数理统计例题(1)

例题解析（1）

例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2

2

2211σμσμN Y N X 。1621,,,X X X 是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据

∑∑∑∑========10

1

2

10

1

16

1

2

16

1

72,18,563,84i i i i i i

i i y y x x

（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2

221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，2

2211σσ>：H 。

解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：

8.1101ˆ,25.5161ˆ10

1

21611=====∑∑==i i i i y x x μμ

。 （2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为

∑=-==n i i X X n 1

22

)(1ˆσ。因此2

221σσ和的极大似然估计值为

625.716161)(161ˆ1611222

21

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ

96.316101)(101ˆ1011222

22

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ

（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。待检假设2

2210σσ≤：H ；

2

2211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。

因为4.4)(91,31.8)(1511

21221221

=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。所以F 同机量得

值

847.14.415

.822

21===S S F

查F 分布表，得01.391505

.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2

221σσ不比大。

例2 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。

机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262

试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）

（05.0=α。 解 检验假设3210μμμ==：H 。i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。 经计算15,5,3321=====n n n n s ，

8102.4,8.3,963912.03

1

23

15

1

2

===∑∑∑=⋅==j j j i ij

T T x 。

3

001245.015

12

315

1

2

=-

=∑∑==T x S j i ij T ， 3

001053.015

151312

2 =-=∑=⋅j j A T T S , 000192.0=-=E T E S S S .

因为92.3293.821205

.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。

在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。下面写出常用的几个估计：

①s

n S E

-=2ˆσ

是的无偏估计。 ②j j x x ⋅==μμ

ˆ,ˆ分别是j μμ,的无偏估计。 ③x x j j -=⋅σ

ˆ是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。

④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为

))11()((k j E k j n n S s n t x x +--⋅⋅α 。

例3 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为0.95的 置信区间。

解 000016.03

15000192

.0ˆ2=-=-=s n S E σ

， 262.0ˆˆ256.0ˆ240.0ˆ332211======⋅⋅⋅x x x μμμ

，，， 011.0ˆ253.0ˆ1

-=-===⋅x x x δμ，， 又由1788.2315025

.0=-）（t ， 36

10256.15

2

10

1611--⨯=⨯⨯=+k j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，故323121μμμμμμ---及，的置信度为0.95的置信区间分别为

（0.242-0.256 0.0055）=（-0.0195，-0.0085）， （0.242-0.262 0.0055）=（-0.0255，-0.0145）， （0.256-0.262 0.0055）=（-0.0115，-0.0005）。

例4 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原

试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。

解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。待检验 假设

032101===ααα：H ，

0432102====χβββ：H 。