矩阵的不可约分块及其应用

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【文献综述】分块矩阵的性质及其应用

通过上面对矩阵历史的了解我们发现矩阵是很容易理解和掌握的. 然而, 矩阵在实际应
用中还是会遇到很多问题, 在实际生活中, 我们的很多问题可以用矩阵抽象出来, 但这些矩阵
一般都是高阶矩阵, 行数和列数都是一个相当大的数字, 因此我们在计算和证明这些矩阵时
会遇到很烦琐的任务. 这时我们得有一个新的矩阵处理工具, 来使这些问题得到更好的解决！
在文献[3]中给出了分块矩阵定义: 把一个 m n 矩阵 A , 在行的方向分成 s 块, 在列的方
向分成 t 块, 称为 A 的 s t 分块矩阵, 记作 A Akl st , 其中 Akl , k 1, 2,, s ,
l 1, 2,, t 称为 A 的子块, 它们是各种类型的小矩阵.
A
=
I3 0
A1
A2
并称它是 A 的一个 2 2 分块矩阵, 其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块. 常用的矩阵分块
方法, 除了上例中的 4 块矩阵, 矩阵的分块还有以下几种常用的分法:
(1) 按行分块
a11 a12 ... a1n A1
A
a12Βιβλιοθήκη ...a22 ...
... ...
| M || BC | | CA1B | .
文献[5-12]中还提到了有关分块矩阵的一些用法, 比如用分块矩阵证明有关矩阵乘积的
秩的定理: 矩阵乘积的秩不超过其因子的秩, 即 r( AB) r( A), 且 r( AB) r(B), 或者表示成
r( AB) min{r( A), r(B)}, 其中 r( A) 表示矩阵 A 的秩. 还可以利用分块矩阵求矩阵的行列
AD
式问题, 比如利用分块矩阵求高阶行列式
: 设 A, C 都是 n 阶矩阵, 其中| A | 0 , 并且

矩阵的分块及应用

矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。

分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。

分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。

讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。

通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。

关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。

I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。

高等代数小论文--分块矩阵及其应用

高等代数期中论文课程高等代数专业班级数学0802 姓名徐锴学号 ******** 指导教师牛敏分块矩阵及其应用主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsT ji st Tij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 1 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A则B =MA证明设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B B A A A E M E s s =A E ME s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000 于是B =0000ssE ME A =s E M s E A =MA性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,|证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6 证明作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =AB E =AB又由性质2并应用于列的情况,有E A AB0=E EB A AB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有AB BA =B A B A -+ 证明根据定性质2并应用于列的情况,有AB BA =A AB B B A ++=B A B B A ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =ab a b a b b a b a ba 000000000000000000000000解令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 00000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000 b b b 则 D =ABBA=B A B A -+=a b a b b a b a 00000000 ab a b b aba 00000000 ---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DC BA=CB AD - ()2.8 证明根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1C A --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D C B A=110A C A B D C A B---- =A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD- 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB =A B ABBA =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即AB BA ）， 2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4]证明令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n aa a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,naa a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b bb b b212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nβββ 21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由nβββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C=秩()AB ≤秩()B即秩()AB ≤()()m i n {A B }秩，秩定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明对分块如下:()12nB B B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,i A B i n == 说明的各列B 都是0A X =的解.从而秩()12nB B B ≤基础解系=n -秩()A 即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011B C . ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k r X AY C E X BY D Z AW C Z BW DE +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y -11)(---A DB C 则X =11)(----A DB C D 1-B . 用右乘（3.4）式可得=()r E W D -1-B =1-B -1W D B - 代入（3.3）式得W =1B A -11)(---A DB C则可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A特例（1）当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2）当B ≠0，C=0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D BD A A 1X Y D B-=（3）当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CA D A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D O BD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375 3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 : (1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5) (2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6) 证明根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵. 证明 B C DE m=CD B - ( 3.7) nE CD A =DC A - (3.8) 证明只需要在命题1的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9)例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=bcb c d a da()0a ≠解令=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题1中()1得n H 2=AD C B=DCA B A 1-- =nn d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,00100100111121n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000100010001解 ()1 设=BC DA ，其中 =()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC D A=1A DB CB -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BC DE n，其中 B =（c ），C =),,,(21nb b b ，D =Tn a a a ),,(21 由于C D =),,,(21nb b b Tn a a a ),,(21 =∑=ni ii ba 1从而由推论1知,=BC DEn=B CD -=c -∑=ni ii ba 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则AC CA=|A+C||A-C| 证明根据行列式的性质和定理，有AC CA =A A C C C A ++=C A C C A -+0 =A CA C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx zy y z x z y x解这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACCA=C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,ABCD 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.。

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。

对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。

有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。

本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。

大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。

关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。

分块矩阵及其应用汇总

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义1.11 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把m n ⨯矩阵分割为如下形式的矩阵：m nA ⨯=1111n m mn A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭特别地，对于单位矩阵分块：n nE ⨯=11000000nn E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的ijA所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2 分块矩阵2.1矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.定义2.1.1[2] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j jnj a a a 的代数和，这一定义又可写成:111212122212n n n n nna a a a a a a a a =()()121212121n n nj j j j jnj j j ja a a τ-∑.定义 2.1.22向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.定义2.1.32 n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E ==（这里E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -. 定义2.1.43对分块矩阵施行下列三种初等变换：(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2.1.53 对m n +阶单位矩阵作22⨯分块，即m n I +=mn IO O I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵nm I O OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；(2) 分块初等倍乘阵0n P O I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0mI O Q ⎛⎫⎪⎝⎭；(3) 分块初等倍加阵1mn I R OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，m n I O SI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；其中P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且1m nR R ⨯∈，n m S R ⨯∈为非零阵.2.2矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义2.2.14 矩阵加法：设()=ij sn A a ， ()=ij snB b 是两个同型矩阵，则矩阵()ij sn C c ==()ij ij sn a b +称为A 和B 的和，记为C A B =+.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为sn O ，可简单记为O ,对于矩阵A 、B ，有:(1) A O A += (2) ()0A A +-= (3) ()A B A B -=+- (4) ()()A B C A B C ++=++(5)A B B A +=+定义2.2.24 矩阵乘法：设()=ik sn A a ，()=kj nm B b 是两个不同型矩阵，那么矩阵()ij smC AB c ==，称为矩阵A 与B 的乘积，其中：11221nij i j i j in nj ik kj kc a b a b a b a b ==++=∑ 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质： (1) ()A B C AB AC +=+ (2) ()B C A BA CA +=+ (3) ()()AB D A BD =定义2.2.34矩阵数乘：111212122212n n s s sn ka ka ka ka ka ka kaka ka ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵()ij sn A a =与数k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1A A *=；(2) ()()k lA kl A =; (3) ()k A B kA kB +=+; (4) ()k l A kA lA +=+; (5) ()k A B kA kB +=+.2.3分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A 、B 是m n ⨯矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：加法：11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ⎛⎫++ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭. 乘法：C AB =, 其中：11221nij i j i j in nj ik kj kC A B A B A B A B ==+++=∑.数乘：1111t s st kA kA kA kA kA ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义2.3.12 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵E 的i 行与j 行的位置; (2) 用数域P 中的非零数c 乘E 的i 行; (3) 把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行. 定义2.3.25将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对应分块矩阵：m nO E E O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=C D A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭n PO OE ⎛⎫ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=PA PB C D ⎛⎫⎪⎝⎭m n E O P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A B C PA D PB ⎛⎫ ⎪++⎝⎭2.4矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法6：(1) 列向量分法，即()1,,n A αα=，其中j β为A 的列向量.(2) 行向量分法，即1m A ββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中j β为A 的行向量.(3) 分两块，即()12,A A A =,其中1A ,2A 分别为A 的各若干列作成.或⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12B A B ，其中1B ，2B 分别为A 的若干行作成.(4) 分四块，即1234C C A C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的n 阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵A 的转置和A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如00010(,)000001J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6）若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：12n A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3分块矩阵及其应用3.1行列式计算的应用定理3.1.12拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例3.1.17：（爪形行列式）计算行列式：012111101001na a a a ,其中0(1,2,,)i a i n ≠=.解:设A DQ C B=,其中0()A a = 1na B a =，(1,1,,1)T C =，(1,1,,1)D =.因为0(1,2,,)i a i n ≠=，所以 B 是可逆矩阵.又易知: 1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=-⎪⎝⎭∑. 根据分块矩阵乘法：1100E AD A DCA E C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：1112011nn i i A DA B CA D B A DB C a a a a a C B --=⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∑ 故：原行列式=12011nn i i a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.例3.1.27：(对角行列式)计算行列式：2n adadH c bcb =.解：令a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，b B b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c C c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，d D d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶方阵. 由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：1B CA D --=111b ca d b ca db ca d ---⎛⎫-⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭故112()()n n n n A DH A B CA D a b ca d ab cd C B--==-=-=-.例3.1.38：设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，证明当AC CA =时，A 可逆时，有A DAB CD C B=-证明：若A 可逆，110AD AE A D C B CB CA D OE --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故：11A DA B CA D AB ACA D AB CD C B--=-=-=-. 注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a dab cd c b=-，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述：（1）标准型：11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩; （2）矩阵型：令ij m n A a ⨯⎡⎤=⎣⎦，'=12(,,,)n x x x x ，'=12(,,)m B b b b方程组可以表述为：Ax B =; （3）列向量型：令112111m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，122222m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，12n n nmn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组又可以表述为：1122n n x x x B ααα+++=;（4）行向量型： ααα''''+++=1122n n x x x B .可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：1234123412342202220430x x x x x x x x x x x x ⎧+++=⎪+--=⎨⎪---=⎩ 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：21251023122112214212203640123114303640000E C A O O ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭()2R A =，基础解系含422-=个. 而方程又满足：2112200E C O O αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相应的可以取：25234231001C E ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫-⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭有通解：1122k k βββ=+，其中12210β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2534301β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例3.2.29：（非齐次线性方程组）求解方程组：1245123451234512345232133223452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-+=⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：()3r A =，而()4r A =, 故()()r A r A ≠. 从而方程组无解.事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵45450b E ⎛⎫Λ-⎪ ⎪⎝⎭进行行列变换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例3.2.3：证明：n 阶方阵A 的秩为n-1，则()=1rank A * 首先证明此例需要利用的一个引理：引理：()ij n n A a ⨯=，()ij n n B b ⨯=，()r A r =，0AB =，则()r B n r ≤- 证明：对矩阵B 进行列向量的分块，12,(,)n B B B B =,0AB =则有：0i AB =，i B 是0AX =的解. 而0AX =基础解系有n r -个解. 故：()r B n r ≤- 再证明本例：因为()1r A n =-，则0A =，A 至少有一个1n -级子式不为零,()1rank A *≥.而：0AA A E *==.利用引理得：()1rank A *≤，故()=1rank A *. 得证.3.3求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例3.3.16：设A 、B 是n 阶方阵，若A B +与A B -可逆，试证明：A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵. 解：令AB D BA ⎛⎫=⎪⎝⎭，由假设知0A B +≠,0A B -≠.那么： 0A B A B B A BB D B A B A A A B++===+-0A B A B =+-≠.即D 可逆. 再令12134D D DD D -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 由1DD E -=，即：123400D D A B E BA D D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得：1312242400AD BD E BD AD AD BD BD AD E⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩将第一行和第二行相加、相减，得：113113()()D D A B D D A B --⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩ 解之得：1111()()2D A B A B --⎡⎤=++-⎣⎦,1121()()2D A B A B --⎡⎤=+--⎣⎦类似地：23D D =,41D D =. 所以：1111111111()()()()2()()()()A B A B A B A B A B BA AB A B A B A B ---------⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪⎪+--++-⎝⎭⎝⎭.例3.3.26：已知分块形矩阵0AB M C⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，其中B 为p p ⨯块，C 为q q ⨯块，求证：B 与C 都可逆，并求1M -.解：由()01pqM B C ≠=-，则：0B ≠,0C ≠,即证B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆：111000000pq A BE A BEBEAC C E E C EE ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111000000E B B AC E C E C EB B AC --------⎛⎫⎛⎫-→→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故：111110C MB B AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:例3.3.310：求矩阵101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵.解：构造矩阵：66101100101100210010012210325001022301100000100000010000010000001000001000A E D E O ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫---==→ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101101011000122100122100027210027211000001010001000001000000100000100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1001001001000102100102100017210027211100001010002012000011000001000100002⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→ ⎪-⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 所以;1151101100222011210511172171001222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4矩阵秩基本不等式矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设A 、B 均为m n ⨯矩阵，则：()r ()()r A B A r B +≤+.（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵 ,B 是n s ⨯矩阵，则：{}()min (),()r AB r A r B ≤.（3）()()0A B r r A r B C ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.（4）1ij m A r A A ⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎝⎭.再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例3.4.111：（薛尔弗斯特不等式）设()ij s nA a ⨯=，()ij n mB b ⨯=，证明：()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：由分块矩阵的乘积00000n nn ns m E E B E B E A E E A AB ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭知：()()()0nn E B rank rank E rank AB n rank AB A ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 但,()()00n n E B B E rank rank rank A rank B AA ⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()n rank AB rank A rank B +≥+得证.备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：(1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造00A B ⎛⎫⎪⎝⎭;(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造0A E B ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者0AE B ⎛⎫⎪⎝⎭.具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例3.4.26：（Frobenius 不等式）设A 、B 、C 是任意3个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+-证明：设B 是n m ⨯矩阵，()r B r = 那么存在n 阶可逆阵P ，m 阶可逆阵Q ，使000r E B P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭.把P 、Q 适当分块：(),P M S =,NQ T ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由上式有： ()0,00r E N B M S MN T ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()()r ABC r AMNC r AM r NC r =≥+- ()()()r AMN r MNC r B ≥+-()()()r AB r BC r B =+-.得证.3.5矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到，以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例3.5.111：设A 为m k ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，则证明：{}()+rank(B)-k rank(AB)min (),()rank A rank A rank B ≤≤证明：先证明右边的不等式，由：()0()()0knE B A A AB E =;⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00km E B B AB A E , 可得：()rank (0)()()rank A A rank A AB rank AB ==≥; ⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0B B rank B rank rank rank AB AB .再证左边的不等式.注意到下列事实：00000mkkk k n E A E B A AB E B E E E ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：000kk A AB rank rank E B E ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是：0()rank ()rank ()()()k k A rank A B rank AB rank E rank AB k E B ⎛⎫+≤=-+=+⎪⎝⎭从而: ()()()rank A rank B k rank AB +-≤.这里也是用到构造矩阵的方法.例3.5.26：设n 阶矩阵A 、B 可交换，证明：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+- 解：利用分块初等变换，有：A O AB A BB O B O B BB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+→→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为AB BA =，所以：E OA B B A B B BA B BB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 于是，有：()()A BB A B B rank A rank B rank rank BB OAB ⎛⎫⎛⎫+++=≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()rank A B rank AB ≥++.即：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+-. 得证.例3.5.3：设A 是n 阶方阵，且2()()r A r A =,证明：对任意自然数k ,有()()k r A r A =证：构造分块矩阵22A O O A ⎛⎫⎪⎝⎭，由Frobenius 不等式： 22332232()+r ()()()A O A A O A r A A r r r r A r A AA A O A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤===+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由：2()()r A r A =所以，322()()()r A r A A r A =*≤. 故：23r ()()A r A =.由此可推得：3445()(),()(),r A r A r A r A ==.故：对任意自然数k , 有：()()k r A r A =.3.6综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例3.6.16：（特征多项式的降阶定理）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵. 证明:AB 的特征多项式()AB f λ与BA 的特征多项式()BA f λ有如下的关系：()()n m AB BA f f λλλλ=.证：先要把上式改写为：n m m n E AB E BA λλλλ-=-.用构造法，设0λ≠，令：1n mE BH AE λ=. 对11010n n n n m m E BE E B A E AE E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 11()m m m H E AB E AB λλλ=-=-. 再对11100nnnn mm E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得：11()n n n H E BA E BA λλλ=-=-.故：11n m nmE BA E AB λλλλ-=-m n n m E BA E AB λλλλ-=-.上述等式是假设了0λ≠，但是两边均为λ的n m +次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）λ≠，从而一定是恒等式，即证. 这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用.例 3.6.26：设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，证明：AB 与BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m n n m E BA E AB λλλλ-=-. 设m 12s ()()()m s E AB λλλλλλλλ--=---,其中120m λλλ≠，即AB 有s 个非零特征值：12,,,s λλλ, 由上面两式,那么有：n-s 12()()()n s E BA λλλλλλλλ-=---即证BA 也只有s 个非零特征值：12,,,s λλλ.例3.6.36：设A 、B 分别是m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明：trAB trBA =.解：由上例知，若1()()m s m s E AB a a λλλλ--=--其中120s a a a ≠.则AB 的全部特征值为111,,,0s s s m a a λλλλ+=====,且：1(-)()n s n s E BA a a λλλλ--=-.即BA 的全部特征值为:11221,,,0s n a a ττττ+=====.从而 1si itrAB a trBA ===∑.可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1]上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982.[2]北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3]高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. 山西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7]王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8]张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. 山东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所, 2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.。

矩阵分块方法的应用

证明ｆＡ—ＥＥ × （２）＋（１）
＼ｏ
所以ｒ（Ａ＋Ｂ）≤ ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）．
命题４设Ａ为Ｓ× ｍ阵，Ｂ为ｍ × ｎ阵，且Ｅ— Ｅ，则
收稿日期：２００８— ０２— ２８基金项目：苏州科技大学重点学科基金资助．
ｒ（ＡＢ）＋ｒ（ＢＣ）≤ ｒ（Ｂ）＋ｒ（ＢＣ）．
证（明Ａ三【ｃ）ｃ）Ａ×（１）＋（２）
命题１０设
Ｔ一（三），一（三），
Ａ，Ｂ，Ｄ可逆，则
一Ｉ—Ｄ一ｃＡ一，Ｄ一Ｊ，
一
一
１＿
，Ｂ — ＢＣ、
ｔＡ — ＥＩ＼Ａ
— Ａ２
（Ｅ — Ａ）× （２）＋（１）
Ａ。＝Ｅ ∞ ｒ（Ａ＋Ｅ）＋ｒ（Ａ — Ｅ）一，ｚ．
其中Ｅ为阶单位矩阵．
（ＡＡ。）．
证明（Ａ言ＥＡＥ）Ｅ × （２）＋（１）
ｆＡ＋ＥＡ — Ｅ、一Ｅ × （１）＋（２）
命题８设Ａ、Ｂ为阶方阵，则ＡＢ与ＢＡ有相
另外，
ｒ（三－ＥＡ）≤ｒ（）Ｄ
同的特征多项式，即
ＩＥ—ＡＢＩ— Ｉ膳一ＢＡ１．
所以ｒ（Ｃ）≤ ｒ（Ｅ）十ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝，
因此，ｒ（ＡＢ）≤ ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ））．
而
ｒ（Ｃ）≥ ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ），
命题９设Ａ是秩为ｒ的ｘ矩阵，则存在秩为ｒ的 × ｒ矩阵Ｂ和秩为ｒ的ｒｘ矩阵Ｃ，使

矩阵不可约的一个新的充要条件及判定矩阵不可约性的一个新算法

矩阵不可约的一个新的充要条件及判定矩阵不可约性的一个新
算法
何秀丽;永学荣
【期刊名称】《新疆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(015)002
【摘要】本文获得了矩阵不可约的一个新的充要条件及判定矩阵不可约性的一个新算法，这相结果优于（１－４）中的结果。

【总页数】3页(P15-17)
【作者】何秀丽;永学荣
【作者单位】新疆农业大学基础部;新疆大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.复矩阵Mn(C)为不可约的一个充要条件 [J], 侯茂文
2.非负不可约矩阵Perron根的一个下界 [J], 廖平;王龙
3.一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件 [J], 杨亚强;于建伟
4.计算非负不可约矩阵谱半径的新算法 [J], 宋海洲;徐强;田朝薇
5.矩阵张量积不可约性的新等价表征 [J], 王伟贤
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为不可约矩阵(PPT课件)

0 1 . 1 4
(ai ,bi ,ci 都不为零 )
则 A, B 都是不可约矩阵.
5
定理6 (对角占优定理) 如果 A (aij ) nn 为严格对角占优矩阵或 A为不可约弱对角占优矩阵，则 A为非奇异矩阵. 证明只就 A为严格对角占优阵证明此定理. 采用反证法，如果 det( A) 0 ，则 Ax 0 有非零解，记为 x ( x1 , x2 , , xn )T, 则
且记
y1 d1 T y P x y , P b d 2 2
T
其中 y1 , d1 为 r 维向量. 于是，求解 Ax b化为求解
3
A11 y1 A12 y2 d1 , A22 y2 d 2 .
由上式第2个方程组求出 y 2 , 再代入第1个方程组求出 y1.
A为可约矩阵.
否则，如果不存在这样置换阵 P 使(3.6)式成立，则称 A为不可约矩阵.
A为可约矩阵意即 A可经过若干行列重排化为(3.6)或
2
Ax b可化为两个低阶方程组求解.
如果 A 经过两行交换的同时进行相应两列的交换，称对 A进行一次行列重排. 事实上，由 Ax b 可化为
PT AP( PT x) PT b,
即 L 的任一特征值满足 1，故SOR方法收敛当 0 2 时，可以证明 ( ) 2 2 2 0.
15
定理10
设 Ax b ，如果：
(1) A为严格对角占优矩阵(或 A 为弱对角占优不可约
矩阵)；
(2) 0 1.
则解 Ax b 的SOR迭代法收敛. 下面讨论迭代法的收敛速度. 由定理3证明中可知，如果 ( B) 1且 ( B) 越小时，

矩阵分块方法的应用

E - B A E E - B A 所以 E
E + BA A E 0
0 E
, ,
B @( 1) + ( 2)
A E + AB
2
A- E 0 A- E 0 A- E A- A
2
A A E A E 0 0
- E( 1) + ( 2) - A @ ( 1) + ( 2)
( E - A) @ ( 2) + ( 1)
Z
r( A + E ) + r ( A - E) = n.
E @ ( 2) + ( 1)
E
2
其中 E 为 n 阶单位矩阵 . A+ E 0 证明 0 A- E A+ E 0 A- E A- E
参考文献 [ 1] 王萼芳 . 高等代数教程 [ M] . 北京 : 清华大学出版社 , 1996: 111. [ 2] 谢邦杰 . 线性代数 [ M] . 北京 : 人民教育出版社 , 1978: 47- 87. [ 3] 屠伯埙 . 线性代数方法导引 [ M] . 上海 : 复旦大学出版社 , 1986: 98 - 104. [ 4] 屠伯埙 . 高等代数 [ M] . 上海 : 上海科学技术出版社 , 1986: 220- 232.
在线性代数的学习中 , 很多读者对于涉及矩阵或行列式的相关命题的证明感到困难 . 事实上, 利用矩阵分块方法可使这些命题的证明大大简化. 本文将利用矩阵的分块方法给出若干命题的证明 , 从而说明矩阵分块方法对解决线性代数相关问题的重要性. 命题 1 设 A 为 n 阶方阵 , 证明 A = E

分块矩阵的若干性质及其应用

分类号密级U D C 编号本科毕业论文(设计)题目分块矩阵的若干性质及其应用学院数学与经济学院专业名称应用统计学年级 2013级学生姓名刘欣2017 年 4 月文献综述一、概述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。

分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。

二、正文通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。

但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。

林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。

蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行列式、证明矩阵的秩、解决矩阵的特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。

《矩阵分块法》课件

矩阵分块法的优缺点
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的存储格式，如COO、CSR等，以节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的操作，如求逆、求特征值等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用

irreducible matrix不可约矩阵

Irreducible Matrix 不可约矩阵1. 简介不可约矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论和应用中有着重要的作用。

不可约矩阵的概念最早由哈密顿在19世纪提出，并在之后的数学研究中得到了进一步的发展和应用。

本文将对不可约矩阵的概念、性质和应用进行系统的介绍和探讨。

2. 不可约矩阵的定义不可约矩阵是指一个方阵，如果它没有非平凡的不变子空间，则称为不可约矩阵。

换言之，对于一个矩阵A，如果不存在非零向量x，使得Ax=kx，其中k为标量，那么矩阵A就是不可约的。

3. 不可约矩阵的性质（1）不可约矩阵的特征值都是简单特征值。

也就是说，不可约矩阵的特征多项式没有重根。

（2）不可约矩阵的特征向量张成整个向量空间。

换言之，任意一个特征向量都可以用不同特征值对应的特征向量线性表示。

（3）若A是不可约矩阵，则A的转置矩阵也是不可约矩阵。

（4）若A是不可约矩阵，则A的任意幂次矩阵都是不可约矩阵。

4. 不可约矩阵的应用不可约矩阵在许多领域有着重要的应用，如控制理论、图论、网络分析、量子力学等。

在控制理论中，不可约矩阵可以用来描述动态系统的稳定性和可控性。

在图论中，不可约矩阵可以用来描述网络结构的连通性和传播特性。

在量子力学中，不可约矩阵可以用来描述量子系统的态空间和哈密顿量。

不可约矩阵的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

5. 总结不可约矩阵作为线性代数中的一个重要概念，具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文对不可约矩阵的定义、性质和应用进行了系统的介绍和探讨，希望可以对读者对不可约矩阵有更深入的理解和认识。

感谢读者阅读本文，如有任何疑问或建议，欢迎与我们进行交流和讨论。

不可约矩阵的研究历史可以追溯到19世纪，最早由爱尔兰数学家William Rowan Hamilton提出。

在数学研究的过程中，不可约矩阵的概念不断被深化和扩展，逐渐成为线性代数和矩阵理论中的一个重要课题。

不可约矩阵的理论在科学研究和工程应用中发挥着关键作用，因此对其性质和应用的深入理解和研究对于推动相关领域的发展具有重要意义。

分块矩阵的定义及应用

分块矩阵的定义及应用分块矩阵，也称为块矩阵或子矩阵，是由多个小矩阵按照一定规则排列所组成的矩阵。

它的特点是矩阵中的各个元素被分成了若干个块，每个块是一个分离的矩阵。

分块矩阵的形式可以写为：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，A11、A12、...、A1m是行向量组成的矩阵；A21、A22、...、A2m是行向量组成的矩阵；...；An1、An2、...、Anm是行向量组成的矩阵。

每一个Aij 都表示一个分块矩阵，大小及形状可以不同。

分块矩阵的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1. 线性方程组求解：分块矩阵可以用于解决大规模线性方程组的求解问题。

通过将系数矩阵分块，可以降低计算复杂度，并且可以通过并行计算来提高求解效率。

2. 矩阵乘法加速：分块矩阵可以用于加速矩阵乘法运算。

将矩阵分块后，可以利用并行计算的优势，同时进行多个小矩阵的乘法运算，从而提高运算效率。

3. 特征值计算：分块矩阵可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量。

通过分块矩阵的分解，可以降低计算复杂度，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。

4. 矩阵的逆和广义逆：分块矩阵可以用于求解矩阵的逆和广义逆。

通过分块矩阵的分解，可以减小计算量，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。

5. 随机矩阵的分析：分块矩阵可以用于随机矩阵的分析。

通过分块矩阵的分解，可以对矩阵的结构和随机性进行分析，从而研究矩阵的统计特性和性质。

除了上述应用之外，分块矩阵还可以用于矩阵的分解、正交化、正则化等问题的求解。

分块矩阵的应用不仅仅局限于数学领域，也被广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。

总之，分块矩阵是将大型矩阵拆分为多个小矩阵，通过分块的方式来简化复杂的计算问题。

它在线性方程组求解、矩阵乘法加速、特征值计算、矩阵逆和广义逆求解、随机矩阵分析等方面有着广泛的应用。

关于非负不可约矩阵的若干性质

关于非负不可约矩阵的若干性质
任芳国;杨跃东
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2014(000)004
【摘要】通过非负矩阵的谱理论及矩阵分块的技巧研究非负不可约矩阵的性质。

讨论了非负不可约矩阵的代数性质及其同步合同结构，获得了关于非负不可约矩阵成立的充要条件及同步标准形的结果，进一步洞察了非负不可约矩阵的结构。

【总页数】5页(P409-413)
【作者】任芳国;杨跃东
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学院，陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学院，陕西西安710062
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.非负不可约矩阵Hadamard积的特征值上界 [J], 李艳艳;周平
2.非负不可约矩阵Perron根的一个下界 [J], 廖平;王龙
3.非负不可约矩阵最大特征值的估计法 [J], 王芳芳;杨晋
4.非负不可约矩阵的几个新性质 [J], 游兆永;永学荣
5.非负不可约矩阵谱半径的估计 [J], 吕玉芳;畅大为;李慧芳
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不可约矩阵的简单判定方法

不可约矩阵的简单判定方法
不可约矩阵是指线性代数中一个特殊的矩阵，其特点是它没有非零分子分母相等的简
化形式，可以通过一些特殊的规则来区分。

无论在何种情况下，通常都可以使用一些基本的方法来简单的判定一个矩阵是否是不
可约的。

首先，如果对于一个矩阵，存在一元线性方程组，且有非零解，则证明这个矩阵是不
可约的。

其次，如果矩阵的特征根的多项式不能分解为若干因式，则该矩阵也是不可约的。

有时，需要检查矩阵的行（或列）向量是否全部唯一，以及每一行（或列）所有元素
之和是否同等。

若以上判定结果均为否，则表明这个矩阵是不可约的。

最后，可以使用数位求余原理来判断矩阵是否可约。

对于矩阵A，令p是矩阵A的行
数（或列数）的最大公约数，则当p不等于1时，矩阵A必然是不可约的。

综上，可以得到以下几个简单的判定一个矩阵是否不可约的方法：
1. 如果矩阵的特征根的多项式分解成若干因式，则该矩阵也是不可约的;
3. 使用数位求余原理，检验矩阵行（或列）数的最大公约数是否等于1。

不可分解矩阵

不可分解矩阵
不可分解矩阵是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。

不可分解矩阵是一种矩阵，它的行列式不能被分解成更小的行列式，也就是说，它不能被分解成更小的矩阵。

不可分解矩阵在日常生活中也有着重要的作用，它可以帮助我们解决许多复杂
的问题。

比如，在购物时，我们可以使用不可分解矩阵来计算最优购物方案，以获得最大的收益。

此外，在投资领域，不可分解矩阵也可以帮助我们分析投资组合，以获得最佳的投资回报。

不可分解矩阵也可以用于娱乐活动。

比如，在游戏中，我们可以使用不可分解
矩阵来分析游戏策略，以获得最佳的游戏体验。

此外，在音乐制作中，不可分解矩阵也可以帮助我们分析音乐结构，以获得最佳的音乐效果。

总之，不可分解矩阵是一种重要的数学概念，它可以帮助我们解决许多复杂的
问题，并且在日常生活中也有着重要的作用。

它可以帮助我们在购物、投资、游戏和音乐制作等方面获得最佳的效果。

分块矩阵的应用专业论文

分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及A≠，矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵，其中0并且AC CA=，则可求得A B AD BC=-；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.C D本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1 分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设A 是一个m n ⨯矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法设()ij m nA a ⨯=()ij m nB b ⨯=，用同样的方法对,A B 进行分块()ij r sA A ⨯=，()ij r sB B ⨯=，其中ij A ，ij B 的级数相同，则 ()ij ij r sA B A B ⨯+=+.1.2.2数乘设是任()(),ij ij m nr sA a A k ⨯⨯==为任意数，定义分块矩阵()ij r sA A ⨯=与k 的数乘为()ij r skA kA ⨯=1.2.3乘法设()(),ij ij s nn mA aB b ⨯⨯==分块为()(),ij ij r ll rA AB B ⨯⨯==，其中ij A 是i j s n ⨯矩阵，ij B 是i j n m ⨯矩阵，定义分块矩阵()ijr lA A ⨯=和()ij l rB B ⨯=的乘积为()1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、1.2.4转置设()ij s nA a ⨯=分块为()ij r sA A ⨯=，定义分块矩阵()ij r sA A ⨯=的转置为()ji s rA A ⨯''=1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换： (1) 对调A 的两行(用i j r r ↔表示对调i 、j 两行)；(2) 用一个可逆阵K 左乘A 的某一行的所有子矩阵(用i K r ⨯表示用K 左乘第i 行)； (3) 将A 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子矩阵上去(i j r K r +⨯表示将第j 行左乘K 再加到第i 行).将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2 分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1([3])若A 为k 阶方阵，B 为r 阶方阵，C 为r k ⨯矩阵, 则有0A A B C B=在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论.定理2.2([3])若n 阶方阵P 可分为AB P CD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中A 为r 阶方阵, B 为()r n r ⨯-矩阵, C 为()n r r -⨯矩阵, D 为()n r -阶方阵, 则有（1）当A 为可逆矩时1P A D CA B -=-；（2）当D 为可逆矩阵时1P D A BD C -=-.在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例2.3 计算行列式 013c ...0...00 0 0...n b b b ac P ac ac =其中10,123...c i n ≠=. 解设 0()A c =，()...B b b b =，()...TC a a a =130...00...0,0,1,2,,.........00 (i)n c c D c i n c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则D 为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知1A B P D A BD C CD-==- ，将 1111210...00...0.........00...n c c D c ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦及,A B C D ,,代入得 1111212...((...))n n P c c c a ab c c c ---=-+++.例2.4 矩阵()ij ai j P a bi j =⎧==⎨≠⎩当时当时，求行列式P 的值.解：行列式P 的主对角线元素为a ，其余元素为b ，因此：（1）当a b =时，由行列式的性质知P =0；（2）当a b ≠时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得0 (00)0 (00).........000......a b b a a b b a P a b b a b b b b a ----=--，令 (00)00 (00)0.........,, 000 000...0a b b a a b b a A B a b b a o a b b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()()...,,C b b b b D a ==由定理2.2可知 1P A D CA B -=-，而 ()1n A a b -=- ，()011,,,>a b i j A i j --⎧-≤⎪=⎨⎪⎩ 计算结果得 ()()()()()()111+1n n P a b a n b a b a n b --=---=--.若定理中的矩阵A 和D 均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式11D A BD C A D CA B---=-进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5 若,,,A B C D 均为n 阶方阵，且A 可逆，AC CA =，则 A B T AD CB CD==-.例2.6 计算行列式 1111122310250121T -=.解对T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 11111025,,,,12230121A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 显然A 可逆，且AC CA =，所以T AD CB =-，而 4667AD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1123CB ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以， 3510410T ==. 定理2.7 若,A B 均为n 阶方阵，则A B A B A B BA=+-..例2.8 计算行列式 1234234134124123T =. 解对矩阵T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 1234,,2341A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于 4664A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22,22A B --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦ 所以 (20)(8)160T A B A B =+-=-⨯-=.2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设n 个未知数m 个方程的线性方程组为11112211211222221122...............n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）记()ij m nA a ⨯=,()12X=,,...,T n x x x （其中T 表示矩阵的转置）, ()12,,...,Tm B b b b = ,则方程（1）的矩阵形式为 AX B =.把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式111211212222A A X B A A X B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中 111111........................r r rr a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111121........................r n rr rn a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()11112A A A =，111211........................r r r m mr a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111221........................r r r n mr mn a a A a a ++++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()22122A A A =，()112...Tr X x x x =，()212...Tr r n X x x x ++=，()112...Tr B b b b =，()212...Tr r m B b b b ++=，方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10. 设方程组（1）有解且()()11,r A r n r A r =≤=，则方程组()1112A A X B=与AX B =同解.例2.11．已知方程组1112132223243132333441424344212212330x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎪⎨+++=-⎪⎪+++=⎩ （2）求此方程组的解并证明此方程组和方程组111213222324212x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩ （3）同解.解：令1210011111212331A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11121210()0111A A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，其中111201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，1210B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，112B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，12101121011211011120111201112112110111200000233100111200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以此方程组的齐次线性方程组的解为1232111001c c --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又3200-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是方程组的一个特解，所以此方程组的解为 12323112100010c c ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由上可知()2r A =并且11()2r A =，所以由定理3可证方程组（2）和（3）同解. 2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵~A B ，方阵~C D ，则00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 证明因为方阵~A B ，方阵~C D ，所以 110000000000E A X E X Y C E Y E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11110000000000A XB X X AXC YD Y Y CY ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，而 1110000E X Y E ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭1100E Y --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100X E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0000XE E Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题定理2.13.设0A M C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,A 为m n ⨯矩阵，B 为k l ⨯矩阵，则有()()()r M r A r B ≥+，且0C =时，()()()0A r M r r A r B C B ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦ 证明设A 在初等变换下的标准形为1000rE D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()r r A =，又设B 在初等变换下的标准形为 2000sED ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()s r B =，那么，对M 前m 行前n 列作初等变换，对它的后k 行后l 列也作初等变换可把M 化为11120D C M D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，现在利用1D 左上角的1经列初等变换消去1C 位置中的非零元；再用2D 左上角的1经行初等变换消去它上面1C 处的非零元素，于是把1M 再化作2200000000000r sE C M E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有 ()()()()()()122r M r M r M r s r C r s r A r B ===++≥+=+.利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.例2.14. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n l ⨯矩阵，若0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明因为()()00000000n n n n A AB A r A r B r r r r r n E B E B E B E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=≤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 ()()r A r B n +≤.例2.15. 设A 、B 都是n 阶矩阵，求证：()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明：因为 0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(1)E -⨯+−−−−→0A AB A B +⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)()(2)B E ⨯--+−−−−−→00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以 0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，又0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦都可逆，所以 000A AB A B A r r B B ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 ()0A AB A B r r AB A B B ++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦ 又 ()()00A r r A r B B ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，所以 ()()()r AB A B r A r B ++≤+.2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.定理2.16. 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 AB BA I == 那么矩阵称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵.若,A B 都可逆，则 100A B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A A CB B ----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A B CA B ----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, 1111110000kk n k n k E A B E A B A CA E C D E D -------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1D 1D CA B -=-.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例2.17. 已知矩阵1200210000120025A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1A -. 解：可以将矩阵A 分成四块12A 00A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 1221⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2A 1225-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，根据分块矩阵的性质，1A -111200A A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而1A ，2A 为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为 11A -12552155⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，12A -5221--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，所以 1A -120552100550052021⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18. 设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如方程AX X λ=,存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为与特征值λ对应的特征向量.定理2.19.设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵I A λ-称为A 的特征矩阵，其行列式I A λ-为λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式0I A λ-=称为A 的特征方程，λ是矩阵A 的一个特征值，则一定是0I A λ-=的根，因此又称为特征根.若λ是0I A λ-=的i n 重根，则λ称为A 的i n 重特征值.引理2.20.设A 为n 阶矩阵，则A 为幂等矩阵的充要条件()()r A E r A n -+=，这里E 为n 阶单位矩阵，()r A 表示A 的秩.引理2.21.幂等矩阵()1112A A X B = 与000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 或000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，其中()r r A =. 例2.22. 设12,,A A A 均为n 阶方阵，且12A A A =+，()()(),1,2i i r A r r A r i ===，求证：若212,A A r r r ==+，则12,,A A A 的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：（1）当A 可逆时，即()r A n =，因为2A A =，所以A E =，又 12r r r =+，12E A A =+，由已知得()()()12r A r A r A n =+=，由引理2.20得到211A A =.同理222A A =，所以1A ，2A 是幂等矩阵，由引理2.21得 10~00rEA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，200~0r A E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12,,A A A 和E ，000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦，000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有相同的特征根，所以12,,A A A 的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.（2）当()0r A =时，即0A =，结论显然成立.（3）设0r n <<，即A 为非零由布可逆矩阵，又因为2A A =，故存在可逆矩阵P 使11112P AP P A P P A P ---=+，()r r A =，令 000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112111221222122A A B B A A B B ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这里 ()1ij P AP A -= ()121111ij r P A P B E A B -=⇒=+，所以 ()()()()()1111111111=r r A B r A r B r A r B r +≤+≤+=，从而 ()()()()()1111111112=r r A B r A r B r A r A r +≤+≤+=，又因为 ()()()11121100r A r A A B -≥-≥， r ，从而 ()()111r A r A =，()211r A B =，这样1111Er A B =+，且()1111r A B r +=，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q ，使11110Q=00rE Q A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，211100Q=0r Q B E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 111112n-n-n-n-00000000000r r r r r E QQQ Q P A P P A P E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122n-n-n-n-00000000r r r r A A B B Q Q Q Q A A B B E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122Q A Q Q A Q B Q Q B A Q A B QB ----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设 1111122122Q A Q Q A A Q A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121111222000r E C C G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为11211111222000r E C r C r G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以21120,0G G ==，设 211111112r 212122*********W Q B QQ B E W B QB Z Z B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，同上可得110Z =，110W = ，故111121120,0,0,0C G W Z ====，又1111112212222000000r E Q A Q Q A A Q A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，从而220A =，同理 2111112212200000000r Q B QQ B E B QB --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，100n r Q T P E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故有 1210000,000r r E T AT E -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211120000000,00000000r r E T AT T A T E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，综上所述,结论成立.小结本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.参考文献[1] 蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007：141-149.[2] 杜之韩,刘丽,吴曦.线性代数[M].成都：西南财经大学出版社，2003：61-68.[3] 郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].唐山师专学报，1999(5):37-38.[4] 王萼芳.线性代数学习指导[M].北京：清华大学出版社，2008：104-108.[5] 祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009：1-4.[6] 孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006（5）：24-25.[7] 王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报，2008（3）：98-99.[8] 严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报，2006（59）：71-73.[9] 张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报，2003（1）：118-120.[10] 周兴建.分块矩阵及其应用[J].科技资讯，2007（35）：126-126.[11] 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不可简约矩阵分式描述教学课件PPT

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步骤：利用行初等运算，求D ( s )和 N ( s )的gcrd：R(s)
计算R(s)的逆矩阵R-1(s) 取D(s) D (s) R11(s)为不可简约MFD。
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基于最大公因子构造定理的算法
算法依据：令N (s) D 1 (s)为可简约MFD，单模矩阵U(s) 使 D ( s ) R( s) U ( s) N ( s ) 0 R(s)为gcrd。表 V11 ( s ) V12 ( s ) 1 U ( s) V ( s) V21 ( s ) V22 ( s ) 其中，dimV11(s)=dim D ( s )。则V21(s)V11-1(s)是N (s) D 1 (s) 的一个不可简约MFD。步骤：利用行初等运算，求U(s)
~ ~ X (s) D1 (s) Y (s) N1 (s) U (s)
多项式矩阵多项式矩阵 III. 证明U-1(s)也为多项式矩阵：由{N1(s)，D1(s)}为右互质可知，
X ( s ) D1 ( s ) Y ( s ) N1 ( s ) I X ( s ) D2 ( s )U ( s ) Y ( s ) N 2 ( s )U ( s ) I
8.4不可简约矩阵分式描述
不可简约MFD实质上是系统传递函数矩阵的一类最简结构MFD，通常也成为最小阶MFD 。在线性时不变系统复频率域理论中，对系统的分析和综合总是相对于不可简约MFD进行讨论的。本节是对不可简约矩阵分式描述的一个系统性的讨论。主要内容包括不可简约 MFD的定义和基本特性。
X (s) D2 (s) Y (s) N2 (s) U 1 (s)
所以U-1(s)也为多项式矩阵如上证明U(s)为单模阵，所以性质1得证。