空间中的平行关系.ppt
1.2.2空间中的平行关系-----面面平行
3.求证:夹在两个平行平 面间的平行线段相等.
B
已知: ∥ , AA∥BB, A , A , B , B . B′ 求证: AA BB A′ 证明: 连结AB, AB. 因为AA∥BB, 所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .
3、与同一直线成等角的两平面平行
α β
α
θ θ β
α θ β
4、垂直于同一平面的两平面平行 5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
α m
n β
α γ
β
例1： 已知:三棱锥P-ABC中D,E,F 分别是棱PA,PB,PC的中点
求证:平面DEF//平面ABC 证明：在△PAB中，
A
AB AB AB∥AB AA∥BB ∥ AABB是平行四边形 AA BB.
课堂小结
• 一个概念
1.两个平面平行的定义;
• 两个定理
1．面面平行的判定定理☆ 2．面面平行的性质定理☆
A
a b
判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （3）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面． ×
直线的条数不是关键
直线相交才是关键
判断下列命题是否正确？ 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行
已知: 求证:
证明: 因为∥ ,
空间直线、平面的平行_课件
线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
【数学】2.1.2《空间的平行直线与异面直线》课件(上课用)
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
BACK NEXT
2.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为 900
2 2 2 2
6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
b a
a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行 Ｂ、相交
Ｃ、异面 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面 ２、两条异面直线指的是（ ） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
D N A B M C
D'
C'
A'
B'
例2
(1) 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD －
2021版新高考数学一轮复习第八章8.3空间中的平行关系课件新人教B版
第三节ꢀ空间中的平行关系内容索引【教材·知识梳理】1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言此平面内图形语言符号语言平面外一条直线与_________l∥a，因为______判定的一条直线平行，则该直线定理与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊂α，l⊄α___________，所以l∥α一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与l∥α，因为_______ _______α∩β=b_________，l⊂β，性质定理交线此平面的_____与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言a∥β，因为________相交直线判一个平面内的两条_________b∥β，a∩b=P，________________a ⊂α，b ⊂α定与另一个平面平行，则定这两个平面平行(简记为理“线面平行⇒面面平行”)____________，所以α∥βα∥β，因为_________性如果两个平行平面同时和质α∩γ=a，___________β∩γ=b 相交第三个平面_____，那么它定理_________，交线们的_____平行所以a∥b【常用结论】1.两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化：线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.【知识点辨析】ꢀ(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(ꢀꢀ)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(ꢀꢀ)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(ꢀꢀ)(4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(ꢀꢀ)(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(ꢀꢀ)(6)平行于同一条直线的两个平面平行.(ꢀꢀ)提示：(1) ×.若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(2)×. 一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的直线可能平行，也可能是异面直线.(3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(5)√.这两条直线没有公共点.(6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T3 1证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误考点二、T2利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的2考点二、T1平面3证明面面平行时忽略两直线相交致误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2 P44练习BT2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(ꢀꢀ)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.2.(必修2 P46练习AT1改编)下列命题中正确的是(ꢀꢀ)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α【解析】选D.A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.3.(必修2 P44 练习BT4改编)如图,长方体ABCD-ABCD中,E为DD的中点,则BD与111111平面AEC的位置关系为________.ꢀ【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD∥EO,而BD⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD∥平面ACE.111答案:平行考点一ꢀ直线、平面平行的基本问题ꢀ【题组练透】1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是(ꢀꢀ)A.OQ∥平面PCD C.AQ∥平面PCDB.PC∥平面BDQ D.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是(ꢀꢀ)A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是(ꢀꢀ)A.①③B.②③C.①②④D.②③④4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.世纪金榜导学号ꢀꢀ【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:由⇒FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正确;由CN∥BE,则CN∥平面AFB,故②正确;由图可知BM∥DE显然错误,故③不正确;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正确.4.因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形【规律方法】ꢀ直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】ꢀ直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD =P,所以AQ∥平面PCD是错误的.考点二ꢀ直线、平面平行的判定与性质ꢀ【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.ꢀ2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C∥平面DEF.【解题导思】序号1联想解题由直线SB∥平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.求证A C∥平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A C 112平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在△BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=答案:2.如图,连接AB,A B,交于点H,A B交EF于点K,连接DK,111因为ABB A为矩形,所以H为线段A B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB的中点,所1111K=3BK,以点K为线段BH的中点,所以A1又因为CD=3BD,所以A C∥DK,又A C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A C∥平面DEF.111【规律方法】1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β;α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).【变式训练】1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.ꢀ【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB C=AC,11所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,CD=4,E 为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.【证明】设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.考点三面面平行的判定与性质及平行的综合问题命考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平题面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素精养.解怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.读新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.1.证明面面平行的方法学(1)面面平行的定义.霸(2)面面平行的判定定理.好(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.方(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.法(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.命题角度1面面平行的判定与性质【典例】如图所示,在三棱柱ABC-A B C中,E,F,G,H分别是AB,AC,A B,A C的中1111111点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.∥平面BCHG.(2)平面EFA1【证明】(1)因为G,H分别是A B,A C的中点,1111所以GH是△A B C的中位线,所以GH∥B C.11111又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分别为A B,AB的中点,A B∥AB且A B=AB,所以A G∥EB,A G=EB, 11111111所以四边形A EBG是平行四边形,所以A E∥GB.11E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,又因为A1所以AE∥平面BCHG.1又因为A E∩EF=E,A E,EF⊂平面EFA,111∥平面BCHG.所以平面EFA1命题角度2平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.世纪金榜导学号【解析】在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,因为EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设PA=x则PC=,由PB·BC=BE·PC得:a,所以x=a,即PA=a,所以PC= a.又CE=所以即GE=CD=a,所以AF= a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.【题组通关】【变式巩固·练】1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为______ cm.【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME, NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以解得BC=cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,在正方体ABCD-A B C D中,S是B D的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,111111求证:(1)直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)平面EFG∥平面BDD1B 1 .【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD B,EG⊄平面BDD B,1111所以直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD B,FG⊄平面BDD B,1111所以FG∥平面BDD1B 1 ,又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B 1 .【综合创新·练】1.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.【解析】如图,连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知, E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD。
§4 空间中的平行关系
6． 如果 ∥ ，AB 和 CD 是夹在平面 、 之间的两条线段，AB CD，且 AB＝2，直线 AB 与平面成 30° 角，那么线段 CD 的取值范围是（ D） A．(
2 3 4 3 ) , 3 3 二、填空题
B．[1，+ )
C．[1， 2 3 ] 3
D．[ 2 3 ，+ 3
A．一条直线和两个平面成等角，则此两平面平行 B．一个平面和两个平面成等角，则此两平面平行 C．平行于两条异面直线的两个平面必平行 D．两个平面夹有三条等长的线段，则此两平面平行
5． 已知平面 ∥平面 ，P 是 、 外一点，过点 P 的直线 m 与 、 分别交于 A、C，过 点 P 的直线 n 与 、 分别交于 B、D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8，则 BD 的长为（ B） A．16 B．24 或 24 5 C．14 D．20
4．两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面， 这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α， 则 a∥β。 （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行， 这个定理可简记为： “面面平行， 则线线平行”。 用符号表示是： α∥β， α∩γ=a， β∩γ=b，则 a∥b。 （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则 a⊥β。 （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。 （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。
【例 2】两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB， 且 AM=FN，求证：MN∥平面 BCE。 证法一：作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，则 MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又 AM=NF，AC=BF， C D ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° M ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ P ∴MP=NQ，故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ A B N Q ∵PQ 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外， F E ∴MN∥平面 BCE。 证法二：如图过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 MH∥BC， ∴
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
第1课时 空间向量与平行关系(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
取 x＝1，则 y＝－1，z＝1， 故平面 EDB 的一个法向量为 n＝(1，－1,1)．
经典例题
题型一 求平面的法向量
总结
求平面法向量的步骤 1.设法向量 n＝(x，y，z)； 2.在已知平面内找两个不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； 3.建立方程组nn··ba＝＝ba11xx＋＋ba22yy＋＋ba33zz＝＝00；， 4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量 的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
(2)直线 l 的一个方向向量为 a＝(－1,2,1)，平面 α 的一个法向量为 n＝(－1，－1,1)，
l⊄α，则 l∥α.( √ )
(3)若点 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方程可以为A→P＝
tA→B.( √ )
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两
则n·D→A1＝0， n·D→B＝0，
得xx＋＋zy＝＝00，.
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
∵M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴M→N⊥n． 又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD．
经典例题
题型三 证明线面、面面平行
总结
1.向量法证明线面平行的思路
自主学习
二．直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的非零向量，一条直线的 方向向量有无数 个． 2.平面的法向量的定义 直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
自主学习
解读： （1）法向量不能为零向量； （2）法向量与平面内任一向量垂直； （3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.
2013届高考北师大版数学总复习课件：8.3空间中的平行关系
B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
[答案] D
[解析] 对于 A，平行直线的平行投影可能平行，也可能重 合，对于 B、C，结合正方体图形可知都是错误的．
2．能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A． a α， b α，a∥b
)
[解析 ] 因为 HN∥ BD， HF∥ DD1，所以平面 NHF ∥平 面 B1BDD1， 又平面 NHF∩平面 EFGH＝ FH.故线段 FH 上任意 点 M 与 N 相连，有 MN∥平面 B1BDD1，故填 M∈线段 FH.
7． 已知正方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′， 求证： 平面 ACD′
③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂 直． 上面命题中，真命题 的序号________(写出所有真命题的序 ．．． 号 )．
[答案] ①②
[解析] 本题主要考查平面间的位置关系． 考查学生对知识 的掌握程度． ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线，则 α∥ β 是正确的；②由线面平行判定定理知②正确；③由 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，不能推出 α 和 β 垂 直； ③不正确； ④直线 l 与 α 垂直能够推出 l 与 α 内的两条直线 垂直， 而 l 与 α 内的两条直线垂直不能推出直线 l 与 α 垂直， ∴ ④不正确．
第 三 节
空间中的平行关系
考纲解读 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 平行关系的简单命题．
空间直线与平面的平行关系
答案：B
2．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：
l∥m的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：∵l∥α时l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α 也不一定平行，有可能l⊂α，
∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．
答案：D
3．平面α∥平面β的一个充分条件是(
P
M
N
D
B
E
25
一.直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
1．利用定义(常用反证法)． 2．利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行 的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需 作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对
边或过已知直线作一平面找其交线．
3．利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其 中一个平面内的任一直线平行于另一平面． 特别警示：线面平行关系没有传递性，即平行线中 的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．
已知：a在β平面上，b在β平面上，a∩b=P， a∥α，b∥α 求证：α∥β
β
P
b a
α
l
19
推论:
如果一个平面内的两条相交直线分别与 另一个平面内的两条相交直线平行,则这 两个平面平行 α β b a
2、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
γ
已知： // ， a ， b 求证： a // b
QF.
∴四边形PEFQ是平行四边形． ∴PQ∥EF. 又PQ⊄平面BCC1B1， EF⊂平面BCC1B1， ∴PQ∥平面BCC1B1.
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
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3．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
④平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：a∩α＝A时，a⃘ α，∴①错；直线l与α相交时，l上有 无数个点不在α内，故②错；l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任一 直线都无公共点，③正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平 行，∴④正确．
(1)求证：AC⊥平面 BDE； (2)若 AF∥DE，DE＝3AF，点 M 在线 段 BD 上，且 BM＝13BD，求证：AM∥平面 BEF. 证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以DE⊥AC， 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE＝D， 从而AC⊥平面BDE.
所以EH∥CD，EH＝CD. 所以四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH. 又DH 平面PAD，CE 平面PAD， 所以CE∥平面PAD.
证法二：如图(2)，连接CF.
因为F为AB的中点， 所以AF＝12AB.
图(2)
又CD＝12AB，所以AF＝CD. 又AF∥CD， 所以四边形AFCD为平行四边形． 所以CF∥AD. 又CF 平面PAD，所以CF∥平面PAD. 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA. 又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
1．过长方体ABCD-A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其 中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．
解析：如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4 条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括 MN)，共12条．
答案：12
2．如图，在几何体 A-BCDEF 中，ABCD 是正方形，DE⊥平 面 ABCD.
文字 直线 都平行于另一个平
语言
三个平面相交，那它们的 交线 平行 ．
面，那么这两个平面平行.
图形 语言
符号 语言
aα bα
a∩b＝A⇒α∥β
a∥β
b∥β
α∥β γ∩α＝a⇒b∥a
γ∩β＝b
[基础自测] 1．(教材改编题)若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c， 则直线a与c( ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．平行、相交、异面直线都有可能
审题视点 (1)由中点联想中位线MN∥DC∥AB. (2)可在PAD中寻作与CE平行的线，或者利用面CEF∥面 PAD，证CE∥面PAD. 证明 (1)∵M、N为PD、PC的中点， ∴MN∥DC，又∵DC∥AB，∴MN∥AB.
(2)证法一：如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.
图(1) 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝12AB.
答案：B
4．设α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线， 给出下列条件：
①α，β都平行于直线a，b； ②a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β； ③若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α；b∥β. 其中可判定α∥β的条件的序号为________．
解析：①、②中的平面可能平行、相交，故不正确；③因为 a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥ α，同理可得γ∥β，因此α∥β，故③正确．
(2)延长EF、DA交于点G，连接GB， 因为AF∥DE，DE＝3AF， 所以GGDA＝DAFE＝13， 因为BM＝13BD，所以BBMD＝13， 所以BBMD＝GGDA＝13，所以AM∥GB， 又AM 平面BEF，GB 平面BEF， 所以AM∥平面BEF.
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已 知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定 理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两 直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．
(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利 用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．
答案：③
5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，且
AM MB
＝NAND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．
考点一 线面平行的判定及性质 [例1] 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB ∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD， PC的中点． (1)求证：MN∥AB； (2)求证：CE∥面PAD.
空间中的平行关系（1）
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面平行的判定定理与有关性质．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图 形的平行关系的简单命题．
1．直线与平面平行的判定与性质
2.平面与平面平行的判定与性质
判定定理
性质定理
如果一个平面内有两条 相交 如果两个平行平面同时与第
解析：本题引入正方体模型观察即易知直线a与直线c的位置
关系可能为相交、平行、异面，故选D. 答案：D
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( ) A．a平行于α内的所有直线 B．α内有无数条直线与a平行 C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a成90°角
解析：若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平 行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D正 确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正 确．