二次曲线的仿射理论.ppt

§ 4.6 二次曲线的仿射理论
五、应用举例
例6. (P.144, Ex.11)设PP'是二阶曲线的直径. 任一点Q处的切线交P处的切线于R, P'Q交PR于 X. 求证：PR=RX.
证明. 因为PP'是直径, 所以P, P'处的切线交于 P∞. 只要证 (PX , RP ) 1.
设Q处的切线交P'处的切线于T. 则P∞RT为的一个外切三线形. 据定理4.12的对偶, PT, P'R, P∞Q三线共点于U.
五、应用举例
例2. (P.143, Ex. 5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径
1 : x2 xy y2 1,
2 : 3x2 xy 2y2 1.
解. 经验证, 两曲线均为非退化有心二阶曲线(椭圆), 有公共的 中心为坐标原点. 所以可能有公共的共轭直径.
两曲线的共轭方向方程(即直径与共轭直径的对合)分别为
(a11a22 a122 A33 0) (4.40)
中, 令k=k'得不变元素方程为
a22k 2 2a12k a11 0
此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入
S k S 0
即可得两渐近线方程. x1 x2
评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为



CM, CN∞为一对 共轭直径.
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五、应用举例
例4. (P.144, Ex.9)任一直线交双曲线 与两渐近线成相等线段.
证明. 目标：PA=BQ. 取AB中点M, 则
( AB, MN ) 1.
从而, M在N∞的极线上. CM, CN∞为一对共轭直径. 于是有
渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线.
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四、渐近线 3. 求渐近线方程
法二.
利用中心和渐近方向.
联立xS3

0 得， 0
a11x12 2a12 x1x2 a22 x22 0,
这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l∞的交点, 从而它 们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得
1 : 2kk ' k k ' 2 0,
2 : 4kk ' k k ' 6 0.
联立上述, 解出公共的共轭方向为
1 13 k1 3 ,
1 13
k2
. 3
分别代入直径方程(4.37), 得到公共共轭直径的方程为
l1, l2 :

y 1 13 x. 3
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途径二. 因为渐近线的方程为
S x32 0.
(4.42)
(4.42)表示一条退化二阶曲线, 退化为两条相交直线(渐近线). 故
a11 a12
a13
a12 a22 a23 0.
a13 a23 a33
从中解出, 代入(4.42)即可. 这是教材上的方法.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
例7. 证明. 设P为不在渐近线上的定点, 过 P的动弦为x, x上的无穷远点为P.
则x被P的极线(x的共轭方向直径)平分. 设此直径为p.
x绕P变动
P沿l变动
p绕C变动
透视关系
射影关系
射影关系
问题：为什 么要求P不在 渐近线上？
x与p的交点轨迹为一条二阶曲线
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四、渐近线
1. 定义 2. 性质
双曲线 椭圆
双曲型对合 椭圆型对合
(1). 渐近线是自共轭的直径.
(2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合
a22kk'a12 (k k') a11 0
(a11a22 a122 A33 0)
(4.40)
的两条不变直线.
(3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭
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四、渐近线 3. 求渐近线方程
法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心P(A31,A32,A33)
代入SppS=S2p, 即得渐近线方程. 现对此法进行整理, 因为
Sp


S x1
p
x1

S x2
p
x2


从而, RUTP∞为一个完全四点形. 由此立即可得
(PX , RP ) 1.
故R为PX的中点, 即PR=RX. 问：本题是否有问题？
应限定为有心二阶曲线； 或者限定P不是无穷远点.
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五、应用举例
例7. (P.143, Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦 中点的轨迹为另一条二阶曲线.
五、应用举例
例8. 如图, 设T为抛物线的弦PQ的极点, 过T的直径交弦PQ于N. 求证：线段TN被抛物 线平分.
证明. 如图, 设TN与抛物线交于M. 因为TN为直径, 故TN过抛物 线上的无穷远点M∞. T的极线为PQ, 故(TN, MM∞)= –1, 即M为TN的 中点.
今日作业
P.143, 4(1), 8
The Class is over. Goodbye!
直径.
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四、渐近线
3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线
3
:
S aij xi x j 0 (aij a ji ) ,| aij | 0, A33 0
(1)
i, j1
求Γ的渐近线方程.
法一. 利用对合不变元素. 在
a22kk'a12 (k k' ) a11 0
证明. 目标：四边形ACBM面积为定 值.
过M作的切线, 分别交的两渐近线于P, Q. 则M为PQ的中点. 由例5, 三角形CPQ的面积为定值.
上述图形在欧氏平面上如右. 利用例5及初等几何知识, 立即可得结论.
思考：对于上述例3－例6, 你能够用解析 几何的方法证明吗？如果能, 请将证明过程 与高等几何的证明过程作比较.
因为AB, A'B', t, t'构成的一个外切四线形, 根据定理4.10的对 偶, 我们有, 这个四线形两双对顶的连线(即AB', A'B)与两组对边 上切点的连线(即l∞与AB, A'B'上的切点连线)必定四线共点. 立即 得结论.
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五、应用举例
例6. (P.144, Ex.10)从双曲线上任一点 分别作平行于两渐近线的直线, 求证：这 两直线与两渐近线围成的平行四边形面积 为定值.
a11x2 2a12 xy a22 y2 0.
设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为
a11(x )2 2a12 (x )( y ) a22 ( y )2 0.
评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式).
C(PQ, MN ) 1. 即 (PQ, MN ) 1.
即M也是PQ的中点, 于是有PA=BQ.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
五、应用举例
例5. 求证：双曲线上任一点处的切 线与两渐近线围成的三角形面积为定值.
证明. 目标：三角形ABC面积为定值.
只要证 SABC SA'B'C 只要证 SA'AB' SBAB' 只要证 AB' // A' B. 只要证AB', A'B, l∞共点于P∞.
三、直径与共轭直径
方程：S k S 0, k R为共轭直径的斜率 x1 x2
共轭条件：a22kk ' a12 (k k ') a11 0, (a11a22 a122 A33 0)
性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合.
五、应用举例
例3. 双曲线的任一切线交两渐近线 于两点, 求证：切点是此二交点连线的 中点.
证明. 如图, 只要证(PQ, MN∞)=–1. 为此, 只要证CM, CN∞为一对共轭直径.
M的极线为PQ C的极线为l∞


CM的极点为l∞PQ=N∞
N∞的极线为CM C的极线为l∞

CN∞的极点为l∞CM=M∞
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四、渐近线 3. 求渐近线方程
例1. (P.142, 例4.22) 求双曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的渐近线方 程.
解. 法一、法二. 见教材. 以下分析法三. 有两种途径.
途径一. 直接计算|aij|和A33, 然后求出, 即可写出方程(4.42).
S x3
p
x3
由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于0, 从而
Sp


S x3
p
x3.
将中心坐标代入, 得 S p (a31A31 a32 A32 a33 A33 )x3 | aij | x3.
由此又得 S pp | aij | A33. 从而, 过中心的切线(渐近线)方程为
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四、渐近线
1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线.
注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线.
注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向.
注3.
双曲线 椭圆
实 有两条虚渐近线,
一对渐近方向；抛物线无渐近线.
从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论.
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§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
相异的实点
0 双曲型
×l∞=

重合的实点
A33

0


共轭的虚点
0
抛物型 A33的符号仿射不变. 椭圆型
二、二阶曲线的中心
有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).
| aij | A33S | aij |2 x32 A33S | aij | x32. 令 | aij | / A33. 得渐近线方程为
S x32 0.
评注：此法推导繁, 实用不繁, 因为在做题时, 首先判断是否退
化, |aij|已有, 再判断是否有心, A33也已知, 从而为已知.