积的算术平方根
二次根式数学知识点
二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。
二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。
初二数学几何概念知识点总结
初二数学几何概念知识点总结（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一、基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数。
二、常识：1、三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和2、三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外。
注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段。
3、三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和。
4、直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和。
5、分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形。
6、三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角。
7、全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。
8、等边三角形是特殊的等腰三角形。
9、几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明。
10、符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等。
11、几何习题经常用四种方法进行分析： （1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法 12、几何基本作图分为： （1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线； （4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线 13、会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图。
14、作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图。
15、几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图1、二次根式：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
第4课 积的算术平方根
一、知识储备
1. 填空：12＝__1__， 22＝__4__，32＝__9__，42＝_1_6__， 52＝_2_5__， 62＝_3_6__， 72＝_4_9__， 82＝_6_4__，92＝_8_1__. 1 ＝__1__， 4 ＝__2__， 9＝__3__，16＝__4__，25＝__5__， 36 ＝__6__， 49 ＝__7__，64＝__8__，81＝__9__.
|x－4|＋ 9x2 6x 1＋|x－2|.
由题意知：3x＋1≥0，2－x≥0， ∴－13≤x≤2 ∴x－4＜0，x－2≤0， ∴|x－4|＋ 9x2＋6x＋1＋|x－2| ＝－(x－4)＋(3x＋1)－(x－2) ＝4－x＋3x＋1＋2－x＝7＋x
22. 观察下列等式：
① 52 42 ＝1×3；
4. 化简：
(1) 9 2＝___3__2___； (3) 2 36＝___6__2___；
(2) 25 _.
5. (例2)化简：
(1) 8 ＝_______4___2______＝__2___2___； (2) 18 ＝_______9___2______＝___3__2___； (3) 32 ＝_______1_6___2_____＝___4___2__； (4) 50 ＝_______2_5___2_____＝___5__2___； (5) 72 ＝_______3_6___2_____＝___6__2___.
2. 填空：(1) 2 3 ＝____6____，1 27 ＝____3____；
3
(2) a b ＝____a_b___(a≥0，b≥0)， ab ＝__a_·____b_(a≥0，b≥0)．
二、新课学习
二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。
算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)
二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
二次根式的运算
二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1.学习目标(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.3.难点(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.思路点拨：直接利用计算即可．解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy；(5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01) 解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=+=+=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C．D．2. 下列各式不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列根式中，与是同类二次根式的为（）A． B．C．D．4.(江苏省无锡市)下列各式中，与是同类根式的是（）A． B． C．D．5.若最简二次根式与是同类二次根式，则a=（）A．1 B．2 C．D．–26. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 与是同类二次根式C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式7. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.8. 若，则化简的结果是（）A. B. C. 3 D. -39. 若，则的值等于（）A. 4B.C. 2D.10.(辽宁省大连市) 计算的结果是（）A．B．2 C．D．1.411.(四川省攀枝花市) 下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．12.(山东省东营市)下列计算正确的是( )A．B．==1 C． D．13. 下列式子中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题1.若最简根式与根式是同类二次根式，则a = ____________.2. 计算：.3. 计算：.4.(广东省) 化简= ____________.5.(安徽省) 计算的结果是___________.6.(南昌) 计算：___________.7.(重庆市) 化简： = ___________.8.计算：___________.9.计算：=___________.10.计算：=___________.11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是_________cm.12.已知，则.三、解答题1. 计算：2. 计算：⑴⑵⑶⑷3.计算：(1)；(2).能力提升一、选择题1. 已知，化简二次根式的正确结果为（）A. B. C. D.2. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（）A. B.C. D.3. 和的大小关系是（）A. B. C. D. 不能确定4.(山东省济南市)已知，则代数式的值为（）A．B． C．D．5.(山东省临沂市) 计算的值为( )A．2 B．-2 C．-2-2D．-2＋26.化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. 1 D. 3二、填空题1. 当，时，.2.若，则___________.3.若最简二次根式与是同类二次根式，则.4. 已知，则.5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.01）.6.(天津市)已知x＝，则的值等于____________.7.计算：___________.三、解答题1. 把根号外的因式移到根号内：；.2.计算：3.(辽宁省锦州市)计算：.4.(广西省贺州市) 计算：.5.(江苏省南通市) 计算：.6. 计算及化简：⑴；⑵；⑶；⑷.7. 已知：，求的值.综合探究先观察下列等式，再回答问题：①=②=③=(1) 根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；(2) 请按照上面几个等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.答案与解析基础达标一、选择题1.B2.D3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.C 10.C 11.B 12.A 13.C二、填空题1.2；2.，18；3.-5；4.；5.-1；6.；7.；8.；9.-1；10.；11.；12..三、解答题1. ；2. ；3.解：(1)原式(2)原式能力提升一、选择题1.D2.C3.A4.A5.B6.A7.C二、填空题1.；2.3.1，1；4.10；5.2.83；6.4；7..解：原式三、解答题1.2.解：3.解：4.解：5.解：6. ；7.解：综合探究解：(1)结果为.，验证：；(2).。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
中考数学复习数与式知识点总结
中考数学复习数与式知识点总结第一部分：教材知识梳理-系统复第一单元：数与式第1讲：实数知识点一：实数的概念及分类1.实数是按照定义和正负性来分类的。
其中，既不属于正数也不属于负数的数是零。
无理数有几种常见形式：含π的式子是正有理数；无限不循环小数是无理数；开方开不尽的数是无理数；三角函数型的数是实数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
负无理数和正无理数的定义很明确。
2.在判断一个数是否为无理数时，需要注意开得尽方的含根号的数属于无理数，而开得尽的数属于有理数。
3.数轴有三个要素：原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点一一对应，数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
4.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
5.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.若|a|+b2=0，则a=b=0.绝对值等于该数本身的数是非负数。
知识点二：实数的相关概念2.数轴是一个直线，用来表示实数。
数轴上的每个点都对应着一个实数，反之亦然。
3.相反数是具有相反符号的两个数，它们的和为0.4.绝对值是一个数到原点的距离。
它有非负性，即绝对值大于等于0.5.倒数是乘积为1的两个数互为倒数。
a的倒数是1/a(a≠0)。
6.科学记数法是一种表示实数的方法，其中1≤|a|＜10，n为整数。
确定n的方法是：对于数位较多的大数，n等于原数的整数位减去1；对于小数，写成a×10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）。
7.近似数是一个与实际数值很接近的数。
它的精确度由四舍五入到哪一位来决定。
例：用科学记数法表示为2.1×104.19万用科学记数法表示为1.9×10^5，0.0007用科学记数法表示为7×10^-4.知识点三：科学记数法、近似数科学记数法是一种表示极大或极小数的方法，它的基本形式是a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。
二次根式方法总结大全
二次根式一一、二次根式的定义一般地，0)a ≥的式子叫做二次根式。
A 叫做被开方数。
叫做二次根号。
注意：二次根式必须满足两个条件：（1；（2）被开方数一定是非负数。
考点一：识别二次根式例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？1x x>0）1x y+x ≥0，y ≥0）总结：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是不是具备二次根式的两个特征。
二、二次根式的性质1、积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥•=b a b a ab ；2、商的算术平方根的性质：)0,0(>≥=b a bab a 。
考点二：二次根式的化简 例2 求下列各式的值：（1 （2； （3 （4 例3 化简：（1 （2 （3随堂练习一1、在式子（1（2（3；（4；（5中，是二次根式的有（ ）个A 、2B 、3C 、4D 、5 2、下列各式中，一定是二次根式的是( )．A 、23-B 、2)3.0(-C 、2-D 、x3、化简：（1（2（3（4三、最简二次根式与同类二次根式1、一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的根式叫做最简二次根式。
注意：最简二次根式必须具备两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
2、几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
注意：同类二次根式以下三点： ①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
考点三：化成最简二次根式 例4 把下列根式化成最简根式（1）16；（2）12；（3）8；（4）125 ；（5；（6例5下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？，总结：在判断同类二次根式时，一定要看清楚被开方数和根指数是否相同。
随堂练习二1、把下列二次根式32，27，125，454，82，18，12，15化简后，与2 的被开方数相同的有________；与3的被开方数相同的有________；与5的被开方数相同的有________．2、化简后，与2的被开方数相同的二次根式是( )．A 、12B 、18C 、41 D 、61 3、在二次根式①12；②23；③32；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） A 、①，③ B 、②，③ C 、①，④ D 、③，④4 ）A B C D乘除法法则：（10,0)a b ≥≥；（20,0)a b=≥＞。
积的算术平方根
(3)分析表中数据，得到的结论是 _当__电__阻__一__定__时__，__通__过__导__体__的__电__流__与__导__体__两__端__的__电__压_ _成__正__比_____________________________________。
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(1)请用笔画线代替导线，将实物电路连接完整，使滑片 向左移动时电阻减小。 解：如图所示。
(2)第一组数据的测量过程中，有下列步骤，正确的顺序 是__①__④__②__⑤__③____。 ①保持开关断开，连接实物电路； ②检查电路无误后闭合开关； ③读出电流表的示数，断开开关； ④将滑动变阻器的滑片置于阻值最大处； ⑤转动电阻箱的旋钮使它的阻值为5 Ω，调节滑动变 阻器的滑片使电压表的示数为2 V。
的算术平方根的积； (3)如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2＝
a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
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北师 九年级全
第一节
第十二章 欧姆定律
学生实验：探究——电流
与电压、电阻的关系
第1课时 学生实验：探究——电
流与电压、电阻的关系
(1)请你用笔画线代替导线，将图甲中的实物电路连接完 整，要求滑片P向B端移动时，滑动变阻器接入电路的 电阻变大。 解：如图所示。
规律吗？ ab＝ a· b(a≥0，b≥0)．
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三 新知应用 例1 判断下列计算是否正确，若不正确，请予以改正．
(1) （－4）×（－9）＝ －4× －9；
解：不正确， （－4）×（－9）＝ 36＝6.
(2) 41225× 25＝4× 1225× 25＝4× 12＝8 3.
解：不正确，
12 425×
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9．在“探究电流与电阻的关系”的实验中，小翔连接了 如图所示的电路。他先在电路的a、b间接入10 Ω的 电阻，移动变阻器的滑片P，读出电压表和电流表的 示数，记录数据后，断开开关，改用15 Ω电阻替换 10 Ω电阻，闭合开关S，接下来他的实验操作应该是 ()
积的算术平方根
二次根式教学内容2.积的算术平方根教学目标1．知识与技能．会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．2．过程与方法．经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．3．情感、态度与价值观培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，•会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，•由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片．2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容．教学内容回顾交流，导入新知课堂复习．（投影显示）请同学们完成下列各题．1．填空．（1___．（2_____．（3=___________．参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空．_2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）（1_（2_（3_（4_学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算中容易得用计算器同样可以得教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．师生共识：二次根式乘法法a≥0，b≥0）．引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，•上述法则不能成立．因为当a<0，b<0内却没有意义，•乘法法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3，则＝有意义，但却无意义范例学习，提高认知1．例1：计算．（1（2）教师板书：（1）（2）×学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．随堂练习，理解新知1．计算下列各式．（1（2）（3）2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再次强调乘法公式的计算方法：（1）•被开方数相乘，根指数不变；（2）•最后结果要检验被开方数中是否还有能开出来的因数，以达到最简的要求．继续探究，拓展延伸1．例2：计算．（1） 思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简．教师讲例：（1）中根号外因数要相乘3×2=6，被开方数相乘5a ·10b=50ab ，这样就有50化成5×2，把5开出来有：（2）中出现10-1意义，关于10-1意义，大家在整式乘除一章中学过，即10-1=110，这样（2）可用乘法法则化评析：这里补充例2，其意图是对例1的拓展，这│a │，当然，•本章没有特殊说明，字母均表示正数．2．课堂演练．计算．（1 学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题，进行巩固．教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题，•再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用．逆向思维，专题讨论a ≥0，b ≥0）（投影显示）教师讲述：请同学们观＝，由于这是一个等式，因此也可以这样写a ≥0，b ≥0），这里运用了数学中的逆向思维，•可以得出积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．这里同样必须a≥0，b≥0．范例学习，加深理解1．例3：化简．（1（2思路点拨：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对于（2因数，性质解题．教师讲例：（1）×9=45；（2×2学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用．方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简，上述例题用到（a≥0）．2．例4：化简．（1思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，会遇到a2+y2这个式子，请注意这个式子不能再开方了．师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，•请一位学生上讲台来讲解例4．学生解答：（1）==（2==评析：由例4可以看出，在化简时，•一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可以将能开得尽方的因式或因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来．课堂练习，巩固新知1．课本P7“做一做”．2．探究时空．（1．（2）一个长方形的长，宽，求这个长方形的面积．（3）设直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．课堂小结本节主要学习二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简与运算，这里，化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式或分数的情况．这里提出公式中a、b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然，还要注意产生字母只表示正数的片面认识．布置作业 1．课本P9习题22．2第1、2（1）～（3）、3题．。
二次根式的运算
二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1.学习目标(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.3.难点(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.思路点拨：直接利用计算即可．解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy；(5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b 的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=+=+=(x+1)+x-2+(x+1)+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C．D．2. 下列各式不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列根式中，与是同类二次根式的为（）A． B．C．D．4.(江苏省无锡市)下列各式中，与是同类根式的是（）A． B． C．D．5.若最简二次根式与是同类二次根式，则a=（）A．1 B．2 C．D．–26. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 与是同类二次根式C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式7. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.8. 若，则化简的结果是（）A. B. C. 3 D. -39. 若，则的值等于（）A. 4B.C. 2D.10.(辽宁省大连市) 计算的结果是（）A．B．2 C．D．1.411.(四川省攀枝花市) 下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．12.(山东省东营市)下列计算正确的是( )A．B．==1 C． D．13. 下列式子中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题1.若最简根式与根式是同类二次根式，则a = ____________.2. 计算：.3. 计算：.4.(广东省) 化简= ____________.5.(安徽省) 计算的结果是___________.6.(南昌) 计算：___________.7.(重庆市) 化简： = ___________.8.计算：___________.9.计算：=___________.10.计算：=___________.11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是_________cm.12.已知，则.三、解答题1. 计算：2. 计算：⑴⑵⑶⑷3.计算：(1)；(2).能力提升一、选择题1. 已知，化简二次根式的正确结果为（）A. B. C. D.2. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（）A. B.C. D.3. 和的大小关系是（）A. B. C. D. 不能确定4.(山东省济南市)已知，则代数式的值为（）A．B． C．D．5.(山东省临沂市) 计算的值为( )A．2 B．-2 C．-2-2D．-2＋26.化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）A. B. C. 1 D. 3二、填空题1. 当，时，.2.若，则___________.3.若最简二次根式与是同类二次根式，则.4. 已知，则.5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.01）.6.(天津市)已知x＝，则的值等于____________.7.计算：___________.三、解答题1. 把根号外的因式移到根号内：；.2.计算：3.(辽宁省锦州市)计算：.4.(广西省贺州市) 计算：.5.(江苏省南通市) 计算：.6. 计算及化简：⑴；⑵；⑶；⑷.7. 已知：，求的值.综合探究先观察下列等式，再回答问题：①=②=③=(1) 根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；(2) 请按照上面几个等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式.答案与解析基础达标一、选择题1.B2.D3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.C 10.C 11.B 12.A 13.C二、填空题1.2；2.，18；3.-5；4.；5.-1；6.；7.；8.；9.-1；10.；11.；12..三、解答题1. ；2. ；3.解：(1)原式(2)原式能力提升一、选择题1.D2.C3.A4.A5.B6.A7.C二、填空题1.；2.3.1，1；4.10；5.2.83；6.4；7..解：原式三、解答题1.2.解：3.解：4.解：5.解：6. ；7.解：综合探究解：(1)结果为.，验证：；(2).。
二次根式的乘除和最简二次根式知识点
1。乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质
《积的算术平方根的性质》
积的算术平方根是指积中各项的算术平方根的乘积。
它有许多有趣的性质，这些性质对于理解积有着重要的意义。
首先，积的算术平方根是乘积的算术平方根。
如果a和b是两个正数，则a*b的算术平方
根为√(a*b)，即a和b的算术平方根的乘积。
其次，积的算术平方根是乘积的算术平方根的函数。
如果a和b是两个正数，则a和b的
算术平方根的乘积是一个函数，它的值是a*b的算术平方根。
最后，积的算术平方根是乘积的算术平方根的近似值。
如果a和b是两个正数，则a和b
的算术平方根的乘积是a*b的算术平方根的近似值，它比a*b的算术平方根的实际值要小。
积的算术平方根是乘积的算术平方根的乘积、函数和近似值，它对于理解积有着重要的意义。
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二次根式
教学内容
2.积的算术平方根
教学目标
1．知识与技能．
会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．
2．过程与方法．
经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键
1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，•会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．
2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．
3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，•由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．
教学准备
1．教师准备：投影仪、制作投影片．
2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容．
教学内容
回顾交流，导入新知
课堂复习．（投影显示）
请同学们完成下列各题．
1．填空．
（1=_______．
（2．
（3．
参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空．
2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）
（1（2
（3（4
学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算
教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．
教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．
a≥0，b≥0）．
引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，•上述法则不能成
立．因为当a<0，b<0•乘法
法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3却无意义．
范例学习，提高认知
1．例1：计算．
（1（2）
教师板书：（1=
（2）×
学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．
随堂练习，理解新知
1．计算下列各式．
（1（2（3）
2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．
教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再次强调乘法公式的计算方法：（1）•被开方数相乘，根指数不变；（2）•最后结果要检验被开方数中是否还有能开出来的因数，以达到最简的要求．
继续探究，拓展延伸
1．例2：计算．
（1）1210(2)1010b x xy
思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简．
教师讲例：（1）中根号外因数要相乘3×2=6，被开方数相乘5a ·10b=50ab ，这样就有
650化成5×2，把5开出来有：2）中出现10-1意义，关于10-1
意义，大家在整式乘除一章中学过，即10-1=110
，这样（2）
评析：这里补充例2，其意图是对例1│a │，当然，•本章没
有特殊说明，字母均表示正数． 2．课堂演练．
计算．
（1115(2)2(3)b
a x xy x a b
学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题，进行巩固．
教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题，•再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用． 逆向思维，专题讨论
a ≥0，
b ≥0）（投影显示）
教师讲述：由于这是一个等式，因此也可以这样写法：
a ≥0，
b ≥0），这里运用了数学中的逆向思维，•可
以得出积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．这里同样必须a ≥0，b ≥0．
范例学习，加深理解
1．例3：化简．
（1（2
思路点拨：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对于（2
，然后再运用性质解题．
教师讲例：（1×9=45；
（2=10×2
学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用．
方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式
（a ≥0）．
2．例4：化简．
（1 思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，会遇到a 2+y 2这个式子，
请注意这个式子不能再开方了．
师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，•请一位学生上讲台来讲解例4．
学生解答：（12223x y ==·
（222a y ==+= 评析：由例4可以看出，在化简时，•一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可以将能开得尽方的因式或因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来．
课堂练习，巩固新知
1．课本P7“做一做”．
2．探究时空．
（1
（2）一个长方形的长cm，宽，求这个长方形的面积．
（3）设直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．
课堂小结
本节主要学习二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简与运算，这里，化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式或分数的情况．这里提出公式中a、b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然，还要注意产生字母只表示正数的片面认识．
布置作业 1．课本P9习题22．2第1、2（1）～（3）、3题．。