分式方程的增根及无解

分式方程的增根与无解

甲:增根是什么?

乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．比如

例1、解方程:。①

为了去分母，方程两边乘以，得②

由②解得。

甲:原方程的解是。

乙:可是当时，原方程两边的值相等吗？

甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？

乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。

甲:那为什么会出现这种情况呢?

乙:因为原来方程①中未知数ｘ的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲:如此说来,从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢?

乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。

甲：那么,这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢?

乙:原方程无解。

甲:啊?！为什么会无解呢？

乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论ｘ取何值,都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。

甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢?

乙:不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：

例2、解方程，

去分母后化为,解得或,此时，是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。

乙:增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看：

例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。

首先把原方程去分母,化为。③

因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或

若增根为,代入方程③,得，；

若增根为，代入方程③,得,。

故当或时，原方程会有增根。

甲:虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事？

乙：你说的没错,增根与无解都是分式方程的“常客”,它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中,讨论无解的情形时应考虑增根,例如:

例4、已知关于ｘ的方程无解，求m 的值。 先把原方程化为。④

(１)若方程④无解，则原方程也无解,方程④化为，当,而时，方程④无解，此时。 （２)若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根,这时原方程也无解,所以，当方程④的解为

时原方程无解,

代入方程④,得，故。 综合(1）、(2)，当或时，原方程无解。

妙用分式方程的增根解题

在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例．

例1 若关于x 的方程1101

ax x +-=-有增根,则a 的值为_＿_＿＿__＿__＿＿_＿＿＿__. 析解：去分母并整理,得11ax x +=-,因为原方程有增根，增根只能是1x =,将1x =代入去分母后的整式方程,得1a =-．

例2 若关于x 的方程2233

x m x x -=+--无解,则m 的值是_＿__＿____. 析解:去分母并整理，得40x m +-=.

解之，得4x m =-.

因为原方程无解,所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以43m -=，1m =.

例３． 已知方程214x -＋2＝2

k x -有增根，则k =____＿__＿__＿___. 析解:把原方程化成整式方程,得

212(4)(2)x k x +-=-+.

因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-．

将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+,得14

k =-; 将2x =-代入212(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－

14.

练一练：

1. 如果分式方程11

x m x x =++无解，则m 的值为( ）. (Ａ)1 (Ｂ)0 （C)-１ （D)－2

2. 如果方程

2211x k x x x

++=--有增根1x =，则k ＝_＿＿_____.

答案：1．C;2.1;

分式方程的增根及其应用

一、增根的原因

解分式方程时,有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中,无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,于是就产生了如下两种情况:（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内,那么整式方程的根就是分式方程的根;(２)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根,是分式方程的增根．因此，解分式方程时,验根是必不可少的步骤.

二、利用增根解题

不可否认,增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性,由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种:

１.已知方程有增根,确定字母系数值

例1:若方程323-=--x m x x 有增根，则m 的值为 ( ） Ａ. -３ B ．3 C.0 D ．以上都不对

析解：把分式方程两边同乘以公分母x －3，得整式方程x －2（ｘ-3）=m ．若原方程有增根,必须使公分母x-3等于0,即x=3,代入整式方程得３=６- ｍ,解得m=3.故应选Ｂ．

点评:方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程;②令公分母为0，求出ｘ的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．

２．已知方程无解，确定字母系数值

例2：若方程132323-=-++--x

mx x x 无解,则m 的值为 （ ) A. －1 B.3 Ｃ．－１ 或3 D ．-1 或5

3- 分析：把分式方程化为整式方程,若整式方程无解,则分式方程一定无解;若整式方程有解,但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值,此时相应的字母系数值使分式方程无解．

解：去分母，得(3-２x)－(2+m ｘ）=３-x,整理，得(ｍ+1） x=-2.若m+1=0,则m ＝ －1,此时方程无解；若m+1≠0，则x=12+-m 是增根.因为12+-m =３,所以m=53-.所以m 的值为-1 或5

3-,故应选D. 点评:方程无解的条件,关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解,但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到.

３．已知方程无增根,确定字母系数值

例3:若解关于x 的方程1

112+=---x x x k x x 不会产生增根,则k 的值为 ( ) A ．2 B.1 C ．不为±2的数 D ．无法确定