数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 法向量求线面角教案资料

AOB为二面角-a-的
平面角
定义要点:
<1>.棱上的一点
A
<2>.两条射线分别在两个平
面内
<3>.射线要垂直于棱
a
OB
正确掌握空间各种角的定义及取值范围： （1）异面直线所成角的范围： 0º90 （2）直线与平面所成的角的范围：
0º90 （3）二面角的平面角的范围通常认为：
0º180
平面法向量 在立体几何中的应用
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，
C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-
N的大小
小结：
本节主要学习了法向量在求线面角 和二面角方面的应用，注意所求角与 法向量的联系，掌握基本的思想方法。
作业:
平面法向量及其应用
复习:
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫二面角;这条直线
叫做二面角的棱;这两个半平面叫
二面角的面.
二面角的表示法:
棱为AB,面为,. 记作二面角-AB-
A
B
二面角的平面角
1.定义:
以二面角的棱上任意一点为端点. 在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫二面角的平面角.
z D1
中，(1)求平面 A C D 1 A1
的法向量 n 1
D
(2)求平面ABCD的
法向量. n 2
A x
C1 B1
Cy B
（二）:平面的法向量的求法
1、利用空间的线面垂直关系找法向量。
2、若已知平面内不共线的两个向量， 常设 n(x, y,z)为平面的一个法向量，利
用 n 平面内两个已知向量垂直，得出
x, y,z 之间的关系，进而求出平面的
法向量。
（三）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线
与平面所成的角：
A
直线与平面所成的角
等于平面的法向量所 在的直线与已知直线 的夹角的余角。
n
B
C
关键：求平面法向量与直线对应的向量的
夹角，并取其锐角，最后再求其余角。
如图1：直线AB与平面所成的角
=
2
( =<BA , n > )
利用平面法向量求直线与
平面所成的角：
A
如 面图 所成2：的直角线A=B与平2 ( =<BA , n > )
n
B
C
si n|cosB,A n| 图2
例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的 中点，
求MF与面ENF所成D1的角的余M弦值。 C1
A1
E
N B1
D A
C F B
练习
（1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，N分别为BC、BB1的中点。求AB与平面
AMN所成的角的大小。 D1
C1
A1
答案：/2-arccos(1/3)
或arcsin(1/3)
D
A
B1
N C
M B
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，
原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，
——利用法向量求线面角
向量与平面垂直
• 如果表示向量 a 的有向线段
所在的直线垂直于平面 ，则称 这个向量垂直于平面，
a
• 记作 a
(一)平面的法向量的定义：
如果a,那么
向量a叫做平
面的法向量
a
平面的法向 量有无数个, 它们的方向 相同或相反.
如何求平面的法向量?
例1 .在棱长为1的正方体
ABCDA1B1C1D 1
wenku.baidu.comD1
M
C1
A1
E
N B1
D A
C
F B
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1， 0）点D在平面yoz上，且BDC=90º， DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小
(0,-1/2,3/2) z D
B
E
(0,-1,0)
x
O 30º
y
C (0,1,0)
A (1,1,0)
0）点D在平面yoz上，且BDC=90º，
DCB=30º,求ＣＤ与平面ＡＢＤ所成角的
大小。
z
(0,-1/2,3/2) D
B
E
(0,-1,0)
x
O 30º
y
C (0,1,0)
A (1,1,0)
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小