西南财经大学高等代数考试

一.填空题 （将正确答案填在题中括号内。每小题2分，共10分）

1.已知4阶行列式D 的第三行元素分别为;4,2,0,1-第四行元素对应的余子式依次是.4,,10,5a 则=a ( ).

2.设方程0111)(11

211112111

2==------n n n n n n a a a a a a x x x x f

其中)1,,2,1(-=n i a i 为互不相等的实常数,则方程的全部解是( ).

3.设四阶矩阵[][],,,,,,,,432432γγγβγγγα==B A 其中432,,,,γγγβα均为14⨯列矩阵,且巳已知行列式,1,4==B A 则行列式=+B A ( ).

4.设),(2

1I B A +=则当且仅当=2B ( )时,.2A A =. 5.已知n 阶矩阵满足关系式,0322=-+I A A 则=+-1)4(I A ( ).

二.单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案的番号填入下表内. 每小题2分, 共20分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案番

号

1.设A 为方阵,则0=A 的必要条件是( )

)(A 両行(列)元素对应成比例;

)(B 任一列为其它列的线性组合;

)(C 必有一列为其它列的线性组合;

)(D A 中至少有一列元素全为零.

2.设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,,⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=O B A O C 则=C ( ); 3. 行列式=600

300301395200199204

100103( ).

)(A 1000; )(B -10000;

)(C 2000; )(D -2000. 4. A 是n 阶矩阵,k 是非零常数,则=*)(kA ( ).

5. 设B A ,为n 阶对称矩阵,则下面四个结论不正确的是( ). )(A B A +也是对称矩阵; )(B AB 也是对称矩阵; )(D m m B A +也是对称矩阵 ; )(D T T AB BA +也是对称矩阵.

6. 设B A ,为n 阶方阵, 则下列结论成立的是( ) )(A 00≠⇔≠A AB 且;0≠B )(B ;0O A A =⇔= )(C 00=⇔=A AB 或;0=B (D) .1=⇔=A I A

7. 设A 为n 阶可逆矩阵,则( ) )(A A 总可以只经过初等行变换变为;I )(B 对分块矩阵A ( )I 施行若干次初等变换,当子块变为I 时,相应地I 变为;1-A )(C 由.BA AX =得;A X = )(D 以上三个结论都不正确.

8. 设A 是n m ⨯矩阵,其秩为,r C 是n 阶可逆阵,且B AC =的秩为,1r 则( ) 正确.

)(A r ﹥;1r (B) r ﹤;1r )(C ;1r r = (D) r 与1r 的关系依C 而定.

9. 设B A ,为同阶可逆方阵,则( )成立.

(A) ;BA AB =

(B) 存在可逆阵,P 使;1B AP P =-

(C) 存在可逆阵,C 使;B AC C T =

(D) 存在可逆阵,,Q P 使.B PAQ =

10. 设B A ,为n 阶非零矩阵,且,O AB =则A 和B 的秩( ). )(A 必有一个等于零; )(B 都小于;n

)(C 一个小于,n 一个等于;n )(D 都等于.n

三、计算题 (每小题9分, 共54分)

1. 计算下列行列式:

2. 计算下列n 阶行列式的值:

3. 设矩阵,111111111111⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k A 且,3)(=A R 则k 为什么? 4. 当⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,,6I A =求.11A 5. 已知矩阵,PQ A =其中[]2,1,2,121-=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q P ,求矩阵.,,1002A A A 6. 设矩阵A 的伴随矩阵,8030010100100001*⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=A 且,311I BA ABA +=--其中I 为4阶单位矩阵,求矩阵.B

四﹑证明题 (每小题8分, 共16分)

1. 设B A ,是n 阶正交矩阵,且,1-=B A 证明.0=+B A

2. 设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 元列,b 为常数,记分块矩阵

(1) 计算并化简;PQ

(2) 证明:矩阵Q 可逆的充分必要条件是.1b A T ≠-αα