数理统计例题(1)
数理统计典型例题分析
典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。
由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。
1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。
例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。
我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
数理统计基础中职版教材 Apr 16 2020——课程三、四
数据分析手法
③ 鱼骨图（Cause and Effect） （1）什么是鱼骨图？ 鱼骨图又名因果图，是一种发现问题根本原因的分析方法，因其
形状很像鱼骨，被称为鱼骨图。
常用鱼骨图
要因图
数据分析手法
（2）如何绘制鱼骨图 工业生产中，鱼骨图经常会用来分析问题的原因，所有学会绘制
鱼骨图是非常重要的。绘制鱼骨图的具体步骤如下。 ①.填写鱼头，也就是问题点，画出鱼的主要骨头 ②.画出大骨，填写大要因，通常选择人，机，料，法，环，测作
9
数据分析手法
2.QC七工具的意义 （1）使用真实依据和事实说话。 （2）全面预防。 （3）全因素、全过程的控制。 （4）依据PDCA循环突破状予以改善。 （5）层层分解、重点管理。
左
多情环
箱子
孔雀翎
长生剑 箱子 霸王枪
碧玉刀 离别钩
右
宽斧
半月矛
耙子
铁棍 镰刀
箱子
木槌 锯子
10
3. 主要人物简介
6
数据分析手法
第三章内容目录
➢ 第一节：QC七大手法的背景 ➢ 第二节： QC七大手法
7
数据分析手法
重点内容
➢ 掌握QC七工具的起源 ➢ 掌握QC七工具的用途 ➢ 掌握QC七工具的制作方法
8
数据分析手法
一、QC七大手法的背景
1.QC起源 质量管理在高速的发展的同时也诞生了许多实用的方法与工
具，主要用到工具与方法有以下几种：QC七大手法、潜在的失效 模式及后果分析、8D报告等，这里我们主要介绍QC七大手法
④一个问题一个鱼骨图，比如电芯头部胶不良和表面脱漆，这里 就要做两个鱼骨图来分析原因。
⑤将鱼骨图中的要因都区分出来，对原因审查，确定重要的因素 ，并尽快实施解决措施。
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
数理统计例题
(n
1) Sn2
2
/(n
1)
Y X n1 X n n ~ t(n 1)
Sn
n 1
例8 设总体X , Y 相互独立 X ~ N (20,3) , Y ~ N (20,3) ,
其样本为 X1, X 2, , X10 和Y1,Y2, ,Y15 , 试求以下概率
P{| X Y | 0.3}.
解
拒绝域
T X 75 ~ t(n 1)
Sn
检验水平
可得
P
X S
75 n
t
2
临界值
如果样本的观测值
x 75 Sn
t
2
则拒绝H0
某旅游机构根据过去资料对国内旅游者的旅游 费用进行分析,发现在10日的旅游时间中,旅游者用 的车费、住宿费、膳食费及购买纪念品等方面的费 用X是一个近似服从正态分布的随机变量，其平均 值为1010元，标准差为205元。而某研究所抽取了 样本容易为400的样本，作了同样内容的调查，得 到样本平均数为1250元。若把旅游机构的分析结果 看作是对总体参数的一种假设，这种假设能否接受？
例5 设总体X 服从正态分布 N(, 2) ，其样本为 X1, X2, , X17 , 求 k 使得P{X kS} 0.95. 解 由已知得 X ~ N (0,1)
/ 17
(17 1)S 2
2
~
2 (16)
,
X ~ t (16)
S / 17
P{X kS} P{ X 17k} 0.95
解 由已知得 Xi ~ N (0, 4)
所以
U
X12
X
2 2
X120 ~ 2 (10)
4
V X121 X122 X125 ~ 2 (5)
数理统计中常见习题
《数理统计习题》一、填空题1、设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，如果1(X ,,X )n g 中 ，则称1(X ,,X )n g 为一个统计量。
2、设总体2(,)XN μσ，σ已知，则在求均值μ的区间估计时所用的枢轴量为3、设总体X 服从正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得字样均值为5，标准差为1，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为4、假设检验的统计思想是5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为6、某地区的年降雨量2(,)XN μσ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为（单位:mm ）587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为_______________ 7、设两个相互独立的样本1221,,,X X X 与125,,,Y Y Y 分别取自正态总体N （1，4）与N（2，1），2212,S S 分别为他们的样本方差，若2222221122(20),()(4)aS a b S χχχχ==+，则a=_________，b=_________ 8、假设随机变量(n)X t ，则21X服从分布________ 9、假设随机变量(10)X t ，已知2(X )0.05P λ≥=，则λ=___________10、设样本1216,,,X X X 来自标准正态分布总体N （0，1），X 为样本均值，若(X )0.99P λ>=，则λ=_________11、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，令101611134i i i i Y X X ===-∑∑，则Y 的分布为________________ 12、设样本1210,,,X X X 来自标准正态分布总体N(0,1)，2,X S 分别为样本均值与样本方差，令2210X Y S=，若已知(Y )0.01P λ≥=，则λ=___________ 13、如果1ˆθ，2ˆθ都是总体中未知参数θ的估计量，若满足______________，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
数理统计考试题及答案
数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。
答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。
答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。
答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。
它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。
2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。
答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。
它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。
四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。
求95%置信水平下的总体均值的置信区间。
答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。
计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。
2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。
《概率论与数理统计》例题
故这只次品来自第2 家工厂的可能性最大 .
用寿命超过 例2 按规定, 某种型号电子元件的使 1500 小时的为一级品. 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 20只. 问20只元件 中恰有 k 只( k 0,1,,20) 一级品的概率是多少 ?
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现. 解 (8) ABC ABC ABC ABC;
(9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 故 P ( B A) P ( B ) . 2 A B ( 2) 由图示得 S P ( B A) P ( B ) P ( A) 1 1 1 B A . S 2 3 6
解
第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 FY ( y ).
FY ( y ) P{Y y } P{2 X 8 y }
y 8 y8 P{ X } 2 f X ( x)d x 2
第二步 由分布函数求概率密度.
( y) fY ( y ) Fy
[
y 8 2
2 3 2 1 3 3 3
3
2 20 1 . 3 27
(完整版)数理统计考试题及答案
1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
概率论与数理统计例题和知识点总结
概率论与数理统计例题和知识点总结概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，它在自然科学、工程技术、经济管理、社会科学等众多领域都有着广泛的应用。
下面将通过一些例题来帮助大家理解和掌握这门学科的重要知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
例 1：抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。
解：因为硬币只有正反两面，且质地均匀，所以正面朝上的概率为1/2。
知识点：古典概型中，事件 A 的概率 P(A) ＝ A 包含的基本事件数／基本事件总数。
例 2：一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子里一共有 8 个球，其中 5 个是红球，所以取出红球的概率为 5/8。
知识点：概率的性质：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω) ＝ 1，P(∅）＝ 0。
二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
例 3：已知在某疾病的检测中，阳性结果中真正患病的概率为 09，而总体人群中患病的概率为 001。
如果一个人的检测结果为阳性，求他真正患病的概率。
解：设 A 表示患病，B 表示检测结果为阳性。
则 P(A) ＝ 001，P(B|A) ＝ 09，P(B|A'）＝ 1 P(B|A) ＝ 01。
根据全概率公式：P(B) ＝P(A)×P(B|A) ＋ P(A'）×P(B|A'）＝ 001×09 ＋099×01 ≈ 0108。
再根据贝叶斯公式：P(A|B) ＝ P(A)×P(B|A) ／ P(B) ＝ 001×09 ／0108 ≈ 0083。
知识点：条件概率公式：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)；乘法公式：P(AB) ＝ P(A)×P(B|A)。
三、独立性如果两个事件的发生与否互不影响，那么称它们是相互独立的事件。
数理统计_习题集(含答案)
《数理统计》课程习题集一、计算题1. 总体X 服从泊松分布()λP ，0>λ ，样本为n X ,,X 1 ；证明 ()111-∑=i n i i X X n 是2λ的无偏估计2. 某厂生产的40瓦灯管的使用寿命)100,(2μN X ～（单位：小时），现从这批灯管中任抽取9只，测得使用寿命如下：1450 1500 1370 1610 1430 1550 1580 1460 1550 试求这批灯管平均使用寿命的置信度为0.95的置信区间3. 设n X ,,X 1是来自总体为二项分布()p ,n B 的一个样本 ；证明 :X 是p 的无偏估计量，4. 设n X X ,,1 为简单样本，总体)(E X θ～分布，求参数θ的极大似然估计量θˆ； 5. 设总体()θE X ～ ()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他01x ex f xθθ 样本为n X ,,X 1，求参数θ的矩法估计量 。
6. 设n X ,,X 1是来自总体X 的样本，X 的数学期望为μ，样本值为 n x ,,x 1 是任意常数，验证∑∑∑===≠⎪⎭⎫⎝⎛n i ni ii n i i i )a(a X a 1110是μ的无偏估计量 。
7. 设n X X ,,1 为来自总体X ～1),(-=θθθx x f )10(<<x 的一个简单样本，其中0>θ 为未知参数，n x x ,,1 是X 的一组观察值。
求：θ 的矩估计。
8. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.57.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布()2,σμN ， 求:μ的置信水平为95.0的置信区间 。
9. 设总体 {} ,,,x !x e x X P X x 210===-λλ～，样本为n X ,,X 1 ， 样本值为 n x ,,x 1 ； 1、求 参数λ的矩法估计量 ； 2、求 参数λ的极大似然估计量10. 设某厂生产的细纱的强力X ～），（2σμN 分布， 任取九个样品测得强力如下：（单位：公斤）19.0 、 18.7 、 18.8 、 19.5 、 20.0 、 19.3 、 18.6 、 19.1 、 18.0 。
数理统计例题
解
由已知得
X
1 10
10 i1
Xi
~ N (20, 3 ) 10
Y
1 15
15
Yi
i1
~
N (20, 3 ) 15
则
X
Y
~
N(0,1/ 2)
所以 X Y ~ N (0,1) 1/ 2
P{| X Y | 0.3} 2 2(0.3 2) 0.6774
例9 设
是来自正态总体
的
一个样本，求
(1)
故
Z X 1010 : N (0,1)
205 / 400
取α=0.05,则 P(| Z | Z )
~
F (n,1)
例4 设总体X 服从正态分布 N (80,400) ，其样本为
X1, X2,K , X100 , 求P{| X 80 | 3}.
解 由已知得 X ~ N(80,4) ，得 X 80 ~ N(0,1) 2
所以
P|
X
80 | 3
1
P
3 2
X
80 2
3
2
2
2
3 2
2 2 0.9332 0.1336
S / 17
17k t0.95(16) t10.95 (16) 1.7459
查表
例6 设总体X 服从正态分布 N(, 2) ，其样本为
X1, X2 ,K
, X16
,
求
P
S
2 2
1.6664 .
解
因为
(n 1)
2
S2
~
2 (n
1)
15S
2
2
~
2 (15)
S2
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
概率论与数理统计例题
第一章第一节例1：甲、乙、丙三个射手击中目标的事件分别记作A 、B 、C ，试替用A 、B 、C 表示以下事件。
1) 甲击中目标，乙、丙未击中；2) 三个人中恰有一个人击中目标；3) 三个人中至少有一个击中目标；4) 三个人中恰有两个人击中目标；5) 三个人中至多一个人击中目标；6) 三个人都击中了目标；7) 三个人都未击中目标。
解：1) C B A2) C B A C B A C B A3) C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ，或A B C 4) C AB C B A BC A5) C B A C B A C B A C B A ，或C B C A B A6) ABC7) C B A 或C B A例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标（i ＝1，2，3），试用文字叙述叙述下列事件：1A 2A ，2A ，3A －2A ，C B A 。
解：1A 2A ：前两次射击中至少有一次击中目标；2A ：第二次射击未中目标；3A －2A ：第三次击中目标但第二次未击中目标；C B A ＝A B C ：三次射击中至少有一次击中目标。
第二节例1：同时掷两枚硬币，求出现一正一反的概率。
解：试验样本空间 ＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，因此有四个基本事件且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型问题。
设A 表示事件“出现一正一反”，则事件A 包含两个基本事件（正，反）、（反，正），所以)(A P =42=21 例2：一批产品中有7件正品和3件次品，现从中任取两次，每次任取一件产品，考虑下面两种抽样方式：（a ）第一次取出一件产品，观察是否合格后放回，混合后再取第二件。
这种抽样方式称为有放回抽样。
（b ）第一次取出一件产品不放回，第二次从剩下的产品中再取一件。
这种抽样方式称为无放回抽样。
分别就以上两种情况求：1) 取到的两件都是次品的概率；2) 取到的两件是一件正品一件次品的概率。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在概率论中，随机变量X的数学期望E(X)表示的是（）。
A. X的众数B. X的中位数C. X的均值D. X的方差答案：C2. 以下哪项是描述性统计中常用的数据集中趋势的度量方法？（）。
A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 假设检验中，原假设H0通常表示的是（）。
A. 研究者想要证明的假设B. 研究者想要否定的假设C. 研究者认为正确的假设D. 研究者认为错误的假设答案：C4. 在回归分析中，如果自变量X与因变量Y之间存在线性关系，则回归系数β1表示的是（）。
A. X每增加一个单位，Y平均增加β1个单位B. X每增加一个单位，Y平均减少β1个单位C. X每减少一个单位，Y平均增加β1个单位D. X每减少一个单位，Y平均减少β1个单位答案：A5. 以下哪项是统计学中用于衡量数据离散程度的指标？（）。
A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D6. 抽样分布是指（）。
A. 总体数据的分布B. 样本数据的分布C. 样本统计量的分布D. 总体统计量的分布答案：C7. 在统计学中，置信区间是用来估计（）。
A. 总体均值B. 总体方差C. 总体标准差D. 以上都是答案：D8. 以下哪项是统计学中用于衡量数据分布形态的指标？（）。
A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C9. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A10. 在方差分析中，如果F统计量大于临界值，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪些是统计学中常用的数据收集方法？（）。
A. 观察法B. 实验法C. 调查法D. 抽样法答案：ABCD2. 描述性统计中，以下哪些是数据的集中趋势的度量方法？（）。
数理统计复习例题
2.25、为了比较甲、乙两类试验田的收获量，随机抽取甲类试验田8块，乙类试验田10块，测得亩产量如下（单位：kg ）：甲类：510, 628, 583, 615, 554, 612, 530, 525；乙类：433, 535, 398, 470, 560, 567, 498, 480, 503， 426。
假定这两类试验田的亩产量都服正态分布，且方差相同，求两总体均值之差乙甲μμ-置信度为95%的置信区间。
> x<-c(510,628,583,615,554,612,530,525) > y<-c(433,535,398,470,560,567,498,480,503,426) > var.test(x,y)F test to compare two variancesdata: x and yF = 0.6494, num df = 7, denom df = 9, p-value = 0.5825 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.1547251 3.1321422 sample estimates: ratio of variances 0.6493886 >> t.test(x,y,var.equal=TRUE)Two Sample t-testdata: x and yt = 3.3176, df = 16, p-value = 0.004355alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 29.82842 135.42158 sample estimates: mean of x mean of y 569.625 487.0003．9、人们发现在早期酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝酸基二甲氨。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题解析（1）例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~222211σμσμN Y N X 。
1621,,,X X X 是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据∑∑∑∑========1012101161216172,18,563,84i i i i i ii i y y x x（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，22211σσ>：H 。
解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：8.1101ˆ,25.5161ˆ10121611=====∑∑==i i i i y x x μμ。
（2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为∑=-==n i i X X n 122)(1ˆσ。
因此2221σσ和的极大似然估计值为625.716161)(161ˆ161122221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ96.316101)(101ˆ101122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。
待检假设22210σσ≤：H ；22211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。
因为4.4)(91,31.8)(151121221221=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。
所以F 同机量得值847.14.415.82221===S S F查F 分布表，得01.391505.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2221σσ不比大。
例2 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。
机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）（05.0=α。
解 检验假设3210μμμ==：H 。
i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。
经计算15,5,3321=====n n n n s ，8102.4,8.3,963912.031231512===∑∑∑=⋅==j j j i ijT T x 。
3001245.0151231512=-=∑∑==T x S j i ij T ， 3001053.0151513122 =-=∑=⋅j j A T T S , 000192.0=-=E T E S S S .因为92.3293.821205.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。
在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。
下面写出常用的几个估计：①sn S E-=2ˆσ是的无偏估计。
②j j x x ⋅==μμˆ,ˆ分别是j μμ,的无偏估计。
③x x j j -=⋅σˆ是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。
④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为))11()((k j E k j n n S s n t x x +--⋅⋅α 。
例3 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为0.95的 置信区间。
解 000016.0315000192.0ˆ2=-=-=s n S E σ， 262.0ˆˆ256.0ˆ240.0ˆ332211======⋅⋅⋅x x x μμμ，，， 011.0ˆ253.0ˆ1-=-===⋅x x x δμ，， 又由1788.2315025.0=-）（t ， 3610256.152101611--⨯=⨯⨯=+k j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，故323121μμμμμμ---及，的置信度为0.95的置信区间分别为（0.242-0.256 0.0055）=（-0.0195，-0.0085）， （0.242-0.262 0.0055）=（-0.0255，-0.0145）， （0.256-0.262 0.0055）=（-0.0115，-0.0005）。
例4 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。
解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。
待检验 假设032101===ααα：H ，0432102====χβββ：H 。
因为43==s r ，，所以67.98436431159402=⨯⨯-=）（T S ，17.2543643163466412=⨯⨯-⨯=）（A S ，34.6936443147732312=⨯⨯-⨯=）（B S ，16.4=--=B A T E S S S S 。
列出方差分析表如下因为35.3376.4)6,3(16.18145.62(05.005.0=<==<=比比，），F F F F ，所以拒绝01H 和02H ，认为催化剂和原料的影响都是显著的。
例5 设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用（单位：千元）y 如下 所示：求（1）关于x 的回归方程，2σ的无偏估计；（2）检验回归是否显著，并求7=x 时，维修费用y 的0.95预测区间。
解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。
列计算表：并计算下列数据：，）（1020519012112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni ixx x n x l 3.122520513.1121111=⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===n i i n i i ni i i xy y x n y x l 78.15255178.140122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==）（n i i ni i yyy n y l ，解得 23.1103.12ˆ===xx xy l l b， 08.0423.15ˆ1ˆ1=⨯-=-=∑=x b y n ani i 。
所以，线性回归方程为x y23.108.0ˆ+=。
2σ的无偏估计为8837.0)3.11223.178.140(31)ˆ(21ˆ2=⨯-=--=xyyy l b l n σ。
（2）将70=x 代入回归方程得69.8ˆ0=y。
因为35.2)3(,5025.0==t n ，所以0y 的置信度为0.95的置信区间为))(11ˆ)2(ˆ2020xx l x x n n t y-++-±σα（ )893.11,487.5()45.194.035.269.8(=⨯⨯±=。
计算t 统计量187.13908837.023.1ˆˆ===xx l b t σ。
因为187.131824.3)3(025.0=<=t t ，故知回归效果是显著的。
例6（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活天数，问三种菌型的平均存活天数有无显著差异？表4-3菌 型接种后存活天数∑=91i ixⅠ型（1A ） 2 4 3 2 4 7 7 2 5 36 Ⅱ型（2A ） 5 6 8 5 10 7 12 6 6 65Ⅲ （3A ）7 11 6 6 7 9 5 10 6 67计算：222.6,444.7,22.7,4321====X X X X()()8889.66)168(27144894225129691271)(911122453351517667,65,36221232221121232191232191=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++=++=====⇒=∑∑∑∑∑=====r i i r i i ri iiA j ij i j ij i S S S S S n n S Q SS SS SS x SS S S S x S()6667.1788889.667778.1117778.1112222.1112533515176931231=+=+==-++=-=∑∑==A E T i i i i E Q Q Q S SS Q 列成表格 如下，其中，27,3==n r 方差来源 平方和自由度 均方 F 值 因素 8889.66=A Q 2 33.4445 7.1809 误差 7778.111=E Q 24 4.6574 总和6667.178=T Q26657.4247778.1114445.3328889.66122==-===-=r n Q S r Q S E E A A1809.76574.44445.33220===E A S S F ，查表 ()40.324,205.0=F对给定的显著水平05.0=α，查表,40.3)24,2(05.0=F 因40.3)24,2(1809.705.0=>=F F ，故拒绝0H ，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌的平均存活天数有显著差异。
关于未知求2σ， i μ，i δ（i ＝1,2,3）的参数估计2ˆσ＝6574.42==-E E S r n Q 222.2222.6000.4ˆ11-=-=-=X X δ000.1222.6222.7ˆ22=-=-=X X δ 222.1222.6444.7ˆ33=-=-=X X δ i μ的区间估计26.4)24,1(),1(05.005.0==-F r n Fi μ的置信区间为（)),1(2r n F n S X iE i -α)),1(2r n F n S iE-α=9/657.4X 26.4=3.065置信区间为的，，%95321μμμ(0.936,7.065), (4.158,10.287), (4.380,10.509)的置信区间为的－均值之差αμμ-1k i （22i 11)(E ki k S n n r n t X X +-α －）)(2r n t -α=0624.2)24(025.0=t)(2r n t -α211E ki S n n +=2.0640100.265.492=⨯⨯的置信区间为的－，95%,323,121μμμμμμ--∴（－5.322， －1.123）；（－5.544， －1.345）； （－2.322， 1.878）例7.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。
考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：C 0），等温温度（单位：C 0），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。