高三复数总复习知识点经典例题习题
高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编附答案解析
数学《复数》高考复习知识点一、选择题1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误， 本题选择D 选项.2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．4．已知i 是虚数单位，则31i i +-=（ ） A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．5．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.6．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.7．已知复数z 23(13)i -，则|z |＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为===，因此|z |＝128．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．12--B ．12-+C ．12+D ．12- 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.10．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.11．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.12．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.13．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-3【答案】D因为z=3i i+13i =-∴z 的虚部为-3，选D.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .15．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.16．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.18．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．19．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C【解析】 试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.20．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
高中复数经典练习题及讲解
高中复数经典练习题及讲解1. 题目：判断下列各句中的名词是否为复数形式，并解释原因。
- 我有几个朋友。
- 她有两只猫。
- 他喜欢读小说。
- 我们有三本书。
答案：- 几个朋友：是复数形式，因为“几个”表示多于一个。
- 两只猫：是复数形式，因为“两只”明确表示两个。
- 他喜欢读小说：不是复数形式，因为“小说”是单数名词。
- 我们有三本书：是复数形式，因为“三本”表示三个。
2. 题目：将下列句子中的名词变为复数形式。
- 我有一个苹果。
- 她有一只狗。
- 他有一本书。
- 我们有一张桌子。
答案：- 我有两个苹果。
- 她有两只狗。
- 他有几本书。
- 我们有几张桌子。
3. 题目：根据上下文，将下列句子中的名词变为复数形式。
- 每个学生（student）都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些（some）橘子。
- 他们（they）正在讨论几个（a few）问题。
- 我们（we）通常在晚上看电视。
答案：- 每个学生都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些橘子。
- 他们正在讨论几个问题。
- 我们通常在晚上看电视。
4. 题目：判断下列句子中的名词是否正确使用了复数形式，并给出正确形式。
- 我昨天买了一个橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一个问题。
- 我们有两张桌子。
答案：- 我昨天买了一些橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一些问题。
- 我们有两张桌子。
5. 题目：将下列句子中的名词变为复数形式，并解释变化的原因。
- 我有一个梦想。
- 她有一只猫。
- 他有一本书。
- 我们有一张纸。
答案：- 我有多个梦想。
- 她有几只猫。
- 他有几本书。
- 我们有几张纸。
原因解释：- “梦想”通常用来表示多个愿望或目标。
- “猫”在这种情况下可能表示不只一只。
- “书”在讨论时通常不只一本。
- “纸”在这种情况下可能表示多张纸。
高中数学高考总复习复数习题及详解
高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题1．2010·全国Ⅰ理复数错误!＝A．iB．－iC．12－13iD．12＋13i答案A解析错误!＝错误!＝错误!＝i.2．2010·北京文在复平面内,复数6＋5i,－2＋3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案C解析由题意知A 6,5 ,B－2,3 ,AB中点C x,y ,则x＝错误!＝2,y＝错误!＝4,∴点C对应的复数为2＋4i,故选C.3．若复数m2－3m－4 ＋m2－5m－6 i表示的点在虚轴上,则实数m的值是A．－1B．4C．－1和4D．－1和6答案C解析由m2－3m－4＝0得m＝4或－1,故选C.点评复数z＝a＋bi a、b∈R对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点参见教材104页的定义 ,切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．文已知复数z＝错误!,则错误!·i在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析z＝错误!,错误!＝错误!＋错误!,错误!·i＝－错误!＋错误!i.实数－错误!,虚部错误!,对应点错误!在第二象限,故选B.理复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数错误!A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零答案C解析解法1：∵z的对应点P在单位圆上,∴可设P cosθ,sinθ,∴z＝cosθ＋i sinθ.则错误!＝错误!＝错误!＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi a、b∈R ,∵z的对应点在单位圆上,∴a2＋b2＝1,∴ a－bi a＋bi＝a2＋b2＝1,∴错误!＝z＋错误!＝a＋bi＋a－bi＝2a∈R.5．2010·广州市复数 3i－1 i的共轭复数．．．．是A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i答案A解析 3i－1 i＝－3－i,其共轭复数为－3＋i.6．2010·湖南衡阳一中已知x,y∈R,i是虚数单位,且x－1 i－y＝2＋i,则 1＋i x－y的值为A．－4B．4C．－1D．1答案A解析由x－1 i－y＝2＋i得,x＝2,y＝－2,所以 1＋i x－y＝ 1＋i4＝ 2i2＝－4,故选A. 7．文2010·吉林市质检复数z1＝3＋i,z2＝1－i,则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析∵z＝z1z2＝ 3＋i 1－i＝4－2i,∴选D.理现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ,其中i是虚数单位,e为自然对数的底,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用,若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ,b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ,那么复数a＋b i等于A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ答案A解析a＋b i＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝ cosθ＋isinθ5＝e iθ5＝e i 5θ＝cos5θ＋isin5θ,选A.8．文2010·安徽合肥市质检已知复数a＝3＋2i,b＝4＋xi其中i为虚数单位 ,若复数错误!∈R,则实数x的值为A．－6B．6C.错误!D．－错误!答案C解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i∈R,∴错误!＝0,∴x＝错误!.理2010·山东邹平一中月考设z＝1－i i是虚数单位 ,则z2＋错误!＝A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i答案C解析∵z＝1－i,∴z2＝－2i,错误!＝错误!＝1＋i,∴z2＋错误!＝1－i,选C.9．2010·山东聊城市模拟在复平面内,复数错误!对应的点到直线y＝x＋1的距离是A.错误!B.错误!C．2D．2错误!答案A解析∵错误!＝错误!＝1＋i对应点为 1,1 ,它到直线x－y＋1＝0距离d＝错误!＝错误!,故选A.10．文2010·山东临沂质检设复数z满足关系式z＋|错误!|＝2＋i,则z等于A．－错误!＋iB.错误!－iC.错误!＋iD．－错误!－i答案C解析由z＝2－|错误!|＋i知z的虚部为1,设z＝a＋i a∈R,则由条件知a＝2－错误!,∴a＝错误!,故选C.理2010·马鞍山市质检若复数z＝错误!a∈R,i是虚数单位是纯虚数,则|a＋2i|等于A．2B．2错误!C．4D．8答案B解析z＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i是纯虚数,∴错误!,∴a＝2,∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝2错误!.二、填空题11．规定运算错误!＝ad－bc,若错误!＝1－2i,设i为虚数单位,则复数z＝________.答案1－i解析由已知可得错误!＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i,∴z＝1－i.12．2010·南京市调研若复数z1＝a－i,z2＝1＋i i为虚数单位 ,且z1·z2为纯虚数,则实数a的值为________．答案－1解析因为z1·z2＝a－i 1＋i＝a＋1＋a－1 i为纯虚数,所以a＝－1.13．文若a是复数z1＝错误!的实部,b是复数z2＝ 1－i3的虚部,则ab等于________．答案－错误!解析∵z1＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i,∴a＝错误!.又z2＝ 1－i3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i,∴b＝－2.于是,ab＝－错误!.理如果复数错误!i是虚数单位的实数与虚部互为相反数,那么实数b等于________．答案－错误!解析错误!＝错误!·错误!＝错误!－错误!i,由复数的实数与虚数互为相反数得,错误!＝错误!,解得b＝－错误!.14．文若复数z＝sinα－i 1－cosα是纯虚数,则α＝________.答案 2k＋1 πk∈Z解析依题意,错误!,即错误!,所以α＝ 2k＋1 πk∈Z．点评新课标教材把复数这一章进行了精简,不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低,了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算,这是我们复习的重点,不要超过范围．理2010·上海大同中学模考设i为虚数单位,复数z＝ 12＋5i cosθ＋i sinθ,若z∈R,则tanθ的值为________．答案－错误!解析z＝ 12cosθ－5sinθ＋ 12sinθ＋5cosθi∈R,∴12sinθ＋5cosθ＝0,∴tanθ＝－错误!.三、解答题15．2010·江苏通州市调研已知复数z＝错误!＋a2－5a－6 i a∈R．试求实数a分别为什么值时,z分别为：1 实数；2 虚数；3 纯虚数．解析 1 当z为实数时,错误!,∴a＝6,∴当a＝6时,z为实数．2 当z为虚数时,错误!,∴a≠－1且a≠6,故当a∈R,a≠－1且a≠6时,z为虚数．3 当z为纯虚数时,错误!∴a＝1,故a＝1时,z为纯虚数．16．2010·上海徐汇区模拟求满足错误!＝1且z＋错误!∈R的复数z.解析设z＝a＋bi a、b∈R ,由错误!＝1 |z＋1|＝|z－1|,由| a＋1 ＋bi|＝| a－1 ＋bi|,∴ a＋1 2＋b2＝a－1 2＋b2,得a＝0,∴z＝bi,又由bi＋错误!∈R得,b－错误!＝0 b＝±错误!,∴z＝±错误!i.17．将一颗质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6 先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.1 设复数z＝a＋bi i为虚数单位 ,求事件“z－3i为实数”的概率；2 求点P a,b落在不等式组错误!表示的平面区域内含边界的概率．解析 1 z＝a＋bi i为虚数单位 ,z－3i为实数,则a＋bi－3i＝a＋b－3 i为实数,则b＝3.依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6,故b＝3的概率为错误!.即事件“z－3i为实数”的概率为错误!.2 连续抛掷两次骰子所得结果如下表：由上表知,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示含边界．由图知,点P a,b落在四边形ABCD内的结果有： 1,1 、 1,2 、 1,3 、 2,1 、 2,2 、 2,3 、2,4 、 3,1 、 3,2 、 3,3 、 3,4 、 3,5 、 4,1 、 4,2 、 4,3 、 4,4 、 4,5 、 4,6 ,共18种．所以点P a,b落在四边形ABCD内含边界的概率为P＝错误!＝错误!.。
复数知识点总结和例题
复数知识点总结和例题一、名词的复数形式1. 一般情况下，名词构成复数的规则是在单数形式后面加上-s，如book-books，cat-cats，dog-dogs等。
2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x结尾的名词，复数形式应在词尾加-es，如bus-buses，class-classes，box-boxes等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，复数形式应将y变为i再加上-es，如baby-babies，city-cities等。
4. 以-f或-fe结尾的名词，复数形式应将f变为v再加上-es，如leaf-leaves，knife-knives 等。
5. 一些名词的复数形式是不规则变化的，需要独立记忆，如child-children，man-men，woman-women等。
二、不可数名词不可数名词是指不能用于单复数变化的名词，它们通常表示一种概念、物质或抽象事物，如water, milk, money, information等。
不可数名词没有复数形式，不能与不定冠词a/an连用，通常用于表示数量的量词或用作可数名词的量词修饰。
例题一：1. The teacher gave us some useful _______ for the exam. (information)A. informationsB. informC. informationD. informs答案：C. information2. There are too many ______ in the river. (fish)A. fishsB. fishC. fishesD. fishies答案：B. fish3. He bought two new ______ at the bookstore yesterday. (novel)A. novellsB. novlesC. novelD. novels答案：D. novels4. There is some ______ on the table, could you please pass me the ______? (butter)A. buttersB. butterC. buttersD. butteries答案：B. butter5. Please give me some more ______ for my cup of ______. (milk)A. milksB. milkC. milkieD. milkies答案：B. milk三、名词的数量表达1. 在表示数量的名词或代词前，应使用相应的量词来修饰，如a few, a little, some, many, much, a lot of, plenty of等。
复数练习题(有答案)复习课程
复数练习题(有答案)复数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ． 1+i B ． 1−i C ． −1+i D ． −1−i 2．已知a ∈R，i 是虚数单位．若z ＝a ＋i ，z ·＝4，则a ＝( )A ． 1或－1B ．或－ C ． － D ． 3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①2z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．（2018兰州模拟）若复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2018北京大兴区一模）若为虚数单位,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是( )A ．B ．C ．D ．6．（2018江西省景德镇联考）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ．7．（福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试）已知复数是虚数单位，)，则（）A． B． C．0 D．28．（山东K12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数，则的共轭复数的虚部为A． B．C． D．i9．（上海市徐汇区2018届高三一模）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为_____10．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模））设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则______．11．（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．12．已知，是虚数单位.(1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1 参考答案1．B2．A3．C4．D5．D6．B7．A8．B9．（4，-5）10．11．..12．(1) a=1或-1. (2) .。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(复数)练习(附答案)
,
1 i
√2
=
.
参考答案
10
3-i
10(3 i)
=3+i,故选
(3-i)(3 i)
1.D z=
D.
2.D ∵z=2+i,∴ =2-i.
∴z =(2+i)(2-i)=5. 故选 D.
3.D 复数 z 满足|z+1|=|z-i|,∴
1)
(
(-1) ,化简得 x+y=0,故选 D.
A.x=0
B.y=0
C.x-y=0
D.x+y=0
4.(多选)对任意 z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(
*
m n
)
)
m+n
A.当 m,n∈N 时,有 z z =z
=0,则 z1=0 且 z2=0
B.当 z1,z2∈C 时,若
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=zꞏ
D.z1=z2 的充要条件是|z1|=|z2|
R)的一个根为 1+i(i 为虚数单位),则
A.1-i
B.-1+i
C.2i
D.2+i
=(
1 i
)
π
2
π
2
16.(多选)(历年山东济南高三考前模拟)已知复数 z=1+cos 2θ+isin 2θ - <θ<
,则下列说法正确的是
(
)
A.复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z 可能为实数
C.|z|=2cos θ
故选 D.
1 7i
2 i
zi-7i=1-2z,即 z=
专题09：复数知识点及典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习课件+知识清单+练习题
A． 4 2i
12．A 【分析】
B． 4 2i
利用复数的加法法则直接计算即可.
C．1 4i
D．1 5i
【详解】
(3 4i) (1 2i) 3 1 4 2 i 4 2i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的加法运算，属于基础题.
13．如图，在复平面内，若复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数
zm zn zmn , (zm )n zmn , (z1z2 )n z1n z2n
15．复数 z 2 i1 2i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
15．A
【分析】
利用复数的乘法化简复数 z ，利用复数的乘法可得出结论.
【详解】
z 2 i1 2i 2 3i 2i2 4 3i ，
D．1 3i
7．A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标，利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得
z
1i
，所以 z
4 =1 i+ 4
z
1i
1 i 21 i 3 i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义，属于基础题.
8．在复平面内，若表示复数 z m2 1 1 i 的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（ ） m
z 2i，
则 z 的虚部是 1．
故选： B ．
21．设复数
z
1 i2020 1i
（其中
i
为虚数单位），则
z
在复平面内对应的点所在象限为（
）
A．第四象限 21．A
B．第三象限
C．第二象限
复数及其基本运算知识点总结及练习题
１复数及基本运算（知识点总结及练习题）1.复数：对实数 a ，b ，形如 a ＋bi 的数称为复数；a 是这复数的实部，b 是这复数的虚部，i 称为虚数单位，满足 i 2＝－1。
( )1 b ＝0 时，a ＝a ＋0i 视为实数 a ，因此把实数看成是虚部为零的复数。
( )2 b ≠0 时，a ＋bi 称为虚数，又 a ＝0 且 b ≠0 时，bi 称为纯虚数。
※ i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1 为每四次一循环。
2.复数的相等：设 a ，b ，c ，d 是实数，且a ＋bi ＝c ＋di ，则a ＝c 且b ＝d 。
3. 共轭复数：若 z ＝a ＋bi ，a ，b ∈，则 ¯z ＝a －bi 称为 z 之共轭复数。
( )1 w z ±＝¯z ±¯w 。
( )2 ¯¯zw ＝¯z ．¯w 。
( )3)(wz ＝ ¯z ¯w 。
( )4 ¯¯z n ＝(¯z )n 。
【练习】1. 若 x ，y ∈R ，i ＝1－，下列何者为真？(A)｜x ｜＝x ⇒ x ＞0 (B) x ＜y ⇒ x 2＜y 2 (C) x 2＜y 2 ⇒｜x ｜＜｜y ｜ (D) x ＋yi 的虚部为 yi 。
【C 】2. 下列何者为真？ 【BC 】 (A)z i ＝iz (B)2z －1＝12－z (C)(i ) 2＝2i (D)i z 2＋＝z ＋2i (E)21z iz ＝21iz z 。
3. 设 a ∈R ，复数 z ＝i i a 212－－的虚部为 0，则实数 a ＝? 【41】 4. z 1，z 2 ∈C ，z 1 的虚部为 2，z 2 的实部为 5，z 1＋z 2 的虚部为 6，z 1．z 2 的实部为 7，则 z 1＝?，z 2＝? 【3＋2i ；5＋4i 】5. 设复数 z 的实部是 3，虚部是整数，且z 1的虚部是132，求 z ＝? 【3－2i 】 6. 化简：(1)416－－＋99－＋5125－ (2) 3×12－＋3－×12－＋312－－＋312－ (3)(2i )(42i )(83－)(25－) (4) (3＋4i )( 2＋3i ） (5)i i 323＋－＋i i 323－＋。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含答案
【高中数学】数学复习题《复数》知识点练习一、选择题1．设复数4273i z i -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129【答案】C【解析】【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.2．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A ．10BC ．5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A B C ．2 D ．3【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a=（ ） A ．2B 3C 2D ．1【答案】B【解析】【分析】【详解】 2||21230,3a i a a a a i+=+=∴=±>∴=Q ，选B.6．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案.【详解】 ()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.7．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．8．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2B C ．1 D ．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.9．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.11．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）A ．1188i +B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B【解析】【分析】 计算得到18i z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.12．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.13．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i - 【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.15．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1B C ．2 D 【答案】A【解析】 分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求 1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6，所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离，所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.17．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】 ()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 18．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i --B ．1i +C ．312i -D ．312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.19．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.20．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）A ．iB ．1C ．i -D ．1-【答案】B【解析】 ()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数.基本知识【1】复数的基本概念(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ，b R )；复数的单位为i ，它的平 方等于一1，即i 21.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部纯虚数：当a = 0且b(2) 两个复数相等的定义：0时的复数a+ b i 为纯虚数a bi c di a c 且b d (其中，a ， b ，c ,d , R )特别地 a bi 0 a b 0(3) 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a,b ;(象限的复习)实数：当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b 0时的复数a + bi 为虚数;设z 1 a 1bj ，Z 2a 2b 2i(1) 加法： Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1b 2 i ;(2) 减法： Z 1 Z 2 a 1 a 2th b 2 i ;(3) 乘法： Z 1 : Z 2 a ia2t 1b 2a2^ a 1b 2i特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:・1i i i 231 i4i i1 i.5 6i i1【3】 复数的化简c zadi( abi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数：zc di c di a biac bdad bc i a bi a bi a bi2 ab 2对于:c di z a bi-a b 0， 当cab 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为复数的基本运算【2】(5)复数的模：对于复数z bi ，\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;二. 例题分析【例11已知z a 1 b 4 i ，求(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数(4)当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限A. 1 B . 0 C 1 D2 2【变式21求实数m 的值，使复数(m 2m 3) (m 3m 4)i 分别是：(1)实数。
复数复习题及答案
复数复习题及答案1. 复数的一般形式是什么？复数的一般形式是a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 两个复数相加的规则是什么？两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的模长如何计算？复数a+bi的模长是|a+bi|=√(a^2+b^2)。
4. 复数的共轭复数是什么？复数a+bi的共轭复数是a-bi。
5. 两个复数相乘的规则是什么？两个复数相乘时，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
6. 复数的除法如何进行？复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))。
7. 复数的实部和虚部如何表示？复数a+bi的实部是a，虚部是b。
8. 复数的几何意义是什么？复数a+bi可以在复平面上表示为一个点，其中a是实轴上的坐标，b 是虚轴上的坐标。
9. 复数的幂运算如何进行？复数的幂运算可以通过欧拉公式来实现，即(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r=|a+bi|，θ=arg(a+bi)。
10. 复数的指数形式是什么？复数的指数形式是e^(a+bi)=e^a(cos(b)+isin(b))。
答案：1. a+bi2. (a+c)+(b+d)i3. √(a^2+b^2)4. a-bi5. (ac-bd)+(ad+bc)i6. (a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))7. 实部a，虚部b8. 复平面上的一个点9. r^n(cos(nθ)+isin(nθ))10. e^a(cos(b)+isin(b))。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
(完整版)复数经典例题
经典例题透析类型一：复数的有关概念a 2-7a +62+(a -5a -6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，例1．已知复数z =a 2-1z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a 值.解析：（1）当z 为实数时，2⎧⎧a =-1或a =6⎪a -5a -6=0有⎨2⇒⎨⇒a =6，⎪⎩a ≠±1⎩a -1≠0∴当a =6时，z 为实数.（2）当z 为虚数时，2⎧⎪a -5a -6≠0⎧a ≠-1且a ≠6有⎨2⇒⎨⇒a ≠±1且a ≠6，⎪⎩a ≠±1⎩a -1≠0∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数.（3）当z 为纯虚数时，⎧a 2-5a -6≠0⎧a ≠-1且a ≠6⎪有⎨a 2-7a +6⇒⎨⇒a ∈∅=0⎩a =6⎪2⎩a -1∴不存在实数a 使z 为纯虚数.a 2-7a +62a -5a -6.总结升华：由于a∈R，所以复数z 的实部与虚部分为与2a -1①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（）A．a=0 B．a=0且b≠0 C．a≠0且b=0 D．a≠0且b≠0【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数(a -3a +2)+(a -1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.-12【答案】B；∵(a -3a +2)+(a -1)i 是纯虚数，∴a -3a +2=0且a -1≠0，即a =2.222【变式3】如果复数(m +i )(1+mi )是实数，则实数m=（）A．1 B．－1 C．2 D．-2【答案】B；【变式4】求当实数m 取何值时，复数z =(m -m -2)+(m -3m +2)i 分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）当m -3m +2=0即m =1或m =2时，复数z 为实数；（2）当m -3m +2≠0即m ≠1且m ≠2时，复数z 为虚数；2⎧⎪m -m -2=0（3）当⎨即m =-1时，复数z 为纯虚数.2⎪⎩m -3m +2≠02222类型二：复数的代数形式的四则运算例2.计算：（1）i n (n ∈N +)； (2)(1+i )8(1-4i )(1+i )+2+4i (3)(1+2i )÷(1-2i ); (4)3+4i解析：(1)∵i =-1，∴i =i ⋅i =-i ，i =i ⋅i =1，同理可得：当n =4k +1(k ∈N +)时，i 4k +1232422=i 4k ⋅i =(i 4)k ⋅i =i 当n =4k +2(k ∈N +)时，i 4k +2=i 4k ⋅i 2=-1，当n =4k +3(k ∈N +)时，i 当n =4k +4(k ∈N +)时，i 4k +3=i 4k ⋅i 3=-i 4k =i 4k ⋅i 4=(i 4)k =1，（n =4k +1，k ∈N ）⎧i ⎪-1（n =4k +2，k ∈N ）⎪n (n ∈N +)∴i =⎨-i （n =4k +3，k ∈N ）⎪⎪（n =4k +4，k ∈N ）⎩1(2)(1+i )=[(1+i )]=(2i )=2i =16824444341+2i (1+2i )(1+2i )12+(2i )2+4i -3+4i ====-+i (3)(1+2i )÷(1-2i )=22(1-2i )(1+2i )1-(2i )5551-2i (4)7+i (7+i )(3-4i )(1-4i )(1+i )+2+4i 1+4-3i +2+4i ===3+4i 3+4i 3+4i 32+4221+4+3i -28i 25-25i ===1-i .25251）i 的“周期性”（n ∈N +）2）(1±i )=±2i3）(a +bi )(a -bi )=a +b 222总结升华：熟练运用常见结论：n 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(1+2i )(3-4i )(2-i )（3）i ⋅i ⋅i ⋅L ⋅i 23100(1+i )3-(1-i )3（4）；22(1+i )-(1-i )【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(1+2i )(3-4i )(2-i )=(11+2i )(2-i )=24-7i（3）i ⋅i ⋅i ⋅L ⋅i 23100=i 1+2+L +100=i 5050=(i 4)1262⋅i 2=i 2=-1(1+i )3-(1-i )3(1+i )2⋅(1+i )-(1-i )2(1-i )2i (1+i )+2i (1-i )2i ⋅2==（4）==122(1+i )-(1-i )2i -(-2i )4i 4i【变式2】复数2i (1+i )=( )A.-4B.4C.-4iD.4i【答案】A；2i (1+i )=2i (1+2i -1)=2i ⨯2i =4i 2=-4【变式3】复数221+3i3-i =3等于( )A. iB. -iC.3+iD.3-i【答案】A；1+3i 3-i 1i1+3i-i (1+3i )=1=i ，故选A -i【变式4】复数(i -)等于( )A.8 B.－8 C.8i D.－8i 【答案】D；(i -)=(i +1i 3-13)=(2i )3=8i 3=-8i .i类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y.思路点拨：因x∈R，y 是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R 且b≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi（b∈R，且b≠0），则(2x―1)+(3―y)i＝(2x―1)+(3―bi )i＝（2x－1+b）+3i，y―i =bi－i=（b－1）i由(2x―1)+(3―y)i=y―i 得（2x―1+b）+3i=（b―1）i，⎧b =4⎧2x -1+b =0⎪⇒⎨由复数相等的充要条件得⎨3，b -1=3x =-⎩⎪⎩2∴x =-3，y =4i .2总结升华：1.复数定义：“形如z =a +bi （a ,b ∈R ）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di（a，b，c，d ∈R）相等的充要条件是a=c 且b=d，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y―i 中y 也并非是实部.举一反三：xy5+=，则x +y =______1-i 1-2i 1-3i xy5x y 5【答案】由得(1+i )+(1+2i )=+=(1+3i )1-i 1-2i 1-3i 2510【变式1】设x、y 为实数，且即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，⎧5x +2y -5=0⎧x =-1故⎨,解得⎨5x +4y -15=0y =5⎩⎩∴x +y =4【变式2】若z∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3，即z=-3-i.1+2i=i ，则z =（）z A．-2+i B．-2-i C．2-i D．2+i1+2i i (1+2i)i -2【答案】z ====2-i ，故选C.i -1-1【变式3】设复数z 满足类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z =z思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z =a +bi （a，b∈R），则z =a -bi充分性：Q z =z ⇒a +bi =a -bi ⇒b =-b ⇒b =0⇒z ∈R ;必要性：Q z ∈R ,b =0⇒a +bi =a -bi ⇒z =z综上，复数z 为实数的充要条件为z =z举一反三：【变式1】x ,y ∈R ，复数(3x +2y )+5xi 与复数(y -2)i +18的共轭复数相等，求x，y.【答案】(y -2)i +18=18+(2-y )i⎧3x +2y =18⎧x =-2∴18-(y -2)i =(3x +2y )+5xi ⇒⎨⇒⎨⎩2-y =5x ⎩y =12【变式2】若复数z 同时满足z -z =2i ，z =iz （i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i2【变式3】已知复数z=1+i，求实数a、b 使az +2bz =(a +2z ).【答案】∵z=1+i，∴az +2bz =(a +2b )+(a -2b )i ，(a +2z )2=(a +2)2-4+4(a +2)i=(a 2+4a )+4(a +2)i2∵a、b 都是实数，∴由az +2bz =(a +2z )得⎧a +2b =a 2+4a ,⎨⎩a -2b =4(a +2).两式相加，整理得a +6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i，求复数z.法一：设z=a+bi（a，b∈R），则|z |=代入方程得a +bi +a 2+b 2=2+8i .2a 2+b 2，⎧⎧a =-15⎪a +a 2+b 2=2∴⎨，解得⎨⎪⎩b =8⎩b =8∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z 的实部.于是|z |=(2-|z |)+8，即|z|=68－4|z|+|z|，2222∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i，a，b 为实数.（1）若ω=z +3z -4，求|ω|；2z 2+az +b =1-i ，求a，b 的值.（2）若2z -z +1【答案】（1）ω=(1+i )+3(1-i )-4=2i +3-i -4=i -1∴|ω|=22z 2+az +b (1+i )2+(1+i )a +b (2+a )i +b +a =（2）∵2==(a +2)-(b +a )i 2z -z +1(1+i )-(1+i )+1i∴(a +2)-(a +b )i =1-i∴⎨⎧a +2=1⎧a =-1⇒⎨⎩a +b =1⎩b =2类型六：复数的几何意义例6、已知复数z =(m -2m -3)+(m -4m +3)i （m∈R）在复平面上对应的点为Z，求实数m 取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由m -4m +3=0⇒m =3或m =1∴当m =3或m =1时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故m -2m -3=0⇒m =-1或m =3∴当m =-1或m =3时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于02⎧⎪m -2m -3>0由⎨2，解得m＜―1或m＞3⎪⎩m -4m +3>02222∴当m＜―1或m＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数z =sin 2+i cos2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos2<0，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数z =(3m -5m +2)+(m -1)i (m ∈R )，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.2【答案】∵z =(3m -5m +2)-(m -1)i2⎧3m 2-5m +2>0∴⎨，解得m >1.⎩-(m -1)<0∴m 的取值范围为m ∈(1,+∞).【变式3】已知z 是复数，z +2i 和限，求实数a 的取值范围.【答案】设z =x +yi (x ,y ∈R )，∴z +2i =z =x +(2+y )i ，由题意得y =-2，z 2均为实数，且复数(z +ai )对应的点在第一象z -iz x -2i 111==(x -2i )(2-i )=(2x +2)+(x -4)i ，2-i 2-i 555由题意得x =4，∴z =4-2i∵(z +ai )=(12+4a -a )+8(a -2)i ，22⎧12+4a -a 2>0根据已知条件有⎨，解得2<a <6，8(a -2)>0⎩∴实数a 的取值范围是a ∈(2,6).【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数ω=z +1在复平面上z对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则ω=z+1111 =(a+ai)+=a++(a-)i z a+ai2a2a1⎧x=a+⎪⎪2a22令⎨，消a得x－y=2（x≥2）.⎪y=a-1⎪2a⎩。
高中复数知识点和相关练习试题百度文库
一、复数选择题1．212i i+=-（ ） A ．1 B ．−1 C ．i - D ．i2．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限3．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5BC ．D ．5i4．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．3i +D ．3i - 6．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．357．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 8．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-19．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --10．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75 B ．75- C ．15 D ．15- 12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5B C ．2 D 13．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -14．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1B C D ．2 15．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．2二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-19．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 20．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为21．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点22．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>25．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >26．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数27．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 29．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 30．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D2．C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项.【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误.故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正； 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.3．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B4．C【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，解析：C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+， 所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.5．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.6．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .7．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ． 解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 8．B【分析】可得，即得.【详解】由，得a ＝1.故选：B ．解析：B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ． 9．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．10．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.11．D【分析】先化简，求出的值即得解.【详解】，所以.故选：D【分析】 先化简345i a bi -+=，求出,a b 的值即得解. 【详解】 22(2)342(2)(2)5i i i a bi i i i ---+===++-， 所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D 12．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 13．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.18．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．19．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.20．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 21．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.24．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．25．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.26．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.27．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.30．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题. 故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三复数总复习知识点经典例题习题Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.复数一．基本知识【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为A ．1-B ．0C 1D ．1-或1【变式2】求实数m 的值，使复数22(23)(34)m m m m i --+--分别是： （1）实数。
（2）纯虚数。
（3）零【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z【变式1】(1)设,,(1)232(1)x y R x xiy y i ∈+-=-+-求,x y 的值。
(2) (22)(4)0x i y i ++-=求,x y 的值。
【变式2】设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；【变式1】复数z 满足21i z i-=-，则求z 的共轭z【变式2】已知复数z =z z •= A. 14 B.12【变式3】若复数z 满足(1)1z i i +=-，则其共轭复数z -=________________【例4】已知12z i =-，232z i =-+（1） 求12z z +的值；（2） 求12z z ⋅的值；（3） 求12z z ⋅.【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.【变式2】若复数()21ai +是纯虚数，求复数1ai +的模. 【变式3】已知21z i i-=++，则复数z =（ ） A ．13i -+ B ．13i - C ．3i + D ．3i -【例5】下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-【例6】若复数()312a i z a R i+=∈-（i 为虚数单位）， （1） 若z 为实数，求a 的值（2） 当z 为纯虚，求a 的值.【变式1】设a 是实数，且112a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第几象限【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A ．iB ．-iC ．1D ．-1【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【变式3】i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】复数73i z i-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --【变式1】已知i 是虚数单位，32i 1i=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --【变式2】.已知i 是虚数单位，复数131i i--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i --【变式3】已知i 是虚数单位，复数1312i i-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i【变式4】.已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i高二数学复数测试题一、选择题1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．计算1i i+的结果是（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -3.复数9-的平方根是（ ）A ．i 3B ．i 3-C ．i 3±D ．不存在 4.若复数i m m m m z )23(23222+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．21或B ．221或-C ．21- D ．2 5若实数y x ,，满足2)1()1(=-++y i x i ，则xy 的值是（ ）A. 1B. 2C.－2D.－36．已知复数z 满足,11i zz =+-则z +1=（ ） A ．1 B. 0 C. 2 D. 27．=-+2008)11(ii （ ） A ．1 B ． 1- C ．i D ．i -8．如果复数3z ai =+满足条件22z -<，那么实数a 的取值范围为（ ）Ａ．(2222)-， Ｂ．(22)-， Ｃ．(11)-， Ｄ．(33)-，9、适合方程02=--i z z 的复数z 是（ ）A ．i 2163+B ．i 2163-C ．i 2163--D ．i 2163+± 10．10032i i i i …··…··= （ ）A ．1B ．－1C ．ID ．－i11．在复平面内，复数2(13)1i i i+-+对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限12．复数32(1)i i =+ A ．12 B ．12- C ．2i - D ．2i 二、填空题1、复数z=3-2i 的共轭复数为_________________。
2、若z= a+bi ，则z z -=____________，z z ⋅=____________.3、21,(1)____________i i=±= 4、11,11____________i i i i+-==-+ 5、设,2321i w +-=则.1,,_____________________232=++==w w w w 6、已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i ，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于___________.7、已知z 1=2+i ，z 2=1+2i ，则复数z=z 2-z 1对应的点在________象限。
8、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是___________9、2006)11(ii -+=___________ 10、已知复数ii Z +-=11，则4321Z Z Z Z ++++的值是___________ 11、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 215z i z + = 。
12、*(),()n n f n i i n N -=+∈的值域中，元素的个数是___________个。
13．41()i i+=_______________ 14．已知,x y ∈R ，若23xi i y i +-=-，则x y -= ．15、试求12345678,,,,,,,i i i i i i i i 的值，由此推测4n i =_____, 41n i +=______, 42n i +=______, 43n i +=______, 12342000......i i i i i =___________16. 在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为 。
17. 已知复数z 与（z +2）2 – 8 i 都是纯虚数，则z =_________。
18. 已知=+=-=+=.111431052121z z z z i z i z ，则，， 。
19．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
20．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 三、解答题1． 计算2025100)21(])11()21[(i i i i i +-+-+⋅+ 2． 已知复数R m i m m m m z ∈-++-+=,)2()232(22根据下列条件，求m 值。
（1）z 是实数；（2）z 是虚线；（3）z 是纯虚数；（4）z ＝0。
3．已知复数)(21R ∈+=a i a z ，i z 432-=，且21z z 为纯虚数，求复数1z ． 4． 设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求实数m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限5、已知z 是复数，z+2i 、iz -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。