离散数学图论部分综合练习讲解.doc
离散数学测验题--图论部分(优选.)
离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1、在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( )(A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/23、 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有(A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( )(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E(B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E(C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的() (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．48、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +29、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。
离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
电大离散数学图论部分期末复习辅导Word版
离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题 1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．deg()2||v Vv E ∈=∑ D ．deg()||v Vv E ∈=∑解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。
答 C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。
答 B3．已知无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110101110001000111010，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G 有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G 有7条边。
答 D4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d, e)}是边割集定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1ÌE ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若边割集为单元集{e }，则称边e 为割边（或桥）．解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的．删除答案B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B 、C 也是错误的．在图一中，删去(d , e )边，图就不连通了，所以答案D 正确． 答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：若图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , e ) , (b , c ) , (b , e ) , (c , e ) , (e , d )}，则该图中的割边是什么？5．图G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．a 是割点 B ．{b, c}是点割集 C ．{b , d }是点割集 D ．{c }是点割集定义3.2.7 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1ÌV ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若点割集为单元集{v }，则称结点v 为割点．οοο ο a bc d图一 οe ο οο a b c d图二ο解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点b 和d 图还是连通的，所以答案A 、C 、D 是错误的．在图二中删除结点b 和c ，得到的子图是不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以答案B 是正确的． 答 B6．图G 如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b , d )}是边割集解 割边首先是一条边，{(a, d )}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B 或D 中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A 、B 、D 是错误的．在图三中，删去(a,d )边和(b, d )边，图就不连通了，而只是删除(a, d )边或(b, d )边，图还是连通的，所以答案C 正确．7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；若图G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连ο ο ο a bcd图三ο通的．显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。
离散数学王元元习题解答
第三篇图论第八章图图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合 E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G) ?V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG 为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = ?V ?，m = ?E ? 。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ? v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作Kn。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
(完整word版)离散数学集合论部分测试题
离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次是集合论部分的综合练习。
一、单项选择题1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{2}⊆AC．{a}⊆A D．∅∈A4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B∈ A，但B⊄AC．B ⊂ A，但B∉A D．B⊄ A，且B∉A5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．17．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R 的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的8．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的B．对称的C．对称和传递的D．反自反和传递的9．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．310．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对11．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如图一所示，若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（ ）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对12．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A ．8、2、8、2B ．无、2、无、2C ．6、2、6、2D ．8、1、6、113．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ ）不是从A 到B 的函数．A ．R 1和R 2B ．R 2C ．R 3D ．R 1和R 3二、填空题1．设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ．2．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是 ． 应该填写：{∅,{a ,b },{a },{b }}3．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系， },,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 ．4．设集合A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的关系矩阵M R ＝．5．设集合A ={a ,b ,c }，A 上的二元关系R ={<a , b >,<c . a >}，S ={<a , a >,<a , b >,<c , c >}则(R •S )－1= ．6．设集合A =｛a ,b ,c ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是 ．7．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 ．8．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是 ．5 图一9．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 ．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．设A 、B 、C 为任意的三个集合，如果A ∪B =A ∪C ，判断结论B =C 是否成立？并说明理由．2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．3． 若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．5．设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N→R ，f (x )=x +6，则f 是单射．四、计算题 1．设集合A ＝{a , b , c }，B ={b , d , e }，求（1）B ⋂A ； （2）A ⋃B ； （3）A －B ； （4）B ⊕A ．2．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．3．设集合A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．4．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．5．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．（1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；（3）求出集合B 的最大元、最小元．6．设集合A ＝{a , b , c , d }上的二元关系R 的关系图 如图三所示．（1）写出R 的表达式； （2）写出R 的关系矩阵； （3）求出R 2．7．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x -y |=1或x -y =0}，试（1）写出R 的有序对表示； （2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．2．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．图一 图二 a d bc 图三3．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a ∈A ，存在b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．4．若非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，试证明：S R ⋂也是A 上的偏序关系．参考解答一、单项选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B8．B 9．B 10．C 11．C 12．B 13．B二、填空题1．2n2．{∅,{a ,b },{a },{b }}3．{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>4．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110000115．{<a . c >, <b , c >}6．反自反的7．{<1, 1>, <2, 2>}8．{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}9．8三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．解：错．设A ={1, 2}，B ={1}，C ={2}，则A ∪B =A ∪C ，但B ≠C ．2．解：成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2。
离散数学——图论部分习题课
之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1
离散数学第七章图论习题课ppt课件
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设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
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P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
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简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
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一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学课件总复习之习题讲解
4 c8
25 c2
10 c5
11 c6
36 c7
7 3 c3 11 4 c8 17 6 c4 10 c5 7 3 c3
11
5 c1
6 c4
25 c2
11 c6
36 c7
5 c1
22 11
4 c8
25 c2
36 c7 5 c1
17
11 c6 10 c5 7 3 c3 4 c8
6 c4
25 c2
36 c7 11 5 c1 61
6 c4
11 10 c6 c5
3 c3
c7 01
4 c8
c8 1111
c5 110
c6 101
电文总码数：4×5＋ 2×25＋ 4×3＋ 4×6＋ 3×10＋ 3×11＋ 2×36＋ 4×4＝257
P295 6.9
设散列表为 HT[13] ，散列函数 H(key)=key%13 ，用闭散列法解决冲突， 对下列关键码序列12,23,45,57,20,03,78,31,15,36造表。 （1）采用线性探查法寻找下一个空位，画出相应的散列表，并计算等概率 下搜索成功的平均搜索长度和搜索不成功的平均搜索长度。 （ 2 ）采用双散列法寻找下一个空位，再散列函数 RH(key)=(7*key)%10+1 ， 寻找下一个空位的公式为 Hi＝（ Hi-1＋RH(key)）% 13，H1=H(key) 。画出 相应的散列表，并计算等概率下搜索成功的平均搜索长度。 温习：
20122012年秋季年秋季各内容重点题型讲解各内容重点题型讲解容容比比示例例题示例例题线性表线性表1515p86222p86222栈和队列栈和队列1515p133322p133322数组矩阵和串数组矩阵和串1010p185413p185413二叉树堆二叉树堆huffmanhuffman2020p248518p2485185205201010p29569p295691100p393810p393810p395824p395824搜索结构搜索结构2020p343715p343715排序排序p44092p44092p86222p86222设在一个带附加头结点的单链表中所有元素结点的数据值按递增顺序排列试编写一个函数删除表中所有大于min小于max的元素若存firstppqq温习
(图论)离散数学习题参考答案2
解此不等式可得 n ≥ 7 ， 即 G 中至少有 7 个顶点， 当为 7 个顶点时， 其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次： （欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图 均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6
四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学形考任务2图论部分概念及性质
离散数学形考任务2图论部分概念及性质
单项选择题
●如图所示，以下说法正确的是( )．答案是：e是割点
●如图一所示，以下说法正确的是( ) ．答案是：{(d, e)}是边割集
●若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．答案是：连通图
●若G是一个欧拉图，则G一定是( )．答案是：连通图
●设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．答案是：e－v＋2
●设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵
生成树．答案是：m-n+1
●设图G＝<V, E>，vV，则下列结论成立的是( )
●设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )．答案是：7
●设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为( )．答案是：7
●设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图所示，则下列
结论成立的是( )．答案是：（a）是强连通的
●设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图所示，则下列
结论成立的是( )．答案是：（d）只是弱连通的
●图G如图三所示，以下说法正确的是( )．答案是：{b, c}是点割集
●图G如图四所示，以下说法正确的是( ) ．答案是：{(a, d) ,(b, d)}是边割
集。
离散数学综合练习及答案
北京科技大学远程教育学院《离散数学》综合练习(一)参考答案数理逻辑一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。
1、今天天气真好！解：不是命题。
2、王华和张民是同学。
解：是命题。
真值视实际情况而定。
p：王华和张民是同学。
3、我一边吃饭，一边看电视。
解：是命题。
真值视实际情况而定。
p：我吃饭。
q：我看电视。
p∧q 4、没有不呼吸的人。
解：是命题。
真值为1。
M(x)：x是人。
F(x)：x呼吸。
∀x(M(x)→F(x))二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。
p→∧qr∧→(p])[(r)解：成真赋值：000，001，010，011，101，111；成假赋值100，110三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。
1、r q q p →∧→])[( 解：rq q p r q q q p r q q p rq q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(可满足式2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=1)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q永真式四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。
)(r q p →→ 解：∑=→→），，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f (x ，y )=x -y ；特定谓词F (x ，y )：x<y 。
在解释I 下判别公式真、假。
1、)])(([x y x f F y x ，，⌝∀∀ 解：)])[()])(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，，真值为假2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解：)]()()[()]}()([)({z y z x y x z y x z y f z x f F y x F z y x -<-→<∀∀∀⇔→∀∀∀，，，，真值为真 六、1、求前束范式)()(y x yG x xF ，∀→⌝∃ 解：)]()([)()()()()()(y t G x F y x y t yG x xF y x yG x xF y x yG x xF ，，，，∨∀∃⇔∀∨∃⇔∀∨∃⇔∀→⌝∃2、证明：B x xA B x A x →∀⇔→∃)())(( 证明：Bx xA Bx xA B x A x B x A x B x A x →∀⇔∨⌝∀⇔∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()()())(())((七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。
离散下 图论+高级计数作业错题讲解 北邮
(u,v)~E1 iff (u,v)E1 iff (f(u),f(v))E2 iff (f(u),f(v)) ~E2 so all (u,v)~E1 iff (f(u),f(v)) ~E2 Hence U-G(V1,~E1) U-H(V2,~E2)
离散(下)-图论错题讲解
2019-12-16
10.2 12, 42(参考41和握手定理), 64, 72
• 10.2 64: • 证二分简单图的e≤v2/4
‒ v=v1+v2; ∑deg(v)=2e; ‒ Bipartite Graph, deg(v1)≤v1*v2;deg(v2)≤v2*v1; ‒ v1*v2≤v/2*v/2=v2/4 ‒ e=∑deg(v) /2=(deg(v1)+deg(v2))/2≤v1*v2≤v2/4
10.4: 14,28,36,60
• 36: 连通简单图的割点c iff any path u…v must contains c.
• Prove:
• if c is a cut vertex, Since the removal of c increases the number of components, there must be two vertices in different components. Then every path between these two vertices has to pass through c.
• 68: nonisomorphic directed simple graphs • n=2, s(n)=1(e0)+1(e1)+1(e2)=3; • n=3, s(n)=1(e0)+1+4+4+4+1+1(e6)=16; • n=4, s(n)=1(e0)+1+4+8+10+2+3+1+1=31;
离散数学习题三参考答案
离散数学习题三参考答案第三节图论1.画出所有4个顶点的简单图。
解：本题这考虑连通图的情况。
共有5个不同构的图。
2.在某次宴会上，许多人互相握手，证明奇数次握手的人一定是偶数个。
解：设每个人看成一个顶点，两人握手看成两顶点间的一条边，每人握手的次数就是该顶点的度数，由定理1的推论2马上可得结论。
3.设图G＝（V，E）中有12条边，已知G中3度顶点的有3个，其余顶点的度数均小于3，问G中至少有多少个顶点？为什么？解：如图G不是连通图，那么12条边最多的顶点数是12×2=24；一个顶点的度数是3，则要减去2个顶点数，所以3度顶点的有3个，就要减去2×3-6个顶点；同样一个顶点的度数是2，则要减去1个顶点数；为了使顶点数最小，图必须是连通图，所以顶点数为2的顶点的个数是（12×2-3×3）÷2的整数部分等于7个，有一个顶点的度数是1，所以G中至少有的顶点数是3+7+1=11（个）。
4.n个运动队之间安排一项比赛，已赛完了n+1场，求证：一定存在这样一个队，它已经至少参加了3场比赛。
解：如果每个运动队都只赛了2场，则共赛了2n÷2=n<n+1，所以一定存在这样一个队，它已经至少参加了3场比赛。
5.下图表示用堤埂分割成很多小块的水稻田。
为了用水灌溉需要挖开一些堤埂（不能挖堤埂的交点）。
问最少要挖开多少条堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田？第五题解：把每块田看成顶点，相邻的田同一条边连接，这题就是最小生成树问题。
因为有12块田地，所以最少要挖开11条堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田。
（见上右图）6在下列图中，求一条欧拉通路。
解：略2，其中m为图的边数，n为图的顶7.证明：若G=〈V，E〉是简单图，则m≤Cn点数。
（7，9一样）解：顶点数相同的情况下，简单图的边数一定小于完全图的边数。
8.设G是一个连通图，不含奇数点，证明：从G中任意去掉一条边，得到的图仍是连通图。
离散数学图论部分综合练习辅导
离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法。
图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。
教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。
本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。
这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。
下面分别讲解。
一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000011100000100 则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4正确答案：D上学期的作业中，有的同学选择答案B 。
主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。
我们复习定义：定义3.3.1 设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则 n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素⎪⎩⎪⎨⎧==ji v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8÷2=4条边。
2．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v V v 2)deg(=∑∈D ．E v Vv =∑∈)deg(正确答案：C该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。
离散数学图论部分综合练习及答案
则对于结点集 V 的每个非空子集 S，在 G 中删除 S
中的所有结点得到的连通分支数为 W，则 S 中结点
数|S|与 W 满足的关系式为
．
4．无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通
且 每个节点的度数为偶数
．
fο
οc
eο οd
图四
5．设有向图 D 为欧拉图，则图 D 中每个结点的入度
．
应该填写：等于出度
3．解：图G是平面图． 因为只要把结点 v2 与 v6 的连线(v2, v6)拽 到结点 v1 的外面，把把结点 v3 与 v6 的连线 (v3, v6)拽到结点 v4, v5 的外面，就得到一个平 面图，如图九所示．
v1ο v6 ο
ο v5
οv2 ο v3
οv4
图九
4．解：错误． 不满足“设 G 是一个有 v 个结点 e 条边的连通简单平面图，若 v≥3，则 e ≤3v-6．”
方法（Huffman）：从 2,3,5,7,11,13,17
,19,23,29,31 中选 2,3 为最低层结点，并
1ο60
从权数中删去，再添上他们的和数，即 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31；
再从 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31 中选 5,5 为倒数第 2 层结点，并从上述数列中 删去，再添上他们的和数，即 7,10,11,13, 17,19,23,29,31；
8．设完全图 K n 有 n 个结点(n≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧 拉回路．
A．m 为奇数
B．n 为偶数
C．n 为奇数
D．m 为偶数
9．设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r= ( A )．
《离散数学》图论部分习题
《离散数学》图论部分习题《离散数学》图论部分习题1.已知⽆向图G有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均⼩于3，问G⾄少有⼏个顶点？并画出满⾜条件的⼀个图形. （24-3*6）/2 +6=92.是否存在7阶⽆向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.不存在；7阶⽆向简单图G中最⼤度≤63.设d1、d2、…、d n为n个互不相同的正整数. 证明：不存在以d1、d2、…、d n为度序列的⽆向简单图.Max{d1，d2，…，dn}≥n，n阶⽆向简单图G中最⼤度≤n-14.求下图的补图.5.1)试画⼀个具有5个顶点的⾃补图2)是否存在具有6个顶点的⾃补图，试说明理由。
对于n阶图，原图与其补图同构，边数应相等，均为(n*(n-1)/2)/2，即n*(n-1)/4且为整数，n=4k或n=4k+1，不存在6阶⾃补图。
6.设图G为n(n>2且为奇数)阶⽆向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.n(n>2且为奇数)，奇度点成对出现7.⽆向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否⼀定连通.给出说明或证明。
只有2个奇度顶点u和v，如果不连通，在u和v在2个连通分⽀上，每个分⽀上仅有⼀个奇度顶点，与握⼿引理相⽭盾。
8.图G如下图所⽰：1)写出上图的⼀个⽣成⼦图.2)δ(G)，κ(G)，λ(G).δ(G)=2，κ(G)=1，λ(G)=2.说明：δ(G)=min{ d(v) | v V } ；κ(G)=min{ |V’| |V’是图G的点割集} ；λ(G)=min{ |E’| |E’是图G的边割集} 9.在什么条件下⽆向完全图K n为欧拉图？n为奇数时10.证明：有桥的图不是欧拉图.假设是欧拉图：桥的端点是u和v，并且图各顶点度均为偶数；桥为割边，删除桥，图不再连通，u和v应该在2各不同的连通分⽀上；且u和v度数变为奇数；由于其他顶点度数均为偶数，则u和v所在的连通分⽀上只有⼀个奇度顶点，与握⼿引理⽭盾。
4~离散数学习题解答习题六(第六章 图论)6
15．给出有向图如下所示：
1)求它的邻接矩阵A；
2)求A2，A3，A4，指出从v1到v4长度为1，2，3，4的路径各有几条？
3)求AT，ATA，AAT，说明ATA和AAT中元素（2，3）和（2，2）的意义；
4)求A(2)，A（3），A（4）及可过矩陈R；
(v2)=v2′(v2，v3)=(v2′，v3′)
(v3)=v3′(v3，v4)=(v3′，v4′)
(v4)=v4′(v4，v5)=(v4′，v5′)
(v5)=v5′(v5，v6)=(v5′，v6′)
(v6)=v6′(v6，v1)=(v6′，v1′)
(v1，v4)=(v1′，v4′)
(v2，v5)=(v2′，v5′)
若存在着一个项点v∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2，…，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。
若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2，…，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。
m=m1+m2+…mk
=(n-1)· ·((n1-1)+(n2-1)+…+(nk-1))
= (n-1)((n1+n2+…+nk)-k)
= (n-1)(n-k)
≤ (n-1)(n-2) (k≥2)
这与已知M＞ （n-1）(n-2)矛盾。
因此假设错误，G是连通图。
11．设G=（V，E）是无向完全图（无自环），|V|=n
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离散数学图论部分综合练习1．设图G＝<V, E> ,则下列结论成立的是( )．A．deg(V)=2∣E∣B．deg(V)=∣E∣C．EvVv2)deg(=∑∈D．EvVv=∑∈)deg(2．图G如图一所示,以下说法正确的是( ) ．A．{(a, d)}是割边B．{(a, d)}是边割集C．{(d, e)}是边割集D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集3．如图二所示,以下说法正确的是( )．A．e是割点B．{a,e}是点割集C．{b, e}是点割集D．{d}是点割集4．如图三所示,以下说法正确的是( ) ．A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图三5．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示,则下列结论成立的是( )．图四A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的6．设完全图Kn有n个结点(n≥2) ,m条边,当（）时,Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数7．设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2οοοοοca bedοf图一图二8．无向图G 存在欧拉通路 ,当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点9．设G 是有n 个结点 ,m 条边的连通图 ,必须删去G 的( )条边 ,才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 10．无向简单图G 是棵树 ,当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点 ,2个2度结点 ,3个3度结点 ,4个4度结点 ,则G 的边数是 ．2．设给定图G (如图四所示) ,则图G 的点割 集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路 , 则对于结点集V 的每个非空子集S ,在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ,则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路 ,当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图 ,则图D 中每个结点的入度 ．6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2) ,m 条边 ,当 时 ,K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图 ,v , e , r 分别表示G 的结点数 ,边数和面数 ,则v ,e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5 ,边数为6 ,则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图 ,结点的总度数为18 ,则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点 ,4度 ,3度 ,2度的分支点各一个 ,T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点 ,8条边的连通图 ,则从G 中删去 条边 ,可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000 ,001 ,01 ,10 ,0} ,若去掉其中的元ο ο οο ο c a be dο f 图四素 ,则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1 ,G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图 ,请写出一条欧拉回路．图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图 , 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图 ,则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ,E > ,其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2> ,<a 2, a 4> ,<a 3, a 1> ,<a 4, a 5> ,<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示；（2）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ,E > ,V ={ v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5} ,E ={ (v 1, v 2) ,(v 1, v 3) ,(v 2, v 3) ,(v 2, v 4) ,(v 3, v 4) ,(v 3, v 5) ,(v 4, v 5) } ,试（1）画出G 的图形表示； （2）求出每个结点的度数； （3）画出图G 的补图的图形． 3．设G =<V ,E > ,V ={ v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5} ,E ={ (v 1,v 3) ,(v 2,v 3) ,(v 2,v 4) ,(v 3,v 4) ,(v 3,v 5) ,(v 4,v 5) } ,v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 1v 2 v 3v 5 d bae fghn 图六οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图八试（1）给出G 的图形表示； （2）求出每个结点的度数； （3）画出其补图的图形． 4．图G =<V , E > ,其中V ={ a , b , c , d , e } ,E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) } ,对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5 ,试（1）画出G 的图形；（2）求出G 权最小的生成树及其权值．5．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值． 6．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它的权．五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点 ,则这两个结点一定是连通的． 2．设G 是一个n 阶无向简单图 ,n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．3．设连通图G 有k 个奇数度的结点 ,证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．参考解答一、单项选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．A二、填空题1．15 2．{f } ,{c ,e } 3．W |S| 4．所有结点的度数全为偶数 5．等于出度 6．n 为奇数 7．v -e +r =2 8．3 9．e=v -1 10．4 11．512．3 13．0三、判断说明题1．解：正确．因为图G 为连通的 ,且其中每个顶点的度数为偶数． 2．解：（1）图G 1是欧拉图．因为图G 1中每个结点的度数都是偶数．图G 2是汉密尔顿图．因为图G 2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）： a (a , b )b (b , e ) e (e , f ) f (f , g ) g (g , d ) d (d , c ) c (c , a )a问题：请大家想一想 ,为什么图G 1不是汉密尔顿图 ,图G 2不是欧拉图。
（2）图G 1的欧拉回路为：（不惟一）：v 1(v 1, v 2) v 2 (v 2, v 3) v 3 (v 3, v 4) v 4 (v 4, v 5)v 5 (v 5, v 2) v 2 (v 2, v 6)v 6 (v 6, v 4) v 4 (v 4, v 1)v 1 3．解：图G 是平面图．因为只要把结点v 2与v 6的连线(v 2, v 6)拽 到结点v 1的外面 ,把把结点v 3与v 6的连线 (v 3, v 6)拽到结点v 4, v 5的外面 ,就得到一个平 面图 ,如图九所示．4．解：错误．不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图 ,若v ≥3 ,则e ≤3v -6．”四、计算题1．解：（1）图G 是有向图：（2）图G 是单侧连通图 ,也是弱连通图． 2．解：（1）图G 如图十（3）deg(v 1)=2deg(v 2)=3 deg(v 3)=4 deg(v 4)=3deg(v 5)=2（4）补图如图十一οο ο ο ο a 1 a 2a 3 a 4 a 5 v 1 v 2 v 3v 4v 5οοο ο οv 1 v 2 v 3v 4v 5οοο ο ο οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图九图十一3．解：（1）G的图形如图十二图十二（2）v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5结点的度数依次为1 ,2 ,4 ,3 ,2 （3）补图如图十三：图十三4．解：（1）G的图形表示如图十四：图十四（2）粗线表示最小的生成树,如图十五如图十五最小的生成树的权为1+1+2+3=7：。