1.1.3集合间的基本运算

1.1.3 集合的基本运算
类比引入
思考：
两个实数除了可以比较大小外，还可以进行 加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是 否也可以“相加”呢？
思考：类比引入
考察下列各个集合，你能说出集合C与集合
A、B之间的关系吗？
（1） A=｛1，3，5｝， B=｛2，4，6｝，
C=｛1，2，3，4，5，6｝． （2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．
（1） A=｛2，4，6，8，10｝，
B=｛3，5，8，12｝，
C=｛8｝． （2）A=｛x|x是我校2011年9月在校的女同学｝，
B=｛x|x是我校2011年9月入学的高一年级同学｝，
C=｛x|x是我校2011年9月入学的高一年级女同学｝．
集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B 的所有元素组成的．
（1）有理数范围；（2）实数范 并回答围不．同的范围对问题结果有什么影响？
解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：
x Q x 2x2 3 0 2
（2）在实数范围内有三个解2，3， ，3 即：
x R x 2 x2 3 0 2, 3, 3
N {x | x 2k 1, k 1,2,...}
U
的关系的韦恩图如图所示，则阴影
N
M
部分所示的集合的元素共 2 个。
高考对接
例3 （2008 陕西高考）已知全集U={1,2,3,4,5}，
集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x | x 2a, a A} 则集合 CU ( A B) 中的元素有 2 个。
例题分析
2. 设 A x | x2 ax b 0 , B x | x2 cx 15 0 ，
又 A B 3,5, A B 3 ，求实数a,b和c
的值。
反馈演练
1.已知A {x | x2 px 2 0}, B {x | x2 qx r 0} 且A B {2,1,5}, A B {2},求p, q, r的值.
五．作业 课本P12 习题1.1： 6，7、10
高考对接
例1 （2010陕西高考）集合A {x | 1 x 2}，
B {x | x 1},则A(CRB) {x |1 x 2}
例2 （2009 广东高考）已知全集U=R，集合
M {x | 2 x 1 2}和
全集概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素，那么就称这个集合全集（Universe set）．通常记作U．
补集概念
对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集 （complementary set）,简称为集合A的补集．
集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的．
并集概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）．
记作：A∪B（读作：“A并B”） 即： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B}
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）． 用Venn图表示：
（2）若U是全集，且AB，则CUACUB （3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=
2.设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3} 且CBA={5}，求实数a的值。
3.已知全集 U={1，2，3，4，5}， 非空集 A={xU|x2-5x+q=0}， 求CUA及q的值。
例4 （2008 山东高考）满足
M {a1, a2 , a3, a4}, 且M {a1, a2 , a3} {a1, a2}
的集合M有 2 个。
高考对接
例5（2009 江西高考） 已知全集U=A∪B中有m个元素， (CU A) (CU B) 中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的
元素有 m-n 个。
求AUB．
解：A B {x | 1 x 2}{x |1 x 3} x | 1 x 3
可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：
类比引入
思考：
求集合的并集是集合间的一种运算，那么， 集合间还有其他运算吗？
类比引入
思考：
考察下面的问题，集合C与集合A、B之间
有什么关系吗？
B=｛ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，
求A B．
解： A就 B是新华中学高一年级中那些既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．
所以， A= ｛B x|x是新华中学高一年级既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学｝.
交集例题
为 L2例,试4用设集平合面的内运直算线表l示1上点l1、的l2集的合位为置L关1,直系线. l2上点的集合
AB
B
A
B
A∩B
A∩B
A∩B
交集的性质
(1) A A A (2)A (3)A B B A (4)A B A, A B B (5)A B 则 A B A
交集例题
例3 新华中学开运动会，设 A=｛x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，
例6 （2010 重庆高考）设U {0,1,2,3}, A {x U | x2 mx 0}
若CU A {1,2}，则实数m= -3
例题分析
1.设 A x | 2 x 5, B x | m 1 x 1 3m，
若A B A ，求实数m的取值范围。
解：根据题意可知： U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以： A={4，5，6，7，8}， B={1，2，7，8}．
说明：可以结合Venn图来解决此问题．
补集例题
例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三 角形}，B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B， （A∪B） 解：根据三角形的分类可知
AB A
B
A
B
A∪B
A∪B
A∪B
并集的性质
(1) A A A (2) A A (3) A B B A (4) A A B, B A B (5) A B则A B B
并集例题
例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}， 求AUB． 解：A B {4,5,6,8}{3,5,7,8} {3,4,5,6,7,8} 例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}，
记作： A
即： A={x| x ∈ U 且x A}
说明：补集的概念必须要有全集的限制． Venn图表示：
U A
A
补集的性质
(1) CU A A U (2) CU A A (3) CUU ,CU U (4) CU (CU A) A
补集例题
例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求 A， B．
(解得 : p 1, q 3, r 10)
2.已知A {x | x2 3x 2 0}, B {x | x2 ax a 1 0} 若A B A,求实数 a 的值.
练习：判断正误
（1）若U={四边形}，A={梯形}， 则CUA={平行四边形}
A∩B＝ ， A∪B＝ {x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
（A∪B）＝{x|x是直角三角形}．
知识小结
1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算， 运算结果仍然还是集合．
2．区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在 处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼 出发去揭示、挖掘题设条件．
3．注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表达， 增强数形结合的思想方法．
交集概念
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．
记作：A∩B（读作：“A交B”） 即： A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与 B 的公共元素组成的集合．
Venn图表示：
解： 平面内直线 一点，平行或重合.
l1 、l2
可能有三种位置关系，即相交于
（1）直线 l1 、l 2 相交于一点P可表示为
L1 L2 =｛点P｝
（2）直线 l1、l2平行可表示为
L1 L2
（3）直线l1 、l2重合可表示为
L1 L2 L1 L2
实例引入
问题：
在下面的范围内求方程 x 2 x的2 解3集：0