连续时间递归神经网络的稳定性分析

文章编号:1003-1251(2007)02-0001-04

连续时间递归神经网络的稳定性分析

陈 钢1

,王占山

2

(1.沈阳理工大学理学院,辽宁沈阳110168;2.沈阳理工大学)

摘 要:基于压缩映射原理,针对连续时间递归神经网络研究了其平衡点全局稳定性问

题,给出了平衡点稳定的充分判据.该判据不要求网络互连矩阵的对称性,改进了现有一些文献中的结果,且具有易于验证的特点.通过两个注释和一个仿真例子证明了所得结果的有效性.关

键

词:递归神经网络;平衡点;压缩映射原理;稳定性

中图分类号:TP183 文献标识码:A

An Analysis on t he Stability

of Conti n uous ti m e Recursive Neural Net works

CHEN G ang ,WANG Zhan shan

(Shenyang L i gong Un ivers i ty ,Shenyang 110168,C h i na)

A bstract :U si n g the co m pression m app i n g theore m,a sufficient conditi o n is g i v en for the

g lobal asy m ptotic stab ility of a conti n uous ti m e recursive neural net w ork .The ne w conditi o ns do not requ ire the sy mm etry o f the i n terconnection m atri x o f the recursive neura l net w or ks ,and the activati o n f u ncti o n m ay be unbounded .The obtained suffic i e nt conditi o ns are less conservati v e than so m e prev i o us w orks ,and are easy to check .The effectiveness o f the ob ta i n ed results is de m onstrated by t w o re m arks and a si m ulation exa m p le .

K ey words :recursive neural net w orks ;equ ili b ri u m poin;t co m pression m app i n g pri n c i p le ;stab ility

收稿日期:2006-11-20

作者简介:陈钢(1968 ),男,内蒙通辽人,讲师

递归神经网络在优化和联想记忆等领域已经取得广泛成功应用

[1]

.众所周知,递归神经网络的工程应用主要依赖于网络的动态行为.这样,关于

递归神经网络稳定性的研究得到人们越来越多的关注

[1~10]

.目前神经网络稳定性研究所得到的稳

定判据主要具有如下特征:激励函数是有界的[7]

,

利用M 矩阵特性[4,6]

,及计算互联矩阵的各种范数或测度等

[11]

.然而,在某些工程应用中常常要

求神经网络的激励函数是无界的,且进一步降低

神经网络稳定条件的保守性仍是一个有待解决的问题

[2]

.所以,研究递归神经网络的稳定性具有重

要的理论意义和实际意义.文献[1]利用矩阵范数的概念得到了神经网络稳定性的充分条件,而文献[2~11]分别基于矩阵测度、M 矩阵等方法得到了神经网络稳定性的充分条件.

本文研究连续时间递归神经网络的稳定性问题.基于压缩映射原理,我们将给出保证神经网络平衡点存在性、唯一性和渐近稳定性的充分判据.

2007年4月

沈阳理工大学学报

V ol.26N o.2

第26卷第2期

TRANSACT I O NS OF S H ENYANG L I G ONG UN I V ERSI TY

Ap r .

2

7

1 问题描述

考虑如下连续时间递归神经网络模型

x i(t)=-a i x i(t)+s i+n

j=1

w ij y(t)(1) y i(t)=g i(x i(t))(2)其中,x i(t)表示神经元状态,y i(t)表示神经元的输出,a i>0,w ij表示神经元互联权系数,W= (w ij)n!n可能是非对称的.s i表示外部常值输入,激励函数满足g i(x i(t))∀C1,x i(t)=g-1i(y i)=f i (y i(t)),即g i是可逆的且满足

0#m i#g i(g i(t))#m i,0#

1

M i

#f∃i(x i(t))#1

m i

,i

=1,%,n.(3)显然,系统(1)等价于

f∃i(y i(t))

y i(t)=-a i f i(y i(t))+s i+

n

j=1

w ij y i

(t)(4)系统(4)的平衡点是下列非线性代数方程的解

-a i f i(y i(t))+s i+

n

j=1

w ij y i(t)=0(5)

式(5)写成向量形式为

-Af(y)+S+Wy=0(6)其中,A=diag(a1,%,a n),S=(s1,%,s n)T,f(y) =(f1(y1),%,f n(y n))T.

这样,研究系统(1)的平衡点x*=(x*1 % x*n)T的稳定性问题等价于研究系统(4)的平衡点y*=(y*1 % y*n)T的稳定性问题.

假设1. (w ii-a i/M i)<0,i=1,%,n(7) 2 平衡点的存在性和唯一性

定理1. 如果存在两个常数h&0和k使得下面的不等式成立

w ii-a i/M i-hk-|k|+

n

j=1

j&i

|w ij|<0(8)

则系统(4)具有唯一平衡点,其中,hk

m i

),i=1,%,n.

证明:令,

F(t,y)=-Af(y)+S+Wy(9)则

F

y=

F i

y i n!n=W-A diag(f∃1(y1)%f∃n(y n))

(10)对于函数 ∀C([a,b]);R n),定义如下映射H∋ (h -

1

k

F(t, )(11)根据中值定理可知,存在常数 ∀[ 1, 2]使下式成立,

)(H 1)(t)-(H 2)(t))=)h 1(t)-h 2 (t)-

1

k

(F(t, 1(t))-F(t, 2(t))))=)

h 1(t)-h 2(t)-1

k

F

y(t, )( 1(t)- 2(t))

)#)h I-1

k

F

y(t, )))( 1(t)- 2(t)))

(12)其中,I为适维单位矩阵,且

F i

v i(t, )=

w ii-a i f∃i( )i=j

w ij i&j

(13)如果我们能够证明)h I-

1

k

F

y(t, ))=<1,则

)H(

1

)(t)-(H

2

)(t))#)(

1

(t)-

2 (t)))(14)意味着H在C([a,b]);R n)上是一个压缩映射.现在证明H是一个压缩映射.考虑1-范数,即) *)=)*)1,则对于j&i,

)h I-1

k

F

y(t, ))

=m ax

1#i#n

h-

1

k

(w ii-a i f∃i( )+w ij)

#m ax

1#i#n

1

|k|

|hk-w ii+a i f∃i( )|+|w ij|(15)因为假设1成立,则

w ii-a i/m i#w ii-a i f∃i( )#w ii-a i/M i<0(16)选择

hk

hk-w ii+a i/M i#hk-w ii+a i f∃i( )

#hk-w ii+a i/m i<0(18)

)h I-1

k

F

y(t, ))

∗2

∗沈阳理工大学学报 2007年