞2时，如图12，解集为：(-1，2)∪(a＋∞)6. 解不等式0)2()1)(1(≤++-x x x x解：∵x1=-2，x2=-1，x3=0，x4=1，∴如图13，解集为(-2，-1〕∪(0，1〕7. 解不等式：03322>---x x x 解：所以如图14,解集为：(-1，3)∪(3，+∞)8. 解不等式：0)5(21≤---x x x∵x1=-1，x2=0，x3=3，x4=5，∴如图15，解集为〔-1，0)∪〔3，5) 例9.不等式x x ≥+2的解集是( ) A.｛x ｜-1＜x ＜2｝ B.｛x ｜-2≤x≤2｝C.｛x ｜0≤x＜2｝D.｛x ｜x≥0｝解：∵x x =+2得x=2,(x=-1是增根，舍去)，又定义域为x≥-2∴如图16(注意 取下面部分)，解集为〔-2，2〕9.解不等式13-<-x x解：13-=-x x 得x1=2,(x2=-1是增根，舍去)，又定义域为x ≤3∴如图17(取上面部分)，解集为：(2，3〕10.解不等式2422-+>-x x x 解：由2422-+=-x x x ，其中是增根，舍去.又定义域为-2≤ x≤2，所以如图18(取下面部分)，解集为：(0，2)二、含参变量不等式的解法：1、解不等式：0>+b ax （b a ,为参数）2、解不等式：为参数）b a c bx ax ,(02>++1）解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。
用数轴标根法解一元二次不等式
数学教学论文用数轴标根法解一元二次不等式用数轴标根法解一元二次不等式摘要：解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题，它对于我们整个职业高中数学来说，既是基础又是工具。
同集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。
因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。
本文就是在这个基础上探索讨论用数轴标根法来解一元二次不等式。
通过教学的几个例子来阐述数轴标根法能及取得的效果。
关键词：一元二次不等式；数轴标根法；我参加工作已有六年了，在这六年中，前两年是教计算机，这几年就一直教数学。
而在这几年的数学教学中，我发现数学是学生很难掌握的一门学科。
因为一来学生的数学基础差；二来数学对于大多数学生来说是一门比较枯燥的学科，就不愿意学，更不要说掌握的很好了。
所以我就一直在思考如何提高学生学习数学的兴趣，知识不能因为难而就不用学了，我发现再难的题你只要有方法就行了。
比如解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题，它对于我们整个职业高中数学来说，既是基础又是工具。
对集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。
因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。
我就谈一谈我在教学生解一元二次不等式的教学体会——用数轴标根法解一元二次不等式。
一、传统方法解一元二次不等式我们拿到一个一元二次不等式,首先就是判断它有没有根,所以先用一元二次方程根的判别式来判断根的情况，(1)△>0 方程有两个不相等的实数根．(2)△＝0 方程有两个相等的实数根．(3)△<0 方程没有实数根．若有根，就求出它的根。
下面我就举例说明一下：解不等式：x2-x-6>0△=1-4×（-6）=25>0,所以这个方程x2-x-6=0有两个不相等的实根。
我们一般用因式分解法(十字相乘法)求根。
所以，x2-x-6>0等价于（x-3）（x+2）>0,因为不等号为大于号，所以不等式x2-x-6>0的解集为{x|x>3或x<-2}。
数轴标根法在解分式不等式和高次不等式中的应用
数轴标根法在解分式不等式和高次不等式中的应用河南省三门峡市卢氏一高数学组（472200） 赵建文 Emil:zhaojw1968@ 分式不等式和高次不等式是高中数学中经常遇到的两类重要不等式，课本上给的解法比较繁琐，本文将解这一问题的直观简单解法——数轴标根法解这两类不等式作以介绍，供同学们学习时参考.一、数轴标根法介绍对高次多项式不等式：0n a x +11n a x -+22n a x -+……+n a ＞0.第一步，先将x 最高次项系数化为正数,再通过因式分解将其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘积，相同的一次因式写成幂指数的因式；第二步，将其对应方程的根在数轴上标出来；第三步，从右向左从上到下一次依次穿线，穿线时，遇到奇重根（即根对应的一次因式的指数为奇数）时,在其对应的根处穿过，遇到偶重根（即根对应的一次因式的指数为偶数）时，在其对应的根处，不穿过；第四步，根据积的符号运算法则知，线在x 轴上方部分对应区间表示已化为x 最高次项系数为正的不等式对应的函数在这些区间值为正数，故是大于零不等式对应的解，线在x 轴下方部分对应的区间表示表示已化为x 最高次项系数为正的不等式对应的函数在这些区间值为负数，故是小于零不等式对应的解，从而找出原不等式的解集.口诀：高次化为正，式子因式化，从右上向左穿，遇奇穿过去遇偶不过线.二、应用数轴标根法解高次不等式例1解不等式4322x x x --+＞0.分析：本题是高次不等式，可用数轴标根法.解析：原不等式可化为：2(2)(1)x x x +-＜0，（1）将对应的方程的根为0，2-，1标在数轴上，观察得，不等式（1）的解集为{x |2-＜x ＜0或0＜x ＜1}，∴原不等式的解集为{x |2-＜x ＜0或0＜x ＜1}.点评：对高次不等式都可用数轴标根法，在用数轴标根法时，注意：（1）先要将不等式的最高次项系数化为正数；（2）穿线规则是从右向左，从上到下一次穿线；（3）奇重根穿过，偶重根不穿过；（4）观察标根的数轴时，应结合已化为最高次项系数为正的不等式，得出的是这个不等式的解集.本题可以利用积的符号法则，转化为次数较低的不等式组去解,但较麻烦.三、应用数轴标根法解分式不等式例 2解不等式111x x ≤+-. 分析：本题是分式不等式，将其化为一端是分式另一端是0的分式不等式的标准形式，利用商的符号法则转化为整式不等式，用数轴标根法解.解析:移项通分得221x x --≥0，根据商的符号法则原不等式等价于2(2)(1)010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，即(1)010x x x x ⎧-+-≥⎪⎨-≠⎪⎩，将对应方程的根标在数轴上，观察得，原不等式解集为{|1x x x ≤<≥或. 点评：在用数轴标根法解分式不等式时，要先将其化为一端是分式另一端是0的分式不等式的标准形式，利用商的符号法则转化为整式不等式，用数轴标根法解,若是含等号的不等式，注意分母不为零不能忘.本题可以用分类条论的办法化为整式不等式组问题去解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用数轴标根法巧解不等式（组）
中学数学中常将不等式的解集标示在数轴上，在解不等式（组）时，将不等式组中几个不等式的解集标示在数轴上后，取公共部分便为不等式组的解集。
您想过吗？用数轴标根的方法也可解不等式（组）。
例如：一些可化为（x＋a）（x ＋b）（x＋c）…（x＋n）＞0（或≤0）（其中a、b、c…n为常数）的不等式，就可用数轴标根法巧解。
数轴标根法解不等式（组）时，只需将不等式（组）对应方程的根标示在数轴上，从数轴左边开始划上下弯曲的曲线，即由先霐的规则，就可直接观察求解集。
具体来说，根的个数是奇数，就从数轴下方入手画曲线；就可直接观察求解集。
具体来说，根的个数是偶数，就从数轴上方入手划曲线。
观察求解集时，不等式“＞0”取上部；“＜0”取下部；若含等于零连该解也取上。
例1：解不等式x＋4＞0
⑴通常解法
解：x＋4＞0
x＞－4
⑵数轴标根法为
解：由图1可知，不等式x＋4＞0解集为x＞－4
说明：因为对应方程x＋4=0的根为－4，根的个数是1，是奇数，根据“奇从下入”规则，从数轴左边下方开始划曲线，又因为不等式“＞0”，所以取数轴上方，因此，不等式x＋4＞0解集为x＞-4。
例2：解不等式x2＋2x－3≤0
⑴通常解法
解：解x2＋2x－3≤0
即解(x＋3)(x－1) ≤0
也就是解
（无解）
⑵数轴标根解法
由图2可知，－3≤x≤1
说明：因为方程x2＋2x－3=0根为－3,1，个数是偶数，根据“偶从上入”规则，在数轴左边从上入手划曲线，又因为不等式为“≤0”，所以取数轴下半部，因此，不等式x2＋2x－3≤0解集为：－3≤x≤1。
例3：解不等式＞0（x≠4）
⑴常用解法
解：原不等式可化为：
∴x＞4或－1＜x＜2
∴原不等式解集为：x＞4或－1＜x＜2
⑵数轴标根解法
解：原不等式可化为(x＋1)(x－2)(x－4)＞0
由图3可知，x＞4或－1＜x＜2
说明：因为方程＝0（x≠4）的根为－1，2，4根的个数3为奇数，根据“奇从下入”，从数轴左边下方入手划曲线，又因为原不等式为“＞0”，所以取数轴上半部，因此原不等式解集为x＞4或－1＜x＜2。
若遇到更复杂的不等式，如＞0（x≠3或－7），常用解法就难以下手，而数轴标根法便可直接画曲线、求解集，如图4，做答为：－7＜x＜－5或－2＜x＜2或x＞3。
通过以上几例中两种解法的比较，可以知道：数轴标根法既直观，又可减少差错，用它来解这类不等式，简便多了。
所以说，一般地，我们若可以把一个不等式（组）化为一个未知数与若干个常数的因式，像(x＋a)(x＋b)(x＋c)…(x＋n)＞0(或≤0)（其中a、b、c…n为常数），在解不等式（组）时，只需将对应方程的根标在数轴上，从数轴左边起画曲线，采用“奇从下入，偶从上入”的法则，便可以直接用数轴标根法求解。