应力约束下预应力平面实体钢结构拓扑优化设计

收稿日期:2007-08-20;修改稿收到日期:2008-10-23 基金项目:国家自然科学基金(50678012);北京市科委科技

奥运专项基金(Z0005191040111);河北省科技厅(072156184)资助项目

作者简介:杨海军*(1969-),男,博士,副教授

(E -mail:yangh j@);

张爱林(1961-),男,教授,博士生导师;姚 力(1967-),女,硕士,副教授.

第26卷第6期2009年12月

计算力学学报

C hinese Journal of C omputational Mechanics

V ol.26,N o.6December 2009

文章编号:1007-4708(2009)06-0766-06

应力约束下预应力平面实体钢结构拓扑优化设计

杨海军*1,2, 张爱林1, 姚 力2

(1.北京工业大学建筑工程学院,北京100022;2.河北建筑工程学院数理系,张家口075024)

摘 要:对预应力平面实体钢结构拓扑优化设计问题进行研究,建立了以索力值、单元尺寸和结构拓扑为设计变量,以应力为约束条件,以结构重量最小为目标函数的数学优化模型。在求解方法上,首先以满应力设计准则法建立索力值与结构重量之间的优化模型,通过该模型的求解确定索力值,并通过满应力设计选取单元尺寸,然后对单元体厚度按阈值进行分类,从而删除低厚度单元实现结构的拓扑优化。算例结果与预应力钢结构理论相吻合,表明本文所提出的方法是有效的,可为预应力钢结构体系创新提供理论方法。关键词:预应力钢结构;索力值优化;尺寸优化;拓扑优化;满应力设计中图分类号:T U 394 文献标识码:A

1 引言

预应力钢结构是将预应力与钢结构相结合的新型结构体系,在桥梁、工业厂房、大型体育场馆中得到广泛的应用。对预应力钢结构进行优化设计不仅可以达到节约钢材、降低造价及提高结构承载能力的目的

[1]

,而且还可以创造出预应力钢结构新

体系。因此,预应力钢结构优化设计是值得进一步研究的重要课题。

在研究层次上,预应力钢结构优化设计与普通结构一样可分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化和布局优化等,然而预应力钢结构优化设计在设计变量上增加了布索方案和索力值。设计变量维数的增加无疑会给预应力钢结构的优化设计带来困难,使得对预应力钢结构优化设计的研究落后于普通结构的优化设计。目前,对于预应力钢结构尺寸优化设计,多见于索-桁架结构体系,由于直接影响结构重量的是截面尺寸变量,而预应力对结构重量的影响是间接的,因此多采用分级算法进行优化设计

[2-4]

。文献[5]通过满应力设计准则给出了结构

重量和索力值的显式表达式并将其应用于索-桁架结构形状优化设计[6],而预应力钢结构的拓扑优化设计却很少有文献涉及。

本文就设计变量包括索力值、单元尺寸、结构拓扑的预应力平面实体钢结构优化设计问题,建立了以应力为约束条件,以结构重量最小为目标函数的数学优化模型。在求解方法上,采用三变量两阶段设计方法:首先依据满应力准则法给出了结构重量随索力值变化的数学优化模型,通过该模型的求解,得到使结构重量最小的最优索力值,并通过满应力设计选择结构在预应力和外荷载共同作用下的单元尺寸;然后对单元体厚度按阈值进行分类,从而删除低厚度单元实现结构的拓扑优化,循环迭代,直至满足收敛准则。

2 优化的数学模型

本文建立的预应力平面实体钢结构拓扑优化设计的数学模型为 求:T =

T 1,T 2, ,T K T

,

= 1, 2, , N

T

、 ,

和A =A 1,A 2, ,A M

T ,

m in.W = N

i=1

i

A

i

i +

M

j =1

j l j

A

j

s.t. i

i i =1,2, ,N +M

i ( ,0)(i =1,2, ,N ),

u

A i A i A i i=1,2, ,M

T k 0k=1,2, ,K(1)式中T为索单元上施加的预拉力向量,K为结构独立布索数目; 为固定单元网格厚度向量,取 和0两离散值,其中0表示对应单元被删除;N为初始结构固定平面实体单元网格数目, 为固定单元厚度最终设计变量值, u为设计变量 规定的上限值;A为结构中索和撑杆单元横截面尺寸向量, A i和A i分别为其尺寸约束上、下限值,M为索和撑杆单元数目,W为结构总重量,A0i为第i个固定平面实体单元面积, 为单元密度,l j为索和撑杆长度, i为第i单元在预应力和外荷载共同作用等效应力的大小, i为单元对应材料的许用应力。

3 优化方法

数学模型(1)中涉及三类设计变量:施加在索上的预拉力T=T1,T2, ,T K T,单元尺寸 和A=A1,A2, ,A M T,结构拓扑 = 1, 2, , N T i ,0。其中 为离散变量,而A和T为连续变量。索上施加预拉力的大小直接影响结构单元尺寸和结构拓扑,即三类变量之间存在耦合关系。相对于普通结构的优化设计来说,这种耦合关系为预应力钢结构拓扑优化设计带来了更大的难度。因此合理处理三类变量之间的关系就成为预应力钢结构拓扑优化设计的关键。

对于拉索式预应力钢结构体系,预应力荷载是人为施加在结构上自平衡的一种特殊形式的荷载,其大小在满足全部约束的条件下并不是确定值。因此首先要确定施加在结构上的索力值,然后进行单元尺寸的选择和结构拓扑优化设计,三类设计交替进行,直至索力值、单元尺寸和结构拓扑最优。3.1 索力值优化

对于索力值的优化设计,工程中多见于斜拉索桥结构[7-9],采用有约束或无约束的最小应变能方法确定施加在结构上的索力值。该方法能使结构获得最大的广义刚度,但在含有尺寸优化的模型中,并不一定是结构的最轻设计。

预应力钢结构是通过在索上施加预应力,使结构大部分构件产生的应力与设计荷载产生的应力符号相反,在结构中产生有利的应力分布从而使得大部分构件得到卸载,构件应力的降低会导致结构重量的减轻。因此,本文中索力值的确定方法为:求施加在结构上的索力值,使得结构在预应力和外荷载共同作用下结构重量最小。

3.1.1 优化的数学模型

求:T=T1,T2, ,T K T

min.W=

N

i=1

i A0i i+ M j=1 j l j A j

s.t. i i=1,2, ,N+M

T k 0k=1,2, ,K(2)各式物理意义同式(1)。

假设在第v步迭代后结构的拓扑设计变量为 v= v1, v2, , v N T,尺寸变量 v,A v={A v1,A v2, ,A v M}T为已知。

对于线弹性、小变形结构体系,通过结构有限元分析,结构在外荷载作用下第i个平面实体单元应力为

p ix, p iy, p ix y i=1,2, ,N

索和撑杆应力为 p j j=1,2, ,M。

在索上施加单位预拉力T k=1(k=1,2, ,K),第i平面实体单元的应力为

0ix k, 0iy k, 0ixy k

(i=1,2, ,N),(k=1,2, ,K)索和撑杆应力为

0jk(j=1,2, ,M),(k=1,2, ,K) 假设在预应力和外荷载共同作用下第i个平面实体单元应力为

ix, iy, ix y i=1,2, ,N

索和撑杆应力为 j(j=1,2, ,M)。

按照线弹性叠加原理,第i个平面实体单元在荷载和预应力共同作用下的应力为

ix= P ix+ K

k=1

0ix k T k

iy= P iy+ K

k=1

0iy k T k

ix y= P ixy+ K

k=1

0ixy k T k

i=1,2, ,N

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第6期杨海军,等:应力约束下预应力平面实体钢结构拓扑优化设计