导数大题的常用找点技巧和常见模型

，即
，且
.
构造函数
，
.易得
，所以
单调递减.
又因为
，所以
.
下面只要证明当
时，
有两个零点即可，为此我们先证明当
时，
.
事实上，构造函数
，易得
，∴
，所以
，即
.
当
时，
其中
，
，
，所以
在
和
， 上各有一个零点.
故 的取值范围是
.
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面：
另一方面：
时，
； （目测的）
第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）
.
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2：
）：
1.讨论
的零点个数（令
，
）；
2.讨论
的零点个数（去分母后与 1等价）；
3.讨论 4.讨论
的零点个数（移项平方后与 1等价）； 的零点个数（移项开方后换元与 1等价）；
5.讨论 6.讨论 7.讨论
的零点个数（乘以系数 e，令
）；
的零点个数（令
或
【例 1】讨论Fra Baidu bibliotek数
（1）
时，无零点.
几个经典函数模型
. 的零点个数.
，
.
（2）
时，1个零点.
，
.
（3）当
时，2个零点.
（目测），
（4）当
时，1个零点.
，其中
，其中 .
.（用到了
，单调递增.
，
.（放缩） ）
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1：
. ）：
1.讨论 2.讨论 3.讨论
4.讨论 5.讨论 6.讨论
，转化成 2）
的零点个数（令
，
）；
经典模型三：
或
【例】讨论函数
的零点个数.
（1）
时，1个零点.
，
（2） （3）
时，1个零点（ 时，无零点.
， ）.
，
单调递增. .
（4）
时，1个零点.
.
（5）
时，2个零点.
，
，
，
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3：
1.讨论
的零点个数；
2.讨论
的零点个数（考虑
，令
3.讨论 4.讨论
的零点个数（令
）；
的零点个数；
）： ）；
练习题
1.已知函数
有两个零点，求 的取值范围.
2.设函数
，讨论
的导函数
的零点的个数.
3.已知函数
有两个零点，求 的取值范围.
4.已知函数
.当
时，试讨论
的零点的个数.
（放缩成双撇函数）
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
，
，
，
，
，
，
（放缩成二次函数）
，
，
（放缩成类反比例函数）
，
，
，
， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）
，
，
，
，
（放缩成类反比例函数）
，
，
（放缩成二次函数） 第三组：指对放缩
，
，
第四组：三角函数放缩
，
，
.
第五组：以直线
为切线的函数
，
，
，
，
.
经典模型一：
导数大题的常用找点技巧和常见模型
引子：（2017年全国新课标 1·理·21）已知
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求 的取值范围.
解析：（1）
若
，则
恒成立，所以
在 R上递减；
若
，令
，得
.
当
时，
，所以
在
上递减；
当
时，
，所以
在
上递增.
综上，当
时，
在 R上递减；当
时，
在
上递减，在
上递增.
（2）
有两个零点，必须满足
的零点个数（令
，
的零点个数（令
）；
的零点个数（考虑
）； ）；
的零点个数（考虑
，令
，
）；
的零点个数（令
，
）；
的零点个数（令
）.
经典模型二：
或
【例 2】讨论函数
（1）
时，1个零点.
的零点个数. ，
单调递增.
且
，
（2）
时，无零点.
（3）
时，无零点.
（4）
时，2个零点.
，
，所以在
上有一个零点；
恒成立； ；
，