高一数学上同步辅导讲与练-数列电子教案

数列等差数列
一、学习目标：
1、理解数列的概念；
2、了解数列通项公式的意义；
3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

4、理解等差数列的概念；
5、掌握等差数列的通项公式，并能运用公式及等差数列的性质解决简单的问题。

二、例题分析：
第一阶段
[例1]根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的第7项与第10项:
(2)a
=n(n+2);
n
=-2n+3
(4) a
n
思路分析：根据数列定义的进行思考。

解：(1)
(2)a
7
=7×(7+2)=63，
a
10
=10×(10+2)=120；
(3)
(4)a
7
=－27+3=－125，
a
10
=－210m+3=－1021
说明：数列的通项公式其实就是项数n的函数。

[例2]己知数列
{a
n }
的通项公式a
n
=n(14－n)，考察这个数列的单调性，并求它
的最值。

思路分析：要考察{a
n }的单调性，只需判断a
n
－a
n-1
的符号，这与判断函数
单调性相似：
解：a
n －a
n-1
=－2n+15，因为n N*所以当1≤n≤7时递增，当n>7时递减。

又a
n
=－n2+14n=-(n-7)2+49，故最大值为a
7
=49。

说明：在解题过程中，渗透了函数思想。

[例3]在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列。

思路分析：此题可从不同角度加以考虑。

解法一：设这个数组成的等差数列为
{a
n }
，由己知a
1
=－1，a
5
=7，
∴7=－1+(5－1)d。

解得d=2，所求数列为－1，1，3，5，7。

解法二：可利用等差数列的性质求解。

∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1，7的等差中项，a是－1，b的等差中项，c 是b，
7的等差中项。

∴ 所求数列为－1，1，3，5，7。

说明：数列解题方法灵活，应多加思考，开扩视野，培养自己发散思维能力。

第二阶段[例4]
设{a n}是等差数列，
思路分析：运用等差数列的定义进行解题。

解：设等差数列{a
n
}
的公差为d，则a
n
=a
1
+(n－1)d，
∴a
1=-1，d=2或a
1
=3，d=-2
所以当a
1=-1，d=2时，a
n
=a
1
+(n-1)d=2n-3；
当a
1=3，d=-2时，a
n
=a
1
+(n-1)d=5-2n。

说明：学习中应注重培养运用方程（组）解决问题的能力。

[例5](1)若S
n =2n2-3n，求a
n
；
(2)若S
n =5n-3，求a
n。

思路分析
：己知S
n
求a
n
,则利用关系式
解：(1)当n=1时，a
1=S
1
=2·12-3·1=-1,当n≥2时，
a n =S
n
-S
n-1
=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，
由此得a
1
=-1，∴a
1
适合a
n
，∴a
n
=4n-5。

(2)当n=1时，a
1
=S
1
=5-3=2，
当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
=(5n-3)-(5n-1-3)=4·5n-1，
由此式得a
1=4，∴a
1
不适合a
n
，
思路分析：观察法得到数列的通项公式，判断前一项a
n 与a
n+1
之间的关系，
用作差法。

解：
第三阶段
[例7]成等差数列的四个数之和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

思路分析：
此题常规方法是利用己知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数。

其实因这里成等差数列的
四个数之和己知，故可设此四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，这样求解更为便利，但必须注意这时
的公差应为2d.
解：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得：
∴所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
[例8]己知a，b，c成等差数列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列？
思路分析：在a+c=2b条件下，是否有以下结果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c)?
解：∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，
又∵a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
∴a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列。

[例9]己知两个等差数列5，8，11…和3，7，11…都有100项，问它们有多少共同项。

思路分析：
两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.
解：设两数列的共同项组成的新数列为
{a
n }，则{a
n
}
是首项为11的等差数列。

∵数列5，8，11，…和3，7，11，…公差分别为3与4,
∴
{a
n
}的公差d=3×4=12，
∴a
n
=11+(n-1)·12=12n-1。

∵数列5，8，11,…与3，7，11，…的第100项分别为302与399，
∴a
n
=12n-1≤302，∴ n≤25.5，，
∴所给两数列有25个共同项。

三、练习题：
1、a+c=2b是a，b，c成等差数列的（）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
2、在△ABC中，三内角成等差数列，则角B等于（）
A、30°
B、60°
C、90°
D、不能确定
3、若a≠b，两个等差数列a，x
1，x
2
，b与此同时a，y
1
，y
2
，y
3
，b的公差分
别为d
1，d
2
，则
4、夏季高山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，己知山顶气温是14.1℃，山脚气温是26℃，那
么此山相对于山脚的高度是（）
A、1500米
B、 1600米
C、 1700米
D、1800米
5、设数列通项公式a
n
=f(n)是一个函数，它的定义域是（）
A、非负整数
B、一定是正整数集N*
C、正整数集N*的一个有限子集
D、正整数集N*或{1，2，3，…，n}
6、数列{a
n }的前n项和S
n
=2n2+1，则a
1
，a
5
的值分别为（）
A、2，14
B、2，18
C、 3，4
D、3，18
提示：a
1=S
1
a
5
=S
5
-S
4
7、己知{a
n }是等差数列，则由下列式子确定的数列{b
n
}也是等差数列的是（）
A、b
n =|a
n
| B、b
n
=a
n
2 C、D、
b n =1-a
n
8、设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“”那么（）
A、甲是乙的充分不必要条件
B、甲是乙的必要不充分条件
C、甲是乙的充要条件
D、甲是乙的既不必要也不充分条件
_________________。

10、在200到600之间能被5除余2的数有_______个。

11、己知a，b，c成等差数列，且a，b，c三数之和为15，若a2，b2+9，c2也成等差列，求a，b，c。

四、参考答案：
1—5 C B C C D
6—8 D D B
9、
10、 80
11、a，b，c为8，5，2 或2，5，8。

12、略
13、。