人教版高一数学必修一教案：幂函数

2.3.幂函数教学设计

【教学分析】

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究2

11

32,,,,x y x y x y x y x y =====-等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数0>α时，幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数0<α时，幂函数的图象都经过点()1,1，且在第一象限单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.

将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.其中，学生在初中已经学习了1

2

,,-===x y x y x y 等三个简单的幂函数，对它们的图像和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法.因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 【课前准备】

1.教师准备：PPT 课件，几何画板《幂函数》导学案.

2.学生准备：课前预习幂函数定义，完成导学案1,2，并画出1

2

,,x y x y x y ===的图象.

【教学目标】 1.知识与技能

（1）通过实例，了解幂函数的概念.

（2）通过具体实例了解几个常见幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. （3）学会研究函数图象和性质的一般方法和思想.

2.过程与方法

类比研究指数函数、对数函数学习过程,使学生通过观察函数的图象来总结性质，从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法. 3.情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合的思想方法；

（2）通过引导学生主动参与作图，分析图象的过程，培养学生的探索精神，感受数学美. 【教学重点】幂函数的概念、图象和性质.

【教学难点】将函数图象的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质.

【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【教学方法】自主探究，合作交流，借助多媒体 【教学基本流程】 【教学过程设计】 一、实例观察，引入新课

1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付w p =元，p 是w 的函数； （x y =）

2.如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积2

a S =，S 是a 的函数； （2

x y =）

3.如果立方体的棱长为a ,那么立方体的体积3

a V =，V 是a 的函数； （3x y =）

4.如果一个正方形场地的面积为S ,那么正方形的边长2

1s a =, a 是S 的函数； （2

1x y =）

5.如果某人t s 内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度1

-t

v =,v 是t 的函数.

(1

-=x y ) 问题：以上问题中的函数具有什么共同特征?

从实例观察引入课题 构建幂函数的概念

探索简单的幂函数性质

画出代表性函数图象

总结一般性研究方法

应用举例和课堂练习

小结与作业

→

→

→

→

→

→

(右边都是指数式，且底数都是变量）

设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. 二、类比联想，探究新知 1.幂函数的定义

一般地，函数αx y =叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，α为常数. 注意:幂函数的解析式必须是αx y =的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 2.幂函数与指数函数有什么区别？

设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点. （让学生判断x

y 2.0= 2

1

x y = 1-=x y x y 5= 5x y =是否为幂函数） 设计意图：加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 3.幂函数的图象与简单性质

我们学习指数、对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？ （定义域，值域，单调性，奇偶性，定点） 根据课程标准的要求，我们只讨论以下几种函数

x y = 2x y = 3x y = x y = 1-=x y

让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图象（课前已完成3个） 接下来不看图象很快得出5个幂函数的相关性质：

为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把5个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.

问题①：所有图象都过第几象限，所有图象都不过第几象限，为什么？ 问题②: 第一象限内函数图象的变化趋势与指数有什么关系,为什么？ 问题③：所有图象都过哪些点，为什么？

问题④：对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？

【总结】虽然这5个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这5个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.

注意到这5个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．（演示几何画板，隐藏0<α时图象）

再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．

演示画板，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．

性质总结如下：

0>α 0<α