积的算术平方根

二次根式

教学内容

2.积的算术平方根

教学目标

1．知识与技能．

会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．

2．过程与方法．

经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．

3．情感、态度与价值观

培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键

1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，•会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．

2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，•由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．

教学准备

1．教师准备：投影仪、制作投影片．

2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容．

教学内容

回顾交流，导入新知

课堂复习．（投影显示）

请同学们完成下列各题．

1．填空．

（1=_______．

（2．

（3．

参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空．

2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）

（1（2

（3（4

学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算

教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．

教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．

a≥0，b≥0）．

引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，•上述法则不能成

立．因为当a<0，b<0•乘法

法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3却无意义．

范例学习，提高认知

1．例1：计算．

（1（2）

教师板书：（1=

（2）×

学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．

随堂练习，理解新知

1．计算下列各式．

（1（2（3）

2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．

教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再次强调乘法公式的计算方法：（1）•被开方数相乘，根指数不变；（2）•最后结果要检验被开方数中是否还有能开出来的因数，以达到最简的要求．

继续探究，拓展延伸

1．例2：计算．

（1）1210(2)1010b x xy

思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简．

教师讲例：（1）中根号外因数要相乘3×2=6，被开方数相乘5a ·10b=50ab ，这样就有

650化成5×2，把5开出来有：2）中出现10-1意义，关于10-1

意义，大家在整式乘除一章中学过，即10-1=110

，这样（2）

评析：这里补充例2，其意图是对例1│a │，当然，•本章没

有特殊说明，字母均表示正数． 2．课堂演练．

计算．

（1115(2)2(3)b

a x xy x a b

学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题，进行巩固．

教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题，•再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用． 逆向思维，专题讨论

a ≥0，

b ≥0）（投影显示）

教师讲述：由于这是一个等式，因此也可以这样写法：

a ≥0，

b ≥0），这里运用了数学中的逆向思维，•可

以得出积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．这里同样必须a ≥0，b ≥0．

范例学习，加深理解

1．例3：化简．

（1（2

思路点拨：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对于（2

，然后再运用性质解题．

教师讲例：（1×9=45；

（2=10×2

学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用．

方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式

（a ≥0）．

2．例4：化简．

（1 思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，会遇到a 2+y 2这个式子，

请注意这个式子不能再开方了．

师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，•请一位学生上讲台来讲解例4．

学生解答：（12223x y ==·

（222a y ==+= 评析：由例4可以看出，在化简时，•一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可以将能开得尽方的因式或因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来．

课堂练习，巩固新知

1．课本P7“做一做”．

2．探究时空．

（1

（2）一个长方形的长cm，宽，求这个长方形的面积．

（3）设直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．

课堂小结

本节主要学习二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简与运算，这里，化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式或分数的情况．这里提出公式中a、b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然，还要注意产生字母只表示正数的片面认识．

布置作业 1．课本P9习题22．2第1、2（1）～（3）、3题．