函数的图像----图像的伸缩变换
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数的图象及性质函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs in 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．二、三角函数的图象及性质【基础自测】1．【07全国Ⅱ】2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）A ．()44ππ-， B ．3()44ππ， C ．3()2ππ，D ．3(2)2ππ， 2. （08天津理）要得到2cos y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ .C ）A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ C ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,1）坐标代入即可.4. 函数f(x)＝sin(πx －π2)－1的奇偶性为___偶函数_____5.若函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π5，则ω＝_ 106已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 （B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称（D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ D ）（A ）21- （B ）21（C ）23- （D ）238．函数y = －x ·cosx 的部分图象是( D)9.（０８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是___2___ 10.【07安徽】函数()3sin(2)f x x π=-3的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间5()1212ππ-，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3【题例分析】12π3yx－π3 O例1．已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1, x ∈R ,（I ）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(I ) y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45＝21sin(2x ＋6π)＋45.函数y 取最大值必须且只需2x ＋6π＝2k π＋2π, k ∈Z , 即x ＝k π＋6π.∴自变量x 的集合是{x | x ＝k π＋6π,k ∈Z }(II ) 把y ＝sin x 的图象依次进行如下的变换：① 把y ＝sin x 的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝sin(x ＋6π)的图象；② 再把图象是各点的横坐标缩小到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋6π)的图象；③ 再把图象是各点的纵坐标缩小到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)的图象④ 最后把函数的图象向上平移45个单位，得到函数y ＝21sin(2x ＋6π)＋45的图象。
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数图像伸缩变换
函数图像伸缩变换
函数图像伸缩变换规律：
1、平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。
2、对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。
3、伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。
函数图像伸缩变换规律是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。
扩展资料：
函数图象性质：
1、作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
2、性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：
y=kx+b。
3、k，b与函数图象所在象限。
当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；
当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。
4、（1）函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。
反比例函数图像求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系定义域，还需要考虑实际问题的条件。
（2）值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合，叫做函数的值域。
（3）单调性定义：对于给定区间上的函数f(x)。
函数图象变换
周期问题:
若函数f (x) 的最小正周期为T f (x) 的最小正周期为T .
,则函数
练习：1. 若函数f(2x)的一条对称轴为x=1,则函数 f(3-x)的一条对称轴为________.
2. 若函数f(2x)的一个对称中心为（1，0）， 则函数f(3-2x)的一个对称中心为_______.
3. 若函数f(x-1)的最小正周期为4,则函数f(32x)
问题4：若函数f(3-x)的最小正周期为2，则函 数
f(2x-1)的最小正周期为______.
课堂小结：
对称轴问题:
若函数 f (x)
则 函f数(x)
为
.
的一条对称轴为x
的一条对称轴x
aa
,
伸
缩 变 换
对称中心问题:若则函数f函(f数(xx))
为
.
的一个对称中心为(a,0) ,
的一个对称中( 心a ,0)
f(2x-1)的一条对称轴为________.
分析思路：
抽象函数具体化
数形结合
构造具体函数模 型
从两个函数的对称关系出发， 平移图象
一般到特殊
直译法
转移为特殊点的对 称
从一个函数的对称关系出发， 代入公式
问题3：若函数f(3-x)的一个对称中心为（2， 0）,则
函数f(2x-1)的一个对称中心为________.
二、具体函数的变换
问题1： 已知函数f (x) 4 x2 的图像如图所示，画 出
（1）
y下列f函(2数x)的图像：
（2） y
f
(1 3
x)
（3） y 3 f (x)
（4） y
1 2
f (x)
y
函数图像的变换规律
函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。
这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。
本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。
一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。
例如，考虑函数y=x^2的图像。
如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。
这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。
例如，考虑函数y=sin(x)的图像。
如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。
这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。
例如，考虑函数y=1/x的图像。
如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。
函数图像的平移与伸缩
函数图像的平移与伸缩是函数图形变换中的两个重要概念，对于理解函数的性质和应用函数的图像具有重要意义。
下面，我们将详细讨论这两个概念，以及它们在各个方面的应用和影响。
一、函数图像的平移函数图像的平移可以分为水平平移（或称为横向平移）和垂直平移（或称为纵向平移）。
这两种平移方式在函数图像上产生的变化是直观的，并且遵循一定的数学规则。
1. 水平平移：当我们将函数图像沿x轴方向进行平移时，我们称之为水平平移。
具体来说，如果将函数f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位（a>0），那么新的函数将是f(x+a)；如果向右平移a个单位，新的函数将是f(x-a)。
这种平移对函数的影响是，其对应的x值在图像上发生了变化，但y值保持不变。
例如，考虑函数y=x^2。
如果我们将这个函数的图像沿x轴向左平移3个单位，那么新的函数将是y=(x+3)^2。
这意味着在新的函数中，每一个y值对应的x值都比原来的x值大3。
2. 垂直平移：与水平平移相似，当我们将函数图像沿y轴方向进行平移时，我们称之为垂直平移。
如果将函数f(x)的图像沿y轴向上平移b个单位（b>0），那么新的函数将是f(x)+b；如果向下平移b个单位，新的函数将是f(x)-b。
这种平移对函数的影响是，其对应的y值在图像上发生了变化，但x值保持不变。
再以函数y=x^2为例，如果我们将这个函数的图像沿y轴向上平移5个单位，那么新的函数将是y=x^2+5。
这意味着在新的函数中，每一个x值对应的y值都比原来的y值大5。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩可以分为水平伸缩（或称为横向伸缩）和垂直伸缩（或称为纵向伸缩）。
这两种伸缩方式同样对函数图像产生直接的影响，而且也有明确的数学表达形式。
1. 水平伸缩：当我们对函数图像进行水平方向上的伸缩时，我们称之为水平伸缩。
具体来说，如果将函数f(x)的图像在水平方向上压缩k倍（k>0，且k≠1），新的函数将是f(kx)；如果拉伸k倍，新的函数将是f(x/k)。
函数图像的变换
函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。
2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。
3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。
(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。
(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。
函数图像的变换技巧例题和知识点总结
函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。
下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。
一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。
例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。
当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。
函数图像的伸缩变换规则
函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。
伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。
2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。
3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。
4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。
二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。
2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。
3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。
4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。
函数图像平移与伸缩变换的统一解法_于发智
函数图像平移与伸缩变换的统一解法_于发智函数图像的平移和伸缩变换是数学中常见的操作，在图像处理、函数的图像分析等领域都有广泛的应用。
在学习过程中，我们通常会分别研究平移变换和伸缩变换，并使用不同的方法求解。
然而，通过一种统一的解法，可以更加简洁地处理这两种变换。
首先，我们先来回顾一下平移变换和伸缩变换的定义和性质：1.平移变换：对于函数图像y=f(x)，平移变换的一般形式可以表示为y=f(x-h)+k，其中(h,k)表示平移的横向和纵向偏移量。
当h为正值时，图像向右移动；当h为负值时，图像向左移动；当k为正值时，图像向上移动；当k为负值时，图像向下移动。
2. 伸缩变换：对于函数图像y=f(x)，伸缩变换的一般形式可以表示为y=a*f(bx)+c，其中a表示纵向的拉伸或压缩因子，b表示横向的拉伸或压缩因子，c表示纵向的平移量。
当a大于1时，图像纵向被拉伸；当我们现在来介绍一种统一的解法，这种解法可以同时处理平移变换和伸缩变换。
假设我们有一个函数图像y=f(x)，我们要对其进行平移和伸缩变换。
首先，我们将平移和伸缩变换合并为y=a*f(b(x-h))+k+c的形式，其中(a,b)表示伸缩变换的参数，(h,k,c)表示平移变换的参数。
那么，如何确定参数(a,b,h,k,c)的值呢？我们可以利用已知条件，将原函数图像上的一些点的坐标代入变换后的函数中，然后求解这些方程，得到参数的值。
具体步骤如下：1.选择原函数图像上的一些点，记为P(x1,y1)、Q(x2,y2)、R(x3,y3)等。
2.代入变换后的函数y=a*f(b(x-h))+k+c中，得到方程组：a*f(b(x1-h))+k+c=y1a*f(b(x2-h))+k+c=y2a*f(b(x3-h))+k+c=y3...3.通过求解方程组，可以得到参数(a,b,h,k,c)的值。
通过这种统一的解法，我们可以同时处理平移变换和伸缩变换，并且不需要分别对两种变换进行求解，大大简化了问题的求解过程。
探索函数图像的变换与性质
探索函数图像的变换与性质函数图像是数学中重要的概念之一。
通过对函数图像进行变换和分析，可以深入了解函数的性质和特点。
本文将探索函数图像的变换与性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、对函数图像的平移变换平移是将函数图像沿着x轴或y轴方向进行移动的操作。
函数图像的平移可以改变函数的位置，但不会改变函数的形状和曲线。
1. 沿x轴的平移当函数表达式中的x被替换为x+a时，函数图像将沿x轴方向平移，其中a为平移的距离和方向。
如果a>0，则图像向左平移；如果a<0，则图像向右平移。
例如，考虑函数y = sin(x)和y = sin(x+π/4)。
通过将函数中的x替换为x+π/4，可以得到第二个函数。
这将使得函数图像向左平移π/4个单位，得到一个新的函数图像。
2. 沿y轴的平移当函数表达式中的y被替换为y+b时，函数图像将沿y轴方向平移，其中b为平移的距离和方向。
如果b>0，则图像向上平移；如果b<0，则图像向下平移。
例如，考虑函数y = x^2和y = (x-2)^2。
将函数中的x替换为x-2，可以得到第二个函数。
这将使得函数图像向右平移2个单位，得到一个新的函数图像。
二、对函数图像的伸缩变换伸缩是改变函数的图像形状和尺寸的操作。
函数图像的伸缩会改变函数的斜率和曲线弯曲程度。
1. 沿x轴的伸缩当函数表达式中的x被替换为kx（k≠0）时，函数图像将沿x轴方向进行伸缩，其中k为伸缩系数。
当k>1时，图像被水平拉伸；当0<k<1时，图像被水平压缩。
例如，考虑函数y = x^2和y = (2x)^2。
将函数中的x替换为2x，可以得到第二个函数。
这将使得函数图像在x轴方向上被压缩为原来的一半，得到一个新的函数图像。
2. 沿y轴的伸缩当函数表达式中的y被替换为ky（k≠0）时，函数图像将沿y轴方向进行伸缩，其中k为伸缩系数。
当k>1时，图像被垂直压缩；当0<k<1时，图像被垂直拉伸。
函数图像伸缩变换口诀
函数图像伸缩变换口诀
函数图像伸缩变换口诀是一种在数学中常用的变换方法，它能够将函数的输入量变小或变大，从而达到改变函数图像大小的目的。
函数图像伸缩变换口诀可以概括为“A 变B，X变Y，乘除极乐，自然得出结果”。
A和B代表函数f(x)的输入量，X和Y代表函数f(x)的输出量，乘除极乐指的是使用乘法运算或者除法运算来改变输入量来影响输出量，最终得出结果。
例如，有一个函数y=2x+3，当x=2时，y=7，当x=4时，y=11，此时想要将函数图像放大2倍，即把x变为原来的2倍，y也变为原来的2倍，根据口诀，A变2B，所以x变为2×2=4，Y变为2×7=14，使用乘法运算，最终得出新的函数图像y=2×4+3=11，即放大后的图像上x=4时，y=14。
函数图像伸缩变换口诀还可以用于缩小函数图像，只需要将A变小，X变小，Y变小，使用除法运算，最终得出新的函数图像即可。
函数图像伸缩变换口诀是一种简单易懂的变换方法，它不仅可以用于放大和缩小函数图像，还可以用于改变函数图像的形状。
它可以帮助我们快速理解函数图像变化规律，对于学习函数有很大的帮助。
函数 图像的平移变换与伸缩变换
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。
而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。
三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。
所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。
多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。
现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。
大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的图像向右(左)平移10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12)，可得到1sin 2y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反左加右减，下加上减；横向变换变x ，纵向变换变y ；各种变换均在x 、y 头上直接变；x 、y 的变化总与我们的感觉相反。
例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y ；从这可以看出横向变换变x ，纵向变换变y 。
函数的图像与伸缩
函数的图像与伸缩函数的图像在数学中起着至关重要的作用，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
而函数的伸缩则是一种对函数图像进行变换的方法，可以通过改变函数的参数来改变函数图像的形状和位置。
本文将探讨函数图像与伸缩的相关概念和技巧。
一、函数的图像函数的图像是函数在坐标系上的几何表示，通常用曲线或直线来表示。
以一元函数为例，我们可以将其图像绘制在以自变量为横坐标、函数值为纵坐标的平面直角坐标系上。
函数的图像可以帮助我们观察函数的性质，包括函数的增减性、极值、开口方向等，进一步理解函数的行为。
在绘制函数图像时，我们可以采用以下步骤：1. 确定函数的定义域和值域，即确定自变量和函数值的取值范围。
2. 选择适当的比例，将自变量和函数值的范围映射到坐标轴的刻度上。
3. 根据函数的解析式或者给定的点来确定函数的曲线走向。
可以通过计算函数值或者使用导数的方法来确定曲线的凹凸性。
4. 绘制曲线，尽量使曲线光滑且连续。
在绘制函数图像时，我们还需要注意函数的特殊点，如零点、极值点、驻点等，以及函数图像的对称性和变换。
二、函数的伸缩函数的伸缩是一种对函数图像进行变换的方法，通过改变函数的参数来改变函数图像的形状和位置。
1. 函数的纵向伸缩：我们可以通过改变函数的纵向拉伸系数来改变函数图像的纵向变化。
如果将函数的纵向拉伸系数设为大于1的值，那么函数图像将上下方向拉伸，变得更为“扁平”；如果将纵向拉伸系数设为小于1的值，函数图像将上下方向压缩，变得更为“瘦长”。
2. 函数的横向伸缩：我们可以通过改变函数的横向拉伸系数来改变函数图像的横向变化。
如果将函数的横向拉伸系数设为大于1的值，那么函数图像将左右方向拉伸，变得更为“扁平”；如果将横向拉伸系数设为小于1的值，函数图像将左右方向压缩，变得更为“瘦长”。
3. 函数的平移：我们可以通过改变函数的水平平移和垂直平移来改变函数图像的位置。
水平平移是通过改变函数的自变量来实现的，垂直平移是通过改变函数的常数项来实现的。
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o
x
2.作函数y sin 2x, y sin 1 x
简图.
2
解时:的函图数象y=.sin2x的周期T
列x 表:
0
4
2x
0
2
sin2x 0 1
的
,因x此先[0,作 ]
2
3 4
3 2
2
0 -1 0
解:函数 y sin 1 x 时的图象. 2
T 的4周 期
x [0, 4,]因此先作
列x
可得到（ ）
的图像上所有点向左 6
平移个单位，
A.y sin(2x ) 6
C.y sin(2x ) 3
B.y sin(2x ) 6
D.y sin(2x ) 3
2.要得到函数
y
2
cos(2x
3
)
，只需将函y数 2sin 2x
的
图像（ ）
A.向左平移 个单位 12
C.向右平移 个单位
的纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍，横坐标不变
得到。值域为[-A，A]
y=sinx
相位 y=Asin(x+) 周期
变换
变换
y=Asinx
周期 变换
y=Asinωx
y=Asin(ωx+)
相位 变换
★阅读P49– P52，完成“基础感知”； ★巩固固化，完成“深入学习”.
★对议，小组内两人讨论，完成“基础感知”； ★组议，小组讨论运用公式，完成“深入学习”
0
表:
1 2
x
0
sin 12x 0
2 3 4
2
3 2
2
1 0 -1 0
作图:
y
1
x
o
2
-1
—周期变换 y=sinx, xR(>0,1)的图象可以由y=sinx的图象所有
点的横坐标伸长(<1)或缩短(>1)原来的1/倍,纵坐标
不变得到。
作图:
y
1
o
-1
2
3
4 x
3.作函数 y sin x, y 1 sin x的简图. 2
2
A. 向右平移
6
B. 向左平移
6
C. 向右平移
3
D. 向左平移
3
3.通过两种不同的途径，将函数 y sin x
y 2sin(1 x ) 。 23
变换为函数
4.把f(x)的图象沿x轴向右平移 个单位，再把所得 图象上各点的横坐标缩短到原8来的一半，恰好得到
y=cosx的图象，求函数f(x)的表达式。
1.5函数y=Asin(x+)的图象
----图像的伸缩变换
1.作函数 的简图.
y
sin(x
3
),
y
sin(x
4
)
解:由平移变换: y=f (x+m)表示将f (x)的图象向左平移m 个单位。
y
1
-
3
o -1
4
2 3
5 5
9
4 3 2 4
x
—相位变换 y=sin(x+ ), xR( 0)的图象可以由y=sinx的图象上所有 点向左( >0)或向右( <0)平移| |个单位,纵坐标不变得到。
解：这两个函数的周期T=2.因此作它在[0,2] 的图
象，再按周期扩展.
列
x
0
2
3 2
2
表:
sinx 0 1 0 -1 0
2sinx 0 2 0 -2 0
1 2
sinx
0
1 2
0
1 2
0
y 2 描 点: 1
连o 线: -1
y=2sinx
y=sinx
y=12sinx3 2Leabharlann 22 x-2
A----振幅变换 y=Asinx, xR(A>0,A 1)的图象可以由y=sinx的图象所有点
A ——振幅变换 y=Asinx, xR(A>0,A 1)的图象可以由y=sinx的图象所有点的 纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍，横坐标不变得到。 值域为[-A，A]
——周期变换 y=sinx, xR(>0,1)的图象可以由y=sinx的图象所有点的 横坐标伸长(<1)或缩短(>1)原来的1/倍,纵坐标不变得到。
——相位变换
y=sin(x+), xR( 0)的图象可以由y=sinx的图象上所有点 向左( >0)或向右( <0)平移| |个单位,纵坐标不变得到。
y=sinx
相位 y=Asin(x+) 周期
变换
变换
y=Asinx
周期 变换
y=Asinωx
y=Asin(ωx+)
相位 变换
1.将函数 y sin 2x
1.要得到函数y 3sin(x )的图象,可由y 3sin(x )的图象( )
5
5
A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
5
5
C.向右平移 2 个单位长度 D.向左平移 2 个单位长度
5
5
2.要得到函数y sin( x )的图象,可由y sin x的图象( )
26
12
B.向左平移 个单位 6
D.向右平移 个单位 6