相似三角形性质新人教版品剖析
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相似三角形的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的 三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
a.定义 b.预备定理 c.SSS d.SAS e.AA f.HL
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？ A/
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
A´ D´ C´
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于_____3_∶. 5 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为____2_:5__, 对应角的角平分线的比为__2_:5___, 周长的比为___2_:5_____, 面积的比为___4_:2_5____.
1
3．两个相似三角形对应中线的比为 4 ，
1
1
则相似比为___4___,对应高的比为___4 ___ .
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
用心观察
图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三 角形，它们都相似吗？（都相似）
(1) 1 (2)
2
(3)
3
(1)与(2)的相似比=__1_∶__2_, (1)与(2)的周长比=__1_∶___2
形 周长的比
面积的比等于相似比的平方
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝__1_∶__4__.
(3)
SADE
_
1
_1_6
___.
_
SABC
A
D
E
(4) SADE S四边形BCED
2
可得：对应高的A比 D 1
AD
2
___________
对应中线A的 D比1
AD
2
___________
对应角平分线 AD的 比 1 AD 2 __________
观察这些数据，你会有怎样的猜
想呢？
探索新知 相似三角形的性质
问题 1:如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的,高 ABD与ABD相似吗 ？
A'
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
B' C
D' C'
结论：相似三角形对应中线
的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题3 : 如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
其中 BE、BE分别为 ABC、ABC的角平分 ,
k 则BE_____. _ BE
A
E
A′ E′
B
C B′
C′
结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
解 :因 为 AB ∽ C ABC,(已知 )
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相）等 又 AD A D B B 9 .0
所以 ABD∽ABD.
图18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
图18.3.9
探索新知 相似三角形的性质
问题 1:如图 ,AB∽C ABC,相似比k为 ,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的, 高 由ABD∽ABD能否得到 AD等于什？么
B′
A
（1）
DC A′
D
C′
ABC∽ ABC
相似比为1
2
B
对应中线的比
AD 1 A D 2__________ _
A
（2）
D
C
A′
B′
D
C′
ABC∽ABC
相似比为1 2
B
对应角平分线的比
AD 1 AD 2 ___________
A
（3）
DC A′
B′
D
C′
当ABC∽ ABC ,且相似比1为 时
相似三角形的性质
相 对应高的比
似
三 对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么 相似比为_2_∶___3____,对应角的角平分线
的比为_2__∶__3_.
2．两个相似三角形的相似比为1:4,
则对应高的比为____1_:_4___,对应角的
角平分线的比为___1_:_4____.
(2)与(3)的相似比=__2_∶__3_, (2)与(3)的周长比=__2_∶__3_
结论：相似三角形的周长比等于_相__似__比_．
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察 当相似比＝k时，面积比＝k2．
上的高B，C求 证：
S ABC k 2
证明：∵△ABC∽△ABC SABC A
∴ ADk, BCk
AD BC
B
D
C
∴
SABC ??? SABC
A'
∴
SABC
1 AD•BC 2
k2
SABC 1 AD•BC
B' D' C'
2
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
AD
因为 ABD∽ ABD,
所以 AD AB (相似三角形的对应边成比例)
AD A B
k
结论：相似三角形对应 高的比等于相似比. 图18.3.9
图18.3
自主思考---类似结论
问题2: 如图,ABC∽ ABC,相似比k为,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的中, 线
则AD_k__._ A
AD
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： _高_、__中__线_、__角_平__分__线__
如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
观察
ABC∽ ABC
相似比为1
2
B
对应高的比
AD 1 2 A D __________ _
1 15
B
C
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´ 分别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10， A´B´＝2，BD＝6。求B´D´的长。
解：∵ △ABC∽△A´B´C´
B
∴
AB A´B´
＝
BD B´D´
10 2
＝
6 B´D´
B´D´＝1.2
AD C B´
答：B´D´的长为1.2。
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积 扩大为原来的___2_5__倍。
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边 长扩大为原来的__1_0___倍。
（1）
1
（2）
2
（3）
3
(1)与(2)的相似比=_1_∶___2_, (1)与(2)的面积比=___1_∶__4 (2)与(3)的相似比=___2∶___3, (2)与(3)的面积比=___4_∶__9
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例5:已知△ABC∽△ AB，C且相似比为k，
AD、 分A别D是△ABC、△ 对AB应C边 BC、
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的 三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
a.定义 b.预备定理 c.SSS d.SAS e.AA f.HL
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？ A/
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
A´ D´ C´
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于_____3_∶. 5 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为____2_:5__, 对应角的角平分线的比为__2_:5___, 周长的比为___2_:5_____, 面积的比为___4_:2_5____.
1
3．两个相似三角形对应中线的比为 4 ，
1
1
则相似比为___4___,对应高的比为___4 ___ .
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
用心观察
图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三 角形，它们都相似吗？（都相似）
(1) 1 (2)
2
(3)
3
(1)与(2)的相似比=__1_∶__2_, (1)与(2)的周长比=__1_∶___2
形 周长的比
面积的比等于相似比的平方
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝__1_∶__4__.
(3)
SADE
_
1
_1_6
___.
_
SABC
A
D
E
(4) SADE S四边形BCED
2
可得：对应高的A比 D 1
AD
2
___________
对应中线A的 D比1
AD
2
___________
对应角平分线 AD的 比 1 AD 2 __________
观察这些数据，你会有怎样的猜
想呢？
探索新知 相似三角形的性质
问题 1:如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的,高 ABD与ABD相似吗 ？
A'
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
B' C
D' C'
结论：相似三角形对应中线
的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题3 : 如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
其中 BE、BE分别为 ABC、ABC的角平分 ,
k 则BE_____. _ BE
A
E
A′ E′
B
C B′
C′
结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
解 :因 为 AB ∽ C ABC,(已知 )
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相）等 又 AD A D B B 9 .0
所以 ABD∽ABD.
图18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
图18.3.9
探索新知 相似三角形的性质
问题 1:如图 ,AB∽C ABC,相似比k为 ,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的, 高 由ABD∽ABD能否得到 AD等于什？么
B′
A
（1）
DC A′
D
C′
ABC∽ ABC
相似比为1
2
B
对应中线的比
AD 1 A D 2__________ _
A
（2）
D
C
A′
B′
D
C′
ABC∽ABC
相似比为1 2
B
对应角平分线的比
AD 1 AD 2 ___________
A
（3）
DC A′
B′
D
C′
当ABC∽ ABC ,且相似比1为 时
相似三角形的性质
相 对应高的比
似
三 对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么 相似比为_2_∶___3____,对应角的角平分线
的比为_2__∶__3_.
2．两个相似三角形的相似比为1:4,
则对应高的比为____1_:_4___,对应角的
角平分线的比为___1_:_4____.
(2)与(3)的相似比=__2_∶__3_, (2)与(3)的周长比=__2_∶__3_
结论：相似三角形的周长比等于_相__似__比_．
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察 当相似比＝k时，面积比＝k2．
上的高B，C求 证：
S ABC k 2
证明：∵△ABC∽△ABC SABC A
∴ ADk, BCk
AD BC
B
D
C
∴
SABC ??? SABC
A'
∴
SABC
1 AD•BC 2
k2
SABC 1 AD•BC
B' D' C'
2
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
AD
因为 ABD∽ ABD,
所以 AD AB (相似三角形的对应边成比例)
AD A B
k
结论：相似三角形对应 高的比等于相似比. 图18.3.9
图18.3
自主思考---类似结论
问题2: 如图,ABC∽ ABC,相似比k为,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的中, 线
则AD_k__._ A
AD
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： _高_、__中__线_、__角_平__分__线__
如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
观察
ABC∽ ABC
相似比为1
2
B
对应高的比
AD 1 2 A D __________ _
1 15
B
C
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´ 分别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10， A´B´＝2，BD＝6。求B´D´的长。
解：∵ △ABC∽△A´B´C´
B
∴
AB A´B´
＝
BD B´D´
10 2
＝
6 B´D´
B´D´＝1.2
AD C B´
答：B´D´的长为1.2。
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积 扩大为原来的___2_5__倍。
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边 长扩大为原来的__1_0___倍。
（1）
1
（2）
2
（3）
3
(1)与(2)的相似比=_1_∶___2_, (1)与(2)的面积比=___1_∶__4 (2)与(3)的相似比=___2∶___3, (2)与(3)的面积比=___4_∶__9
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例5:已知△ABC∽△ AB，C且相似比为k，
AD、 分A别D是△ABC、△ 对AB应C边 BC、