应力约束下预应力平面实体钢结构拓扑优化设计
基于应力约束的框架结构拓扑优化研究
基于应力约束的框架结构拓扑优化研究框架结构是一种常用的结构形式，常见于建筑、机械工程等领域。
结构拓扑优化是通过对结构的拓扑形状进行调整，来实现结构的轻量化和性能的优化。
在框架结构拓扑优化中，考虑应力约束是非常重要的，因为结构在承受外部荷载时必须保证结构的强度和稳定性。
在框架结构拓扑优化研究中，应力约束通常包括两类，一类是在结构元件上的应力约束，另一类是在结构整体上的应力约束。
在结构元件上的应力约束主要是为了避免结构元件承受过大的应力而导致破坏或失稳，通常通过限制结构元件的截面积或材料强度来实现。
而在结构整体上的应力约束则是为了保证整个结构在受到外部荷载时不会出现应力集中或过大的情况，以确保结构的整体稳定性和强度。
1.结构优化目标的确定：在进行结构拓扑优化时，需要确定结构的优化目标，通常包括结构的重量最小化、材料的利用率最大化、结构的刚度最大化等。
同时还需要考虑结构的稳定性和强度等方面的要求。
2.应力约束的建模：在进行结构拓扑优化时，需要将应力约束进行数学建模，以便进行计算和优化。
常用的方法包括有限元分析、拓扑优化算法等。
其中，有限元分析可以用来计算结构在不同载荷情况下的应力分布情况，从而确定结构的应力约束。
3.优化算法的选择：结构拓扑优化是一个复杂的优化问题，在选择优化算法时需要考虑其收敛性、计算效率等因素。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、拓扑优化算法等。
4.结构形状的调整：在进行结构拓扑优化时，需要对结构的形状进行调整，以实现结构的轻量化和性能的优化。
常见的调整方式包括添加或删除结构元件、变换结构形状等。
5.结果的评估和验证：在进行结构拓扑优化后，需要对优化结果进行评估和验证，以确保优化结果符合应力约束并且满足设计要求。
通常可以通过有限元分析、试验验证等方法来验证优化结果的有效性。
综上所述，基于应力约束的框架结构拓扑优化研究是一个复杂而重要的领域，通过合理地设置应力约束、选择合适的优化算法和调整结构形状，可以实现结构的轻量化和性能的优化，为结构设计和工程实践提供重要的参考和指导。
不同约束条件下预应力钢结构拓扑优化设计比较分析
不 同约 束条件下预 应力钢 结构拓 扑优 化设 计 比较 分析
中房 集 团张 家 口房 地 产 开 发 公 司 许 浩 清
张 家口第三建筑工程公 司 王拥军
对 预 应 力 钢 结 构 进 行拓 扑优 化设 计 ， 可为 预应 力 钢 结 构 提 供 在 钢 板 下缘 作 用 有 铅 直 向 下 的 均 布 荷 载 ，大 小 为 ２ ｋ ／ ０ Ｎｍ，索 、 撑
距 下 边 缘 ０４ ．ｍ平 行 布 索 ， 两 端 点 距 两 支 座 的 水 平 距 离 为 ０ ｍ， 索 ． ５
【 要口 【 ＝
＾ ＋ １
图 ２ ａ 、ｂ 、ｃ 分 别 为 应 变 能 、 力 、 移 约 束 下 的 结 构 最 （）（）（） 应 位 优 拓 扑 图形 。 １ 最 优 拓 扑 图 形 下 对 应 的 最 优 预应 力值 、 缘 中 表 为 下 间 节 点 位 移 值 和 体 积 比 （ 留单 元 数 目 占原 始 单 元 数 目 的百 分 保
比 ） 。
பைடு நூலகம்
ｍｌ ＝ 届 ｉ ｌ ∑
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（ ）以 Ｙ ｎｒ ｓ ２ ｏ ｉ ｓ应力为 约束条件 的数学优化模 型 ａ ｅ
求 ＝属， …， ｝ ｒ ｛， … ｊ ： ｛ 屈， ＝ ， ，
从 表 ｌ 据 可 以 看 出 ． 体积 比相 等 的 情 况 下 ， 构 下 缘 中 数 在 结
间节 点 位 移 值 与 结 构 上 施 加 预 应 力 的大 小 有 直 接 关 系 。 移 约 束 、 位
预应力钢结构的结构体系及节点设计
预应力钢结构的结构体系及节点设计摘要预应力钢结构学科自诞生以来已经走过了60年历程。
最近20年有较大的发展。
尤其是近几年来的新材料、新工艺、新结构发展迅猛，且倍受国内建筑界重视和关注，对其研究越来越深入，技术越来越完善，应用也越来越广泛，新型的空间结构体系不断发展。
，预应力钢结构的应用范围几乎已覆盖了全部钢结构领域。
本文以综述的形式概述预应力钢结构的结构体系及节点设计。
关键词预应力钢结构结构体系节点设计引言钢结构在设计、制造、施工、加固工程中，与外荷载应力符号相反的预应力被人为地在承重结构体系内引入，用来改善结构的承载特性，尽量利用材料强度幅值或者在主承重结构中引入预张力以使全部构件能够抗压或成型的，称为预应力加固钢结构或预应力钢结构。
预应力钢结构的结构体系可大致分为预应力平面结构体系和预应力空间结构体系。
预应力平面结构体系包括预应力梁及楼盖系统、预应力钢桁架、预应力拱架、预应力框架结构、吊挂结构以及索绳结构体系。
预应力空间结构体系包括预应力网架结构、预应力网壳结构、张弦结构、索穹顶结构、索膜(张拉膜)结构等等。
空间结构体系模型一预应力钢结构设计原理和基本方法1.1 预应力钢结构的工作机理传统的钢结构引入预应力后受力机制受到改善，因为预应力调整为外部荷载与结构的内部抗力的关系，充分的挖掘了材料弹性强度的潜力，所以预应力钢结构的静，动力性能得到改善，刚度得到加强，众所皆知，在预应力作用下，任何结构的内力体系都是自相平衡的，预应力荷载及内力必须满足下列条件：0X ∑= 0Y ∑= 0Z ∑=0X M ∑= 0y M ∑= 0Z M ∑=从预应力自平衡体系概念出发，除非结构的预应力体系与荷载作用系统完全吻合一致，否则在结构体系内总会产生杆件的卸载效应与增载效应，即某些杆件因预应力卸载的同时伴随着另外一些杆件的增载。
因此，预应力的机理不是降低外部荷载力度，改变其作用状态或加固结构本身，而是利用材料弹性强度幅值的重复使用，内力的改性及转移来提高结构整体和杆件本身的承载能力和刚度。
结构拓扑优化设计综述
结构拓扑优化设计综述一、本文概述随着科技的不断进步和工程领域的深入发展，结构拓扑优化设计作为现代设计理论的重要分支，其在航空航天、汽车制造、建筑工程等诸多领域的应用日益广泛。
结构拓扑优化设计旨在通过改变结构的内部布局和连接方式，实现结构在承受外部载荷时的最优性能，包括强度、刚度、稳定性、轻量化等多个方面。
本文旨在对结构拓扑优化设计的理论、方法及其在各领域的应用进行系统的综述，以期为该领域的进一步研究和发展提供参考和借鉴。
本文将回顾结构拓扑优化设计的发展历程，介绍其从最初的试错法到现代数学规划法、智能优化算法等的发展历程，并分析各种方法的优缺点和适用范围。
本文将重点介绍目前结构拓扑优化设计中的主流方法，包括基于梯度的方法、启发式算法、元胞自动机方法、水平集方法等，并详细阐述这些方法的原理、实现步骤和应用案例。
本文还将探讨结构拓扑优化设计中的关键问题，如多目标优化、约束处理、计算效率等，并提出相应的解决方案。
本文将结合具体的工程案例，分析结构拓扑优化设计在实际工程中的应用情况，展望其未来的发展趋势和应用前景。
通过本文的综述，读者可以对结构拓扑优化设计有一个全面、深入的了解，为相关领域的研究和实践提供有益的参考。
二、拓扑优化设计的理论基础拓扑优化设计是一种高效的设计方法，它旨在优化结构的拓扑构型，以达到最佳的力学性能和经济效益。
这一设计方法的理论基础主要源于数学优化理论、有限元分析和计算力学。
数学优化理论为拓扑优化设计提供了框架和算法。
它包括了线性规划、整数规划、非线性规划等多种优化方法。
这些方法可以帮助设计者在满足一定约束条件下，寻求目标函数的最优解。
在拓扑优化设计中，目标函数通常是结构的某种性能指标，如质量、刚度、强度等，而约束条件则可能是结构的制造工艺、材料属性、边界条件等。
有限元分析是拓扑优化设计的核心工具。
它通过将连续体离散化为一系列有限大小的单元，利用单元之间的连接关系，模拟结构的整体行为。
具有应力和厚度约束的平面弹性体结构拓扑优化设计
１ 数 学 模 型
将 给 定 的 弹 性 平 面 体 作 为 初 始 基 结 构 ． 厚 度 是 期 望 其
值 。 后 ． 初始基 结构 占据的整 个区域划分 成有 限元 ． 然 将 以 各 单 元 厚度 为 设 计 变量 ． 构 体 积 为 目标 函数 ． 定 结 掏 的 结 确
算 法是 有 效 的 。 关 键 词 ： 力 约 柬 ； 度 约 柬 ： 面 弹性 体 ； 扑优 化 应 厚 平 拓 文献标识码 ： Ａ 中 图分 类 号 ： ８ （ １ｌ
Ｔｏｐｏ ｏ ｐｔ ｍ ｉ ａｔｏｎ Ｄｅ ｉ ｈ ａ ｎ Ｅｌ ｔ ｃ Ｃｏ ｉ ｕｍ ｉｈ Ｓｔ ｅ ｓ ａ ｌ ｇｙ Ｏ ｉ ｚ ｉ ｓ ｇｎ ｏｆ ｔ ｅ Ｐｌ ｉ ａｓ ｉ ｎｔｎｕ ｗ ｔ ｒ ｓ ｎｄ Ｔｈｉ ｋｎｅ ｓ Ｃ ｏ ｔ ａ ｎｔ ｃ ｓ ｎｓ ｒ ｉ ｓ
ｌ ｆｄｃｋ ｓ ｏ ｔ ａｎｔ ． Ｄ ｉｆ ｒ ｎｔ ｒ ｍ ｔ ｎ ａｌｔ ｐｏ ｏ ｐｔｍ ｉａ ｉｎ ｄｅ ｉ ｎｅ ｓ ｃ ｎｓ ｉ ｓ ｒ ｆｅ ｅ ｆ ｏ ｈｅ ｇｅ ｅｒ ｏ ｌ ｇｙ ｏ ｉ ｚ ｔｏ ｓｇｎ・ ｂ ｈ ｈｅ ｏｐｔｍ ａｌ ｏｐ ｏｇｙ ￣Ｉ］ ｔ ｏｔ ｔ ｉ ｔ ｏｌ ｔｌ ｈｅ ｆ ｏｐ ｉ ａ ｓ ｐｅ ａｎ】 ｉｅ ａ ｔｍ ｌ ｈａ （ ｚ ｃ ｎ ｂｅ ｏｂｔ ｉ ｅ ａ ｎ ｄ． Ｍ ａｔ ｍ ａ ｉａｌ ｏ ｌ ｏｒ ｕ ｈ ｈｅ ｔｃ ｍ ｄｅ ｆ ｓ ｃ ｐｒ ｏｂｌｍ ｓ ｅ ｗａｓ ｓ ａｂｌ ｌ ｄ ｎ ｈｉ ｅ ｔ ｉ ｅ ｉ ｔ ｓ ｓｌ ｐａ ｒ １ ｐｅ ｄ ｓ ｈ， ｉ ｌ ｄ ｗ ａ ｇｉｅ ｏ ｉ Ｆ ｅｔ ｎｇ ｌ ｍ ｓ 、 ｎ． Ｔｈｅ ｅｘ ｍ ｐｉｓ ｉ ｃ ｔ ｈａｔ ｈｅ ｍ ｅ ｈ ｉ ｆｅ ｔ、 ， ａ ｅ ｎｄｉａ ｅ ｔ ｔ ｔ ｏｄ Ｓ ｅ ｆ ｃ ｉｒ ｅ． Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ： ｅ ｓ ｃ ｎｓ ａｎｔ Ｔ ｈｉｋｎ ｓ ｏ ｔ ａｎｔ Ｐｌｉ ａ ｔｃｃ Ｓｔ ｓ ｏ ｔ ｉ ｓ； ｒ ｒ ｃ ｅ ｓ ｃ ｎｓ ｉ ｓ； ａ ｎ ｅｌｓ ｉ ｏｎｔｎｕｕｍ ； ｒ ｉ Ｔｏｐ ｏ ｐｔｍ ｉａ ｉｎ ｏｌ ｇｙ ｏ ｉ ｚ ｔｏ
使用CAD软件进行拓扑优化与结构优化方法
使用CAD软件进行拓扑优化与结构优化方法拓扑优化和结构优化是现代工程设计中非常重要的步骤，通过使用CAD软件，我们可以轻松地进行这些优化。
下面将介绍一些常见的方法和技巧。
首先，我们来介绍拓扑优化。
拓扑优化的目标是通过改变结构的形状，使其在满足一定的约束条件下，达到最优的性能。
在CAD软件中，我们可以使用一些工具来实现拓扑优化。
一种常见的方法是使用形态优化工具。
该工具可以根据用户设定的约束条件和目标函数，逐步改变设计的形状。
用户可以在CAD软件中设置约束条件，如最大应力、最小重量等。
然后，软件会自动调整结构的形状，使其逐渐接近最优解。
通过多次迭代，我们可以找到最佳的结构形状。
另一种常见的方法是使用随机生成算法。
该方法通过随机生成一系列的设计方案，并根据一定的评估标准来选择最优的解。
这种方法的好处是可以快速生成多个解决方案，并且可以在搜索空间中广泛探索。
CAD软件中的参数化设计功能可以帮助我们实现这一方法。
通过设置不同的参数范围和约束条件，软件会自动生成多个设计方案，并在结果中给出评估指标，如应力、重量等。
在进行结构优化时，我们通常关注的是如何在给定的形状条件下，找到最优的结构参数。
综合考虑不同的设计变量和约束条件，并进行多目标优化，可以帮助我们找到全局最优解。
在CAD软件中，我们可以使用优化模块来实现结构优化。
该模块可以根据设定的目标函数和约束条件，搜索最优解。
该模块通常采用数值优化方法，如遗传算法、粒子群算法等。
用户可以设置不同的设计变量和约束条件，通过多次迭代，逐步优化设计。
除了优化模块，CAD软件中的仿真功能也可以帮助我们进行结构优化。
通过在CAD软件中建立模型，并进行仿真分析，如强度分析、模态分析等，我们可以得到关于结构性能的详细信息。
基于这些信息，我们可以确定合适的设计参数，并进行优化。
在进行拓扑优化和结构优化时，我们需要注意一些问题。
首先，优化过程中的约束条件需要合理设置，以确保最终结果的可行性。
考虑预应力实施过程的预应力钢结构全过程优化设计
少
图２ 单次预应力 的实施过程
上述约束条件包含了３ 个 阶段的应力约束 。 依据满应力准则 ，结构的重量ｗ 可表示为：
甜 ，
［ ］ ’ ５ 【 ａ ｓ 】 ］ Ｊ ［ ＋ 面 ２］ Ｐ ］ ｊ 一
引言
近年 来 ，预应 力钢结 构尤 其是 预应力 空 间结
拉控制力方案 ，实现结构从实施阶段到使用阶段
的全 过程 最优 设计 。
构在我国的发展非常迅速 ，应用也越来越广泛。 在钢结构 中通过拉索引入预应力 ，能够有效地提 高结构承载力 ，控制结构变形 ，降低工程造价。 研究表明 ，通过优化设计选择合理的设计方案 ， 能够在保证结构安全性能的前提下 ，进一步提高 预应力钢结构 的经济效益 Ｊ 。
２ １ ０ ０ ９ ６ ）
（ １东南 大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重 点实验 室 一江苏南京
２东 南大学城市工程科学 国际研究 中心 江苏南京
摘 要： 分析预应力实施过 程对优化设计结果 的影 响， 探讨预应力钢结构的全 过程优化设计概念 。在对预应 力实施过程进行统一描 述的基础上 ，建立 预应 力钢结构 的全过程优化设计 数学模型 ，并从索初始形 变的角 度出发 ，基 于预应 力钢结构 的施工力 学分 析理论 ，探讨全过程分 析的优化模型约束条件计算方法 。最后 ， 依 据分级优化思想 ，将优 化模型 中的设计变量 分为若干层次 ，构建优化模 型求 解的三级优化方法 。算例结
，
圆々 圈 臼 圆 ．
图４ 预应力实施过程的描述
当考虑预应力实施过程时 ，实施过程中每一 阶段对设计 方案都有影响， 需 要考虑 的因素更 多 、更复杂 ，因此 ，也可将其称为 “ 全过程优化
基于VonMises应力的预应力钢结构拓扑优化设计
1) 单元删除操作
对预应力钢结构进行拓扑优化设计需要对单元进行删除操作, 首先计算结构在预应力和外荷载共同
作用下结构中各个单元的 Von M ises应力, 然后按照一定的规则删除结构中 V on M ises应力较小的单元, 从而实现结构的拓扑优化 [ 11 ] .
在优化迭代过程中, 每次删除单元的数目由结构的单元删除率 RR 决定, RR 定义为结构单元删除数
iy
ix iy
ixy
( 7)
其中
m
m
m
ix =
P ix
+
(
0 ix
)
jT
j;
iy =
P iy
+
(
0 iy
)
j
T
j;
= + P
ixy
ixy
(
0 ixy
) jT j
j= 1
j= 1
j= 1
式中,
ix、 iy和
ixy分别是结构在预应力和荷载共同作用下第 i单元沿 x、y 方向的正应力和切应力;
、 P P
ix iy
( 3)
式中, s为与索和实体结构相连的撑杆数目.
若使得结构储存的应变能最小,
U= Tj
1 2
Tj
n+m + s i= 1
m
T
P i
+
T0
ij j
[ ki ]
j= 1
m
P i
+
T0
ij j
j= 1
i
=
1 2
n+ m + s i= 1
{
0 ij
}T
基于IGA-SIMP法的连续体结构应力约束拓扑优化
基于IGA-SIMP法的连续体结构应力约束拓扑优化刘宏亮;杨迪雄【摘要】建立了一种IGA-SIMP框架下的连续体结构应力约束拓扑优化方法.基于常用的SIMP模型,将非均匀有理B样条(NURBS)函数用于几何建模、结构分析和设计参数化,实现了结构分析和优化设计的集成统一.利用高阶连续的NURBS基函数,等几何分析(IGA)提高了结构应力及其灵敏度的计算精度,增加了拓扑优化结果的可信性.为处理大量局部应力约束,提出了基于稳定转换法修正的P-norm应力约束策略,以克服拓扑优化中的迭代振荡和收敛困难.通过几个典型平面应力问题的拓扑优化算例表明了本文方法的有效性和精确性.应力约束下的体积最小化设计以及体积和应力约束下的柔顺度最小化设计的算例表明,基于稳定转换法修正的约束策略可以抑制应力约束体积最小化设计中的迭代振荡现象,获得稳定收敛的优化解;比较而言,体积和应力约束下的柔顺度最小化设计的迭代过程更加稳健,适合采用精确修正的应力约束策略.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】8页(P144-151)【关键词】结构拓扑优化;等几何分析;IGA-SIMP方法;应力约束;P-norm函数【作者】刘宏亮;杨迪雄【作者单位】大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023;大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室,大连116023【正文语种】中文【中图分类】O39;O2241 引言拓扑优化是一种概念性的结构设计工具，通过确定设计域内孔洞的连通性、形状和位置，从而获得具有创新性的结构设计方案[1]。
目前，随着制造技术的成熟，结构拓扑优化得到了快速的发展和广泛的应用，已经建立了各种不同的拓扑优化方法[2-6]。
在工程结构设计中，需要考虑和关注应力水平的限制，以避免应力集中或高应力值所引起的结构断裂和疲劳破坏等现象。
因此，应力相关的结构拓扑优化研究具有重要的实际意义和理论价值[7-10]。
应力约束下薄板结构的拓扑优化
应力约束下薄板结构的拓扑优化Ξ王 健 程耿东(大连理工大学工程力学系,大连,116023)摘 要 研究了应力约束下薄板结构的拓扑优化问题,分析了极限应力的影响,建立了拓扑优化的数学模型,讨论了若干优化过程中的技术问题,最后,进行了实例计算.关键词 结构拓扑优化,应力约束,薄板结构,极限应力,满应力法1 引言目前,结构拓扑优化已经成为研究热点[1～5].总的说来,桁架结构研究多于连续体,大部分工作研究受到整体约束的优化问题,所谓整体约束是指对结构柔顺性(Com p liance )或结构自振频率的约束.实际结构中的应力约束非常重要,而应力约束和整体约束有根本区别,考虑应力约束时,由于存在极限应力,给拓扑优化问题带来了特殊困难[4].在经典的桁架拓扑优化文献中,人们常用尺寸优化方法的数学模型来描述拓扑优化,这种描述方法忽视了极限应力问题,掩盖了拓扑优化的特点.某一单元极限应力是基本结构中当其它单元保持固定,该单元截面尺寸趋于零时的单元应力[4].一个单元的极限应力依赖于其它单元的截面尺寸,当某个单元的极限应力大于许用应力时,会出现下列问题:(1)从尺寸优化的角度看,该单元的截面尺寸在优化过程中无法不断减小,当然也就无法删除.如果在优化过程中一旦删除了这一单元,也就无法恢复.(2)从拓扑优化的角度看,任何单元删除时,结构的拓扑发生了变化,该单元的应力事实上已不存在,相应的应力约束就不应该再考虑.优化问题的可行域是一个星形的可行域,具有退化的可行子域,通常的优化算法无法处理,所以必须采用类似于离散变量优化问题的处理方法.文[3]针对平面弹性体问题提出了一种非常有效的考虑应力约束的结构拓扑优化方法,本文针对薄板结构建立拓扑优化模型,分析极限应力对薄板拓扑优化的影响,并给出求解策略.最后进行了实例计算,结果令人满意.2 薄板结构优化中的极限应力由薄板弯曲理论知,在线弹性范围内有:Ρx =-E z 1-Λ2 2Ξ x 2+Λ 2Ξ y 2,Ρy =-E z 1-Λ2 2Ξ y 2+Λ 2Ξ x2,Σx y =-E z 1+Λ 2Ξ x y (1)式中,Ρx 、Ρy 、Σx y 为薄板某一点在X 、Y 方向的正应力和剪应力;W 为板中面挠度;E 、Λ为材料弹性模量和泊松比;z 为所求应力点距中面的距离.若薄板单元截面尺寸趋于零,即薄板厚第18卷第4期1997年12月A CTA M ECHAN I CA SOL I DA S I N I CA V o l .18 N o.4D ecem ber 1997Ξ国家自然科学基金、山东省自然科学基金资助项目.1996201215收到第1稿,1996212202收到修改稿.度趋于零,由(1)式得:li m z →0Ρx =0, li m z →0Ρy =0, li m z →0Σx y =0(2)可见,对薄板单元取厚度为设计变量,其极限应力为零,恒满足应力约束,单元的删除和恢复不会有特别的困难,可以用普通的尺寸优化方法来处理,当然由于单元厚度为零,结构分析和优化方法仍然要特殊处理.3 结构拓扑优化模型及求解将薄板可能占据的整个区域划分成有限元,假定所有单元的厚度是均匀的,把这一模型作为基本结构的初始设计,我们的结构拓扑优化模型成为:求:h 1,h 2,…,h N 及h ′m in V =∑Ni =1h i sis .t . Ρi ≤[Ρ]h i ∈(h ′,0), i =1,2,…,N ;h ′≤h Λ(3)式中,S i 为单元面积;h Λ为规定的厚度上限;Ρi 为i 单元的工作应力;[Ρ]为许用应力;N 为单元总数;每个单元的厚度只能取h ′或者零这两个离散值,这意味着我们要求得到的最优设计是一块可带孔洞的、厚度均匀的(厚度为h ′)薄板.当单元厚度h i 允许取连续值时,常采用满应力法求解上列优化问题,该法描述如下:优化过程中第j 次迭代时,在给定的厚度分布下,进行有限元计算,得到各单元的内力:M i x ,M i y ,M i x y ,i =1,2,…,N ,由薄板问题的应力计算公式及第四强度理论的相当应力计算公式容易得到等效应力计算公式,为书写方便写成如下一般形式:Ρi =f (M i x ,M i y ,M i x y ,h i ), i =1,2,…,N(4) 由满应力准则,得方程:[Ρ]=f (M i x ,M i y ,M i x y ,h i ), i =1,2,…,N(5) 由此解得:h i =h i ′,i =1,2,…,N(6)对新值h i ′检查收敛准则,若不满足则取h i ′为初始设计重复上述计算,否则取h i ′为最优解.为了适应优化模型(3)中单元厚度只允许取离散值h ′和零,将上列重设计公式修改为h j i =h j ′;h i ′≥C j th ,0; h i ′<C j th . i =1,2,…,N (7)其中,上标j 为迭代次数,h j ′=m in {h Λ,m ax (h i ′;i =1,2,…,N )},C j th 为第j 次迭代选用的将单元分为两类的阈值,式(7)也可以表示成按照阈值将所有单元分为两类:E j 1={i h i ′≥C j th ;i =1,2,…,N } E j 2={i h i ′<C j th ;i =1,2,…,N }(8)而h j i =h j ′;i ∈E j 1,0;i ∈E j 2. i =1,2,…,N(9) 阈值C j th 通过人机对话确定.人机对话时输入删除单元占全部单元的一个规定的百分比,按照这个百分比,删除单元厚度较小者,保留单元的厚度最小值即为相应的阈值C j th .采用上列算法存在两个问题,一是每次迭代要删除一些单元,造成了编程困难;二是单元一旦删除,再不能恢复.针对这二个问题,将迭代公式(9)修改为・813・ 固体力学学报 1997年第18卷h j i =h j ′,i ∈E j 1,Ε, i ∈E j 2. i =1,2,…,N (10)注意,小量Ε太大不能保证结构单元内力的计算精度,太小会使结构刚度矩阵接近奇异.其收敛准则为V j -V j -1V j ≤Γ1, M j -1N≤Γ2(11)其中,M j -1为E j -11和E j 1中元素变化的数量;V j =∑i ∈E j 1S i h j i;Γ1,Γ2为给定的小量;满足迭代准则后,删除属于E 2中的单元,即得到优化了的结构.注意,如果许用应力[Ρ]、厚度最大值h Λ给定的不合适,问题可能不存在可行解,上列算法也就不能成功.4 Ε的合理确定图1 基结构中删除部分用厚度为Ε的单元代替首先,参照文[5]的方法,讨论Ε的上限.假定从初始的基本结构区域R 0中取得了确定的结构R ,厚度为h 0,参见图1.Q =R 0-R 为孔洞部分.现在我们讨论Q 区域用厚度为Ε的单元代替后,对确定结构R 的影响.由于难以讨论对应力位移的影响,我们讨论对结构总刚度阵的影响,并用总刚度阵的迹(T race )来考查.单元划分如图1所示.为方便起见,还假定单元都是正方形.由于基结构一般都非常简单,满足这个假设是容易的.这样一来,各单元刚度阵[K ]e 的迹可表示为:T race[K ]e =h 3f (E ,Λ,a )(12)式中,h 为单元厚度,E 为材料的弹性模量,Λ为材料的泊松比,a 为表征单元大小的尺寸.由于各单元材料相同,尺寸也一样,所以,对各个单元来说,f (E ,Λ,a )具有同一值.对于确定结构区域R ,可将总刚度阵写成:[K ]0=AD D T B (13)其中,[B ]对应于确定结构R 与Q 相邻接的结点集B N D ;[A ]对应于确定结构R 中除去B N D 的结点集.若将Q 区域用厚度为Ε的单元补上,则R +Q 结构的总刚度阵可以写成:[K ]=A DD T B +∃B ∃G∃G T ∃C(14)其中∃B 、∃G 、∃C 为区域Q 对结构总刚度阵的贡献.设N Q 为孔洞区域Q 的单元个数;N R 为确定结构R 的单元个数,h 0为确定结构R 的单元厚度,则有:T race[∃B ]+T race[∃C ]=N Q Ε3f (E ,Λ,a )T race[K ]0=N R h 30f (E ,Λ,a )(15)・913・第4期 王 健等:应力约束下薄板结构的拓扑优化 由(15)式得总刚度矩阵迹的误差为:T race[K ]-T race[K ]0T race[K ]0=T race[∃B ]+T race[∃C ]T race[K ]0≤D p (16) 将(15)式代入(16)式得:N Q Ε3N R h 30≤D p (17) 由(17)式得:Ε≤h 03D P N R N Q(18) 通常,体积约束V V 0=80%～15%,由等厚度条件,N R N Q =4～15 85.我们取D P =1%,即保证总刚度阵的迹的误差在1%以下,则:Ε≤(0.342～0.121)h 0(19)这就是Ε的上限.下面再讨论Ε的下限:由于计算机的计算精度是有限的,当Ε与h 0相差太大时,各单元的刚度矩阵元素的值也相差很大,二者之差大到一定程度,组集总刚时小厚度单元刚度矩阵元素值的有效位全部丢失,相当于其厚度为零.以图1中的第i 号单元为例.如果这个单元是上述形式的小厚度单元,总刚度矩阵组集后,该单元厚度相当于零,即第j 号结点与整个结构失去联系,若该结点的结点自由度未在边界条件中予以约束,则相应自由度方向上将出现刚体位移.考虑到有限元程序大多采用双精度数进行运算,可以认为计算机存储的数据具有19位有效位.从理论上讲,只要满足(20)式,上述情况就不会出现.k m ax k m in ≤1019(20)式中k m ax 、k m in 分别为所有单元刚度矩阵元素的最大和最小值.事实上,当(20)式虽能满足但Ε与h 0相差仍然较大时,总刚度矩阵的主对角线元素值可能相差很大,造成病态的刚度矩阵,解不稳定.因此,我们要求满足式(21).k m ax k m in ≤109 或 h 30 Ε3≤109(21) 由(21)式得:Ε≥10-3h 0,这就是Ε的下限.数值结果表明,取Ε=0.01h 0较为合适.5 单元厚度的变换采用迭代公式(10)时,存在如下问题:第j 次迭代后属于E j 1的单元具有同一厚度,属于E j 2的单元也具有同一厚度,不利于迭代过程中E j 1、E j 2之间单元的交换,为解决这一问题,对迭代公式作如下修改:设第j 步迭代时得单元厚度h j :h j ∈{h j 1,h j 2,…,h j N }(22) 若用满应力法求各单元厚度时已注意到使下式成立:h j ≥Ε(23) 命:h j m in =Ε, h j m ax =m ax{h j 1,h j 2,…,h j N }, h j 0=C j th (24) 构造变换:q =h 0+(h j -h j 0)1 m (h j m ax -h j 0)1-1 m , h j 0≤h j ≤h j m ax ,h 0- h j -h j 0 1 m j m in -h j 0 1-1 m , h j m in ≤h j ≤h j 0.(25)・023・ 固体力学学报 1997年第18卷利用该变换可将集合{h j 1,h j 2,…,h j N }变换为一个新集合{q 1,q 2,…,q N }.我们可用新集合中的元素作为新一轮结构分析时的单元厚度值.容易验证,该变换有如下性质:(1) q ∈{q q ≥h j m in ,q ≤h j m ax }, h j ∈{h j 1,h j 2,…,h j N }且 h j 0≤q (h j )≥h j m ax ,h j 0≤h j ≤h j m ax h j m in ≤q (h j )<h j 0,h j m in ≤h j <h j 0(26)(2) q =q (h j )是单调递增的.(3) q =q (h j )在h j =C j th 附近有大的斜率,远离此值处斜率变小.采用这种变换后,使单元厚度向厚度上下限靠近了,并且,由于变换的连续性和单调性,在厚度上下限之间仍有很多单元,所以,单元恢复问题得到了较大改善.6 算例算例1:基本结构为一2400mm ×2400mm 的方板,划分为30×30个矩形薄板单元,一集中荷载作用于方板中心(圆点所示位置);方板四个角点处有铰链支承.优化结果如图2所示.从图2可以看出,优化结果完全符合“力的传递路线最短”原则,是合理的.图2 方板优化结果图3 长方板优化结果算例2:基本结构为一4000mm ×1440mm 的长方板,划分为50×18个矩形薄板单元,一集中荷载作用于长方板中心(圆点所示位置);长方板四个角点处有铰链支承.优化结果如・123・第4期 王 健等:应力约束下薄板结构的拓扑优化 图3所示.从图3可以看出,当初始结构从方板变为长方形板以后,优化结果也发生了变化.其变化的原因是由于长方形板横向尺寸较小,图3中的横梁刚度较大,力由横梁传给纵梁,再传给支座,基本符合“力的传递路线最短”原则.特别应该注意的是,在纵横梁交接处有一过渡单元存在,相当于过渡圆角,用以降低应力集中,是非常合理的.7 结论本文优化方法考虑了应力约束,采用修改的满应力方法求解,每轮优化结果都进行变换.所有这一切都保证了这一方法的实用性和科学性.从算例来看,采用方板和长方板作为基本结构得到了不同的最优拓扑,并且,这些结构是符合常理的.但也必须看到,这种方法还有很多问题需要研究.文中给出的是单工况下的优化结果,并且只考虑了应力约束情况,多工况、多约束下的结构拓扑优化设计方法是以后应该研究的问题.参 考 文 献1 Yang R J ,Chuang C H .Op ti m al topo logy design u sing linear p rogramm ing .Compu ters &Structu res ,1994,52(2):265～2752 Yang R J ,Chahande A I .A u tomo tive app licati on s of topo logy op ti m izati on .Stru Op t ,1995,9:245～2493 程耿东,张东旭.受应力约束的平面弹性体的拓扑优化.大连理工大学学报,1995,35(1):1～94 Cheng G D ,J iang Z .Study on topo logy op ti m izati on w ith stress con strain ts.Eng Op t ,1992,20:129～1485 张东旭.连续体结构拓扑优化及形状优化若干问题.大连理工大学博士学位论文,1992OPT I M AL T OPOLOG Y D ESIGN OF TH IN PLATE W ITHSTRESS CONSTRA INTSW ang J ian Cheng Gengdong(D ep a rte m en t of E ng ineering M echan ics ,D a lian U n iversity of T echnology ,D a lian ,116023)Abstract Topo logy op ti m izati on fo r th in p late is studied .L i m iting stress of th in p late is investigated .M odel of topo logy op ti m izati on is estab lished .Som e p rob lem s in the p rocess of op ti m izati on are discu ssed .N um erical exam p les show the efficiency and effec 2tiveness of th is m ethod .Key words structu ral topo logy op ti m izati on ,stress con strain ts ,th in p late ,li m iting stress ,fu lly stress m ethod・223・ 固体力学学报 1997年第18卷。
多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计
多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计近年来，连续体结构拓扑优化设计在工程实践中得到了广泛应用。
与传统的设计方法相比，拓扑优化设计可以有效地提高结构的性能，减轻重量，降低成本，在保证结构强度的前提下提高结构的刚度和稳定性。
然而，传统的拓扑优化设计通常只考虑单一工况的力约束，没有考虑到多重工况的影响，因此在实际应用中存在一定的局限性。
为了更好地适应实际工程问题，对于连续体结构拓扑优化设计，需要考虑多工况应力约束的问题。
在多工况应力约束下的连续体结构拓扑优化设计过程中，需要考虑以下几个方面：一是选择适当的力约束范围和多重工况组合，确定结构在各个工况下的最大应力值；二是制定合理的优化目标和约束条件，并建立数学模型；三是使用优化方法进行求解，并进行需要的后处理操作。
在选择力约束范围和多重工况组合时，需要考虑结构在不同工况下的应力分布情况，以及工况的概率分布。
通过对不同工况下结构的最大应力值进行统计分析，可以确定合理的力约束范围。
同时，也需要确定多重工况的组合方式，以保证优化结果的稳定性和实际可行性。
在制定优化目标和约束条件时，需要综合考虑结构的强度、稳定性、重量和成本等方面的要求。
例如，可以设置最小重量作为优化目标，并设置最大应力值和最大位移等作为约束条件。
此外，还需要考虑诸如最小材料厚度等设计限制条件，以保证设计的可行性。
在使用优化方法进行求解时，常用的方法包括遗传算法、粒子群优化算法、差分进化算法等。
这些方法可以根据优化目标和约束条件，对结构的形态进行调整，以达到最优的优化结果。
同时，在进行后处理操作时，也需要考虑到结构的可制造性和实际应用需求，对优化结果进行进一步修改和调整。
总的来说，多工况应力约束下的连续体结构拓扑优化设计是一项复杂而又具有挑战性的工作。
在实际应用中，需要综合考虑多种因素，建立合理的优化模型，选择适当的优化方法，以达到最优的优化结果。
同时，也需要考虑到结构的可行性和实际应用需求，为工程实践提供有效的技术支持。
基于应力约束的框架结构拓扑优化研究
总762期第二十八期2021年10月河南科技Journal of Henan Science and Technology 交通与建筑基于应力约束的框架结构拓扑优化研究何一凡1赵 磊2（1.长沙理工大学汽车与机械工程学院，湖南 长沙 410014；2.长沙理工大学土木工程学院，湖南 长沙 410014）摘 要：针对工程框架结构的强度需求，建立了应力和体积约束下框架结构柔顺度最小化的拓扑优化模型。
首先，为解决应力优化过程中的应力奇异和大量局部约束问题，利用qp应力松弛技术和p范数凝聚函数法构建了应力约束的归一化等效应力约束方案。
其次，提出了基于凝聚应力和变体积约束限措施的修正方案，以克服优化过程中应力约束严重非线性和最大局部应力波动等问题。
再次，导出了目标函数和应力约束的灵敏度公式，并采用移动渐近线方法算法进行优化求解。
最后，给出优化算例，验证了本文方法的正确性与可行性。
关键词：拓扑优化；框架结构；应力约束；应力松弛；凝聚函数法中图分类号：TB21 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2021）28-0087-07Research on Topology Optimization of Frame Structure Based on Stress ConstraintHE Yifan1ZHAO Lei2（1.School of Automotive and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha Hunan 410014；2.School of Civil Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha Hunan 410014）Abstract: For the strength requirements of the engineering frame structures, this article establishes a topology optimization model that minimizes the flexibility of the frame structure under stress and volume constraints. In order to solve the stress singularity and deal with a large number of local constraints during the stress optimization process, a normalized equivalent stress constraint scheme for stress constraints is constructed by using the qp stress relaxation technique and the p-norm aggregation function method. Subsequently, a modified scheme based on the aggregation stress and the variable volume constraint limit measures is proposed to overcome the nonlinear problem of aggregation stress constraints and the maximum local stress fluctuation problem during an optimization process. The sensitivity formulas of the objective function and stress constraints are derived, and the MMA algorithm is adopted to optimize the model. Finally, the optimization example given verifies the correctness and feasibility of the proposed method.Keywords: topology optimization；frame structure；stress constraint；stress relaxation；aggregate function method拓扑优化作为结构创新设计的重要手段，已在机械、土木及航空航天等工程领域得到了广泛应用。
钢结构设计中的结构拓扑优化
钢结构设计中的结构拓扑优化在钢结构设计中，结构拓扑优化是一种旨在改善结构性能并减少材料使用量的有效方法。
通过对结构的拓扑进行优化，可以达到减轻负荷、提高强度和刚度的目的。
本文将介绍结构拓扑优化的基本原理、常见的优化方法以及在钢结构设计中的应用。
一、结构拓扑优化的基本原理结构拓扑优化是指在给定的设计空间内，通过调整结构的几何形状和分布，使得结构在满足一定约束条件下，具有最优的性能。
其基本原理包括以下几点：1. 设计变量：设计变量是指通过改变结构的几何形状和布局来实现结构优化的参数。
常见的设计变量包括节点的位置、截面的形状和尺寸等。
2. 材料特性：材料的力学性能对结构的性能和优化结果具有重要影响。
在结构拓扑优化中，常常需要考虑材料的强度、刚度、稳定性等特性。
3. 约束条件：约束条件是指在结构优化过程中需要满足的条件，包括几何约束、强度约束、位移约束等。
这些约束条件可以通过限制设计变量的取值范围来实现。
4. 目标函数：目标函数是结构性能的衡量指标，常用的目标函数包括结构的质量、刚度、稳定性、自振频率等。
通过调整设计变量，使得目标函数取得最优值。
二、常见的结构拓扑优化方法1. 有限元法：有限元法是一种求解结构力学问题的数值方法。
在结构拓扑优化中，有限元法常用于求解结构的强度、位移、应力等参数，作为目标函数和约束条件。
2. 分支定界法：分支定界法是一种通过二叉树结构不断分隔设计空间，以确定最优解的优化方法。
通过逐步减小设计空间，可以找到最优结构的设计变量。
3. 遗传算法：遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化方法。
通过对设计变量进行随机变异和交叉操作，生成新的设计变量，并根据目标函数进行适应度评估，不断迭代以搜索最优解。
4. 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种通过引入拉格朗日乘子来处理约束条件的优化方法。
通过将约束条件转化为目标函数的形式，将原优化问题转化为无约束问题，从而求解最优解。
三、钢结构设计中的应用案例1. 钢桁架结构拓扑优化：钢桁架是一种常用的钢结构形式，通过拓扑优化可以实现桁架杆件的合理布局和尺寸优化，达到减少材料使用量、提高承载能力的目的。
钢结构的设计优化与性能提升
钢结构的设计优化与性能提升钢结构作为一种重要的建筑结构形式，在现代建筑领域得到了广泛的应用。
为了提高钢结构的安全性、可靠性和经济性，设计优化与性能提升成为了一个重要的研究方向。
本文将从设计优化与结构性能提升的角度出发，探讨钢结构的相关问题，并介绍一些常见的优化方法和改进技术。
一、设计优化1. 结构拓扑优化结构拓扑优化是指通过改变结构的形态，优化材料配置以减少结构质量的一种方法。
目标是使结构在给定约束条件下的重量最小化。
常见的拓扑优化方法包括：采用格子模型、遗传算法、拓扑检查法等。
通过优化后的设计，可以充分利用材料的性能，提高结构的承载能力和刚度。
2. 截面尺寸优化截面尺寸优化是指通过调整结构截面的尺寸和形状，使结构在满足强度、刚度和稳定性等要求的前提下，减小结构的材料损耗。
截面尺寸优化可以通过数值计算方法，比如有限元分析，进行求解。
合理的截面尺寸优化可以减轻结构自重，提高结构的抗震性能和整体稳定性。
3. 材料优化材料优化是指通过选择合适的材料和材料特性，改善结构的性能。
现代钢材种类繁多，如碳素钢、低合金钢、高强度钢等。
不同的钢材具有不同的特性，可以根据结构需求选择适合的材料。
此外，还可以通过合金化、热处理等手段改善钢材的性能，提高结构的耐久性和抗腐蚀性。
二、性能提升1. 抗震性能提升钢结构具有优良的抗震性能，然而，在地震频发地区或高度地震烈度区域，进一步提升钢结构的抗震性能仍然是一个重要的任务。
常见的抗震性能提升措施包括：增加剪力墙、加设剪力支撑、增加钢筋混凝土核心筒等。
这些措施可以提高结构的刚度和稳定性，减小结构的振动响应和变形。
2. 火灾安全性提升钢结构在火灾发生时具有较好的防火性能，然而，为了进一步提高结构的火灾安全性，可以采取一些措施。
例如，应用防火涂料和防火板材料进行阻燃处理，采用防火隔离带，设计合理的防火分区等。
这些措施可以减缓火势蔓延，延长结构的耐火时间，增加人员疏散时间。
3. 可持续性提升钢结构的可持续性是近年来越来越受到关注的问题。
位移约束下预应力钢结构拓扑优化设计
简单 ， 通用性好 ， 易于工程技术人员掌握． 采用 已有的有限元分析软件 ， 通过迭代过程在计 算机上实现． Ｓ Ｅ Ｏ方法不仅可解决结构 的尺寸优化 ， 而且还可实现形状和拓扑优化． 本文 针 对位移 约束 下设计 变量包 括索 力值 和结构 拓 扑 的预应 力 钢 结构 优 化设 计 问题 ， 用 两 采 阶段设计方法 ： 首先以结构储存应变能最小 （ 刚度最大） 确定施加在索上的预应力 ， 然后 通 过 Ｅ Ｏ方法逐 步删 除低位 移灵 敏 度单 元 以减 轻结 构 重 量 ， 环 迭 代 ， 至 索力 值 和 结 Ｓ 循 直 构 拓扑达 到最 优． 目的在 于为有位 移约束 的预 应 力钢 结 构设 计 提供 理 想 的结 构 拓 扑构 型 和合适的索力值 ， 同时丰富和发展预应力钢结构设计理论．
收 稿 日期 ：０ ８１－６； 订 日期 ：０ ９１ －３ ２０ —０ ０ 修 ２ ０ －１２
基金项 目： 国家 自然科学基金 （ ０７ ０ ２） 北京 市科委 科技奥运 专项基 金（／０ ５９ ０ ０ １ ） 河北省 科技 Ｊ Ｈ ５６８１ ； ７ ０ １ １４ １１ ； ） 『项
（７ １６ ８ ０ ２ ５ １４）
其反 ． 结构 优化 设计 在 于 寻求既 安全 又 经济 的结 构 形 式 ， 化 的 目标 通 常是 求 解 最小 重 量 优
（ 造价 最省 ） 或 的结构 ， 同时必 须 满 足一 定 的约 束 条 件 ， 以获 得 最 佳 的 静力 或 动力 等 性 态 特征 ． 钢结 构 中 ， 论是 施加 预应 力 还是 进行 优化 设计 ， 目的都是 为 了节 省钢 材 、 在 无 其 降低
第 ｌ ４期 ８卷 ２１ ００年 ８月
应用 基 础 与工程 科 学学 报
拓扑优化设计在材料力学中的应用
拓扑优化设计在材料力学中的应用引言：随着先进制造技术的快速发展和对材料性能日益严苛的要求，材料力学中的拓扑优化设计逐渐成为了一种重要的方法。
拓扑优化设计通过调整结构中的材料分布，以实现材料的最佳性能。
在设计过程中，通过不断去除不必要的材料，改变结构形状，使得结构更加轻量化、高强度，并且可适应多种应力情况。
本文将着重探讨拓扑优化设计在材料力学中的应用，并介绍其优势和挑战。
一、拓扑优化设计的原理和方法拓扑优化设计是一种常用的结构优化方法，其主要通过改变结构的拓扑形状和材料分布来实现对结构性能的优化。
一般来说，拓扑优化设计分为两个主要步骤：排除材料和连通域分析。
排除材料是指通过排除结构中不必要的材料来实现轻量化设计。
这一步骤的目标是找到结构中的冗余材料，并将其去除，以降低结构的质量和成本。
目前常用的排除材料方法有材料密度法和材料节点法。
材料密度法通过将结构中的各个区域的材料密度变量化，通过最小化某个目标函数来找到最优的材料分布。
而材料节点法则是根据每个节点的状态（有无材料）进行分析，将分析结果作为材料分布的依据。
连通域分析是指需要保证结构的连通性，以确保结构的稳定性和强度。
这一步骤将排除材料后的结构，通过连接整个结构，以确保力能够传递。
连通域分析方法有元素的稳定性和灵敏度法以及曲线估算法等。
二、拓扑优化设计在材料力学中的应用领域1. 轻量化设计拓扑优化设计在材料力学中的最主要应用领域之一是轻量化设计。
通过排除不必要的材料，优化结构的拓扑形状，能够显著减少结构的重量，同时保持结构的强度和稳定性。
尤其对于汽车、飞机等交通工具领域来说，轻量化设计可以显著降低能耗和排放，提高能源利用率。
2. 结构优化和材料性能的统一拓扑优化设计可以将材料和结构的设计统一起来，使得结构的形状和材料的分布可以被同时考虑。
通过优化结构的形状和材料的分布，可以实现材料的最佳应力分布，提高材料的加载能力和强度。
这对于材料力学中的应力分析、变形分析以及疲劳分析等都具有重要的意义。
带有预应力的连续体组合结构拓扑优化
带有预应力的连续体组合结构拓扑优化在现代工程领域，结构的优化设计一直是一个备受关注的重要课题。
随着科技的不断进步和工程需求的日益复杂，带有预应力的连续体组合结构拓扑优化逐渐成为研究的热点。
这种优化方法能够在满足结构性能要求的前提下，最大程度地减轻结构重量、提高结构效率，从而为工程应用带来显著的经济效益和技术优势。
那么，什么是带有预应力的连续体组合结构呢？简单来说，它是由多个连续体部件通过特定的连接方式组合而成，并在其中施加了预应力。
预应力的引入可以改变结构的受力状态，提高其承载能力和稳定性。
而连续体组合结构则能够充分发挥不同材料和部件的性能优势，实现更复杂的功能和更高的性能要求。
在进行拓扑优化时，我们的目标是在给定的设计空间内，找到最优的材料分布，使得结构在满足各种约束条件（如强度、刚度、稳定性等）的同时，达到某种性能指标的最优值（如最小重量、最小变形等）。
这是一个极具挑战性的任务，因为涉及到大量的变量和复杂的数学模型。
对于带有预应力的连续体组合结构，拓扑优化的过程更加复杂。
首先，需要准确地建立结构的力学模型，考虑预应力的施加方式和效果，以及各个部件之间的相互作用。
这需要对力学理论和数值分析方法有深入的理解和掌握。
其次，选择合适的优化算法也是至关重要的。
常见的优化算法包括基于梯度的方法和启发式算法等。
不同的算法在求解效率和优化结果的质量上可能存在差异，需要根据具体问题进行选择和调整。
在实际应用中，带有预应力的连续体组合结构拓扑优化具有广泛的应用前景。
例如，在航空航天领域，飞机的机翼和机身结构可以采用这种优化方法，以减轻重量、提高飞行性能；在桥梁工程中，预应力混凝土桥梁的设计可以通过拓扑优化来优化结构布局，提高桥梁的承载能力和耐久性；在机械工程中，各种复杂的机械零部件也可以通过这种方法进行优化设计，提高其工作性能和可靠性。
然而，要实现有效的拓扑优化，还面临着一些技术难题和挑战。
一方面，由于结构的复杂性和多物理场的耦合作用，建立准确可靠的数值模型往往非常困难。
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收稿日期:2007-08-20;修改稿收到日期:2008-10-23 基金项目:国家自然科学基金(50678012);北京市科委科技奥运专项基金(Z0005191040111);河北省科技厅(072156184)资助项目作者简介:杨海军*(1969-),男,博士,副教授(E -mail:yangh j@);张爱林(1961-),男,教授,博士生导师;姚 力(1967-),女,硕士,副教授.第26卷第6期2009年12月计算力学学报C hinese Journal of C omputational MechanicsV ol.26,N o.6December 2009文章编号:1007-4708(2009)06-0766-06应力约束下预应力平面实体钢结构拓扑优化设计杨海军*1,2, 张爱林1, 姚 力2(1.北京工业大学建筑工程学院,北京100022;2.河北建筑工程学院数理系,张家口075024)摘 要:对预应力平面实体钢结构拓扑优化设计问题进行研究,建立了以索力值、单元尺寸和结构拓扑为设计变量,以应力为约束条件,以结构重量最小为目标函数的数学优化模型。
在求解方法上,首先以满应力设计准则法建立索力值与结构重量之间的优化模型,通过该模型的求解确定索力值,并通过满应力设计选取单元尺寸,然后对单元体厚度按阈值进行分类,从而删除低厚度单元实现结构的拓扑优化。
算例结果与预应力钢结构理论相吻合,表明本文所提出的方法是有效的,可为预应力钢结构体系创新提供理论方法。
关键词:预应力钢结构;索力值优化;尺寸优化;拓扑优化;满应力设计中图分类号:T U 394 文献标识码:A1 引言预应力钢结构是将预应力与钢结构相结合的新型结构体系,在桥梁、工业厂房、大型体育场馆中得到广泛的应用。
对预应力钢结构进行优化设计不仅可以达到节约钢材、降低造价及提高结构承载能力的目的[1],而且还可以创造出预应力钢结构新体系。
因此,预应力钢结构优化设计是值得进一步研究的重要课题。
在研究层次上,预应力钢结构优化设计与普通结构一样可分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化和布局优化等,然而预应力钢结构优化设计在设计变量上增加了布索方案和索力值。
设计变量维数的增加无疑会给预应力钢结构的优化设计带来困难,使得对预应力钢结构优化设计的研究落后于普通结构的优化设计。
目前,对于预应力钢结构尺寸优化设计,多见于索-桁架结构体系,由于直接影响结构重量的是截面尺寸变量,而预应力对结构重量的影响是间接的,因此多采用分级算法进行优化设计[2-4]。
文献[5]通过满应力设计准则给出了结构重量和索力值的显式表达式并将其应用于索-桁架结构形状优化设计[6],而预应力钢结构的拓扑优化设计却很少有文献涉及。
本文就设计变量包括索力值、单元尺寸、结构拓扑的预应力平面实体钢结构优化设计问题,建立了以应力为约束条件,以结构重量最小为目标函数的数学优化模型。
在求解方法上,采用三变量两阶段设计方法:首先依据满应力准则法给出了结构重量随索力值变化的数学优化模型,通过该模型的求解,得到使结构重量最小的最优索力值,并通过满应力设计选择结构在预应力和外荷载共同作用下的单元尺寸;然后对单元体厚度按阈值进行分类,从而删除低厚度单元实现结构的拓扑优化,循环迭代,直至满足收敛准则。
2 优化的数学模型本文建立的预应力平面实体钢结构拓扑优化设计的数学模型为 求:T =T 1,T 2, ,T K T,= 1, 2, , NT、 ,和A =A 1,A 2, ,A MT ,m in.W = Ni=1iAii +Mj =1j l jAjs.t. ii i =1,2, ,N +Mi ( ,0)(i =1,2, ,N ),uA i A i A i i=1,2, ,MT k 0k=1,2, ,K(1)式中T为索单元上施加的预拉力向量,K为结构独立布索数目; 为固定单元网格厚度向量,取 和0两离散值,其中0表示对应单元被删除;N为初始结构固定平面实体单元网格数目, 为固定单元厚度最终设计变量值, u为设计变量 规定的上限值;A为结构中索和撑杆单元横截面尺寸向量, A i和A i分别为其尺寸约束上、下限值,M为索和撑杆单元数目,W为结构总重量,A0i为第i个固定平面实体单元面积, 为单元密度,l j为索和撑杆长度, i为第i单元在预应力和外荷载共同作用等效应力的大小, i为单元对应材料的许用应力。
3 优化方法数学模型(1)中涉及三类设计变量:施加在索上的预拉力T=T1,T2, ,T K T,单元尺寸 和A=A1,A2, ,A M T,结构拓扑 = 1, 2, , N T i ,0。
其中 为离散变量,而A和T为连续变量。
索上施加预拉力的大小直接影响结构单元尺寸和结构拓扑,即三类变量之间存在耦合关系。
相对于普通结构的优化设计来说,这种耦合关系为预应力钢结构拓扑优化设计带来了更大的难度。
因此合理处理三类变量之间的关系就成为预应力钢结构拓扑优化设计的关键。
对于拉索式预应力钢结构体系,预应力荷载是人为施加在结构上自平衡的一种特殊形式的荷载,其大小在满足全部约束的条件下并不是确定值。
因此首先要确定施加在结构上的索力值,然后进行单元尺寸的选择和结构拓扑优化设计,三类设计交替进行,直至索力值、单元尺寸和结构拓扑最优。
3.1 索力值优化对于索力值的优化设计,工程中多见于斜拉索桥结构[7-9],采用有约束或无约束的最小应变能方法确定施加在结构上的索力值。
该方法能使结构获得最大的广义刚度,但在含有尺寸优化的模型中,并不一定是结构的最轻设计。
预应力钢结构是通过在索上施加预应力,使结构大部分构件产生的应力与设计荷载产生的应力符号相反,在结构中产生有利的应力分布从而使得大部分构件得到卸载,构件应力的降低会导致结构重量的减轻。
因此,本文中索力值的确定方法为:求施加在结构上的索力值,使得结构在预应力和外荷载共同作用下结构重量最小。
3.1.1 优化的数学模型求:T=T1,T2, ,T K Tmin.W=Ni=1i A0i i+ M j=1 j l j A js.t. i i=1,2, ,N+MT k 0k=1,2, ,K(2)各式物理意义同式(1)。
假设在第v步迭代后结构的拓扑设计变量为 v= v1, v2, , v N T,尺寸变量 v,A v={A v1,A v2, ,A v M}T为已知。
对于线弹性、小变形结构体系,通过结构有限元分析,结构在外荷载作用下第i个平面实体单元应力为p ix, p iy, p ix y i=1,2, ,N索和撑杆应力为 p j j=1,2, ,M。
在索上施加单位预拉力T k=1(k=1,2, ,K),第i平面实体单元的应力为0ix k, 0iy k, 0ixy k(i=1,2, ,N),(k=1,2, ,K)索和撑杆应力为0jk(j=1,2, ,M),(k=1,2, ,K) 假设在预应力和外荷载共同作用下第i个平面实体单元应力为ix, iy, ix y i=1,2, ,N索和撑杆应力为 j(j=1,2, ,M)。
按照线弹性叠加原理,第i个平面实体单元在荷载和预应力共同作用下的应力为ix= P ix+ Kk=10ix k T kiy= P iy+ Kk=10iy k T kix y= P ixy+ Kk=10ixy k T ki=1,2, ,N767第6期杨海军,等:应力约束下预应力平面实体钢结构拓扑优化设计索和撑杆的应力为j= p j+ K k=1 0jk T k j=1,2, ,M对于平面应力问题,第i个平面实体单元在预应力和荷载共同作用下的相当应力(Von Mises应力) vm i定义为vm i= 2ix+ 2iy- ix iy+3 2ixyi=1,2, ,N (3)由于在索力值优化设计过程中没有单元的删除操作,以单元体厚度作为设计变量,按照满应力设计方法,在第v+1步迭代时,单元体厚度为h v+1i= v i vm ii=1,2, ,N(4)索和撑杆截面尺寸作为设计变量,按照满应力选择的截面尺寸为A v+1j=A v j jj=1,2, ,M(5)则在第v+1步迭代时,结构的总重量为W v+1= Ni=1 i A0i h v+1i+ Mj=1j l j A v+1j=Ni=1i A0i v i vm i + M j=1 j l j A v j j =N i=1w v eivm i+Mj=1w v jjj(6)于是,索力值优化的数学模型为 求:T=T1,T2, ,T K Tm in.W v+1= Ni=1 vm iwvei+Mj=1jj wvjs.t.T k 0k=1,2, ,K(7)式中w v ei= i A0i v i和w v j= j l j A v j分别为第v步迭代后第i个平面实体单元重量、第j索或撑杆重量。
经过第v步结构重分析后,单元应力已知,通过满应力设计,将尺寸变量转化为式(7)的索力值变量,应力约束条件也按照满应力设计转化为单元满应力,因此索力值优化数学模型式(7)的约束条件只要求设计变量非负。
由于预应力钢结构至少应该是一次超静定结构,在理论上满应力解不一定是最小重量解,实践表明在很多情况下满应力解仍能给出最小重量解或接近于最小重量解,能够满足工程设计的需要。
3.1.2 索力值优化方法数学模型式(7)目标函数较为复杂,难于推导其导数表达式。
预应力钢结构的布索数目远远少于构件数目,也就是式(7)中变量的数目不多。
因此本文针对变量数目少的最优化问题,采用程序简单且有效的步长加速法求解。
然而,步长加速法是无约束的直接优化方法,为了保证设计变量非负条件,在寻优步长不大的情况下,如果出现某索力值小于零的情形,令该索力值为零,进入下一步循环迭代,直至收敛。
这样式(7)就可用步长加速法求解。
3.2 尺寸和结构拓扑优化3.2.1 尺寸优化求得施加在结构上的索力值后,结构中的索和撑杆单元按式(5)选取截面尺寸。
平面实体单元以单元厚度为设计变量,按式(4)得各单元的厚度值h v+1i i=1,2, ,N。
由于各单元具有不同的 vm i,从而求得的h v+1i也就不同,为了使得保留单元具有相同的厚度,求得设计变量的新值后,可以按照阈值将单元分为两类[10]:E v+11=i|h v+1i C v+1th i=1,2, ,NE v+12=i|h v+1i<C v+1th i=1,2, ,N(8) 而h v+1i =i E v+110i E v+12i=1,2, ,N(9)式中C v+1th为第v+1次迭代选用的将单元分为两类的阈值,h v+1i 为第v+1步迭代时平面实体单元的厚度,其中=min u,m ax h v+1i i=1,2, ,N为求得的单元厚度。