高三复数总复习知识点经典例题习题
高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编附答案解析

数学《复数》高考复习知识点一、选择题1.已知两非零复数12,z z ,若12R z z ∈,则一定成立的是A .12R z z ∈B .12R z z ∈C .12R z z +∈D .12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法:当121,1z i z i =+=-时,12z z ∈R ,而()21212z z i i R =+=∉,选项A 错误, 1211z i i R z i+==∉-,选项B 错误, 当121,22z i z i =+=-时,12z z ∈R ,而123z z i R +=-∉,选项C 错误, 本题选择D 选项.2.若1z i =+,则31i zz =+( ) A .i -B .iC .1-D .1 【答案】B【解析】因为1z i =+,所以1z i =- ,()()3112,1i zz i i i zz =+-==+,故选B.3.在复平面内,若复数z 满足|z +1|=|1+i z |,则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A .直线B .圆C .椭圆D .抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、,代入11z iz +=+,求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线.【详解】设()z x yi x y R =+∈、,1x yi ++=,()11iz i x yi +=++=y x =-,所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线,故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,动点的轨迹问题,是基础题.4.已知i 是虚数单位,则31i i +-=( ) A .1-2iB .2-iC .2+iD .1+2i 【答案】D【解析】试题分析:根据题意,由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+,故可知选D. 考点:复数的运算点评:主要是考查了复数的除法运算,属于基础题.5.已知复数z 满足()1z i i =-,(i 为虚数单位),则z =( )A .2B .3C .2D .3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+,故2z =,故选A.6.设i 是虚数单位,若复数()103a a R i -∈-是纯虚数,则a 的值为( ) A .-3B .-1C .1D .3【答案】D【解析】【分析】【详解】因, 故由题设, 故,故选D . 考点:复数的概念与运算.7.已知复数z 23(13)i -,则|z |=( )A .14B .12C .1D .2【答案】B【解析】【分析】【详解】解:因为===,因此|z |=128.已知复数12z =-,则z z +=( )A .12--B .12-+C .12+D .12- 【答案】C【解析】分析:首先根据题中所给的复数z ,可以求得其共轭复数,并且可以求出复数的模,代入求得12z z +=+,从而求得结果.详解:根据12z =-,可得12z =-+,且1z ==,所以有11122z z +=-++=+,故选C. 点睛:该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算,属于基础题目.9.已知z 是复数,则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的( )A .充分必要条件B .充分不必要条C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+,2z 为纯虚数得到0a b =±≠,得到答案.【详解】设z a bi =+,,a b ∈R ,则()2222z a b abi =-+,2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩,z 的实部和虚部相等a b ⇔=.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件,意在考查学生的推断能力.10.已知复数z 满足11212i i z+=+(i 为虚数单位),则z 的虚部为( ) A .4 B .4i C .4- D .4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.11.设(1)1i x yi -=+,其中,x y 是实数,则x yi +在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+,其中,x y 是实数,得:11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩,所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.12.若202031i i z i+=+,则z 在复平面内对应点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+,得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-,对应的点在第一象限. 故选:A .【点睛】本题考查了复数对应象限,意在考查学生的计算能力.13.设3i z i +=,i 是虚数单位,则z 的虚部为( ) A .1B .-1C .3D .-3【答案】D因为z=3i i+13i =-∴z 的虚部为-3,选D.14.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的,他将指数函数定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,根据欧拉公式,若将2i e π表示的复数记为z ,则(12)z i +的值为( )A .2i -+B .2i --C .2i +D .2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=,再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=,∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选:A.【点睛】此题考查复数的基本运算,关键在于根据题意求出z .15.已知复数z 满足21zi z i +=-,则z =A .12i +B .12i -C .1i +D .1i -【答案】C【解析】【分析】设出复数z ,根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,则z a bi =-, 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-, 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选:C .【点睛】本题考查复数的运算,共轭复数的求解,属综合基础题.16.在复平面内,复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D【解析】分析:首先求得复数z ,然后求解其共轭复数即可. 详解:由复数的运算法则有:()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-, 则1z i =-,其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛:本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.复数52i -的共轭复数是( ) A .2i + B .2i -C .2i -+D .2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式,再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---,所以复数52i -的共轭复数是2i -+,选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念,考查基本求解能力.18.在复平面内,复数z 满足()112z i i +=-,则z 对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-,∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--,∴1322z i =-+,故对应的点在第二象限.故选B .19.复数321i i -(i 为虚数单位)的共轭复数是 ( ) A .2155i -+ B .2133i + C .2155i -- D .2133i - 【答案】C【解析】 试题分析:由题;3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-,则共轭复数为:2155i --. 考点:复数的运算及共轭复数的概念.20.若复数z 满足()12z i i +=(i 为虚数单位),则z =( )A .1B .2CD .【答案】C【解析】试题分析:因为(1)2z i i +=,所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点:复数的模。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)

高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ,则z−i 1+i =( )A .1−2iB .2+2iC .2iD .−2i答案:D分析:根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ,得z =2−i ,所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选:D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ,x,y ∈R ,则|x −yi|=( )A .6B .5C .4D .3答案:B分析:根据复数实部等于实部,虚部等于虚部可得{x =−3y =4,进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ,所以{2x =−6−x =y −1,解得{x =−3y =4, 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选:B.3、已知下列三个命题:①若复数z 1,z 2的模相等,则z 1,z 2是共轭复数;②z 1,z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则z 1不是z 2的共轭复数;③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A .0个B .1个C .2个D .3个答案:C解析:运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示:本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内,复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案:A解析:由复数的运算求出z ,则可得其对应的点的坐标,从而得出结论.z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i , 则z 在复平面内对应的点为(12,12),在第一象限,故选:A .5、z 1、z 2是复数,则下列结论中正确的是( )A .若z 12+z 22>0,则z 12>−z 22B .|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C .z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D .|z 12|=|z 1|2答案:D解析:举反例z 1=2+i ,z 2=2−i 可判断选项A 、B ,举反例,z 2=i 可判断选项C ,设z 1=a +bi ,(a,b ∈R ),分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ,进而可得正确选项.对于选项A :取z 1=2+i ,z 2=2−i ,z 12=(2+i )2=3+2i ,z 22=(2−i )2=3−2i ,满足z 12+z 22=6>0,但z 12与z 22是两个复数,不能比较大小,故选项A 不正确;对于选项B :取z 1=2+i ,z 2=2−i ,|z 1−z 2|=|2i |=2,而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义,故选项B 不正确;对于选项C :取,z 2=i ,则z 12+z 22=0,但是z 1≠0,z 2≠0,故选项C 不正确;对于选项D :设z 1=a +bi ,(a,b ∈R ),则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2,z 1=a −bi ,|z 1|=√a 2+b 2,所以|z 1|2=a 2+b 2,所以|z 12|=|z 1|2,故选项D 正确.故选:D.6、已知i 为虚数单位,则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=( )A .iB .−iC .1D .-1答案:A分析:根据虚数的运算性质,得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0,得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021,即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0,所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选:A.7、已知正三角形ABC 的边长为4,点P 在边BC 上,则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A .2B .1C .−2D .−1答案:D分析:选基底,用基向量表示出所求,由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ,x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选:D8、已知关于x 的方程(x 2+mx )+2x i =-2-2i (m ∈R )有实数根n ,且z =m +n i ,则复数z 等于( )A .3+iB .3-iC.-3-iD.-3+i答案:B分析:根据复数相等得出m,n的值,进而得出复数z. 由题意知(n2+mn)+2n i=-2-2i,即{n 2+mn+2=02n+2=0,解得{m=3,n=−1,∴z=3−i故选:B多选题9、已知复数z=21+i,则正确的是()A.z的实部为﹣1B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的虚部为﹣iD.z的共轭复数为1+i答案:BD分析:根据复数代数形式的乘除运算化简,结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i,所以z的实部为1,虚部为-1,在复平面内对应的点为(1,-1),在第四象限,共轭复数为z=1+i,故AC错误,BD正确.故选:BD10、复数z=1−i,则()A.z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B.z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C.|z|=2D.|z|=√2答案:AD分析:利用复数的几何意义,求出复数对应的点坐标为(1,−1),即可得答案;z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1),|z|=√2.故选:AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2,则下列说法中正确的有()A.z的虚部是iB.|z|=√2C.z⋅z=2D.z2=2答案:BC分析:根据复数的除法运算求出z,结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i,其虚部为1,|z|=√2,z⋅z=(1+i)(1−i)=2,z2=(1+i)2=2i≠2.故选:BC.12、已知复数z1=−2+i(i为虚数单位),复数z2满足|z2−1+2i|=2,z2在复平面内对应的点为,则()A.复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B.1z1=−25−15iC.(x+1)2+(y−2)2=4D.|z2−z1|的最大值为3√2+2答案:ABD分析:利用复数的几何意义可判断A选项;利用复数的除法运算可判断B选项;利用复数的模长公式可判断C选项;利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项,复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1),该点位于第二象限,A对;对于B选项,1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i,B对;对于C选项,由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i,因为|z2−1+2i|=2,则(x−1)2+(y+2)2=4,C错;对于D选项,z1−1+2i=−3+3i,则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2,所以,|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2,D对.(), M x y故选:ABD.13、若复数z 满足:z (z +2i )=8+6i ,则( )A .z 的实部为3B .z 的虚部为1C .zz =√10D .z 在复平面上对应的点位于第一象限答案:ABD分析:根据待定系数法,将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3,b =1,进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R ),因为z (z +2i )=8+6i ,所以zz +2iz =8+6i ,所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ,所以a 2+b 2−2b =8,2a =6,所以a =3,b =1,所以z =3+i ,所以z 的实部为3,虚部为1,故A ,B 正确;zz =|z |2=10,故C 不正确;z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限,故D 正确.故选:ABD .填空题14、i 2 021=________.答案:i分析:利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是:i15、设复数z ,满足|z 1|=1,|z 2|=2,z 1+z 2=√3−i ,则|z 1−z 2|=____________.答案:√6解析:根据复数的几何意义得到对应向量的表示,再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如下图所示:因为z 1+z 2=√3−i ,所以|z 1+z 2|=√3+1=2,所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14, 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°,所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14,所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6, 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,所以答案是:√6.小提示:名师点评复数的几何意义:(1)复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R ); (2)复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案:−2−8i ##−8i −2分析:根据给定条件求出复数,再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(3,−5),则z =3−5i ,所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是:−2−8i解答题17、已知复数z 1=4-m 2+(m -2)i ,z 2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i (其中i 是虚数单位,m ,λ,θ∈R ).(1)若z 1为纯虚数,求实数m 的值;(2)若z 1=z 2,求实数λ的取值范围.答案:(1)-2;(2)[2,6]分析:(1)z 1为纯虚数,则其实部为0,虚部不为0,解得参数值;(2)由z 1=z 2,实部、虚部分别相等,求得λ关于θ的函数表达式,根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数,则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m =-2. (2)由z 1=z 2,得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ=4-cos 2θ-2sin θ=sin 2θ-2sin θ+3=(sinθ−1)2+2. ∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=1时,λmin =2,当sin θ=-1时,λmax =6,∴实数λ的取值范围是[2,6].18、已知m ∈R ,α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根.(1)若|α−β|=2√2,求m 的值;(2)用m 表示|α|+|β|.答案:(1)−1或3;(2)|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析:(1)由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根.可得α+β=−2,αβ=m ,对α,β分为实数,与一对共轭虚根即可得出.(2)不妨设α⩽β,对m 及其判别式分类讨论,利用根与系数的关系即可得出.解:(1)∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根.∴α+β=−2,αβ=m ,若α,β为实数,即Δ=4−4m ≥0,解得m ≤1时;则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ,解得m =−1.若α,β为一对共轭复数,即Δ=4−4m <0,解得m >1时;则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|,解得m =3.综上可得:m =−1或3.(2)因为x2+2x+m=0,不妨设α⩽β.Δ=4−4m⩾0,即m⩽1时,方程有两个实数根.α+β=−2,αβ=m,0⩽m⩽1时,|α|+|β|=|α+β|=2.m<0时,α与β必然一正一负,则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m.Δ=4−4m<0,即m>1时,方程有一对共轭虚根.|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得:|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0.。
高中复数经典练习题及讲解

高中复数经典练习题及讲解1. 题目:判断下列各句中的名词是否为复数形式,并解释原因。
- 我有几个朋友。
- 她有两只猫。
- 他喜欢读小说。
- 我们有三本书。
答案:- 几个朋友:是复数形式,因为“几个”表示多于一个。
- 两只猫:是复数形式,因为“两只”明确表示两个。
- 他喜欢读小说:不是复数形式,因为“小说”是单数名词。
- 我们有三本书:是复数形式,因为“三本”表示三个。
2. 题目:将下列句子中的名词变为复数形式。
- 我有一个苹果。
- 她有一只狗。
- 他有一本书。
- 我们有一张桌子。
答案:- 我有两个苹果。
- 她有两只狗。
- 他有几本书。
- 我们有几张桌子。
3. 题目:根据上下文,将下列句子中的名词变为复数形式。
- 每个学生(student)都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些(some)橘子。
- 他们(they)正在讨论几个(a few)问题。
- 我们(we)通常在晚上看电视。
答案:- 每个学生都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些橘子。
- 他们正在讨论几个问题。
- 我们通常在晚上看电视。
4. 题目:判断下列句子中的名词是否正确使用了复数形式,并给出正确形式。
- 我昨天买了一个橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一个问题。
- 我们有两张桌子。
答案:- 我昨天买了一些橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一些问题。
- 我们有两张桌子。
5. 题目:将下列句子中的名词变为复数形式,并解释变化的原因。
- 我有一个梦想。
- 她有一只猫。
- 他有一本书。
- 我们有一张纸。
答案:- 我有多个梦想。
- 她有几只猫。
- 他有几本书。
- 我们有几张纸。
原因解释:- “梦想”通常用来表示多个愿望或目标。
- “猫”在这种情况下可能表示不只一只。
- “书”在讨论时通常不只一本。
- “纸”在这种情况下可能表示多张纸。
高中数学高考总复习复数习题及详解

高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题1.2010·全国Ⅰ理复数错误!=A.iB.-iC.12-13iD.12+13i答案A解析错误!=错误!=错误!=i.2.2010·北京文在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案C解析由题意知A 6,5 ,B-2,3 ,AB中点C x,y ,则x=错误!=2,y=错误!=4,∴点C对应的复数为2+4i,故选C.3.若复数m2-3m-4 +m2-5m-6 i表示的点在虚轴上,则实数m的值是A.-1B.4C.-1和4D.-1和6答案C解析由m2-3m-4=0得m=4或-1,故选C.点评复数z=a+bi a、b∈R对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别.虚轴上包括原点参见教材104页的定义 ,切勿错误的以为虚轴不包括原点.4.文已知复数z=错误!,则错误!·i在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析z=错误!,错误!=错误!+错误!,错误!·i=-错误!+错误!i.实数-错误!,虚部错误!,对应点错误!在第二象限,故选B.理复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数错误!A.是纯虚数B.是虚数但不是纯虚数C.是实数D.只能是零答案C解析解法1:∵z的对应点P在单位圆上,∴可设P cosθ,sinθ,∴z=cosθ+i sinθ.则错误!=错误!=错误!=2cosθ为实数.解法2:设z=a+bi a、b∈R ,∵z的对应点在单位圆上,∴a2+b2=1,∴ a-bi a+bi=a2+b2=1,∴错误!=z+错误!=a+bi+a-bi=2a∈R.5.2010·广州市复数 3i-1 i的共轭复数....是A.-3+iB.-3-iC.3+iD.3-i答案A解析 3i-1 i=-3-i,其共轭复数为-3+i.6.2010·湖南衡阳一中已知x,y∈R,i是虚数单位,且x-1 i-y=2+i,则 1+i x-y的值为A.-4B.4C.-1D.1答案A解析由x-1 i-y=2+i得,x=2,y=-2,所以 1+i x-y= 1+i4= 2i2=-4,故选A. 7.文2010·吉林市质检复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析∵z=z1z2= 3+i 1-i=4-2i,∴选D.理现定义:e iθ=cosθ+isinθ,其中i是虚数单位,e为自然对数的底,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用,若a=C50cos5θ-C52cos3θsin2θ+C54cosθsin4θ,b=C51cos4θsinθ-C53cos2θsin3θ+C55sin5θ,那么复数a+b i等于A.cos5θ+isin5θB.cos5θ-isin5θC.sin5θ+icos5θD.sin5θ-icos5θ答案A解析a+b i=C50cos5θ+iC51cos4θsinθ+i2C52cos3θsin2θ+i3C53cos2θsin3θ+i4C54cosθsin4θ+i5C55sin5θ= cosθ+isinθ5=e iθ5=e i 5θ=cos5θ+isin5θ,选A.8.文2010·安徽合肥市质检已知复数a=3+2i,b=4+xi其中i为虚数单位 ,若复数错误!∈R,则实数x的值为A.-6B.6C.错误!D.-错误!答案C解析错误!=错误!=错误!=错误!+错误!i∈R,∴错误!=0,∴x=错误!.理2010·山东邹平一中月考设z=1-i i是虚数单位 ,则z2+错误!=A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案C解析∵z=1-i,∴z2=-2i,错误!=错误!=1+i,∴z2+错误!=1-i,选C.9.2010·山东聊城市模拟在复平面内,复数错误!对应的点到直线y=x+1的距离是A.错误!B.错误!C.2D.2错误!答案A解析∵错误!=错误!=1+i对应点为 1,1 ,它到直线x-y+1=0距离d=错误!=错误!,故选A.10.文2010·山东临沂质检设复数z满足关系式z+|错误!|=2+i,则z等于A.-错误!+iB.错误!-iC.错误!+iD.-错误!-i答案C解析由z=2-|错误!|+i知z的虚部为1,设z=a+i a∈R,则由条件知a=2-错误!,∴a=错误!,故选C.理2010·马鞍山市质检若复数z=错误!a∈R,i是虚数单位是纯虚数,则|a+2i|等于A.2B.2错误!C.4D.8答案B解析z=错误!=错误!=错误!+错误!i是纯虚数,∴错误!,∴a=2,∴|a+2i|=|2+2i|=2错误!.二、填空题11.规定运算错误!=ad-bc,若错误!=1-2i,设i为虚数单位,则复数z=________.答案1-i解析由已知可得错误!=2z+i2=2z-1=1-2i,∴z=1-i.12.2010·南京市调研若复数z1=a-i,z2=1+i i为虚数单位 ,且z1·z2为纯虚数,则实数a的值为________.答案-1解析因为z1·z2=a-i 1+i=a+1+a-1 i为纯虚数,所以a=-1.13.文若a是复数z1=错误!的实部,b是复数z2= 1-i3的虚部,则ab等于________.答案-错误!解析∵z1=错误!=错误!=错误!+错误!i,∴a=错误!.又z2= 1-i3=1-3i+3i2-i3=-2-2i,∴b=-2.于是,ab=-错误!.理如果复数错误!i是虚数单位的实数与虚部互为相反数,那么实数b等于________.答案-错误!解析错误!=错误!·错误!=错误!-错误!i,由复数的实数与虚数互为相反数得,错误!=错误!,解得b=-错误!.14.文若复数z=sinα-i 1-cosα是纯虚数,则α=________.答案 2k+1 πk∈Z解析依题意,错误!,即错误!,所以α= 2k+1 πk∈Z.点评新课标教材把复数这一章进行了精简,不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质;对于复数的模的要求很低,了解概念就行.主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算,这是我们复习的重点,不要超过范围.理2010·上海大同中学模考设i为虚数单位,复数z= 12+5i cosθ+i sinθ,若z∈R,则tanθ的值为________.答案-错误!解析z= 12cosθ-5sinθ+ 12sinθ+5cosθi∈R,∴12sinθ+5cosθ=0,∴tanθ=-错误!.三、解答题15.2010·江苏通州市调研已知复数z=错误!+a2-5a-6 i a∈R.试求实数a分别为什么值时,z分别为:1 实数;2 虚数;3 纯虚数.解析 1 当z为实数时,错误!,∴a=6,∴当a=6时,z为实数.2 当z为虚数时,错误!,∴a≠-1且a≠6,故当a∈R,a≠-1且a≠6时,z为虚数.3 当z为纯虚数时,错误!∴a=1,故a=1时,z为纯虚数.16.2010·上海徐汇区模拟求满足错误!=1且z+错误!∈R的复数z.解析设z=a+bi a、b∈R ,由错误!=1 |z+1|=|z-1|,由| a+1 +bi|=| a-1 +bi|,∴ a+1 2+b2=a-1 2+b2,得a=0,∴z=bi,又由bi+错误!∈R得,b-错误!=0 b=±错误!,∴z=±错误!i.17.将一颗质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6 先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.1 设复数z=a+bi i为虚数单位 ,求事件“z-3i为实数”的概率;2 求点P a,b落在不等式组错误!表示的平面区域内含边界的概率.解析 1 z=a+bi i为虚数单位 ,z-3i为实数,则a+bi-3i=a+b-3 i为实数,则b=3.依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6,故b=3的概率为错误!.即事件“z-3i为实数”的概率为错误!.2 连续抛掷两次骰子所得结果如下表:由上表知,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示含边界.由图知,点P a,b落在四边形ABCD内的结果有: 1,1 、 1,2 、 1,3 、 2,1 、 2,2 、 2,3 、2,4 、 3,1 、 3,2 、 3,3 、 3,4 、 3,5 、 4,1 、 4,2 、 4,3 、 4,4 、 4,5 、 4,6 ,共18种.所以点P a,b落在四边形ABCD内含边界的概率为P=错误!=错误!.。
复数知识点总结和例题

复数知识点总结和例题一、名词的复数形式1. 一般情况下,名词构成复数的规则是在单数形式后面加上-s,如book-books,cat-cats,dog-dogs等。
2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x结尾的名词,复数形式应在词尾加-es,如bus-buses,class-classes,box-boxes等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词,复数形式应将y变为i再加上-es,如baby-babies,city-cities等。
4. 以-f或-fe结尾的名词,复数形式应将f变为v再加上-es,如leaf-leaves,knife-knives 等。
5. 一些名词的复数形式是不规则变化的,需要独立记忆,如child-children,man-men,woman-women等。
二、不可数名词不可数名词是指不能用于单复数变化的名词,它们通常表示一种概念、物质或抽象事物,如water, milk, money, information等。
不可数名词没有复数形式,不能与不定冠词a/an连用,通常用于表示数量的量词或用作可数名词的量词修饰。
例题一:1. The teacher gave us some useful _______ for the exam. (information)A. informationsB. informC. informationD. informs答案:C. information2. There are too many ______ in the river. (fish)A. fishsB. fishC. fishesD. fishies答案:B. fish3. He bought two new ______ at the bookstore yesterday. (novel)A. novellsB. novlesC. novelD. novels答案:D. novels4. There is some ______ on the table, could you please pass me the ______? (butter)A. buttersB. butterC. buttersD. butteries答案:B. butter5. Please give me some more ______ for my cup of ______. (milk)A. milksB. milkC. milkieD. milkies答案:B. milk三、名词的数量表达1. 在表示数量的名词或代词前,应使用相应的量词来修饰,如a few, a little, some, many, much, a lot of, plenty of等。
复数练习题(有答案)复习课程

复数练习题(有答案)复数 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________1.复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A . 1+i B . 1−i C . −1+i D . −1−i 2.已知a ∈R,i 是虚数单位.若z =a +i ,z ·=4,则a =( )A . 1或-1B .或- C . - D . 3.已知复数1z i =+(i 为虚数单位)给出下列命题:①2z =;②1z i =-;③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A . 0B . 1C . 2D . 34.(2018兰州模拟)若复数满足,则( )A .B .C .D .5.(2018北京大兴区一模)若为虚数单位,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是( )A .B .C .D .6.(2018江西省景德镇联考)若复数在复平面内对应的点在直线上,则( ) A . 2 B . C . 1 D .7.(福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试)已知复数是虚数单位,),则()A. B. C.0 D.28.(山东K12联盟2018届高三开年迎春考试)若复数,则的共轭复数的虚部为A. B.C. D.i9.(上海市徐汇区2018届高三一模)在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点的坐标为_____10.(上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模))设,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则______.11.(2018届浙江省杭州市第二中学6月热身)若复数满足(为虚数单位),则__________;__________.12.已知,是虚数单位.(1)若为纯虚数,求的值; (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数的取值范围.精品资料仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢1 参考答案1.B2.A3.C4.D5.D6.B7.A8.B9.(4,-5)10.11...12.(1) a=1或-1. (2) .。
2023届高考数学复习:历年经典好题专项(复数)练习(附答案)

,
1 i
√2
=
.
参考答案
10
3-i
10(3 i)
=3+i,故选
(3-i)(3 i)
1.D z=
D.
2.D ∵z=2+i,∴ =2-i.
∴z =(2+i)(2-i)=5. 故选 D.
3.D 复数 z 满足|z+1|=|z-i|,∴
1)
(
(-1) ,化简得 x+y=0,故选 D.
A.x=0
B.y=0
C.x-y=0
D.x+y=0
4.(多选)对任意 z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(
*
m n
)
)
m+n
A.当 m,n∈N 时,有 z z =z
=0,则 z1=0 且 z2=0
B.当 z1,z2∈C 时,若
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=zꞏ
D.z1=z2 的充要条件是|z1|=|z2|
R)的一个根为 1+i(i 为虚数单位),则
A.1-i
B.-1+i
C.2i
D.2+i
=(
1 i
)
π
2
π
2
16.(多选)(历年山东济南高三考前模拟)已知复数 z=1+cos 2θ+isin 2θ - <θ<
,则下列说法正确的是
(
)
A.复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z 可能为实数
C.|z|=2cos θ
故选 D.
1 7i
2 i
zi-7i=1-2z,即 z=
专题09:复数知识点及典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习课件+知识清单+练习题

A. 4 2i
12.A 【分析】
B. 4 2i
利用复数的加法法则直接计算即可.
C.1 4i
D.1 5i
【详解】
(3 4i) (1 2i) 3 1 4 2 i 4 2i .
故选:A.
【点睛】
本题考查复数的加法运算,属于基础题.
13.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA ,OB ,则复数
zm zn zmn , (zm )n zmn , (z1z2 )n z1n z2n
15.复数 z 2 i1 2i 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
15.A
【分析】
利用复数的乘法化简复数 z ,利用复数的乘法可得出结论.
【详解】
z 2 i1 2i 2 3i 2i2 4 3i ,
D.1 3i
7.A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标,利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得
z
1i
,所以 z
4 =1 i+ 4
z
1i
1 i 21 i 3 i .
故选:A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义,属于基础题.
8.在复平面内,若表示复数 z m2 1 1 i 的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( ) m
z 2i,
则 z 的虚部是 1.
故选: B .
21.设复数
z
1 i2020 1i
(其中
i
为虚数单位),则
z
在复平面内对应的点所在象限为(
)
A.第四象限 21.A
B.第三象限
C.第二象限
复数及其基本运算知识点总结及练习题

1复数及基本运算(知识点总结及练习题)1.复数:对实数 a ,b ,形如 a +bi 的数称为复数;a 是这复数的实部,b 是这复数的虚部,i 称为虚数单位,满足 i 2=-1。
( )1 b =0 时,a =a +0i 视为实数 a ,因此把实数看成是虚部为零的复数。
( )2 b ≠0 时,a +bi 称为虚数,又 a =0 且 b ≠0 时,bi 称为纯虚数。
※ i 1=i ,i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1 为每四次一循环。
2.复数的相等:设 a ,b ,c ,d 是实数,且a +bi =c +di ,则a =c 且b =d 。
3. 共轭复数:若 z =a +bi ,a ,b ∈,则 ¯z =a -bi 称为 z 之共轭复数。
( )1 w z ±=¯z ±¯w 。
( )2 ¯¯zw =¯z .¯w 。
( )3)(wz = ¯z ¯w 。
( )4 ¯¯z n =(¯z )n 。
【练习】1. 若 x ,y ∈R ,i =1-,下列何者为真?(A)|x |=x ⇒ x >0 (B) x <y ⇒ x 2<y 2 (C) x 2<y 2 ⇒|x |<|y | (D) x +yi 的虚部为 yi 。
【C 】2. 下列何者为真? 【BC 】 (A)z i =iz (B)2z -1=12-z (C)(i ) 2=2i (D)i z 2+=z +2i (E)21z iz =21iz z 。
3. 设 a ∈R ,复数 z =i i a 212--的虚部为 0,则实数 a =? 【41】 4. z 1,z 2 ∈C ,z 1 的虚部为 2,z 2 的实部为 5,z 1+z 2 的虚部为 6,z 1.z 2 的实部为 7,则 z 1=?,z 2=? 【3+2i ;5+4i 】5. 设复数 z 的实部是 3,虚部是整数,且z 1的虚部是132,求 z =? 【3-2i 】 6. 化简:(1)416--+99-+5125- (2) 3×12-+3-×12-+312--+312- (3)(2i )(42i )(83-)(25-) (4) (3+4i )( 2+3i ) (5)i i 323+-+i i 323-+。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含答案

【高中数学】数学复习题《复数》知识点练习一、选择题1.设复数4273i z i -=-,则复数z 的虚部为( ) A .1729- B .1729 C .129- D .129【答案】C【解析】【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =-,即可得到其虚部. 【详解】 依题意,()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选:C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析,关键在于熟练掌握运算法则,准确计算,正确辨析虚部的概念.2.已知i 是虚数单位,44z 3i (1i)=-+,则z (= )A .10BC .5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ,z ∴== 故选B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.3.已知复数z 满足()1z i i =-,(i 为虚数单位),则z =( )A B C .2 D .3【解析】()11z i i i =-=+,故2z =,故选A.4.若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位,则z=A .1+2iB .1-2iC .12i -+D .12i --【答案】B 【解析】试题分析:设i z a b =+,则23i 32i z z a b +=+=-,故,则12i z =-,选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查,也是考生必定得分的题目之一.5.a 为正实数,i 为虚数单位,2a i i+=,则a=( ) A .2B 3C 2D .1【答案】B【解析】【分析】【详解】 2||21230,3a i a a a a i+=+=∴=±>∴=Q ,选B.6.设i 是虚数单位,则()()3211i i -+等于( ) A .1i -B .1i -+C .1i +D .1i --【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案.【详解】 ()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力.7.复数21i z i+=-,i 是虚数单位,则下列结论正确的是A .z =B .z 的共轭复数为31+22iC .z 的实部与虚部之和为1D .z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算,求得1322z i =+,在根据复数的模,复数与共轭复数的概念等即可得到结论.【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-,则22z ==,z 的共轭复数为1322z i =-, 复数z 的实部与虚部之和为2,z 在复平面内对应点位于第一象限,故选D .【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化,其次要熟悉复数相关基本概念,如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -.8.(2018江西省景德镇联考)若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上,则z =( )A .2B C .1 D .【答案】B【解析】分析:化简复数z ,求出对应点坐标,代入直线方程,可求得a 的值,从而可得结果. 详解:因为复数2i 22a a z i -==-, 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上, 可得10212a a z i -=⇒==-,,z ==,故选B.9.已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=( ) A .1-B .12-C .12D .1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值,再利用共轭复数的定义求出a +bi ,从而确定a ,b 的值,求出a +b .【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i , ∴a +bi =﹣i ,∴a =0,b =﹣1,∴a +b =﹣1,故选:A .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题.10.在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ,则A 对应的复数为( )A .1i --B .1i -C .1i +D .1i -+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+,即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标,写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,在复平面对应的点为(1,1), 关于虚轴对称点为(-1,1),所以其对应的复数为1i -+.故选:D【点睛】此题考查复数的几何意义,关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解,熟练掌握复数的几何意义.11.若复数z 满足2(12)1i z z +=+,则其共轭复数z 为( )A .1188i +B .1188i -+C .1188i --D .1188i - 【答案】B【解析】【分析】 计算得到18i z --=,再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选:B .【点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,意在考查学生的计算能力.12.设i 是虚数单位,则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-, 所以所对应的点为(1,1)-,位于第四象限,选D.13.已知z C ∈,2z i z i ++-=,则z 对应的点Z 的轨迹为( )A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义,结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2,即ZA ZB AB +=,另一方面,由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时,等号成立.因此,点Z 的轨迹为线段.故选:D.【点睛】本题考查复数模的几何意义,将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.14.已知复数z 满足21zi z i +=-,则z =A .12i +B .12i -C .1i +D .1i - 【答案】C【解析】【分析】设出复数z ,根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,则z a bi =-, 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-,故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选:C .【点睛】本题考查复数的运算,共轭复数的求解,属综合基础题.15.在复平面内,复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D【解析】分析:首先求得复数z ,然后求解其共轭复数即可. 详解:由复数的运算法则有:()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-, 则1z i =-,其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛:本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如果复数z 满足336z i z i ++-=,那么1z i ++的最小值是( )A .1B C .2 D 【答案】A【解析】 分析:先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹,再利用数形结合求 1z i ++的最小值.详解:设复数z 对应的点Z(x,y),6=,它表示点Z 到A (0,-3)和B (0,3)的距离和为6,所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C (-1,-1)的距离,所以当点Z 在点D(0,-1)时,它和点C (-1,-1)的距离最小,且这个最小距离为1. 故答案为:A点睛:(1)本题主要考查复数的几何意义,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到(-a,-b )的距离,类似这样的结论还有一些,大家要结合直角坐标理解它的几何意义,并做到能利用它解题.17.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( )A .1B .iC .1-D .i -【答案】A【解析】 ()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++,所以z 的虚部是1,选A. 18.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-( ) A .1i --B .1i +C .312i -D .312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ,选D.19.已知下列三个命题:①若复数z 1,z 2的模相等,则z 1,z 2是共轭复数;②z 1,z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则z 1不是z 2的共轭复数;③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】C【解析】【分析】 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.20.已知复数z 满足()11z i i +=-,则z = ( )A .iB .1C .i -D .1-【答案】B【解析】 ()()1i 1i z +=-,则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ,1z ∴=,故选B.。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题

复数.基本知识【1】复数的基本概念(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ,b R );复数的单位为i ,它的平 方等于一1,即i 21.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部纯虚数:当a = 0且b(2) 两个复数相等的定义:0时的复数a+ b i 为纯虚数a bi c di a c 且b d (其中,a , b ,c ,d , R )特别地 a bi 0 a b 0(3) 共轭复数:z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi ,对应点坐标为p a,b ;(象限的复习)实数:当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数:当b 0时的复数a + bi 为虚数;设z 1 a 1bj ,Z 2a 2b 2i(1) 加法: Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1b 2 i ;(2) 减法: Z 1 Z 2 a 1 a 2th b 2 i ;(3) 乘法: Z 1 : Z 2 a ia2t 1b 2a2^ a 1b 2i特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:・1i i i 231 i4i i1 i.5 6i i1【3】 复数的化简c zadi( abi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数:zc di c di a biac bdad bc i a bi a bi a bi2 ab 2对于:c di z a bi-a b 0, 当cab 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为复数的基本运算【2】(5)复数的模:对于复数z bi ,\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;二. 例题分析【例11已知z a 1 b 4 i ,求(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数(4)当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限A. 1 B . 0 C 1 D2 2【变式21求实数m 的值,使复数(m 2m 3) (m 3m 4)i 分别是:(1)实数。
复数复习题及答案

复数复习题及答案1. 复数的一般形式是什么?复数的一般形式是a+bi,其中a和b是实数,i是虚数单位,满足i^2=-1。
2. 两个复数相加的规则是什么?两个复数相加时,实部与实部相加,虚部与虚部相加。
即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的模长如何计算?复数a+bi的模长是|a+bi|=√(a^2+b^2)。
4. 复数的共轭复数是什么?复数a+bi的共轭复数是a-bi。
5. 两个复数相乘的规则是什么?两个复数相乘时,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
6. 复数的除法如何进行?复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现,即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))。
7. 复数的实部和虚部如何表示?复数a+bi的实部是a,虚部是b。
8. 复数的几何意义是什么?复数a+bi可以在复平面上表示为一个点,其中a是实轴上的坐标,b 是虚轴上的坐标。
9. 复数的幂运算如何进行?复数的幂运算可以通过欧拉公式来实现,即(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ)),其中r=|a+bi|,θ=arg(a+bi)。
10. 复数的指数形式是什么?复数的指数形式是e^(a+bi)=e^a(cos(b)+isin(b))。
答案:1. a+bi2. (a+c)+(b+d)i3. √(a^2+b^2)4. a-bi5. (ac-bd)+(ad+bc)i6. (a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))7. 实部a,虚部b8. 复平面上的一个点9. r^n(cos(nθ)+isin(nθ))10. e^a(cos(b)+isin(b))。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题

复数一.基本知识【1】复数的基本概念(1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部实数:当b = 0时复数a + b i 为实数虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数;纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数(2)两个复数相等的定义:00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且(3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-;(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习)(5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =叫做复数z 的模;【2】复数的基本运算设111z a b i =+,222z a b i =+(1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++;(2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-;(3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
(4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+,当c d a b=时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二. 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-,求(1) 当,a b 为何值时z 为实数(2) 当,a b 为何值时z 为纯虚数(3) 当,a b 为何值时z 为虚数(4) 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
(完整版)复数经典例题

经典例题透析类型一:复数的有关概念a 2-7a +62+(a -5a -6)i (a ∈R ),试求实数a 分别取什么值时,例1.已知复数z =a 2-1z 分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.思路点拨:根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念,判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a 值.解析:(1)当z 为实数时,2⎧⎧a =-1或a =6⎪a -5a -6=0有⎨2⇒⎨⇒a =6,⎪⎩a ≠±1⎩a -1≠0∴当a =6时,z 为实数.(2)当z 为虚数时,2⎧⎪a -5a -6≠0⎧a ≠-1且a ≠6有⎨2⇒⎨⇒a ≠±1且a ≠6,⎪⎩a ≠±1⎩a -1≠0∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.(3)当z 为纯虚数时,⎧a 2-5a -6≠0⎧a ≠-1且a ≠6⎪有⎨a 2-7a +6⇒⎨⇒a ∈∅=0⎩a =6⎪2⎩a -1∴不存在实数a 使z 为纯虚数.a 2-7a +62a -5a -6.总结升华:由于a∈R,所以复数z 的实部与虚部分为与2a -1①求解第(1)小题时,仅注重虚部等于零是不够的,还需考虑它的实部是否有意义,否则本小题将出现增解;②求解第(2)小题时,同样要注意实部有意义的问题;③求解第(3)小题时,既要考虑实数为0(当然也要考虑分母不为0),还需虚部不为0,两者缺一不可.举一反三:【变式1】设复数z=a+bi(a、b∈R),则z 为纯虚数的必要不充分条件是()A.a=0 B.a=0且b≠0 C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0【答案】A;由纯虚数概念可知:a=0且b≠0是复数z=a+bi(a、b∈R)为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件,对照各选择支的情况,应选择A.【变式2】若复数(a -3a +2)+(a -1)i 是纯虚数,则实数a 的值为()A.1B.2C.1或2D.-12【答案】B;∵(a -3a +2)+(a -1)i 是纯虚数,∴a -3a +2=0且a -1≠0,即a =2.222【变式3】如果复数(m +i )(1+mi )是实数,则实数m=()A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B;【变式4】求当实数m 取何值时,复数z =(m -m -2)+(m -3m +2)i 分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【答案】(1)当m -3m +2=0即m =1或m =2时,复数z 为实数;(2)当m -3m +2≠0即m ≠1且m ≠2时,复数z 为虚数;2⎧⎪m -m -2=0(3)当⎨即m =-1时,复数z 为纯虚数.2⎪⎩m -3m +2≠02222类型二:复数的代数形式的四则运算例2.计算:(1)i n (n ∈N +); (2)(1+i )8(1-4i )(1+i )+2+4i (3)(1+2i )÷(1-2i ); (4)3+4i解析:(1)∵i =-1,∴i =i ⋅i =-i ,i =i ⋅i =1,同理可得:当n =4k +1(k ∈N +)时,i 4k +1232422=i 4k ⋅i =(i 4)k ⋅i =i 当n =4k +2(k ∈N +)时,i 4k +2=i 4k ⋅i 2=-1,当n =4k +3(k ∈N +)时,i 当n =4k +4(k ∈N +)时,i 4k +3=i 4k ⋅i 3=-i 4k =i 4k ⋅i 4=(i 4)k =1,(n =4k +1,k ∈N )⎧i ⎪-1(n =4k +2,k ∈N )⎪n (n ∈N +)∴i =⎨-i (n =4k +3,k ∈N )⎪⎪(n =4k +4,k ∈N )⎩1(2)(1+i )=[(1+i )]=(2i )=2i =16824444341+2i (1+2i )(1+2i )12+(2i )2+4i -3+4i ====-+i (3)(1+2i )÷(1-2i )=22(1-2i )(1+2i )1-(2i )5551-2i (4)7+i (7+i )(3-4i )(1-4i )(1+i )+2+4i 1+4-3i +2+4i ===3+4i 3+4i 3+4i 32+4221+4+3i -28i 25-25i ===1-i .25251)i 的“周期性”(n ∈N +)2)(1±i )=±2i3)(a +bi )(a -bi )=a +b 222总结升华:熟练运用常见结论:n 举一反三:【变式1】计算:(1)(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)(2)(1+2i )(3-4i )(2-i )(3)i ⋅i ⋅i ⋅L ⋅i 23100(1+i )3-(1-i )3(4);22(1+i )-(1-i )【答案】(1)(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.(2)(1+2i )(3-4i )(2-i )=(11+2i )(2-i )=24-7i(3)i ⋅i ⋅i ⋅L ⋅i 23100=i 1+2+L +100=i 5050=(i 4)1262⋅i 2=i 2=-1(1+i )3-(1-i )3(1+i )2⋅(1+i )-(1-i )2(1-i )2i (1+i )+2i (1-i )2i ⋅2==(4)==122(1+i )-(1-i )2i -(-2i )4i 4i【变式2】复数2i (1+i )=( )A.-4B.4C.-4iD.4i【答案】A;2i (1+i )=2i (1+2i -1)=2i ⨯2i =4i 2=-4【变式3】复数221+3i3-i =3等于( )A. iB. -iC.3+iD.3-i【答案】A;1+3i 3-i 1i1+3i-i (1+3i )=1=i ,故选A -i【变式4】复数(i -)等于( )A.8 B.-8 C.8i D.-8i 【答案】D;(i -)=(i +1i 3-13)=(2i )3=8i 3=-8i .i类型三:复数相等的充要条件例3、已知x 是实数,y 是纯虚数,且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i,求x、y.思路点拨:因x∈R,y 是纯虚数,所以可设y=bi(b∈R 且b≠0),代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之即得所求结果.解析:∵y 是纯虚数,可设y=bi(b∈R,且b≠0),则(2x―1)+(3―y)i=(2x―1)+(3―bi )i=(2x-1+b)+3i,y―i =bi-i=(b-1)i由(2x―1)+(3―y)i=y―i 得(2x―1+b)+3i=(b―1)i,⎧b =4⎧2x -1+b =0⎪⇒⎨由复数相等的充要条件得⎨3,b -1=3x =-⎩⎪⎩2∴x =-3,y =4i .2总结升华:1.复数定义:“形如z =a +bi (a ,b ∈R )的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实,把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2.复数相等是复数问题实数化的有效途径之一,由两复数a+bi 与c+di(a,b,c,d ∈R)相等的充要条件是a=c 且b=d,可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x―1)+(3―y)i 的虚部,同样,在右边的y―i 中y 也并非是实部.举一反三:xy5+=,则x +y =______1-i 1-2i 1-3i xy5x y 5【答案】由得(1+i )+(1+2i )=+=(1+3i )1-i 1-2i 1-3i 2510【变式1】设x、y 为实数,且即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,⎧5x +2y -5=0⎧x =-1故⎨,解得⎨5x +4y -15=0y =5⎩⎩∴x +y =4【变式2】若z∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位),则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b∈R),则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3,即z=-3-i.1+2i=i ,则z =()z A.-2+i B.-2-i C.2-i D.2+i1+2i i (1+2i)i -2【答案】z ====2-i ,故选C.i -1-1【变式3】设复数z 满足类型四:共轭复数例4:求证:复数z 为实数的充要条件是z =z思路点拨:需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析:设z =a +bi (a,b∈R),则z =a -bi充分性:Q z =z ⇒a +bi =a -bi ⇒b =-b ⇒b =0⇒z ∈R ;必要性:Q z ∈R ,b =0⇒a +bi =a -bi ⇒z =z综上,复数z 为实数的充要条件为z =z举一反三:【变式1】x ,y ∈R ,复数(3x +2y )+5xi 与复数(y -2)i +18的共轭复数相等,求x,y.【答案】(y -2)i +18=18+(2-y )i⎧3x +2y =18⎧x =-2∴18-(y -2)i =(3x +2y )+5xi ⇒⎨⇒⎨⎩2-y =5x ⎩y =12【变式2】若复数z 同时满足z -z =2i ,z =iz (i 为虚数单位),则z=________.【答案】―1+i2【变式3】已知复数z=1+i,求实数a、b 使az +2bz =(a +2z ).【答案】∵z=1+i,∴az +2bz =(a +2b )+(a -2b )i ,(a +2z )2=(a +2)2-4+4(a +2)i=(a 2+4a )+4(a +2)i2∵a、b 都是实数,∴由az +2bz =(a +2z )得⎧a +2b =a 2+4a ,⎨⎩a -2b =4(a +2).两式相加,整理得a +6a+8=0解得a 1=―2,a 2=―4,对应得b 1=-1,b 2=2.∴所求实数为a=―2,b=―1或a=-4,b=2.类型五:复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i,求复数z.法一:设z=a+bi(a,b∈R),则|z |=代入方程得a +bi +a 2+b 2=2+8i .2a 2+b 2,⎧⎧a =-15⎪a +a 2+b 2=2∴⎨,解得⎨⎪⎩b =8⎩b =8∴z=-15+8i法二:原式可化为:z=2-|z|+8i,∵|z|∈R,∴2-|z|是z 的实部.于是|z |=(2-|z |)+8,即|z|=68-4|z|+|z|,2222∴|z|=17,代入z=2-|z|+8i得z=-15+8i.举一反三:【变式】已知z=1+i,a,b 为实数.(1)若ω=z +3z -4,求|ω|;2z 2+az +b =1-i ,求a,b 的值.(2)若2z -z +1【答案】(1)ω=(1+i )+3(1-i )-4=2i +3-i -4=i -1∴|ω|=22z 2+az +b (1+i )2+(1+i )a +b (2+a )i +b +a =(2)∵2==(a +2)-(b +a )i 2z -z +1(1+i )-(1+i )+1i∴(a +2)-(a +b )i =1-i∴⎨⎧a +2=1⎧a =-1⇒⎨⎩a +b =1⎩b =2类型六:复数的几何意义例6、已知复数z =(m -2m -3)+(m -4m +3)i (m∈R)在复平面上对应的点为Z,求实数m 取什么值时,点Z(1)在实轴上;(2)在虚轴上;(3)在第一象限.思路点拨:根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析:(1)点Z 在实轴上,即复数z 为实数,由m -4m +3=0⇒m =3或m =1∴当m =3或m =1时,点Z 在实轴上.(2)点Z 在虚轴上,即复数z 为纯虚数或0,故m -2m -3=0⇒m =-1或m =3∴当m =-1或m =3时,点Z 在虚轴上.3)点Z 在第一象限,即复数z 的实部虚部均大于02⎧⎪m -2m -3>0由⎨2,解得m<―1或m>3⎪⎩m -4m +3>02222∴当m<―1或m>3时,点Z 在第一象限.终结升华:复平面上的点与复数是一一对应的,点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三:【变式1】在复平面内,复数z =sin 2+i cos2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】∵π2<2<π,∴sin 2>0,cos2<0,故相应的点在第四象限,选D.【变式2】已知复数z =(3m -5m +2)+(m -1)i (m ∈R ),若z 所对应的点在第四象限,求m 的取值范围.2【答案】∵z =(3m -5m +2)-(m -1)i2⎧3m 2-5m +2>0∴⎨,解得m >1.⎩-(m -1)<0∴m 的取值范围为m ∈(1,+∞).【变式3】已知z 是复数,z +2i 和限,求实数a 的取值范围.【答案】设z =x +yi (x ,y ∈R ),∴z +2i =z =x +(2+y )i ,由题意得y =-2,z 2均为实数,且复数(z +ai )对应的点在第一象z -iz x -2i 111==(x -2i )(2-i )=(2x +2)+(x -4)i ,2-i 2-i 555由题意得x =4,∴z =4-2i∵(z +ai )=(12+4a -a )+8(a -2)i ,22⎧12+4a -a 2>0根据已知条件有⎨,解得2<a <6,8(a -2)>0⎩∴实数a 的取值范围是a ∈(2,6).【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上,求复数ω=z +1在复平面上z对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai(a>0)则ω=z+1111 =(a+ai)+=a++(a-)i z a+ai2a2a1⎧x=a+⎪⎪2a22令⎨,消a得x-y=2(x≥2).⎪y=a-1⎪2a⎩。
高中复数知识点和相关练习试题百度文库

一、复数选择题1.212i i+=-( ) A .1 B .−1 C .i - D .i2.若复数z 满足()13i z i +=+(其中i 是虚数单位),复数z 的共轭复数为z ,则( )A .z 的实部是1B .z 的虚部是1C .z =D .复数z 在复平面内对应的点在第四象限3.若复数(2)z i i =+(其中i 为虚数单位),则复数z 的模为( )A .5BC .D .5i4.已知i 为虚数单位,复数12i 1i z +=-,则复数z 在复平面上的对应点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 5.若复数z 满足421i z i +=+,则z =( ) A .13i +B .13i -C .3i +D .3i - 6.复数2i i -的实部与虚部之和为( ) A .35 B .15- C .15 D .357.若()()324z ii =+-,则在复平面内,复数z 所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限 8.已知i 是虚数单位,a 为实数,且3i 1i 2i a -=-+,则a =( ) A .2 B .1 C .-2 D .-19.在复平面内,已知平行四边形OABC 顶点O ,A ,C 分别表示25-+i ,32i +,则点B 对应的复数的共轭复数为( )A .17i -B .16i -C .16i --D .17i --10.复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.已知i 是虚数单位,设复数22i a bi i -+=+,其中,a b ∈R ,则+a b 的值为( ) A .75 B .75- C .15 D .15- 12.复数12z i =-(其中i 为虚数单位),则3z i +=( )A .5B C .2 D 13.复数21i i +的虚部为( ) A .1- B .1 C .i D .i -14.设复数z 满足(1)2i z -=,则z =( )A .1B C D .2 15.若复数11i z i ,i 是虚数单位,则z =( ) A .0 B .12 C .1 D .2二、多选题16.已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位),则下列说法错误的是( )A .z 的实部为2B .z 的虚部为1C .z i =D .||z =17.已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭(其中i 为虚数单位)下列说法正确的是( ) A .复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B .z 可能为实数C .1z =D .1z的虚部为sin θ 18.已知复数z 满足220z z +=,则z 可能为( ).A .0B .2-C .2iD .2i+1-19.下面是关于复数21i z =-+的四个命题,其中真命题是( )A .||z =B .22z i =C .z 的共轭复数为1i -+D .z 的虚部为1- 20.已知复数012z i =+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为0P ,复数z 满足|1|||z z i -=-,下列结论正确的是( )A .0P 点的坐标为(1,2)B .复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C .复数z 对应的点Z 在一条直线上D .0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为21.若复数z 满足()234z i i +=+(i 为虚数单位),则下列结论正确的有( )A .z 的虚部为3B .z =C .z 的共轭复数为23i +D .z 是第三象限的点22.下列说法正确的是( )A .若2z =,则4z z ⋅=B .若复数1z ,2z 满足1212z z z z +=-,则120z z =C .若复数z 的平方是纯虚数,则复数z 的实部和虛部相等D .“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23.已知复数1z i =+(其中i 为虚数单位),则以下说法正确的有( )A .复数z 的虚部为iB .z =C .复数z 的共轭复数1z i =-D .复数z 在复平面内对应的点在第一象限24.已知复数12ω=-(i 是虚数单位),ω是ω的共轭复数,则下列的结论正确的是( )A .2ωω=B .31ω=-C .210ωω++=D .ωω>25.已知1z ,2z 为复数,下列命题不正确的是( )A .若12z z =,则12=z zB .若12=z z ,则12z z =C .若12z z >则12z z >D .若12z z >,则12z z >26.任何一个复数z a bi =+(其中a 、b R ∈,i 为虚数单位)都可以表示成:()cos sin z r i θθ=+的形式,通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是( )A .22z z =B .当1r =,3πθ=时,31z =C .当1r =,3πθ=时,122z =-D .当1r =,4πθ=时,若n 为偶数,则复数n z 为纯虚数27.已知复数z 满足(1﹣i )z =2i ,则下列关于复数z 的结论正确的是( )A .||z =B .复数z 的共轭复数为z =﹣1﹣iC .复平面内表示复数z 的点位于第二象限D .复数z 是方程x 2+2x +2=0的一个根28.以下命题正确的是( )A .0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B .满足210x +=的x 有且仅有iC .“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D .已知()f x =()1878f x x '= 29.复数21i z i +=-,i 是虚数单位,则下列结论正确的是( )A .|z |=B .z 的共轭复数为3122i +C .z 的实部与虚部之和为2D .z 在复平面内的对应点位于第一象限 30.给出下列命题,其中是真命题的是( )A .纯虚数z 的共轭复数是z -B .若120z z -=,则21z z =C .若12z z +∈R ,则1z 与2z 互为共轭复数D .若120z z -=,则1z 与2z 互为共轭复数【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、复数选择题1.D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】,故选:D解析:D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-, 故选:D2.C【分析】利用复数的除法运算求出,即可判断各选项.【详解】,,则的实部为2,故A 错误;的虚部是,故B 错误;,故C 正;对应的点为在第一象限,故D 错误.故选:C.解析:C【分析】利用复数的除法运算求出z ,即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+,()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-, 则z 的实部为2,故A 错误;z 的虚部是1-,故B 错误;z ==,故C 正; 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限,故D 错误.故选:C.3.B【分析】由已知等式,利用复数的运算法则化简复数,即可求其模.【详解】,所以,故选:B解析:B【分析】由已知等式,利用复数的运算法则化简复数,即可求其模.【详解】(2)21z i i i =+=-,所以|z |=故选:B4.C【分析】利用复数的除法法则化简,再求的共轭复数,即可得出结果.【详解】因为,所以,所以复数在复平面上的对应点位于第三象限,解析:C【分析】利用复数的除法法则化简z ,再求z 的共轭复数,即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+, 所以1322z i =--, 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限,故选:C.5.C【分析】首先根据复数的四则运算求出,然后根据共轭复数的概念求出.【详解】,故.故选:C.解析:C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ,然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-,故3z i =+. 故选:C.6.C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】,的实部与虚部之和为.故选:C【点睛】易错点睛:复数的虚部是,不是.解析:C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--,2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选:C【点睛】易错点睛:复数z a bi =+的虚部是b ,不是bi .7.D【分析】根据复数的运算,先化简复数,再由复数的几何意义确定对应点的坐标,进而可得出结果.【详解】,则复数对应的点的坐标为,位于第四象限.故选:D . 解析:D【分析】根据复数的运算,先化简复数,再由复数的几何意义确定对应点的坐标,进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-,则复数z 对应的点的坐标为()7,6-,位于第四象限.故选:D . 8.B【分析】可得,即得.【详解】由,得a =1.故选:B .解析:B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-,即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-,得a =1.故选:B . 9.A【分析】根据复数的几何意义得出坐标,由平行四边形得点坐标,即得点对应复数,从而到共轭复数.【详解】由题意,设,∵是平行四边形,AC 中点和BO 中点相同,∴,即,∴点对应是,共轭复数为.解析:A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标,由平行四边形得B 点坐标,即得B 点对应复数,从而到共轭复数.【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -,设(,)B x y ,∵OABC 是平行四边形,AC 中点和BO 中点相同,∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩,即17x y =⎧⎨=⎩,∴B 点对应是17i +,共轭复数为17i -. 故选:A .10.A【分析】利用复数的乘法化简复数,利用复数的乘法可得出结论.【详解】,因此,复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.解析:A【分析】利用复数的乘法化简复数z ,利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+,因此,复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.11.D【分析】先化简,求出的值即得解.【详解】,所以.故选:D【分析】 先化简345i a bi -+=,求出,a b 的值即得解. 【详解】 22(2)342(2)(2)5i i i a bi i i i ---+===++-, 所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选:D 12.B【分析】首先求出,再根据复数的模的公式计算可得;【详解】解:因为,所以所以.故选:B.解析:B【分析】首先求出3z i +,再根据复数的模的公式计算可得;【详解】解:因为12z i =-,所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选:B . 13.B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化,化成的代数形式即得结果.【详解】,故虚部为1.故选:B.解析:B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化,化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-,故虚部为1. 故选:B.【分析】由复数除法求得,再由模的运算求得模.【详解】由题意,∴.故选:B .解析:B【分析】由复数除法求得z ,再由模的运算求得模.【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+,∴z == 故选:B .15.C【分析】由复数除法求出,再由模计算.【详解】由已知,所以.故选:C .解析:C【分析】由复数除法求出z ,再由模计算.【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-, 所以1z i =-=.故选:C .二、多选题16.AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数,所以z 的虚部为1,,故AC 错误,BD 正确.故选:AC解析:AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---,所以z 的虚部为1,||z =故AC 错误,BD 正确.故选:AC17.BC【分析】分、、三种情况讨论,可判断AB 选项的正误;利用复数的模长公式可判断C 选项的正误;化简复数,利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项,当时,,,此时复数在复平面内的点解析:BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论,可判断AB 选项的正误;利用复数的模长公式可判断C 选项的正误;化简复数1z ,利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项,当02θπ-<<时,cos 0θ>,sin 0θ<,此时复数z 在复平面内的点在第四象限;当0θ=时,1z R =-∈; 当02πθ<<时,cos 0θ>,sin 0θ>,此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误,B 选项正确;对于C 选项,1z ==,C 选项正确;对于D 选项,()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-, 所以,复数1z的虚部为sin θ-,D 选项错误. 故选:BC.18.AC【分析】令,代入原式,解出的值,结合选项得出答案.【详解】令,代入,得,解得,或,或,所以,或,或.故选:AC【点睛】本题考查复数的运算,考查学生计算能力,属于基础题.解析:AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈,代入原式,解出,a b 的值,结合选项得出答案.【详解】令()i ,z a b a b R =+∈,代入220z z +=,得222i 0a b ab -+=,解得00a b =⎧⎨=⎩,或02a b =⎧⎨=⎩,或02a b =⎧⎨=-⎩, 所以0z =,或2i z =,或2i z =-.故选:AC【点睛】本题考查复数的运算,考查学生计算能力,属于基础题.19.ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出,再依次判断各选项.【详解】,,故A 正确;,故B 正确;的共轭复数为,故C 正确;的虚部为,故D 正确; 故选:ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析:ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ,再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--,z ∴==,故A 正确;()2212z i i =--=,故B 正确;z 的共轭复数为1i -+,故C 正确;z 的虚部为1-,故D 正确;故选:ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算,以及对复数概念的理解,属于基础题.20.ACD【分析】根据复数对应的坐标,判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系,判断B 选项的正确性.设出,利用,结合复数模的运算进行化简,由此判断出点的轨迹,由此判读C 选项的正确解析:ACD【分析】根据复数对应的坐标,判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系,判断B 选项的正确性.设出z ,利用|1|||z z i -=-,结合复数模的运算进行化简,由此判断出Z 点的轨迹,由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析,由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ,A 正确;复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称,B 错误;设(,)z x yi x y R =+∈,代入|1|||z z i -=-,得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-,即=y x =;即Z 点在直线y x =上,C 正确; 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值,结合点到直线的距2=,故D 正确. 故选:ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标,考查共轭复数,考查复数模的运算,属于基础题. 21.BC【分析】利用复数的除法求出复数,利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】,,所以,复数的虚部为,,共轭复数为,复数在复平面对应的点在第四象限. 故选:BD.【点睛】本题考解析:BC【分析】利用复数的除法求出复数z ,利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+,34232i z i i+∴=-=-+,所以,复数z 的虚部为3-,z =共轭复数为23i +,复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选:BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义,考查计算能力,属于基础题.22.AD【分析】由求得判断A ;设出,,证明在满足时,不一定有判断B ;举例说明C 错误;由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若,则,故A 正确;设,由,可得则,而不一定为0,故B 错误;当时解析:AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ;设出1z ,2z ,证明在满足1212z z z z +=-时,不一定有120z z =判断B ;举例说明C 错误;由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =,则24z z z ⋅==,故A 正确;设()11111,z a bi a b R =+∈,()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-,可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=,而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0,故B 错误;当1z i =-时22z i =-为纯虚数,其实部和虚部不相等,故C 错误;若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数,则210a -≠,即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件,故D 正确; 故选:AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识,考查了学生对基础知识的掌握情况,属于中档题.23.BCD【分析】根据复数的概念判定A 错,根据复数模的计算公式判断B 正确,根据共轭复数的概念判断C 正确,根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数,所以其虚部为,即A 错误;,故B 正确;解析:BCD【分析】根据复数的概念判定A 错,根据复数模的计算公式判断B 正确,根据共轭复数的概念判断C 正确,根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+,所以其虚部为1,即A 错误;z ==B 正确;复数z 的共轭复数1z i =-,故C 正确;复数z 在复平面内对应的点为()1,1,显然位于第一象限,故D 正确.故选:BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念,复数的模,复数的几何意义,以及共轭复数的概念,属于基础题型.24.AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解:∵所以,∴,故A 正确,,故B 错误,,故C 正确,虚数不能比较大小,故D 错误,故选:AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析:AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解:∵12ω=-所以122ω=--,∴213142422ωω=--=--=,故A 正确,32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故B 错误,21111022ωω++=--++=,故C 正确, 虚数不能比较大小,故D 错误,故选:AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算,结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键.属于中档题.25.BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小,得到C 、D 两项是错误的,根据复数的定义和复数模的概念,可以断定A 项正确,B 项错误,从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等,不能比较大小解析:BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小,得到C 、D 两项是错误的,根据复数的定义和复数模的概念,可以断定A 项正确,B 项错误,从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等,不能比较大小,所以C 、D 两项都不正确; 当两个复数的模相等时,复数不一定相等, 比如11i i -=+,但是11i i -≠+,所以B 项是错误的;因为当两个复数相等时,模一定相等,所以A 项正确;故选:BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有两个复数之间的关系,复数模的概念,属于基础题目.26.AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误;利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误;计算出复数,可判断C 选项的正误;计算出,可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,,则,可得解析:AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误;利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误;计算出复数z ,可判断C 选项的正误;计算出4z ,可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,()cos sin z r i θθ=+,则()22cos2sin 2z r i θθ=+,可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=,()222cos sin z r i r θθ=+=,A 选项正确; 对于B 选项,当1r =,3πθ=时,()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-,B 选项错误;对于C 选项,当1r =,3πθ=时,1cos sin 3322z i ππ=+=+,则12z =,C 选项正确;对于D 选项,()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+, 取4n =,则n 为偶数,则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数,D 选项错误.故选:AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算,考查了复数的模长、共轭复数的运算,考查计算能力,属于中等题.27.ABCD【分析】利用复数的除法运算求出,再根据复数的模长公式求出,可知正确;根据共轭复数的概念求出,可知正确;根据复数的几何意义可知正确;将代入方程成立,可知正确.【详解】因为(1﹣i )z =解析:ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+,再根据复数的模长公式求出||z ,可知A 正确;根据共轭复数的概念求出z ,可知B 正确;根据复数的几何意义可知C 正确;将z 代入方程成立,可知D 正确.【详解】因为(1﹣i )z =2i ,所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+,所以||z ==A 正确; 所以1i z =--,故B 正确;由1z i =-+知,复数z 对应的点为(1,1)-,它在第二象限,故C 正确;因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=,所以D 正确.故选:ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算,考查了复数的模长公式,考查了复数的几何意义,属于基础题. 28.AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误;解方程可判断B 选项的正误;利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误;利用基本初等函数的导数公式解析:AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误;解方程210x +=可判断B 选项的正误;利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误;利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项,若复数z a bi =+为纯虚数,则0a =且0b ≠,所以,0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件,A 选项正确;对于B 选项,解方程210x +=得x i =±,B 选项错误;对于C 选项,当(),x a b ∈时,若()0f x '>,则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增, 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之,取()3f x x =,()23f x x '=,当()1,1x ∈-时,()0f x '≥,此时,函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增,即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以,“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确;对于D 选项,()11172488f x x x ++===,()1878f x x -'∴=,D 选项错误. 故选:AC.【点睛】本题考查命题真假的判断,涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题. 29.CD【分析】根据复数的四则运算,整理复数,再逐一分析选项,即得.【详解】由题得,复数,可得,则A 不正确;的共轭复数为,则B 不正确;的实部与虚部之和为,则C 正确;在复平面内的对应点为,位于第一解析:CD【分析】根据复数的四则运算,整理复数z ,再逐一分析选项,即得.【详解】 由题得,复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-,可得||2z ==,则A 不正确;z 的共轭复数为1322i -,则B 不正确;z 的实部与虚部之和为13222+=,则C 正确;z 在复平面内的对应点为13(,)22,位于第一象限,则D 正确.综上,正确结论是CD.故选:CD【点睛】本题考查复数的定义,共轭复数以及复数的模,考查知识点全面.30.AD【分析】A .根据共轭复数的定义判断.B.若,则,与关系分实数和虚数判断.C.若,分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据,得到,再用共轭复数的定义判断.【详解】A .根据共轭解析:AD【分析】A .根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=,则12z z =,1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ,分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=,得到12z z =,再用共轭复数的定义判断.【详解】A .根据共轭复数的定义,显然是真命题;B .若120z z -=,则12z z =,当12,z z 均为实数时,则有21z z =,当1z ,2z 是虚数时,21≠z z ,所以B 是假命题;C .若12z z +∈R ,则12,z z 可能均为实数,但不一定相等,或1z 与2z 的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C 是假命题;D. 若120z z -=,则12z z =,所以1z 与2z 互为共轭复数,故D 是真命题. 故选:AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高三复数总复习知识点经典例题习题Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.复数一.基本知识【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部实数:当b = 0时复数a + b i 为实数虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数;纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数(2)两个复数相等的定义:(3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-;(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习)(5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =叫做复数z 的模;【2】复数的基本运算设111z a b i =+,222z a b i =+(1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++;(2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-;(3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
(4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+,当c d a b=时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二. 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-,求(1) 当,a b 为何值时z 为实数(2) 当,a b 为何值时z 为纯虚数(3) 当,a b 为何值时z 为虚数(4) 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数,则实数x 的值为A .1-B .0C 1D .1-或1【变式2】求实数m 的值,使复数22(23)(34)m m m m i --+--分别是: (1)实数。
(2)纯虚数。
(3)零【例2】已知134z i =+;()()234z a b i =-+-,求当,a b 为何值时12=z z【变式1】(1)设,,(1)232(1)x y R x xiy y i ∈+-=-+-求,x y 的值。
(2) (22)(4)0x i y i ++-=求,x y 的值。
【变式2】设a R ∈,且2()a i i +为正实数,则a =( )A .2B .1C .0D .1-【例3】已知1z i =-,求z ,z z ⋅;【变式1】复数z 满足21i z i-=-,则求z 的共轭z【变式2】已知复数z =z z •= A. 14 B.12【变式3】若复数z 满足(1)1z i i +=-,则其共轭复数z -=________________【例4】已知12z i =-,232z i =-+(1) 求12z z +的值;(2) 求12z z ⋅的值;(3) 求12z z ⋅.【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+,求z 的模.【变式2】若复数()21ai +是纯虚数,求复数1ai +的模. 【变式3】已知21z i i-=++,则复数z =( ) A .13i -+ B .13i - C .3i + D .3i -【例5】下面是关于复数21z i =-+的四个命题:其中的真命题为( ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-【例6】若复数()312a i z a R i+=∈-(i 为虚数单位), (1) 若z 为实数,求a 的值(2) 当z 为纯虚,求a 的值.【变式1】设a 是实数,且112a i i -++是实数,求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi+=∈+是实数,则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第几象限【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A .iB .-iC .1D .-1【变式2】已知1i Z +=2+i,则复数z=()(A )-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【变式3】i 是虚数单位,若17(,)2i a bi a b R i+=+∈-,则乘积ab 的值是(A )-15 (B )-3 (C )3 (D )15【例8】复数73i z i-=+= ( ) (A )2i + (B)2i - (C)2i -+ (D)2i --【变式1】已知i 是虚数单位,32i 1i=- ( ) A1i + B1i -+ C1i - D.1i --【变式2】.已知i 是虚数单位,复数131i i--= ( ) A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i --【变式3】已知i 是虚数单位,复数1312i i-+=+( ) (A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i (D)-1-i【变式4】.已知i 是虚数单位,则()=-+113i i i ( ) (A)1- (B)1 (C)i - (D)i高二数学复数测试题一、选择题1.若复数3i z =-,则z 在复平面内对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.计算1i i+的结果是( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i + D .1i -3.复数9-的平方根是( )A .i 3B .i 3-C .i 3±D .不存在 4.若复数i m m m m z )23(23222+-+--=是纯虚数,则实数m 的值为( )A .21或B .221或-C .21- D .2 5若实数y x ,,满足2)1()1(=-++y i x i ,则xy 的值是( )A. 1B. 2C.-2D.-36.已知复数z 满足,11i zz =+-则z +1=( ) A .1 B. 0 C. 2 D. 27.=-+2008)11(ii ( ) A .1 B . 1- C .i D .i -8.如果复数3z ai =+满足条件22z -<,那么实数a 的取值范围为( )A.(2222)-, B.(22)-, C.(11)-, D.(33)-,9、适合方程02=--i z z 的复数z 是( )A .i 2163+B .i 2163-C .i 2163--D .i 2163+± 10.10032i i i i …··…··= ( )A .1B .-1C .ID .-i11.在复平面内,复数2(13)1i i i+-+对应的点位于( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限12.复数32(1)i i =+ A .12 B .12- C .2i - D .2i 二、填空题1、复数z=3-2i 的共轭复数为_________________。
2、若z= a+bi ,则z z -=____________,z z ⋅=____________.3、21,(1)____________i i=±= 4、11,11____________i i i i+-==-+ 5、设,2321i w +-=则.1,,_____________________232=++==w w w w 6、已知复数z 1=3+4i ,z 2=t+i ,且21z z ⋅是实数,则实数t 等于___________.7、已知z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z=z 2-z 1对应的点在________象限。
8、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数,则实数x 的值是___________9、2006)11(ii -+=___________ 10、已知复数ii Z +-=11,则4321Z Z Z Z ++++的值是___________ 11、已知复数122,13z i z i =-=-,则复数 215z i z + = 。
12、*(),()n n f n i i n N -=+∈的值域中,元素的个数是___________个。
13.41()i i+=_______________ 14.已知,x y ∈R ,若23xi i y i +-=-,则x y -= .15、试求12345678,,,,,,,i i i i i i i i 的值,由此推测4n i =_____, 41n i +=______, 42n i +=______, 43n i +=______, 12342000......i i i i i =___________16. 在复平面内,平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为 。
17. 已知复数z 与(z +2)2 – 8 i 都是纯虚数,则z =_________。
18. 已知=+=-=+=.111431052121z z z z i z i z ,则,, 。
19.若(2)a i i b i -=-,其中a 、b R ∈,i 使虚数单位,则22a b +=_________。
20.若 12z a i =+, 234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 . 三、解答题1. 计算2025100)21(])11()21[(i i i i i +-+-+⋅+ 2. 已知复数R m i m m m m z ∈-++-+=,)2()232(22根据下列条件,求m 值。
(1)z 是实数;(2)z 是虚线;(3)z 是纯虚数;(4)z =0。
3.已知复数)(21R ∈+=a i a z ,i z 432-=,且21z z 为纯虚数,求复数1z . 4. 设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=,试求实数m 取何值时(1)Z 是实数; (2)Z 是纯虚数; (3)Z 对应的点位于复平面的第一象限5、已知z 是复数,z+2i 、iz -2均为实数,且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围。