最小生成树问题
求最小生成树问题,常用的方法
求最小生成树问题,常用的方法最小生成树（Minimum Spanning Tree）问题是一个经典的图论问题，其涉及到给定一个加权无向图，求其最小的生成树。
在实际问题中，求解最小生成树问题非常重要。
例如，最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、机器学习等众多领域。
本文将介绍求解最小生成树问题的常用方法，包括Kruskal算法、Prim算法和Boruvka算法。
我们将详细介绍这些算法的原理和步骤，并给出各种算法的优缺点和适用情况。
1. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法。
它首先将所有边按照权重大小排序，然后从小到大遍历边。
对于每个边，如果它连接了两个不同的连通块，则将这两个连通块合并成一个。
重复这个过程，直到所有的边都被考虑完。
最终的联通块就构成了最小生成树。
Kruskal算法具有简单、高效、容易实现的特点。
它的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边的数量。
Kruskal 算法的实现需要使用并查集。
Kruskal算法的优点是它是一种局部最优的策略，因此它能够在众多情况下得到最优解。
另外，它能够处理稀疏图和稠密图，因为它不需要全局访问图的结构。
2. Prim算法Prim算法也是一种基于贪心策略的算法。
它从一个任意的节点开始，不断加入与已经加入的节点相邻的最短边，直到所有节点都被加入。
这个过程类似于将一个连通块逐渐扩张为最小生成树。
Prim算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
Prim算法的实现需要使用堆数据结构来进行边的最短距离的管理。
Prim算法的优点是它比Kruskal算法更加容易实现和理解。
另外，Prim算法能够处理不连通图，因为它从任意一个节点开始加入边。
此外，Prim算法也能够处理含有负权重的边的图。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于分治策略的算法。
它首先将所有的节点看作单独的连通块，然后每个连通块都选择当前权重最小的边加入。
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题（实用版）目录1.引言2.数学建模最小生成树的概念3.最小生成树例题解析4.例题解答过程5.总结正文1.引言数学建模是一种利用数学方法和工具来解决实际问题的方法，它涉及到许多数学领域，如概率论、统计学、微积分等。
在实际应用中，数学建模可以帮助我们更好地理解问题，找到问题的解决方案，甚至预测未来的发展趋势。
最小生成树是图论中的一个重要概念，它在运输、通信、计算机网络等领域有着广泛的应用。
本文将通过一个最小生成树的例题，介绍如何运用数学建模的方法解决实际问题。
2.数学建模最小生成树的概念最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是指在一个加权连通图中，一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
最小生成树是一种生成树，其中所有边的权值之和最小。
3.最小生成树例题解析例题：有一个电信公司需要在城市中建立一座基站，以使得城市中的所有区域都能被覆盖。
现在已知城市中的每个区域的人口数量和每个区域到其他区域的距离。
请问，电信公司应该选择哪些区域建立基站，使得所有区域的覆盖成本最低？4.例题解答过程我们可以将这个问题转化为一个最小生成树问题。
首先，将城市中的每个区域看作是一个节点，每个区域到其他区域的距离看作是节点之间的边，构建一个加权图。
然后，通过求解最小生成树问题，得到一个基站建设方案，使得所有区域的覆盖成本最低。
为了求解最小生成树问题，我们可以使用 Kruskal 算法或 Prim 算法。
这里我们以 Prim 算法为例，介绍如何求解最小生成树。
（1）将所有边按照权值从小到大排序。
（2）选取权值最小的边，将其两端节点加入生成树。
（3）删除已选择的边，重复步骤（2），直到生成树中有 n-1 条边（n 为节点数）。
通过以上步骤，我们可以得到一个基站建设方案，使得所有区域的覆盖成本最低。
信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件
5
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4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
22 16
5
3
7
1
4
min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
2
1
2
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8
10
9
5
6
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1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
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Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
遗传算法 最小生成树
遗传算法最小生成树遗传算法什么是遗传算法？遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种基于生物进化思想的随机化搜索优化方法。
它通过模拟自然界中的进化过程，对问题进行求解。
遗传算法的原理1.个体编码：将问题转换为染色体编码的形式。
2.初始种群：随机生成初始种群。
3.适应度函数：根据问题定义适应度函数，用来评估每个个体的优劣程度。
4.选择操作：按照适应度大小选择部分个体作为下一代的父代。
5.交叉操作：对父代进行交叉操作，生成新的后代。
6.变异操作：对后代进行变异操作，增加种群多样性。
7.重复执行步骤4-6，直到满足终止条件。
遗传算法的优缺点优点：1.全局搜索能力强，可以在大规模搜索空间中找到最优解或次优解；2.适用范围广泛，可以处理多种类型和形式的问题；3.具有较好的并行性和可扩展性；4.易于实现和使用。
缺点：1.需要大量计算资源和时间；2.结果不一定是最优解或次优解；3.对问题的建模需要较高的技能和经验。
最小生成树什么是最小生成树？最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是一种用来解决带权无向图连通性问题的算法。
它通过在图中选择一些边，使得这些边组成一个树，并且这个树包含所有节点，并且权值之和最小。
最小生成树的原理1.首先，将图中所有边按照权值从小到大排序。
2.从第一条边开始，依次遍历每条边：①如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，则将这条边加入最小生成树中；②如果这条边连接的两个节点已经在同一个连通分量中，则不加入最小生成树中。
3.重复执行步骤2，直到所有节点都被包含在最小生成树中。
最小生成树的优缺点优点：1.可以保证所得到的解是全局最优解；2.算法简单易行；3.适用范围广泛。
缺点：1.只适用于带权无向图；2.对于稠密图而言，时间复杂度比较高；3.对于动态变化的图而言，需要重新计算整个最小生成树。
最小生成树题目
最小生成树题目 最小生成树是图论中的一个重要概念，被广泛应用于路由算法、网络设计、电力传输等领域。
最小生成树问题可以简单描述为：给定一个连通图，选择一些边使得图中所有节点都能够连接，并且总边权之和最小。
最小生成树题目是在解决最小生成树问题时所遇到的具体情境。
以下通过分析两个不同的最小生成树题目，来理解最小生成树算法的应用。
题目1：某城市的道路规划 假设一个城市有多个地区，每个地区之间需要建立道路来连接。
已知每条道路的长度，在保证每个地区都能连通的情况下，设计一个道路规划方案，使得总道路长度最小。
解题思路： 1、首先，根据题目中给出的道路长度，建立一个无向带权图。
其中，每个地区对应图的节点，道路对应图的边，道路长度对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些道路使得所有地区连通，并且这些道路的权值之和最小。
3、最小生成树即为最优的道路规划方案，输出最小生成树的边集合即可。
题目2：电力传输网络设计 某地区有多个居民点，需要建立电力传输网络来确保每个居民点都能接收到电力供应。
已知每个居民点之间建立电力线路的成本，在保证每个居民点都能接收到电力供应的情况下，设计一个电力传输网络，使得总成本最小。
解题思路： 1、根据题目给出的电力线路成本，建立一个带权完全图。
其中，每个居民点对应图的节点，电力线路对应图的边，电力线路成本对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些电力线路使得所有居民点都能接收到电力供应，并且这些电力线路的成本之和最小。
3、最小生成树即为最优的电力传输网络设计方案，输出最小生成树的边集合即可。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，通过构建最小生成树，我们可以找到图中连接所有节点的最优边集合。
在实际应用中，最小生成树算法可以帮助我们进行有效的资源分配、网络规划等决策。
总体来说，最小生成树题目涉及到图的建模和优化算法的运用。
最小生成树问题例题
最小生成树问题例题最小生成树（Minimum Spanning Tree）是图论中的一个经典问题，它是指在一个带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
最小生成树问题在实际生活中有着广泛的应用，比如电力输送、通信网络等领域。
下面我们以一个具体的例子来说明最小生成树问题的求解过程。
假设有一个无向图，图中包含了6个节点（A、B、C、D、E、F）和9条边。
每条边都有一个权值，表示连接两个节点的成本。
我们的目标是找到一棵最小生成树。
首先，我们可以使用 Prim 算法来求解最小生成树。
Prim 算法的基本思想是从一个起始节点开始，逐步扩展生成树，直到包含所有节点为止。
具体步骤如下：1. 选择一个起始节点，将其标记为已访问。
2. 从已访问的节点中，选择一条连接到未访问节点的最短边。
3. 将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点标记为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
根据上述算法，我们可以依次选取边 AB、CD、BC、EF、DE 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、C-D、B-C、E-F 和 D-E 这五条边，它们的权值之和为12。
另外一个常用的求解最小生成树问题的算法是 Kruskal 算法。
Kruskal 算法的基本思想是将图中的边按照权值从小到大进行排序，然后依次选取边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中。
具体步骤如下：1. 对图中的边按照权值进行排序。
2. 从权值最小的边开始，依次选取边。
3. 如果选取的边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点合并为一个连通分量。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最小生成树中包含了所有的节点。
使用 Kruskal 算法求解上述例子，我们可以依次选取边 AB、BC、CD、DE、EF 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、B-C、C-D、D-E 和 E-F 这五条边，它们的权值之和也是12。
最小生成树问题课程设计
最小生成树问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解最小生成树的概念，掌握其定义及性质；2. 学会运用普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法求解最小生成树问题；3. 了解最小生成树在实际问题中的应用，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 能够运用普里姆和克鲁斯卡尔算法解决最小生成树问题，并进行算法分析；2. 能够运用所学知识解决实际问题，具备一定的算法设计能力；3. 能够通过合作与交流，提高问题分析和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构与算法的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生面对问题勇于挑战、积极进取的精神。
课程性质：本课程为计算机科学与技术专业的高年级课程，旨在帮助学生掌握图论中的最小生成树问题及其求解方法。
学生特点：学生具备一定的编程基础和图论知识，对算法有一定的了解，但可能对最小生成树问题尚不熟悉。
教学要求：结合学生特点，采用案例教学、任务驱动等方法，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力和创新思维。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题中，提高解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质及定理- 最小生成树的构建方法2. 普里姆算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用3. 克鲁斯卡尔算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用4. 最小生成树在实际问题中的应用- 网络设计- 电路设计- 其他领域应用案例5. 算法比较与优化- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的比较- 算法优化方法及其适用场景6. 实践环节- 编程实现普里姆和克鲁斯卡尔算法- 分析并解决实际问题- 小组讨论与成果展示教学内容依据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
参考教材相关章节，制定以下教学安排：第1周：最小生成树概念与性质第2周：普里姆算法第3周：克鲁斯卡尔算法第4周：最小生成树在实际问题中的应用第5周：算法比较与优化第6周：实践环节与总结三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的比喻，对最小生成树的概念、性质、算法原理等基础知识进行讲解，使学生快速掌握课程内容。
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树算法在城市建设中的应用十分广泛，可以帮助我们优化城市的交通网络、供电网络等。
以下是一个简单的例子：
假设我们在一个城市的某个区域进行城市建设，这个区域有若干个居民点（节点）和道路（边）。
我们希望通过铺设电缆（或建设道路）将这些居民点连接起来，同时要保证总的建设成本最小。
我们可以使用最小生成树算法来解决这个问题。
首先，我们需要收集每个居民点到其他居民点的距离（或建设成本），这些距离可以由专业人员测量或根据地图数据计算得到。
然后，我们可以将这些居民点和对应的距离输入到最小生成树算法中，算法会返回一个最优的生成树，这个生成树表示的是总建设成本最小的电缆或道路铺设方案。
具体来说，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法等最小生成树算法来求解。
在Kruskal 算法中，我们按照边的权重从小到大排序，然后依次选择边，如果这条边不会与已经选择的边形成环路，就将其加入到最小生成树中。
在Prim算法中，我们首先选择一个起始节点，然后不断选择与已选节点相连且权重最小的边，直到所有的节点都被选中。
通过最小生成树算法，我们可以得到一个总建设成本最小的电缆或道路铺设方案，从而优化城市的交通和供电网络。
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
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5
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v3 5
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v1 1
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v4
v2 2
v5
4
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4 v6 v4
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
最小生成树——城市公交网建设问题
最⼩⽣成树——城市公交⽹建设问题城市公交⽹建设问题【问题描述】 有⼀张城市地图，图中的顶点为城市，⽆向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建⾼速公路的造价，研究后发现，这个地图有⼀个特点，即任⼀对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若⼲⾼速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得⼯程的总造价最少？【输⼊格式】n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e⾏，每⾏3个数i,j,wij，表⽰在城市i,j之间修建⾼速公路的造价。
【输出格式】 n-1⾏，每⾏为两个城市的序号，表明这两个城市间建⼀条⾼速公路。
【输⼊样例】 5 8 1 2 2 2 5 9 5 4 7 4 1 10 1 3 12 4 3 6 5 3 3 2 3 8【输出样例】 1 2 2 3 3 4 3 51 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;56const int maxn=0x7f;7bool visit[101];8int dis[101];9int map[101][101];10int n,m,u,v,h,k;11int min1;1213void sc(int s)14 {15for(int i=1;i<=n;i++)16 dis[i]=map[s][i];17 visit[s]=true;18 dis[s]=0;19for(int i=1;i<=n;i++)20 {21 min1=maxn;22 k=s;23for(int j=1;j<=n;j++)24 {25if(!visit[j]&&dis[j]<min1)26 {27 min1=dis[j];28 k=j;29 }30 }31 visit[k]=1;32for(int j=1;j<=n;j++)33 {34if(!visit[j]&&map[k][j]<dis[j])35 dis[j]=map[k][j];36 }37 }38for(int i=1;i<=n;i++)39for(int j=1;j<=n;j++)40if(map[i][j]==dis[j])41 cout<<i<<""<<j<<endl;42 }4344int main()45 {46 cin>>n>>m;47 memset(map,maxn,sizeof(map)); 48for(int i=1;i<=m;i++)49 {50 cin>>u>>v>>h;51 map[u][v]=map[v][u]=h;52 }53for(int i=1;i<=m;i++)54 dis[i]=maxn;55 sc(1);56return0;57 }。
最小生成树问题
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
国家集训队2004论文集_汪汀
可知如果(+a1,-b2)和(+a2,-b1)都是 T 的可行交换，则有ω(b2)≤ω(a1),ω(b1)≤ω (a2)，故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2); 否则，或者(+a1,-b2)或者(+a2,-b1)不是 T 的 可行交换，根据引理 1，T’=T+{a1,a2}-{b1,b2}仍然是 T 的 k 度限制生成树，则ω (T)≤ω(T’),故ω(b1)+ω(b2)≤ω(a1)+ω(a2)。 ⑵充分性
综上，求最小 k 度限制生成树算法总的时间复杂度为 O(Vlog2V+E+kV)。
3、次小生成树
3.1、次小生成树的定义
设 G=(V,E,w)是连通的无向图，T 是图 G 的一个最小生成树。如果有另一棵树 T1，满 足不存在树 T’,ω（T’）<ω（T1） ，则称 T1 是图 G 的次小生成树。
3.2、求解次小生成树的算法
通过上述定理，我们就有了解决次小生成树问题的基本思路。 首先先求该图的最小生成树 T。时间复杂度 O(Vlog2V+E) 然后，求 T 的邻集中权值和最小的生成树，即图 G 的次小生成树。 如果只是简单的枚举，复杂度很高。首先枚举两条边的复杂度是 O(VE)，再判断该交换是否 可行的复杂度是 O(V)，则总的时间复杂度是 O(V2E)。这样的算法显得很盲目。经过简单的 分析不难发现，每加入一条不在树上的边，总能形成一个环，只有删去环上的一条边，才能 保证交换后仍然是生成树，而删去边的权值越大，新得到的生成树的权值和越小。我们可以 以此将复杂度降为 O(VE)。这已经前进了一大步，但仍不够好。 回顾上一个模型——最小度限制生成树，我们也曾面临过类似的问题，并且最终采用动态规 划的方法避免了重复计算，使得复杂度大大降低。对于本题，我们可以采用类似的思想。首 先做一步预处理，求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边，然后，枚举图中不在
算法设计与分析课件--贪心法-最小生成树问题
6
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法思想：
❖Prim算法利用了最小生成树的上述性质。 ❖ 算法的关键是如何找出连接U和V-U所有边中的权值 最小的边(u, v)，并将v加入到U中。循环执行上述操作， 直至U=V为止。
7
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法设计：
❖ 设G=(V，E)是具有n个结点的无向连通带权图；设最 小生成树T=(U，TE)，算法结束时U=V，TE包含于E
点的无向连通带权图，U是
V的一个非空子集。最小生
成树的一个很重要的性质：
✓ (u, v)是一条具有最小权 值 的 边 ， 其 中 u∈U ， v∈V-U，则必存在一棵包
假设最小生成树T不包括(u,v)。 将(u,v)添加到T上产生回路， 将回路中另外一条边(u’,v’)去 掉得到另外一个树T’
含 边 (u ， v) 的 最 小 生 成 树 。
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
◼ Prim算法空间复杂性：
❖定义了辅助变量Q，其占用空间为|V|，从而空间复 杂度为O(|V|)。
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4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的正确性证明：
❖最优子结构性质：假设最小生成树为T，从V-U集合中 添加到集合U中的结点顺序为< u0, …, ui, …, un-1, un>， 需要证明： 顺序< u0, …, ui, …, un-1>亦为图G’=(V\{un}， E\{e})最小生成树T’ ，其中e={原图G中与结点un相连 的边}。
最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题
例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。
这对于处理非标准的MST问题非常方便。
我们主要参考了文[7]。
在图论中，称无圈的连通图为树。
在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。
生成树上各边的权之和称为该生成树的权。
连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。
许多实际问题都可以归结为最小生成树。
例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。
为了说明问题,以下面的问题作为范例。
范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。
试求出使电话线总长度最小的架线方案。
为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。
MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。
其步骤为：（1） 从图中任选一点i v 为树根， 让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题例题1：某城市计划建设一条高速公路，需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。
已知各个村庄之间的距离，请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题2：一个通信网络由若干个节点和边组成，节点代表城市，边代表通信线路。
已知各个城市之间的距离和通信需求，请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构，以满足各个城市之间的通信需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。
例题3：一个城市的电力网由多个节点和边组成，节点代表发电厂或变电站，边代表输电线路。
已知各个节点之间的电抗和传输功率，请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。
参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构，以满足各个节点之间的电力传输需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法：按照边的电抗从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。
最小生成树prim算法实验报告
最小生成树prim算法实验报告最小生成树Prim算法实验报告引言：最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个重要概念，意为在一个连通图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
Prim算法是一种常用的解决MST问题的贪心算法。
本实验旨在通过实际操作和观察，深入理解Prim算法的原理与过程。
实验目的：1. 理解Prim算法的基本原理；2. 掌握Prim算法的具体实现过程；3. 利用Prim算法求解最小生成树问题；4. 分析Prim算法的时间复杂度。
实验过程：1. 实验环境搭建：在实验开始前，我们需要搭建合适的实验环境。
首先，我们选择一种编程语言，如Python或C++，来实现Prim算法。
其次，我们需要准备一个图的数据集，可以是随机生成的或者是从现实问题中提取的。
最后，我们需要一个用于可视化的工具，以便观察Prim算法的执行过程和结果。
2. Prim算法实现：Prim算法的核心思想是从一个顶点开始，逐步扩展生成树，直到包含所有顶点为止。
具体实现过程如下：a. 初始化一个空的生成树，选择一个起始顶点；b. 在剩余的顶点中，选择与生成树距离最近的顶点，并将其加入生成树；c. 更新生成树与剩余顶点的距离，如果存在更短的路径，则更新；d. 重复步骤b和c，直到生成树包含所有顶点。
3. Prim算法求解最小生成树问题：利用Prim算法求解最小生成树问题的步骤如下：a. 根据实验环境搭建中准备的图数据集，构建图的邻接矩阵或邻接表表示；b. 选择一个起始顶点，将其加入生成树；c. 重复以下步骤，直到生成树包含所有顶点：i. 从生成树中选择一个顶点v，找到与v相连的顶点中距离最小的顶点u； ii. 将顶点u加入生成树，并将(u, v)边加入生成树的边集；iii. 更新生成树与剩余顶点的距离，如果存在更短的路径，则更新。
实验结果与分析：我们通过实验环境搭建和Prim算法实现，成功求解了多个最小生成树问题。
最小生成树问题
最小生成树问题
最小生成树问题是指在连接有n个点的图的所有n-1条边中，找到一棵边权和最小的树，这棵树包含了图中所有的点，并且所有点之间都是通过这些边相互连接的。
最小生成树问题可以用来解决一些实际问题，比如网络规划、电力传输、通信网络等。
在计算机领域中，最小生成树问题通常可以用来解决分布式系统中的数据同步问题、数据中心间的通信问题等。
常用的解决最小生成树问题的算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个初始点开始，每次选择与当前生成树相连的边中权值最小的边，并且将该边连接的点加入到生成树中。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的点为止。
Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，然后依次遍历每条边，如果这条边连接的两个点不在同一个连通分量中，则将这条边添加到最小生成树中，并合并这两个连通分量。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的点为止。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，可以使用上述的两种算法来解决。
其中Prim算法的时间复杂度为O(n^2)，Kruskal
算法的时间复杂度为O(m log n)，其中n表示点的个数，m表示边的个数。
最小生成树题目
最小生成树文档========1. 图的表示和基本操作-----------在图论中，图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种结构。
顶点通常用V表示，边用E表示。
一个边连接两个顶点，可以用一个有序对(u, v)表示一条从顶点u到顶点v的边。
无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。
在图的操作中，常见的有添加/删除顶点，添加/删除边，查找顶点等。
在最小生成树算法中，主要涉及到的操作有添加/删除边，查找顶点等。
2. 最小生成树的定义和性质----------------最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指一个连通无向图中，一个连接所有顶点的子图，使得所有边的权值和最小。
最小生成树具有如下性质：* 最小生成树是连通的，即任意两个顶点之间都有路径相连。
* 最小生成树的边数等于V-1，其中V是顶点的数量。
* 最小生成树的权值和等于所有边的权值和。
4. Kruskal算法---------Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 初始化一个空的森林F。
3. 从第一条边开始，遍历所有的边，如果这条边的两个顶点在森林F中不连通，则将这条边加入森林F中，否则忽略这条边。
4. 如果森林F中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
否则，森林F就是最小生成树。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。
该算法具有稳定性和可并行性。
但是由于需要维护森林的数据结构，实际实现起来比较复杂。
5. Prim算法-------Prim算法是一种基于贪婪策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 初始化一个空的集合C，用于存储已经访问过的顶点。
2. 从任意一个顶点开始，将其加入集合C中。
3. 对于每一个顶点v，计算它到集合C中所有已经访问过的顶点的最小距离。
将距离最小的边对应的顶点加入集合C中。
4. 如果集合C中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
力扣中关于最小生成树的题目
力扣中关于最小生成树的题目
1. 无向图的最小生成树问题，力扣上有一些经典的最小生成树
问题，如「最小生成树」（题号，1584）和「连通网络的操作次数」（题号，1319）。
这些问题通常给出一个无向图，要求找到一个最
小生成树，使得图中所有节点都连通，并且边的权重之和最小。
2. Kruskal 算法和 Prim 算法，力扣上也有一些题目要求实现Kruskal 算法或 Prim 算法来求解最小生成树。
例如「冗余连接 II」（题号，685）要求使用并查集和 Kruskal 算法来找到一条冗余的边，删除后可以得到一棵最小生成树。
3. 最小生成树的变种问题，力扣上还有一些变种问题，如「最
小生成树的最后操作时间」（题号，1610）和「最小生成树的最后
剩余值」（题号，1932）。
这些问题在求解最小生成树的基础上，
还需要进行一些特定的操作或计算。
4. 最小生成树的应用问题，除了基本的最小生成树问题，力扣
上还有一些与最小生成树相关的应用问题。
例如「修建牛栏」（题号，1192）要求在一块土地上修建牛栏，使得所有牛栏之间的距离
之和最小，可以通过最小生成树来解决。
总的来说，力扣上关于最小生成树的题目涵盖了基本问题、算
法实现、变种问题和应用问题等多个方面。
通过解决这些题目，可
以加深对最小生成树的理解和应用能力。
希望以上信息对你有帮助！。
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数据结构与算法课程设计报告课程设计题目：最小生成树问题专业班级：姓名：学号：设计室号：设计时间： 2011-12-26 批阅时间：指导教师：*绩：《数据结构与算法》课程设计报告姓名：学号：专业：一、课题：最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
问题分析:在n个城市间建立通信网络，需架设n-1条路线。
求解如何以最低的经济代价建设此通信网，这是一个最小生成树问题。
我们可以利用普利姆算法或者克鲁斯卡尔算法求出网的最小生成树，输入各城市的数目以及各个城市之间的距离。
将城市之间的距离当做网中各点之间的权值。
二、功能、算法、体会描述：系统有一个主界面,是选择界面。
本系统一共有两种选择，克鲁斯卡尔算法求解和普利姆算法求解。
根据提醒，输入相应数据，选择你想要的求解方式。
第一种方式是克鲁斯卡尔算法。
输入你想要建立网络的城市数量，然后输入它们两两之间的建设成本，运行得到网络的建立方式。
第二种方式是普利姆算法，操作方法和第一种一致。
１．克鲁斯卡尔算法：基本思想：假设WN=（V, {E}）是一个含有N个顶点的连通网。
则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森林。
之后，从网的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。
依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。
在此系统中，N是你所需要输入的城市个数。
而每条边的权值就是你所输入的每两个城市之间的建设成本。
具体步骤：该算法的函数是main1( ) 。
先用struct edgenode{int frontvex;int rearvex;int weight;};typedef edgenode adgeset[maxedgenum];定义边结点，并定义一个此类结点的数组adgeset。
Main1中先用scanf("%d",&n)语句得到建立网络的城市个数n。
随后，通过insit1(adgeset>,int n)函数中的for( i=0;i<n-1;i++){for(int j=i+1;j<n;j++){int x,y;x=i+1;y=j+1;printf("请输入第%d个城市到第%d个城市的建设成本\n",x,y);scanf("%d",&a);GT[k].frontvex=i;GT[k].rearvex=j;GT[k].weight=a;k++;}}循环语句来得到每两个城市间的建设成本。
而后，通过for(i=0;i<k-1;i++){int min=20000,m=i;for(int j=i;j<k;j++){if(GT[j].weight<min){min=GT[j].weight;m=j;}}edgenode temp=GT[i];GT[i]=GT[m];GT[m]=temp;}}来寻找两边还没有顶点的权值最小边。
紧接着，用void fun1(adgeset&GE,adgeset>,int n)函数来得到我们所要的建设成本。
最后通过display1(GE,n);函数来输出该算法所求得的结果，即告知n-1条边该分别建立在哪几对城市之间。
２．普利姆算法：基本思想：假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，TV是WN上最小生成树中顶点的集合，TE是最小生成树中边的集合。
显然，在算法执行结束时，TV=V，而TE是E的一个子集。
在算法开始执行时，TE为空集，TV中只有一个顶点，因此，按普利姆算法构造最小生成树的过程为：在所有“其一个顶点已经落在生成树上，而另一个顶点尚未落在生成树上”的边中取一条权值为最小的边，逐条加在生成树上，直至生成树中含有n-1条边为止。
在此系统中，N是你所需要输入的城市个数。
而每条边的权值就是你所输入的每两个城市之间的建设成本。
具体步骤：该算法的函数是pum( ) 。
先用struct edgenode{int frontvex;int rearvex;int weight;};typedef edgenode adgeset[maxedgenum];定义边结点，并定义一个此类结点的数组adgeset。
Pum（）中先用scanf("%d",&n)语句得到建立网络的城市个数n。
接着，用函数void insitadj2(adjmatrix &GA){for(int i=0;i<maxvertexnum;i++){for(int j=0;j<maxvertexnum;j++){GA[i][j]=20000;}}}来给矩阵里的元素全赋初值无穷大。
然后通过void setadj2(adjmatrix &GA,int n)函数中的for(int i=0;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<n;j++){int y,w;y=i+1;w=j+1;printf("请输入第%d个城市到第%d个城市的建设成本：",y,w);scanf("%d",&GA[i][j]);}}循环来得到每两个城市间的建设成本。
得到成本后，用fun2()函数来得到最小生成树。
最后通过Display2来输出我们需要的建设方案。
程序结构：Main()函数包括2大函数，图形显示如下：Main （）Kul ( )Pum ( )Main( )函数中kul( )函数也包括3个函数，图形显示如下Insit1( )Kul ( )display1 ( )Fun1 ( )main()函数中的pum ( )函数也包括5个函数，图形显示如下：数据显示：这儿只显示一下“根据克鲁斯卡尔算法求解”功能，其它功能用户可以自行调试查看 pum ( ) Insit2( )Display2 ( )Fun2 ( )setadj2 ( )insitadj2( )请您输入选择:1请输入您所要建立网络的城市个数：4请输入您所要建立网络的城市两两之间的建设成本：系统将根据克鲁斯卡尔算法进行求解，得到建设成本最低的建设方案：心得体会：通过此次课程设计，我更深刻地理解了最小生成树问题，知道如何在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
并且用了多种求解方式。
数据结构是学习计算机的一门重要的基础课，在学习数据结构之前我们学习了C语言在我们看来数据结构就是学习C语言的延续。
这几天的课程设计让我充分地体会到了上机实践对于计算机编程的重要性。
其实在于计算机语言这类课程看重的就是上机的实际操作，不满足于基本理论的学习。
上机操作才能让我们更加好的掌握我们所要学习的计算机语言知识。
只顾学习理论是远远不够的。
实践中可以发现许许多多的问题，然后通过同学老师的帮助，得以解决，让自己的编程能力得到极大的提升。
此外，也让我更加明白编程是要解决现实问题的。
只有拥有把现实问题理论化的能力，才是编程真正需要达到的境界。
源程序：#include<stdio.h>#include<malloc.h>const int maxvertexnum=20;const int maxedgenum=40;typedef int adjmatrix[maxvertexnum][maxvertexnum];struct edgenode{int frontvex;int rearvex;int weight;};typedef edgenode adgeset[maxedgenum];//=============================================== void fun1(adgeset&GE,adgeset>,int n);void display1(adgeset GT,int n);void insit1(adgeset >,int n);int kul();//============================================= void insit1(adgeset>,int n){int k=0,a;int i;for( i=0;i<n-1;i++){for(int j=i+1;j<n;j++){int x,y;x=i+1;y=j+1;printf("请输入第%d个城市到第%d个城市的建设成本\n",x,y);scanf("%d",&a);GT[k].frontvex=i;GT[k].rearvex=j;GT[k].weight=a;k++;}}for(i=0;i<k-1;i++){int min=20000,m=i;for(int j=i;j<k;j++){if(GT[j].weight<min){min=GT[j].weight;m=j;}}edgenode temp=GT[i];GT[i]=GT[m];GT[m]=temp;}}void fun1(adgeset&GE,adgeset>,int n){int i,j;int**s=(int**) malloc (sizeof(int*));for(i=0;i<n;i++)s[i]=(int *) malloc (sizeof(int)); for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){if(i==j)s[i][j]=1;else s[i][j]=0;}}int k=1;int d=0;int m1,m2;while(k<n){for(i=0;i<n;i++){if(s[i][GT[d].frontvex]==1)m1=i;if(s[i][GT[d].rearvex]==1)m2=i;}if(m1!=m2){GE[k-1]=GT[d];k++;for(j=0;j<n;j++){s[m1][j]=s[m2][j]||s[m1][j];s[m1][j]=0;}}d++;}//for(i=0;i<n;i++) free(s[i]);//free(s);}void display1(adgeset GT,int n){for(int i=0;i<n-1;i++){int x,y;x= GT[i].frontvex+1;y= GT[i].rearvex+1;printf("第%d个城市到第%d个城市修建一条电缆!\n",x,y);}printf("这样修建可以使建设成本最低！\n");}int kul(){printf("你要在几个城市间建设网络？请输入：\n");int n;scanf("%d",&n);adgeset GT,GE;insit1(GT,n);fun1(GE,GT,n);display1(GE,n);return 0;}//=============================================== void insitadj2(adjmatrix &GA);void setadj2(adjmatrix &GA,int n);void fun2(adjmatrix GA,adgeset >,int n);void display2(adgeset GT,int n);void insit2(adgeset >,int n,adjmatrix GA);int pum();//============================================= void insit2(adgeset>,int n,adjmatrix GA){for(int i=0;i<n-1;i++){GT[i].frontvex=0;GT[i].rearvex=i+1;GT[i].weight=GA[0][i+1];}}void insitadj2(adjmatrix &GA){for(int i=0;i<maxvertexnum;i++){for(int j=0;j<maxvertexnum;j++){GA[i][j]=20000;}}}void setadj2(adjmatrix &GA,int n){for(int i=0;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<n;j++){int y,w;y=i+1;w=j+1;printf("请输入第%d个城市到第%d个城市的建设成本：",y,w);scanf("%d",&GA[i][j]);}}for(i=0;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<n;j++){GA[j][i]=GA[i][j];}}}void fun2(adjmatrix GA,adgeset>,int n){ int i;for(i=0;i<n-1;i++){int min=10000,m=i;for(int j=i;j<n-1;j++){if(GT[j].weight<min){min=GT[j].weight;m=j;}}edgenode temp=GT[i];GT[i]=GT[m];GT[m]=temp;int k=GT[m].rearvex;for(j=i;j<n-1;j++){int t=GT[j].rearvex;int w=GA[k][t];if(w<GT[j].weight){GT[j].weight=w;GT[j].frontvex=k;}}}}void display2(adgeset GT,int n){for(int i=0;i<n-1;i++){ int e,r;e=GT[i].frontvex+1;r=GT[i].rearvex+1;printf("第%d个城市到第%d个城市修建一条电缆！\n",e,r);}printf("这样修建可以使建设成本最低！");}int pum(){printf("你要在几个城市间建设网络？\n请在此输入：");int n;scanf("%d",&n);adgeset GT;adjmatrix GA;insitadj2(GA);setadj2(GA,n);insit2(GT,n,GA);fun2(GA,GT,n);display2(GT,n);return 0;}void main(){printf(" \n\n\n\n\n\n ___________________________________________________________________\n 请选择您要的操作方式：\n ");printf("\n\n\n 1.根据克鲁斯卡尔算法求解。