二次根式的定义和性质1C(教师版)

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二次根式的概念和性质ppt课件

又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴ 2 a -b + c = 2 × (精-选2 p)pt-课3件+ 4 = -3 。
17
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键
例已知 x 1 y 3 0，求x＋y的值
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
精选ppt课件
6
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
2
3=
3 2，
5 2
5 2
0.04
2
0.04
精选ppt课件
24
( a)2a (a0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 -
3
2 3
精选ppt课件
25
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
精选ppt课件
41
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a24b2
精选ppt课件
42

二次根式及其性质课件

1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式. 像（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式．其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法

第二十一章二次根式

第二十一章二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。

7．分母有理化：（1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。

复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。

2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。

3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。

4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。

6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。

通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。

一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。

普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。

二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。

当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。

二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。

例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。

例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。

例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。

2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。

3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。

例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。

例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。

二次根式的定义和性质1C(教师)

精锐教育学科教师辅导讲义 ((,0,,a b a a b a ≥-<)0,0>≥b)2根号外面的式子适当的改变后移到根号内)0根号外面的式子适当的改变后移到根号内题型三：最简二次根式同类二次根式下列根式中，最简二次根式的是（(A)3.0 (B)52 (C)c ab 22 (D)92+a 【解题思路】利用定义解决问题【解析】D【方法总结】先看被开方数中是否有分母；再看被开方数中各因数的指数是否为1.【例8】在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2a a 和 ③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm n m n m n m 和，是同类二次根式的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①④【解题思路】利用定义解决问题.【解析】D【方法总结】同类二次根式的判断必须先把非最简二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同则是同类二次根式，否则不是.【例9】已知最简二次根式3243a a b ++与()4126b b a b ++-+是同类二次根式，求a 和b 的值.【解题思路】利用定义解决问题.【解析】1,1a b ==.【方法总结】利用同类二次根式的条件（1）根指数相同（2）被开方数相同列出方程组求出a 和b 的值，但必须在最简根式的基础上【练习】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）．A ．B ．C ．D ．【解析】D2．（2007上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】C19.实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （）A.b-aB.2-a-bC.a-bD.2+a-b【解析】C20.化简2)21(-的结果是（）A.21-B.12-C.)12(-±D.)21(-±【解析】B 21.已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式（,a b 均为正整数），则a 、b 的值是（）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D. 0b ,2a ==【解析】C22.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A ．a a a 321与B ．232a a 与C ．3233a a 与D ．2a aa a 12与【解析】D23．（2007江苏扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（）A ．B ．C ．D ．【解析】B.24.m 为何值时，最简二次根式25m -与2m 84+是同类二次根式？【解析】1m =-25.m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-（其中126m -，23m -均为最简二次根式）是同类二次根式？【解析】158m = 26.化简：a 31)3a (-- 【解析】3a --27．求当二次根式24x 的值等于4时x 的值．· · · · a b 0 1【解析】4.【解题方法】31-<-52>.∴,A B 两点之间的整点为-1,0,1,2共4个4．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是。

二次根式的有关概念和性质

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式的概念和性质是什么

二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。

6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。

7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。

9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。

10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。

二次根式的有关概念及性质专题(教案)

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解二次根式的定义时，我意识到需要更多具体的例子来帮助学生形象地理解被开方数和根指数的概念。例如，通过展示√9=3和√(-3)²=3的例子，学生们更能明白被开方数的正负性对于二次根式的意义。
在讲授二次根式的性质时，我发现学生们在运用这些性质进行化简和计算时容易出现混淆。我意识到，除了提供例题，还需要让学生们通过小组讨论和实际操作来加深记忆。比如，在讲解性质（1）√a²=|a|时，可以让同学们通过剪纸活动来直观感受这一性质。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过探索二次根式的性质，培养其从特殊到一般的推理方法，并能运用这些性质进行数学证明和解决问题。
3.增强学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简与计算方法，提高四则运算的速度和准确性，培养解决实际问题时运用数学运算的能力。
举例：解释为什么√(-3)²=3，而非-3。
（2）二次根式性质的灵活运用：学生在运用二次根式性质进行化简和计算时，容易忘记或混淆性质，导致错误。
举例：在计算√2+√8时，学生可能会直接相加，而忘记化简为√2+2√2。
（3）二次根式的混合运算：学生在进行二次根式的混合运算时，容易出错，如加减乘除运算的顺序和法则。
举例：解释为什么(√2+√3)(√2-√3)=1，而非0。
（4）实际问题中的二次根式应用：学生往往难以将实际问题转化为二次根式的数学模型，从而解决问题。
举例：在求边长为√3的等边三角形面积时，学生可能不知道如何应用二次根式。

二次根式

.
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第例4 无论x取任何实数，代数式取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？（1）当x取什么实数时，（2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减：先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数

二次根式的性质

二次根式的性质在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。

二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算面积和体积等问题中。

一、二次根式的定义二次根式通常表示为√a，其中a≥0。

如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。

二、二次根式的性质1. 二次根式的平方二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。

这是因为二次根式表示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。

2. 二次根式的加减运算如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。

例如，√2 + √2 = 2√2。

当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。

3. 二次根式的乘法两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。

这个性质可以通过平方的方式进行证明。

例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。

4. 二次根式的除法两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。

这个性质也可以通过平方的方式进行证明。

5. 二次根式的化简将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。

例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。

也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。

化简后的二次根式更加简洁明了。

6. 二次根式的大小比较当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。

例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。

但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。

7. 二次根式的乘方一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。

这个性质是由乘法的性质推导而来。

二次根式的概念和性质PPT课件

.
2
2、 a 表示什么？表示非负数a的算术平方根
试一试：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数即:a0
.
3
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a ≥ 0 )的式子叫做二次根式。
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
∴ (3- p)2 = p- 3 (2) x2-2x+1=(x-1)2=|x-1|
当x＝- 3 时，x－１<０
∴ x2-2x+1=1-x=1+3
∴当x＝- 3 时. ， x2- 2x+1=1+ 3 20
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是不是二次根式？
.
4
s
定义：像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。
|a |
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0
a + | b |= 0 ? a 0, b = 0
a 2 + | b |= 0 ? a 0, b = 0
......
.
21

二次根式——教师版(带完整答案)

1 根号外的因式移到根号内，得（ c ） m B． m C． m
D． m
3 6. 如果 a 1 ，那么化简 (1 a ) （ d ）
A. (a 1) 1 a
B. (1 a) a 1
C. (a 1) a 1
D. (1 a) 1 a ）
7. （上海市）在下列二次根式中，与 a 是同类二次根式的是（ c A． 2a B． 3a2 C． a 3 D． a4 b ）
x
1 1 x 8, 求代数式 x y的值。 2 2
解 X=1/2 y=8 原式等于2 2
17. 当 x__≥-5/2 且≠0_____时，式子 2 x 5 +
1 有意义 x
1
18．二次根式
x 3 有意义的条件是 x ≥0 且≠9
2 2
19. 若 x 1 2x y 0 ，则 x y __5_____ 20．当 x= -1 时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值为 0
2 22. 当 x 1 时， x 2x 1
1-x
2
，当 1 x 5 时， ( x 1) 2 x 5
2
4
23.若 2 a 2 ，化简原式等于 3-3a
5 2a
－
a 2
5 / 10
24. 已知 a 10 且 a 是自然数（1）若 x 2 + 2ax + a2 + x − a ≤0，试求 a 的值（2）是否存在满足条件的自然数 a ，使得
2.（山东济宁）9 的平方根是（ c ） A、3 B、－3 C、±3 D、81 3.（湖南怀化）下列计算正确的是（ c ） A． (2)0 0 B． 3

二次根式的概念和性质

一、二次根式的概念和性质二次根式1.0a ≥）的式子叫做二次根式.说明：（1）被开方数是正数或0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.二次根式的性质：（10；（2）2(0)a a =≥；（3(0)(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，2=二、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．三、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减二次根式知识点同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(a b =+ 分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．四、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．五、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对与二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．六、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a 、b 的大小，0,0,0,a b a b a b a b >>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩２．作商法：比较a 、b 的大小，当0,0a b >>时，可以采用作商法，1,1,1,a b a a b b a b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b >>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法七、二次根式的乘除二次根式的乘除法=0a ≥，0b ≥）．=（0a ≥，0b >）．说明：利用乘除法则时注意a 、b a 、b 都非负，否则不成立．一、单选题1、（2015中考西城二模）函数2y x=-中，自变量的取值范围是（） A ．2x ≠ B ．2x ≥ C ．2x > D ．2x ≥-【答案】 B【解析】由二次根式有意义的条件可得20x -≥，即2x ≥，故答案为B ．2、（2013初二上期末房山区）下列各式中，计算正确的是（） A ．22=B 16=±C ．8D ．(26=【答案】 A【解析】该题考查的是二次根式的计算．x 例题A，22=，故A正确；B16，故B错误；C，8-，故C错误；D，(212=，故D错误．所以该题的答案是A．3）A．(1a-B．(1a-C．D．(1a-【答案】B【解析】(=-B选项．1a4、(2013初二上期末平谷区)下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误；BCD 故选C ．5、（2012初二下期末人大附中）如果最简二次根式b 那么a 、b 的值分别是（） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b = C ．1a =-，1b = D ．1a =，2b =- 【答案】 A【解析】该题考查的是同类二次根式的概念．同类二次根式是被开方数相同的两个最简二次根式． ∴2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得：02a b =⎧⎨=⎩．故选A ．6、下列运算中，正确的个数是（）①1251144251=；2=-；③214141161+=+④()442±=-5-A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】该题考查的是根式的运算．13111212=；=4，；⑤正确，故只有1个是正确的，所以本题的答案是B ．7、( )A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间【答案】 C【解析】9()x x +是小数部分；则有：()2988x +=，即：2187x x +=，得187x ≈，0.38x ≈，9.39.4～之间，故答案为C 选项．8、(2013初一上期末人民大学附属中学)已知正整数a 、b =那么a b -的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B【解析】该题考查的是根式的性质和运算．方法一：)1==因此可得6,3a b==，故a b-的值是3．方法二：由题知正整数a、b=9a b+-918a bab+=⎧⎨=⎩解得6a=，3b=，故a b-的值是3．故本题答案为B．二、填空题9、(2013初一上期末人民大学附属中学)，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．==0．∴43ab=-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．10、实数a、b a的化简结果为______【答案】b-b a该题考查的是代数式化简．由图中可得0a >，0b <，且a b <，则0a b +<a a b a a b a b =++=--+=-．11、=____________=______________．【答案】25，9 【解析】25==，369+=12、（2013a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据题意可列：22461a a +=- 解得：1a =±13、（2013．【答案】【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式==14、(2013初一上期末人民大学附属中学+=____【答案】【解析】该题考查根式的分母有理化．++=+=三、解答题15、（2014【答案】【解析】本题考察的是根式的计算．==16、(2013初二上期末门头沟区)【答案】【解析】该题考查的是二次根式计算．原式+2=-17、（2013初二上期中C理工附）（1（2）点Q、M之间的距离是_________．（3）点M关于点Q的对称点是__________．（4）若点P、Q、M、所对应的实数分别是p、q、m，q m-+【答案】（1）P、M、Q（2）M Q-（3）2Q M-（4）p m-【解析】该题考察的是实数与数轴．（1<P，M，Q；（2）MQdM Q=-；（3）若数轴上两个点关于某个点对称，则这两个点的平均数为中间的那个点所表示的数，故点M关于点Q的对称点为2Q M-；（4q m-+()22q p m q p q=---+-p m=-18、1()2x yz++，求x、y、z的值．【答案】1,2,3x y z===P MQ【解析】1()2x y z ++得：0x y z ---1(1)1(2)10x y z -+--+--=即：2221)1)1)0++=所以：1,2,3x y z ===19、．【答案】<【解析】1==1=>∴11<- <1、（2015中考平谷一模）函数y =中自变量的取值范围是（）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-【答案】 B【解析】根据题意可知，10x ->，即1x >．故选B ．2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（） A．2a b =+Ba b + C 22a b+D a b =+【答案】 C【解析】因为220a b +≥22a b +，故答案为C 选项．3、（2011中考大兴一模）函数y =中，自变量x 的取值范围是___________【答案】 2x >-【解析】根据题意可知，只需20x +>，即2x >-即可．随堂练习4、实数P____【答案】1【解析】该题考查的是实数运算．由数轴可得，23p <<， ∴20p ->，30p -<， 23231p p p p -+-=-+-=．5、计算：=⨯12172_________，=--)84)(213(_________， =⨯-03.027.02_________，_____________=．【答案】24；0.18-；5-【解析】=，(24⎛--==⎝，20.090.18-=--⨯=-，4335-⨯=-6、(2013初一上期末人民大学附属中学)化简：2____【答案】43x -12 34p【解析】该题考查根式的化简．212x -+∵由题得120x -≥，12x ≤33x x =-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．7、设A B ==A ____B ．【答案】 A B >【解析】2A =2B =< ∴22A B< ∴A B >8、（2013初二下期中北京第四中学）已知: 1x =，求223x x +-的值．【答案】 2-【解析】该题考查的是代数式求值．把1x =代入得：原式))21213=+-323=--2=-9、已知：,x y 为实数，且3y ，化简：3y -【答案】1-【解析】由3y <得：1x =，3y <，所以31634341y y y y y y --+=---=-++-1、（2015中考大兴一模）函数y =x 的取值范围是（） A ．2x ≤且0x ≠ B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠【答案】 A【解析】根据题意可知，20x -≥，且0x ≠．解得2x ≤，且0x ≠． 2、若A （）A ．24a +B ．22a +C ．()222a +D ．()224a +【答案】 A 【解析】因为()224A a+24a =+，故答案为A 选项．3、（2015中考西城二模）若2(2)0m ++ 则m n -= ．课后作业【答案】 3-【解析】因为2(2)0m +=，所以2m =-，1n =，故3m n -=-．4、在下列二次根式中，最简二次根式有____________________．【答案】【解析】由最简二次根式的定义可知是最简二次根式．5、（2012初二上期末通州区）若最简二次根式a =__________【答案】 4【解析】本题考查的是最简二次根式的定义．∴3530a a -=+≥，解得4a =．6、0，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．000=0=0．∴43a b =-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．7、（2013初二下期中北京第四中学）12．（填“>”、“<”或“=”）．【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．102==>102->，12>．8、(2013初二下期末清华大学附属中学)01)【答案】 011+=0……5分9、化简：（1（2【答案】（11（2【解析】（11=（2===。

二次根式教师版

《翌11.1二次根式的概念》教学设计教学设计：余锦六教学目标使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围•教学重点使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性教学难点二次根式中被开方数的取值范围•课时安排第一课时教学过程设计共案个案批注、导学探究1、问题1:根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：直角三角形的斜边长是 __________________ ；正方形的边长是__________________ ；等边三角形的边长是 _____________ .32、问题2:已知反比例函数 y=，那么它的图象在第一象限横、？纵坐标相x 等的点的坐标是.问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？老师点评：引导学生概括二次根式的定义：3、概念深化：① 提问：-,a - 1是不是二次根式？. a 1呢？② 议一议：二次根式 a 1表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.二、精讲多动1、师生互动二次根式的定义：像.a24^ b-3, 2s这样表示都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如 ,a (a > 0) ?的式子叫做二次根式，”称为二次根号•且根号内含字母的代数式叫做二次根式•为了方便，我们把一个数的算术平平方根(如J3, £)也叫做二次根式.2、例题讲解1:下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：「2、33、1、.x (x>0 )、x,0、42、—2、1x + y x y (x>0, y?>0).3、练一练：下列各式是否为二次根式？(1)、m21 ； (2) a2；(3) _ n2; (4) . a - 2 ;(5),x-y.4、概念深化：①提问：a 1是不是二次根式？* a 1呢?②议一议：二次根式厂1表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.5、例2 • 求下列二次根式中字母 a的取值范围：(1) J a +1 , (2) J—1一；(3) J(a_3)2.Y1-2a6、例3.当x是多少时，■ 3x -1在实数范围内有意义？7、例4.当x是多少时，2x 3 + -^ 在实数范围内有意义？X +18、练一练：当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3a ;(2)-a -1 ;(3).6 2a2.二、优选精练★基础演练1._____________ 形如的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为_______________ .3•负数__________ 平方根.4.某工厂要制作一批体积为 1m3的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，？底面应做成正方形，试冋底面边长应是5. 下列式子中，是二次根式的是（）A. - 7 B . 37C .x D . x6 . 下列式子中，不是二次根式的是（)A . - 4B . J6C . ：81 D .x7 .已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A. 5 B . '. 5 C . - D .以上皆不对5&使式子」-（x-5）2有意义的未知数x有（）个.A. 0 B . 1 C . 2 D .无数9.方程14x -8 | , x - y - m = 0，当y • 0时，m的取值范围是（）A、0 ：：m ：1B、m_2C、m . 2D、m乞210.若x -1 - 1 -x =（x • y）2，则 x- y 的值为（）A . - 1B . 1C . 2D . 311 .已知a为实数，那么\ -a2等于（）A. aB. -aC. - 1D. 0★★能力提升12.若3-x + v x -3 有意义，则x，= ________________________ .13 .当x是多少时，"2x十3 + x2在实数范围内有意义？x14..已知 a、b 为实数，且+ 2'、10-2a = b + 4,求 a、b 的值.15.当x= 4时，求二次根式 T -2x的值.16求下列二次根式中字母的取值范围: (1) v a 3 ； (2) 3一；； (3)a 21 .17.若 y 二 x — 2+ 2- x — 3，求：(x + y )4 的值. 18、已知：：x+ y —3+ x — y —仁 0 ,求 xy 的值• ★★★拓展延伸 19•按下列程序运算，全班分成 4个组，当x= 1时，每人做一步，看哪一组完成得快• x 取其他数试一试. 输出这个数板书设计教学反思输入个数 .1 -2x x 2是否有意义*结果代入是结果代入是结果代入J (x +91)2』00 —x►J x 2 +21—,是否,是否 ,是否有意有意0/有意义义否否否乂是《01. 1. 2二次根式的性质》教学设计教学设计：余锦六一、导学探究复习引入(学生活动)口答i .什么叫二次根式？2.当a>0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？3 •议一议：(学生分组讨论，提问解答)a (a > 0)是一个什么数呢？r ____________ (a>0)4.绝对值的代数定义填空：|a | = (a= 0)_____________ (a<0)5、做一做：根据算术平方根的意义填空：( 4 ) 2= _____________ ; ( *2 ) 2= _____________ ; (■- 9 ) 2= _________ ; (■- 3 ) 2 = __________ (....3)2=——；(；;)2=—；(」0)2=—.猜一猜：(a ) 2= ___________________________________ (a > 0)/02=那么(a>0)(a<0 二、精讲多动JJJ（4.(3「5)-5 | = 5 —10 | = 101)（23,5)1，「；）「9 )42_ 13R =,(-5)2二( -10)2=1、老师讲解：如上题中是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，盲是一个平方等于4的非负数，因此有（「4 ）2= 4.同理可得：2 ）2,（ J。

二次根式的概念及性质课件

当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等
式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
( a )2 （a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察：两者有什么关系？
活动1 ：根据前面得出的结论填一填
4 2 4
1 3
2
1 3
2
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0，a 1. (2) 2a 3 0，a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0，a 0.
(4) 5 a＞0，a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
它的长、宽各应是多少？
A
D
解：设长方形的宽为xcm,根据得意得
x 3 x 24
2
B
C
解得 x 16 4（负值舍去）.
所以宽为4cm，长为6cm.
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？

二次根式的概念与计算

二次根式的概念与计算二次根式，也称为平方根，是数学中的基本概念之一。

它指的是一个数的平方根，即找到一个数，使得这个数的平方等于给定的数。

在本文中，我们将介绍二次根式的定义、性质以及如何进行计算。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。

读作“根号a”，表示求一个非负实数x，使得x的平方等于a。

例如，√25表示求一个数x，使得x的平方等于25，显然x=5，所以√25=5。

二、二次根式的性质1. 非负实数的二次根式是唯一的。

例如，√16=4，而不会有其他的非负实数满足x^2=16。

2. 若a≥0，则有√a≥0。

即二次根式的值不会是负数。

3. 二次根式可以进行加减运算。

例如，√9+√16=3+4=7。

4. 二次根式可以进行乘法运算。

例如，√9*√16=3*4=12。

5. 二次根式可以进行除法运算。

例如，√16/√4=4/2=2。

6. 若a>b≥0，则有√a>√b。

即较大的数的二次根式值更大。

三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：如果二次根式中的被开方数存在平方因子，可以将其化简。

例如，√36=√(6^2)=6。

2. 合并同类项：对于同根号下的数可以进行合并。

例如，√2+√8=√2+√(4*2)=√2+2√2=3√2。

3. 有理化分母：将分母为二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。

例如，1/√3=√3/3。

4. 进行四则运算：对于二次根式的加减乘除运算，可以根据性质进行计算。

例如，(√5+√3)^2=5+2√15+3=8+2√15。

总结：二次根式是数学中的重要概念之一，它表示一个数的平方根。

在计算中，我们可以根据二次根式的性质进行化简、合并、有理化分母以及进行四则运算。

通过掌握二次根式的概念和计算方法，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。