等差数列的性质优质课

型
an=3n+5 a1=8，d=3
17 14 11 8 1 2 3
y=3x+5
an=12-2n a1=10，d=-2
1 0 8 6 4
y=12-2x
4
1 2
3
4
等差数列的性质(二)
如果a,A,b成等差数列,那么A叫a 与b的等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的 末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项. 如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
等差数列重要拓展课题：
导航：等差数列的定义和通项公式是处理等差数 列问题的出发点，化基本量进行计算是基本方法， 但充分利用性质总可以使问题更加简便，事实上， 学习任何数列都应当充分重视其性质的研究，我 们对函数研究时何尝不是同样的道理，Let’s go!
知识回顾
AAAAAAAAAAAAA 如果一个数列从第2项起， 每一项与 定 义 — 它前一项的差 等于同一个常数. . . . . . .
四个数怎么设？
等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，
a＋ d；
(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a
－ d， a＋ d， a ＋ 3d；
(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a
－ d， a， a＋ d ， a＋ 2d.
如何判断一个数列为等差数列
2
等差数列。 （2）数列{an }的前n项和为S n n 2n 1, 求该数列的
2
通项。
等差数列的性质(一)
1、若一个数列的通项公式为n的一次 函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,公差为p .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
等差数列的性质(三)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a3 a 5 a1 a 7
(2)a1 a 4 a 6 a 3 a 8 (3)a1 a 5 a 6 a 2 a 3 a 7 注意：等式两 (4)a3 a 4 a 5 3a4 边作和的项数 必须一样多 (5)a3 a 4 a 5 4a3 (6)a8 a13 a 21
等差数列的性质(四)
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d a1，a2，a3，……an
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数 列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
am+1，am+2，……an是等差数列 首项为am+1，公差为d，项数为n-m
等差数列的性质(四) 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d， a1，a2，a3，……an
（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数 列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？
a7，a14，a21，……是等差数列
首项为a7，公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢？
ak，a2k，a3k，……是等差数列 首项为ak，公差为kd
等差数列的性质(四) 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，
等差数列的性质(一) 例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q 是常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数 列吗？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只 要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了 解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2) an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
等差数列的性质(四) 1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan} kd 。 也为等差数列，公差为 ____
d 的等差数列； 2、{c＋an}(c为任一常数)是公差为__
cd 的等差数列． 3、{c· an}(c为任一常数)是公差为____
4、若数列{an}与{bn}分别是公差为d1、d2等差 数列，则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等 差数列，{pan+qbn}也为等差数列。
例题分析
(2)[解]
1 ∵{ }是等差数列， an－2
1 1 1 n ∴ ＝ ＋(n－1)·＝ ， 2 2 an－2 a1－2 2 2 ∴an－2＝n，∴an＝2＋n.
例题分析
例5：
整体思想
1 1 1 1)数列{a n }中，a1 1 ， ，求a n a n+1 a n 3
2 1 1 2)数列{a n }中，a1 2， ， an a n+1 a n-1 （n 2）求a n
等差数列 公 差 — d =an+1-an 通 项— a =a +(n-1)d 或an am (n m)d n 1 — 等差数列各项对应的 几 何 意 义 点都在同一条直线上. 【说明】 ①数列{ an }为等差数列 an+1-an=d 或 an+1=an+d ②公差是 唯一 的，是一个常数。
解后反思： 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是 p 证明一个数列是等 在通项公式中令n=1，得a =p+q, 差数列的方法 所以这个等差数列的首项是 p+q，公差是p,
=pn+q-(pn-p+q) =p
1
作业讲评：
（ 1 ）数列{an }的前n项和为S n n 2n, 求证该数列是
解 : 设这三个数为a d , a , a d . a d a a d 12 设数技巧 a d a a d 48 已知三个数成等差 数列，且和为已知时 a 4 a 4 常利用对称性设三数 或 为：a-d , a ,a,a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得 a4= 17 a4= 11 _2或2, 从而a = _3 ∴ d= 或 14 a7= 11 a7= 17 或31
练习
变式1：已知{an }为等差数列， a4 a5 a6 a7 56, a4a7 187, 求a1,d
变式2：已知{an }为等差数列， a2 a5 a8 9, a3a5a7 21, 求数列通项公式
1 5 5 9 3 7 3 7 5 2 2 2 3 7 1 9 5 9 3 11 1 13 5 7 2 2 2 2 2
即： a2 a4 a1 a5 2a3
a3 a5 a2 a6 a1 a7 2a4
思考题:已知三个数成等差数列的和 是12，积是48，求这三个数.
例题分析
例3：等差数列{a n }和{bn }中，a1 34, b1 66, a 98 85, b98 15, 求a 2008 b2008
例题分析
————重点题型：证明一个 数列是等差数列
4 (n≥ 2)，
例 4 已知数列 {an}满足 a1＝4，an＝4－ 1 bn＝ . an－2 (1)求证：数列 {bn}是等差数列； (2)求数列 {bn}的通项公式．
3)数列{a n } 中，a1 1 ，a 2 4， a n+2 2a n+1 a n 2，求a n
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等 差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a1，a3，a5，……是等差数列 首项为a1，公差为2d
取出的是所有偶数项呢？
a2，a4，a6，……是等差数列 首项为a2，公差为2d
等差数列的性质(四) 已知一个等差数列的首项为a1，公差为d， a1，a2，a3，……an
可得a1+a20=10
(2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴
3 a6+a7+a8=2 （a3+a11）=15
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187， 求a14及公差d. 分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
(1)定义法：a n a n 1 d(常数）（n 1) {a n }为等差数列
(2)递推法： 2an 1 a n a n 2 (常数）（n 1) {a n }为等差数列
(3)通项法：a n为n的一次型函数 {a n }为等差数列
等差数列的性质(三)
d 为公差，若 在等差数列an 中， m, n, p, q N 且 m n p q 则：am an a p aq （常用性质）
an－ 1
例题分析
(1)[证明] ∵an＝4－ 4 an－1 (n≥2)，
4 2an－2 ∴an＋1－2＝2－ ＝ ， an an 1 an 1 1 ∴ ＝ ＝ ＋ (n≥1)． 2 an＋1－2 2an－2 an－2 1 1 1 故 － ＝ (n≥1)， an＋1－2 an－2 2 1 即 bn＋1－bn＝ .∴数列{bn}是等差数列． 2
a1，a2，a3，……an
（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差
数列吗？公差是多少？
a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是 等差数列吗？公差是多少？ a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列， 公差为3d。