二元一次不等式组知识点讲解及习题

第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划

1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在

平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点

(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）

2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部

分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。（二元一次不等式表示的区域）

例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。

（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。

（点的分布）

例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8

（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24

D ．－7≤m ≤ 24

（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。

（1） （2）

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≥≤+<242y y x x

y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+<≥+≥<9

362323x y y x x y x

(已知区域求不等式)

例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。

（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为

（已知不等式组求围成图形的面积）

例5、求不等式组

3,

0,

20

x

x y

x y

≤

⎧

⎪

+≥

⎨

⎪-+≥

⎩

表示的平面区域的面积

（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组

230,

2360,

35150,

x y

x y

x y

y

->

⎧

⎪+-<

⎪

⎨

--<

⎪

⎪<

⎩

所确定的平

面区域内整点个数

（绝对值不等式的画法）

例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。

（跟踪训练）画出不等式|x-2|+|y-3|>3所表示的区域。

(整式不等式表示的区域)

例7、画出不等式（x+2y-1）(x-y+3)>0所表示的平面区域

（跟踪训练）画出不等式(5)()0,

03

x y x y x -++≥⎧⎨

≤≤⎩表示的平面区域

3、 线性规划：

（1） 线性规划问题举例设z=2x+y,式中变量x,y 满足如下条件：

210,

0,

0.x y x y +-≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

求z 的最大值，和最小值

由上面知道，变量x 、y 所满足的每一个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些区域的公共部分

直线：l 0: 2x+y=0,作一组直线与l 0平行，l:2x+y=t,(t 为任意实数)可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x, y ）满足2x+y>0.

（2）（线性）约束条件：即不等式组

(线性)目标函数：即上式中的z= 2x+y.

（3）可行解：满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解。

可行域：由所有可行解组成的区域叫做可行域

最优解：使得目标函数取得最大值和最小值得解叫做最优解。（线性目标在线性约束条件下的最值）

例1、若x, y满足约束条件

210,

0,

0.

x y

x

y

+-≤

⎧

⎪

≥

⎨

⎪≥

⎩

求z=x+2y的最大值是

(跟踪训练1)若x，y满足不等式组

5,

26,

0,0,

x y

x y

x y

+≤

⎧

⎪

+≤

⎨

⎪≥≥

⎩

则使k=6x+8y取得最大值

的点的坐标是.

（跟踪训练2）已知x ，y 满足约束条件

50,0,3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩

则y x z -=4的最小

值为______________．

（最优解有无数个问题）

例2、给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ）

A ．

32

B ．21

C ．2

D ．2

3

（跟踪训练）已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域

内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为 （ ）