九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆习题 (新版)沪科版

24.5 三角形的内切圆

01基础题

知识点1三角形的内切圆及作图

1．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（B）

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

2．制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．（保留作图痕迹，不要求写作法）

解：如图，作出三角形的角平分线BD，CE，角平分线交点O即为所画圆的圆心，过点O 作OF⊥BC，垂足为F，以O为圆心，OF为半径，作⊙O即为所求作的圆．

知识点2三角形的内切圆的性质

3．若三角形的内心和外心重合，则这个三角形是（D）

A．直角三角形B．等腰直角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

4．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（C）

A．65°

B．50°

C．80°

D．100°

5．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r，那么△ABC的面积为（B）

A ．（a ＋b ＋c ）·r

B .1

2

（a ＋b ＋c ）·r C .13

（a ＋b ＋c ）·r

D .14

（a ＋b ＋c ）·r

6．等边三角形的内切圆半径为1，那么这个等边三角形的边长为（D ）

A ．2

B ．3

C . 3

D ．2 3

7．（2018·黄石）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 的内切圆的周长为

4π．

8．（教材P 44习题T 2变式）如图，△ABC 内，内切圆⊙O 与BC ，AC ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若∠FDE＝65°，求∠A 的度数．

解：连接OE ，OF.

∵AB ，AC 分别是⊙O 的切线，∴∠AEO ＝∠AFO＝90°. ∴∠A ＋∠EOF＝180°. 由圆周角定理知：∠EOF＝ 2∠EDF ＝130°，

∴∠A ＝180°－∠EOF＝50°.

9．（教材P 44习题T 3变式）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求⊙O 的半径．

解：连接AF ，则AF⊥BC. 在Rt △ABF 中， BF ＝12BC ＝1

2

×10＝5，

∴AF ＝AB 2

－BF 2

＝132

－52

＝12.

∴S △ABC ＝12BC·AF＝1

2

×10×12＝60.

设⊙O 的半径是r ，则1

2×（13＋13＋10）·r＝60，

解得r ＝10

3.

∴⊙O 的半径为10

3

.

易错点 内心与外心概念混淆不清

10．（教材P 43例题变式）如图，△ABC 是圆的内接三角形，点P 是△ABC 的内心，∠A ＝50°，则∠BPC 的度数为115°．

02 中档题

11．（2017·武汉）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为（C ） A .

32 B .3

2

C . 3

D ．2 3 12．等边三角形内切圆半径，外接圆半径和高的比为1∶2∶3．

13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，点O 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AOB＝135°．

14．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°.

（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）若∠B＝60°，AB ＝3，求⊙P 的面积．

解：（1）如图所示．

（2）∵∠ABC＝60°，BP 平分∠ABC， ∴∠ABP ＝30°.

∴BP＝2AP.

设AP＝x，则BP＝2x.由勾股定理，得

AB＝BP2－AP2＝（2x）2－x2＝3x.

∵AB＝3，

∴3x＝3，解得x＝ 3.

∴AP＝ 3.

∴S⊙P＝3π.

15．如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于点D，交外接圆⊙I于点E，连接EC.求证：（1）IE＝EC；

（2）IE2＝ED·EA.

证明：（1）连接IC.

∵点I是△ABC的内心，

∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.

又∵∠BAE＝∠BCE，

∴∠CAE＝∠BCE.

∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.

∴∠EIC＝∠ICE.

∴IE＝EC.

（2）由（1）可知：∠CAE＝∠BCE.

又∵∠AEC＝∠CED，

∴△DCE∽△CAE.

∴CE

AE

＝

DE

CE

.

∴CE2＝DE·EA.

∵IE＝EC，

∴IE2＝DE·EA.

03链接中考

16．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC ＝40°，则∠BOD的度数是70°．

第16题图 第17题图

17．（2018·威海）在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为135°．