分式方程的增根及无解
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
人教版数学八年级上册第15章：分式方程的无解与增根
例4、当a为何值时，关于 x的方程
2 x-
2
+
ax x2 -
4
=
x
3 +
2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)
整理得（a－1）x＝－10
②
（无（综把1解 2上x））＝。 所当当若则把解2述或aa原增得x，--＝－11分根，≠a2=20＝式为a或0代时＝即1方x－入，或－=a程22方=xa4代或1有＝＝或程入x时增2一6=②或．方(-根４a2中－-程1，或，)2②xa时得=＝中-，1a6，0＝原时无－方，解4程原，或无分原6．解式方，方程 程无解．
x2
课堂小结
复习完本课后你有哪些收获？
课后作业：
1、已知关于 x的方程
2x m x-2
3的解为正数，
则的范围是
2、若关于 x的方程
x x
k
1
x
k
1
1的解为负数，
则k的取值范围是
人教版 八年级上册 第十五章
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程： 2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。
关于分式方程的增根与无解问题 的一般步骤：
浅谈分式方程的增根与无解
【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。
今天，给大家带来 2 类典型的问题。
一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。
1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。
换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。
因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。
而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。
由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。
1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。
故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。
这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。
因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。
那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。
一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。
二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。
【doc】怎样区别分式方程的增根与无解
怎样区别分式方程的增根与无解责旧.蝙辑:王二喜刘顿学习了解分式方程以后,不少同学把增根与无解混为一谈.为了掌握这两个概念,现举例说明这两个概念的区别和联系.一.岔将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,可能产生不适合原分式方程的解或根,这种根称为增根.如,若方程—+3=有增根,则这个增根一定是=2.一二_徭绣罗解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程.对原分式方程的解来说,各分式的分母不能为零,而对去分母后得到的整式方程来说,没有这个限制.因此,解分式方程时,必须检验.2O09.3的增根与无解怎样区剔分式方程课程_IiI赍源_…i庭裔锄辑分式方程无解有两种情形:一种是将原分式方程两边都乘以最简公分母,去分母并整理得到的整式方程为ax=b,若a=O,而b≠0,则此整式方程无解,即原分式方程无解;另一种是化分式方程为整式方程,整式方程的解是原分式方程的增根,此时分式方程无鳃.,ll如,若关于的方程一1=0无解,试求n的值.将原方程去分母转化为(o一1)x+2=O,即(n一1)一2.当n一1=0时,~Ja=l,此时整式方程无解.所以当n=1时,原方程无解.对于方程(.～1)x+2=O,当=1时,原方程无解.所以当(n一1)×1+2=0时,即o=一1,原方程无解.所以a为1或一1.在解本题时,考虑问题要全面,不要只考虑原分式方程有增根的情形,而忽略了整式方程无解,则原分式方程无解的情况.一分薅方癌警车麟按哮暴分式方程有增根,则增根是原分式方程变形后所得整式方程的根,但不是原分式方程的根,即这个根使最简公分母为0.如,解分式方程=3一刍,可得x=2,把=2代人(2一),得2一x=O,即=2使分式方程的分母2一为0.所以x=2不是原方程的解,x=2 是原方程的增根,此方程无解.在本题中,分式方程有增根,方程无解.请思考下面两道题:1.若关于的方程:m无解,求m的值.2.m为何值时,关于的方程+x2-4=会产生增根.目I2OO9.3。
分式方程的增根和无解(精品公开课)演示教学
∴ x=2或x=-2是 整式方程的根. 当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根.原分式方程无解。
综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解.
论，整式方程无解和整式方程的解为增根.而无解
• 4、分式方程 x 2 ● x 1 1- x
• 中的一个分 子被污染成了●，已知 这个方程无解，那么被污染的分子 ●应该是 。
（1）方程
X-4 x-5
=
1 X-5
有增根，则增根是_X_=_5
（2）
1-X x-2
=
1 2-X
-2
有增根，则增根是_X_=_2
（3） 解关于x的方程
x-3 x-1
=
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
a就是分式 方程的增根
解分式方程 1 x 1 2 x2 2x
格式该怎么写呢？ 1、（找最简公分母）方程两边都乘以。。。，得
。。。。。。 2、整理得（或化简得） 。。。。。。 3、 解这个方程，得 。。。。。。 4、检验： 把。。。代入。。。。。。=。。。 5、（结论）。。。。。。
解方程： (1) x 1 3 x 2
x2 2x
X=1
(2)
x x
2 2
16 x2
4
1
X=-2 不 是是 分分 式式 方方 程程 的的增解根
.
解分式方程及增根-无解的典型问题含答案
分式方程增根与无解例1：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。
解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。
解得1a =原分式方程无解。
当10a -≠时，整式方程有解。
当它的解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。
例2：若分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围。
解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a32-a 23>≠解得2a <且4a ≠-思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？当堂检测1. 关于x 的方程12144a xx x -+=--有增根，则a =-------2. 关于x 的方程1122kx x +=--有增根，则k 的值为----------3. 若分式方程x aa a +=无解，则a 的值是----------4.若分式方程201m xm x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1-25. 若关于x 的方程(1)5321m x m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，106. 关于x 的方程21326x m x x -=--有增根，则m 的值-----答案：m=2或-27.当a 为何值时，关于x 的分式方程311x a x x --=-无解。
答案:-2或1。
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
无解≠增根
陈峰
分式方程的无解和增根令许多初学分式 增根和整式方程无解这两种情况讨论。
方程的同学头疼，无解是不是一定意味着这个
解 ：将 方 程 两 边 同 时 乘 x（x-1），得 x
方程有增根？本文试通过几道例题来谈谈它 （x-a）-3（x-1）=x（x-1），
们的差别。
整理方程，得（a+2）x=3。
又∵分式方程无解，∴x=1 即为增根。
不能等于 1，而对于变形后的方程来说，x=1。
当增根为 1 时，得 a+2=3，解得 a=1。
因此 x=1 是在去分母过程中“增加”的根，这个
综上所述，当 a=-2 或 a=1 时，该分式方程
根原本是不存在的，这样的根就是增根。
无解。
例1
若方程
x x-3
-2=
m x-3
二、无解可能出现增根，也可能真没解
分式方程的根如果是增根，则分式方程无
解。反之却不一定成立。如果分式方程无解，
还有可能是化为整式方程后，整式方程就是无
解的。
例2
若关于 x 的分式方程
x-a x-1
-
3 x
=
1
无解，则 a=
。
【分析】分式方程无解，需要分分式方程有
技巧点评：已知分式方程无解，可先考虑
去分母，将它们化成整式方程，然后讨论是整
x=
k
5
3
。
因为
x＜0，所以
k
5
3
＜
k
5
3
≠-3，所以 k≠-12。
所以当 k＜3 且 k≠-12 时，原分式方程的解
为负数。
（作者单位：海安高新区仁桥初级中学）
46 策略方法
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
分式方程有增根或无解
• 9、若分式方程 x a a 无解，则a的 a
取值是a= 0 。
• 10、若分式方程 2m m x 0 无 x 1
解，则m的取值是（ A ）
•
A、-1或 1 B、 1
2
2
•
C、-1
D、 1 或0
2
• 11、若关于x的分式方程
（
）
A.－１
B. 1 C. ±1 D.-2
• 5、若分式方程
m x 1 x 1
• 有增根，则m的值为 -1 。
• 6、分式方程
1m
•
x 2 x 1
• 有增根，则增根为（ C ）
•
A、2
B、-1
•
C、2或-1 D、无法确定
• 7、关于x的分式方程
1 1 k x2 x2
• 有增根，则k= 1 。
• 8、分式方程 x 2 ● x 1 1- x
1.解方程
当堂检测
X=2是增根原方程无解
2.关于x的方程
有增根,则a＝_7_ 。
c 3.解关于x的方程 m 1 下列说法正确的是（ ） x5
A.方程的解为 x m 5 B.当 m 5 时，方程的解为正数
C.当 m 5 时，方程的解为负数
D.无法确定
c 4.若分式方程
xa x 1
a无解，则a的值是
例1 解方程：
x 1 4 1 x 1 x2 1
(1) 增根是使最简公分母值为零的未知数 的值. (2) 增根是整式方程的根但不是原分式方 程的.所. 以解分式方程一定要验根.
例2 解关于x的方程 2 ax 3
x 2 x2 4 x 2
浅谈分式方程的增根和无解
2013-12课堂内外分式方程的增根和无解是分式方程中两个重要的概念，学生在学习分式方程的过程中，常常对这两个概念混淆不清，总认为分式方程的无解和增根是同一回事，然而事实并非如此。
分式方程有增根，是指解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。
分式方程无解是指无论x为何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情况：（1）原分式方程去分母后的整式方程无解。
（2）原方程去分母后的整式方程有解，但是这个解却使得原分式方程的分母为零，它是原分式方程的增根，从而原方程无解。
一、初步认识无解和增根例1.解分式方程x-3x+2=4-xx+2+2①解：方程两边同乘x+2，得x-3=4-x+2（x+2）②整理得-7=4因为方程②无解，所以原分式方程①无解。
点评：此例说明了分式方程转化为整式方程后，整式方程无解，因此原分式方程无解。
例2.解分式方程5x+2x2+x=3x+1①解：方程两边同乘x（x+1），得5x+2=3x②解之得x=-1检验：当x=-1，x（x+1）=0，所以x=-1是原方程的增根，从而原分式方程无解。
点评：方程①中x的取值范围是x≠-1且x≠0，而在去分母化为整式方程②后，此时x的取值范围扩大为全体实数。
所以当求得x的值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，故原分式方程无解。
归纳总结：1.增根是分式方程转化为整式方程的根，但不是原分式方程的根。
2.无解要分两种情况，一种是分式方程转化为整式方程后整式方程无解，另一种是整式方程有解但所求的解都是原分式方程的增根。
二、提升对无解和增根的理解例3.关于x的方程xx-3=2+k x-3无解，求k的值。
解：方程两边同乘x-3得：x=2（x-3）+k①x=6-k因为原分式方程无解，但是①有解，所以这个解6-k一定是原方程的增根。
即x=3当x=3时，6-k=3，所以k=3。
分式方程的增根与无解(1)
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程的无解与增根
解得，m =1 2、把增根代入整式方程 求出字母的值。 ∴当m 1时，原方程有增根。 时，原方程无解。
∵原方程有增根 x 2，即2 3 - m ∵原方程无解
例4、当a为何值时，关于 x的方程 2 ax 3 + 2 = x - 2 x - 4 x+2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)， 得2(x＋2)＋ax＝3(x－2) 整理得（a－1）x＝－10
那么增根可能是___________________ X=2或x=-2 ． K=-8或k=-12 则k的值可能为______________
方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。 3、把增根代入整式方程求出字母的值。
x -3 m 有增根， 无解， 例3、若关于x的方程 x-2 2-x x -3 m 解：原方程可化为 =x -2 x-2 方程两边同乘以（ x - 2），得 x - 3 = -m 1、化为整式方程。 ∴x = 3 - m
例如： 0； X=-3 ( x 3)(x - 1) 3、分式方程若有增根，增根代入最简公分母
（√ 2 例如： = 0 0X=2 4、使分式方程的分母等 x 0的未知数的值一定
是分式方程的增根。
（× ）
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程的增根与无解
南门学校
欧成敏
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化
二解
目标
三检验 检验 a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
分式方程的增根与无解 (教师版)
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
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分式方程的增根与无解甲:增根是什么?乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．比如例1、解方程:。
①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。
甲:原方程的解是。
乙:可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。
甲:那为什么会出现这种情况呢?乙:因为原来方程①中未知数ｘ的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲:如此说来,从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢?乙:很简单,两个字:检验。
可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。
甲：那么,这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢?乙:原方程无解。
甲:啊?！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论ｘ取何值,都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。
甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢?乙:不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：例2、解方程，去分母后化为,解得或,此时，是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。
乙:增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。
首先把原方程去分母,化为。
③因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或若增根为,代入方程③,得，；若增根为，代入方程③,得,。
故当或时，原方程会有增根。
甲:虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事？乙：你说的没错,增根与无解都是分式方程的“常客”,它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中,讨论无解的情形时应考虑增根,例如:例4、已知关于ｘ的方程无解，求m 的值。
先把原方程化为。
④(１)若方程④无解，则原方程也无解,方程④化为，当,而时，方程④无解，此时。
（２)若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根,这时原方程也无解,所以，当方程④的解为时原方程无解,代入方程④,得，故。
综合(1）、(2)，当或时，原方程无解。
妙用分式方程的增根解题在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例．例1 若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根,则a 的值为_＿_＿＿__＿__＿＿_＿＿＿__. 析解：去分母并整理,得11ax x +=-,因为原方程有增根，增根只能是1x =,将1x =代入去分母后的整式方程,得1a =-．例2 若关于x 的方程2233x m x x -=+--无解,则m 的值是_＿__＿____. 析解:去分母并整理，得40x m +-=.解之，得4x m =-.因为原方程无解,所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以43m -=，1m =.例３． 已知方程214x -＋2＝2k x -有增根，则k =____＿__＿__＿___. 析解:把原方程化成整式方程,得212(4)(2)x k x +-=-+.因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-．将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+,得14k =-; 将2x =-代入212(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－14.练一练：1. 如果分式方程11x m x x =++无解，则m 的值为( ）. (Ａ)1 (Ｂ)0 （C)-１ （D)－22. 如果方程2211x k x x x++=--有增根1x =，则k ＝_＿＿_____.答案：1．C;2.1;分式方程的增根及其应用一、增根的原因解分式方程时,有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中,无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,于是就产生了如下两种情况:（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内,那么整式方程的根就是分式方程的根;(２)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根,是分式方程的增根．因此，解分式方程时,验根是必不可少的步骤.二、利用增根解题不可否认,增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性,由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种:１.已知方程有增根,确定字母系数值例1:若方程323-=--x m x x 有增根，则m 的值为 ( ） Ａ. -３ B ．3 C.0 D ．以上都不对析解：把分式方程两边同乘以公分母x －3，得整式方程x －2（ｘ-3）=m ．若原方程有增根,必须使公分母x-3等于0,即x=3,代入整式方程得３=６- ｍ,解得m=3.故应选Ｂ．点评:方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程;②令公分母为0，求出ｘ的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．２．已知方程无解，确定字母系数值例2：若方程132323-=-++--xmx x x 无解,则m 的值为 （ ) A. －1 B.3 Ｃ．－１ 或3 D ．-1 或53- 分析：把分式方程化为整式方程,若整式方程无解,则分式方程一定无解;若整式方程有解,但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值,此时相应的字母系数值使分式方程无解．解：去分母，得(3-２x)－(2+m ｘ）=３-x,整理，得(ｍ+1） x=-2.若m+1=0,则m ＝ －1,此时方程无解；若m+1≠0，则x=12+-m 是增根.因为12+-m =３,所以m=53-.所以m 的值为-1 或53-,故应选D. 点评:方程无解的条件,关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解,但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到.３．已知方程无增根,确定字母系数值例3:若解关于x 的方程1112+=---x x x k x x 不会产生增根,则k 的值为 ( ) A ．2 B.1 C ．不为±2的数 D ．无法确定析解:去分母，把分式方程化为整式方程，x （ｘ+1）-k=x(x-1)，解关于ｋ的方程,得k=2x.由题意, 分式方程无增根，则公分母x 2-1≠０,即x ≠±1，则ｋ≠±2.故应选C ．点评:方程无增根,就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0,利用这一点可以确定字母系数值或取值范围．妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母,转化为整式方程来解,若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根,应舍去,由此定义可知：增根有两个性质:（1)增根是去分母后所得整式方程的根;(２)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质,可简捷地确定分式方程中的参数(字母）值，请看下面例示：一、 分式方程有增根,求参数值例1 ａ为何值时,关于x 的方程342-+-x a x x =0有增根? 分析:先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a 的值解:原方程两边同乘以（x-3）去分母整理,得x 2-4x ＋a=０（※）因为分式方程有增根,增根为x=3,把x=3代入（※）得，9-1２+a ＝0 a=３所以a=3时,342-+-x a x x =0有增根。
点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值例2 m 为何值时，关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
分析:原分式方程有增根，应是使分母为０的x 值。
将这样的x 值代入去分母的整式方程可求出m 的值。
解：原方程两边同乘以(x-1)(x-2)去分母整理,得（１＋m ）x=3m ＋4(※)因为分式方程有增根,据性质(2)知：增根为ｘ=1或x=２。
把x=1代入(※)，解得m=-23；把ｘ=2代入(※)得m=-２所以m ＝－23或-2时，原分式方程有增根点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解(无实）,如方程1+x k +１=)2)(1(2-+x x 有增根，可求得k=-32,但分式方程这时有一实根x ＝38。
二、 分式方程是无实数解,求参数值例3 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数根,求ｍ的值。
分析：因原方程无实数根,将原方程去分母得到整式方程解出的ｘ值为原方程的增根，又x=５是原方程的增根,故可求出ｍ的值解:去分母，得x-2=ｍ＋2ｘ-1０，ｘ＝-m+８因为原方程无解,所以ｘ＝-m+8为原方程的增根。
又由于原方程的增根为ｘ=5，所以－m ＋８=5所以m=3点评:这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。
分式方程的非常规解法抓特点选方法有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目的特点,采用一些特殊的方法,就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予以说明．一、分组化简法例１.解方程：111102345x x x x --+=++++ 分析：本题的最小公分母为(2)(3)(4)(5)x x x x ++++,若采用一般解法，就会出现高次项数,计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到11123(2)(3)x x x x -=++++，11145(4)(5)x x x x -=++++,在此基础上再通过比较上面两式即可将本题求解.解:原方程化为:1111()()02345x x x x ---=++++，∴上式可变为:110(2)(3)(4)(5)x x x x -=++++.即11(2)(3)(4)(5)x x x x =++++， ∴(2)(3)(4)(5)x x x x ++=++，解这个整式方程得: 3.5x =-，当 3.5x =-时,该分式方程中各分式的分母的值均不为0,所以 3.5x =-为原方程的解．二、拆项变形法例2．解方程2332+-x x -21-x =xx x x 24122-+- 分析：本题求解时应首先将题目中的第1，3,4个分式的分母因式分解，再将这几个分式分解成两个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷易解.解:原方程变形为:3311122()()()21212x x x x x x x --=-+------ 化简后整理得:143-=x x ，∴3(1)4x x -=,解得:3x =-,当3x =-时，分式方程中的各分式的分母均不为0,故3x =-是原方程的解． 三、利用特殊分式方程aa x x 11+=+求解. 分式方程a a x x 11+=+的解为121x a x a ==，，若一个方程等号两边的项分别互为倒数时，则此时便可套用上面的方程的解法求解.例3．解方程：2123113=-+-x x x x 分析:因本题中13-x x 与x x 31-，2与21分别互为倒数,符合方程a a x x 11+=+的特点，故可将该方程转化为这种方程的形式求解. 解：原方程变形为3112132x x x x -+=+-，设则x x 31-=y 1,此时原方程变形为:1122y y +=+，∴2y =或12y =．即321x x =-或3112x x =-，解得：12125x x =-=-，.经检验得：12125x x =-=-，都是原方程的解.∴原方程的解为12125x x =-=-，.与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现,现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。