用向量坐标法求夹角与距离.
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棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
z
1
A1
1
⑵求A到EF的距离d
⑵解∵A(4,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)
D
FE (4,2,0),
x
C B
y
∴ FA (4,1,4),
∴ | FA | 33
A
| FE | 2 5
| FA FE | | FE | 7 5
设FA在FE上的射影的长度为 n
AE 2 EF 2 AF 2 5 286 ∴ cosAEF 2 AE EF 286
5 286 ∴ arccos 286
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点 ⑴求BD与AE的夹角θ ⑴[方法2]： 如图建立空间直角坐标系o-xyz,（分 别以CA、CB、CC1为x、y、z轴） ∵
棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
1
A1
1
Байду номын сангаас
⑴求BE与DF的夹角θ
解：⑴[方法1]：
D A
GE EB 17
2 2 2
C
G
在线段AB上取中点G，则GE//DF，∴∠GEB为所求的角，
在△GEB中：GB=2，
B
GE EB GB 15 ∴ cosGEB 2GE EB 17
0
又∵
2
26 ∴ sin 13 | BA | 26 ∴ arcsin 13
四、小结 1、用用向量坐标法解题的步骤：①建立o-xyz直角坐标系，②求 相应点的坐标，③求相应向量的坐标，④应用向量性质与公式求 解或证明。
2、求异面直线AB与CD的夹角θ： (0
2
16 21 m 21
| FA n | |n|
16 77 ∴ arcsin 231
16 77 ∴ sin 231 | FA |
m
16 21 21
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
⑵ 解∵A(3,0,0),B(0,3,0), E(1.5,0,1) ∴ ∴
E BA (3,3,0), BE (1.5,3,1), A1
| BA | 3 2
C1 C
D
B1 B
y
| BE | 3.5
| BA BE | | BE | 27 7
设BA 在BE上的射影的长度为 n xA
②求 PA （A是平面ABC中的任一点），
5、求AP与平面ABC的夹角θ： (0 由4得：
③
d
PA n n
2
)
sin
d | PA |
6、数学思想：①立体图形平面化，②几何问题代数化
六、作业（金榜第49页第10（2）题）
（用向量坐标法解曾解过的题目） 已知：棱长为a的正方体
用向量坐标法求夹角与距离
德化一中 蔡志平
一、复习向量的直角坐标运算：
已知： a
(a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) R
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
则： ① ②
③ ④
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
A( x1 , y1 , z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
C( x, y, z)
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
⑧
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 AC CB x ,y ,z 1 1 1
⑨ AB的中点
∴
n | FA | | COS FA, FB |
2 2
2 145 ∴ d | FA | n 5
ABCD A1 B1C1 D1 中， F D 1 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上，
棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
z
1
A1
E B1
C1
⑶求A到平面BEF的距离m ⑷求AF与平面BEF的夹角φ。 ⑶解∵B(4,4,0), E(4,3,4),F(0,1,4) ∴ BE (0,1,4), FE (4,2,0), 设平面BEF的一个法向量为
∴ cos | cos AE , BD |
∴ arccos
5 286 286
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
CA CB 3CC1 3 ，
z
⑵求A到BE的距离d
2
2 3
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
a1b1 a2b2 a3b3 cos a, b 2 2 2 2 2 2 a a a b b b ab 1 2 3 1 2 3 a b
④
⑤
a在b上的射影的长度 d :
D
x
C B
y
A
BE (0,1,4), DF (0,1,4),
| BE DF |
15 ∴ cos | cos BE , DF | | BE | | DF | 17
15 ∴ arccos 17
ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB
a b b a1b1 a2b2 a3b3 b b b
2 1 2 2 2 3
d a cos a, b
⑥
若a 且b 则a // b
a ，则 a称叫做平面α的法向量。
⑦ 平面α的法向量：若
⑧
求平面法向量的方法：待定系数法。
ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB H
CA CB 3 CC1 3 ， z
E A1 A
C1 C
D
B1 B
y
x ∴A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0), D(1.5,1.5,1),E(1.5,0,1) ∴ AE (1.5,0,1),
CA CB 3CC1 3
BD (1.5,1.5,1),
| AE BD | | AE | | BD | 5 286 286
a (a1 , a2 , a3 )
a b a1b1 a2b2 a3b3
⑤当
b0
时
a // b a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
⑥
a b a b a1b1 a2b2 a3b3 0
已知：
则： ⑦
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
CA CB 3CC1 3 ，
z
⑶求A到平面BDE的距离 m
⑷求AB与平面BDE的夹角φ ⑷解：由⑶得:
E A1
xA
C1 C
D
B1 B
y
6 13 m 13
∴
BA (3,3,0),
m
| BA | 3 2
6 13 13
CE (1.5,0,1), BA (3,3,0),
∴ n CB 3 y 0且 n CE 1.5x Z 0 令x=2得 ∴ | n |
13 ∴ m | BA | | COS BA, n |
| BA n | |n|
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
2
)
cos cos AB , CD
3、求点A到直线BC的距离d： ①
AB CD AB CD
m BA cos BA, BC
BA BC BC
②
d BA m
2
2
4、求点P到平面ABC的距离d ：
n ( x, y, z )（方法：待定系数法） ①求平面ABC的一个法向量：
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 C( , , ) 2 2 2
二、讲解新知识：
①
a a a a a a a a a
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
2
2
2 3
② ③
b b b b b b b b b
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
2
CA CB 3CC1 3 ， C1 B1
⑴求BD与AE的夹角θ
解：⑴[方法1]： 在线段BC上取中点F，则ED//FB且ED=FB
E A1
D
C
F
B
∴∠AEF或其补角中最小的为所求的角， 13 ∵ CA CB 3CC1 3 ∴ AE EF 2
A
22 2
3 5 AF 2
D
x
C B
y
A
n ( x, y, z)
∴ n BE y 4z 0 n FE 4x 2 y 0 令y=4得 n (2,4,1)
又∵ FA (4,1,4), ∴ m | FA | | COS FA, n |
⑷由⑶得: | FA | 33 又∵ 0
∴ n | BA | | COS BA, BE |
3 17 ∴ d | BA | n 7
2 2
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面 z ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
CA CB 3CC1 3 ，
ABCD A1 B1C1 D1中，
点M是B1C1 的中点，点N是C1 D1 的中点。
B1 到平面CMN的距离d ⑵求 CB 与平面CMN的夹角θ。 1
⑴求 ⑶求AM与BN的夹角φ ⑷求D到MN的距离m ⑸求MD与
C B C1 A N
D
B1 D1 的夹角β
M B1
D1 A1
谢谢！ 再见！
15 ∴∠GEB=arccos 17
ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB
棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
z
1
A1
1
⑴求BE与DF的夹角θ
解：⑴[方法2]： 如图建立空间直角坐标系o-xyz, （分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴） ∵AB=4∴B(4,4,0),D(0,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4) ∴
E ⑶求A到平面BDE的距离 m A1 ⑶解∵DE//BC ∴平面BDE也就是平面BCE，
设平面BCE的一个法向量为 n ( x, y, z) ∵A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0), E(1.5,0,1) x ∴ CB (0,3,0),
C1 C
D
B1 B
y
A
n (2,0,3)
z
1
A1
1
⑵求A到EF的距离d
⑵解∵A(4,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4)
D
FE (4,2,0),
x
C B
y
∴ FA (4,1,4),
∴ | FA | 33
A
| FE | 2 5
| FA FE | | FE | 7 5
设FA在FE上的射影的长度为 n
AE 2 EF 2 AF 2 5 286 ∴ cosAEF 2 AE EF 286
5 286 ∴ arccos 286
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点 ⑴求BD与AE的夹角θ ⑴[方法2]： 如图建立空间直角坐标系o-xyz,（分 别以CA、CB、CC1为x、y、z轴） ∵
棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
1
A1
1
Байду номын сангаас
⑴求BE与DF的夹角θ
解：⑴[方法1]：
D A
GE EB 17
2 2 2
C
G
在线段AB上取中点G，则GE//DF，∴∠GEB为所求的角，
在△GEB中：GB=2，
B
GE EB GB 15 ∴ cosGEB 2GE EB 17
0
又∵
2
26 ∴ sin 13 | BA | 26 ∴ arcsin 13
四、小结 1、用用向量坐标法解题的步骤：①建立o-xyz直角坐标系，②求 相应点的坐标，③求相应向量的坐标，④应用向量性质与公式求 解或证明。
2、求异面直线AB与CD的夹角θ： (0
2
16 21 m 21
| FA n | |n|
16 77 ∴ arcsin 231
16 77 ∴ sin 231 | FA |
m
16 21 21
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
⑵ 解∵A(3,0,0),B(0,3,0), E(1.5,0,1) ∴ ∴
E BA (3,3,0), BE (1.5,3,1), A1
| BA | 3 2
C1 C
D
B1 B
y
| BE | 3.5
| BA BE | | BE | 27 7
设BA 在BE上的射影的长度为 n xA
②求 PA （A是平面ABC中的任一点），
5、求AP与平面ABC的夹角θ： (0 由4得：
③
d
PA n n
2
)
sin
d | PA |
6、数学思想：①立体图形平面化，②几何问题代数化
六、作业（金榜第49页第10（2）题）
（用向量坐标法解曾解过的题目） 已知：棱长为a的正方体
用向量坐标法求夹角与距离
德化一中 蔡志平
一、复习向量的直角坐标运算：
已知： a
(a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) R
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
则： ① ②
③ ④
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
A( x1 , y1 , z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
C( x, y, z)
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
⑧
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 AC CB x ,y ,z 1 1 1
⑨ AB的中点
∴
n | FA | | COS FA, FB |
2 2
2 145 ∴ d | FA | n 5
ABCD A1 B1C1 D1 中， F D 1 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上，
棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
z
1
A1
E B1
C1
⑶求A到平面BEF的距离m ⑷求AF与平面BEF的夹角φ。 ⑶解∵B(4,4,0), E(4,3,4),F(0,1,4) ∴ BE (0,1,4), FE (4,2,0), 设平面BEF的一个法向量为
∴ cos | cos AE , BD |
∴ arccos
5 286 286
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
CA CB 3CC1 3 ，
z
⑵求A到BE的距离d
2
2 3
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
a1b1 a2b2 a3b3 cos a, b 2 2 2 2 2 2 a a a b b b ab 1 2 3 1 2 3 a b
④
⑤
a在b上的射影的长度 d :
D
x
C B
y
A
BE (0,1,4), DF (0,1,4),
| BE DF |
15 ∴ cos | cos BE , DF | | BE | | DF | 17
15 ∴ arccos 17
ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB
a b b a1b1 a2b2 a3b3 b b b
2 1 2 2 2 3
d a cos a, b
⑥
若a 且b 则a // b
a ，则 a称叫做平面α的法向量。
⑦ 平面α的法向量：若
⑧
求平面法向量的方法：待定系数法。
ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB H
CA CB 3 CC1 3 ， z
E A1 A
C1 C
D
B1 B
y
x ∴A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0), D(1.5,1.5,1),E(1.5,0,1) ∴ AE (1.5,0,1),
CA CB 3CC1 3
BD (1.5,1.5,1),
| AE BD | | AE | | BD | 5 286 286
a (a1 , a2 , a3 )
a b a1b1 a2b2 a3b3
⑤当
b0
时
a // b a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
⑥
a b a b a1b1 a2b2 a3b3 0
已知：
则： ⑦
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
CA CB 3CC1 3 ，
z
⑶求A到平面BDE的距离 m
⑷求AB与平面BDE的夹角φ ⑷解：由⑶得:
E A1
xA
C1 C
D
B1 B
y
6 13 m 13
∴
BA (3,3,0),
m
| BA | 3 2
6 13 13
CE (1.5,0,1), BA (3,3,0),
∴ n CB 3 y 0且 n CE 1.5x Z 0 令x=2得 ∴ | n |
13 ∴ m | BA | | COS BA, n |
| BA n | |n|
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面ABC
2
)
cos cos AB , CD
3、求点A到直线BC的距离d： ①
AB CD AB CD
m BA cos BA, BC
BA BC BC
②
d BA m
2
2
4、求点P到平面ABC的距离d ：
n ( x, y, z )（方法：待定系数法） ①求平面ABC的一个法向量：
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 C( , , ) 2 2 2
二、讲解新知识：
①
a a a a a a a a a
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
2
2
2 3
② ③
b b b b b b b b b
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
2
CA CB 3CC1 3 ， C1 B1
⑴求BD与AE的夹角θ
解：⑴[方法1]： 在线段BC上取中点F，则ED//FB且ED=FB
E A1
D
C
F
B
∴∠AEF或其补角中最小的为所求的角， 13 ∵ CA CB 3CC1 3 ∴ AE EF 2
A
22 2
3 5 AF 2
D
x
C B
y
A
n ( x, y, z)
∴ n BE y 4z 0 n FE 4x 2 y 0 令y=4得 n (2,4,1)
又∵ FA (4,1,4), ∴ m | FA | | COS FA, n |
⑷由⑶得: | FA | 33 又∵ 0
∴ n | BA | | COS BA, BE |
3 17 ∴ d | BA | n 7
2 2
已知：△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着平面 z ABC
的法向量平移到△ A1 B1C1的位置，且
D是 A1 B1 的中点，E是 A1C1的中点
CA CB 3CC1 3 ，
ABCD A1 B1C1 D1中，
点M是B1C1 的中点，点N是C1 D1 的中点。
B1 到平面CMN的距离d ⑵求 CB 与平面CMN的夹角θ。 1
⑴求 ⑶求AM与BN的夹角φ ⑷求D到MN的距离m ⑸求MD与
C B C1 A N
D
B1 D1 的夹角β
M B1
D1 A1
谢谢！ 再见！
15 ∴∠GEB=arccos 17
ABCD A1 B1C1 D1 中， C1 D1 F 点E在线段 A1 B1上，点F在线段 C1 D1 上， EB
棱长为4的正方体 且 B1 E D1 F
z
1
A1
1
⑴求BE与DF的夹角θ
解：⑴[方法2]： 如图建立空间直角坐标系o-xyz, （分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴） ∵AB=4∴B(4,4,0),D(0,0,0),E(4,3,4),F(0,1,4) ∴
E ⑶求A到平面BDE的距离 m A1 ⑶解∵DE//BC ∴平面BDE也就是平面BCE，
设平面BCE的一个法向量为 n ( x, y, z) ∵A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0), E(1.5,0,1) x ∴ CB (0,3,0),
C1 C
D
B1 B
y
A
n (2,0,3)