函数的最值专题复习课解读
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不一定因为最值点不一定是区间内的点.，有可能是端点
5、求最值的步骤. (1)建立目标函数; (2)求最值; 求端点的函数值与极值然后比较大小
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指定区间上连续函数的最值的求法
步骤:
1.求最值点点可疑点(可能是导数为0的点或导数不存 在的点或端点) 2.把可疑值进行比较,然后比较大小,那个大那个就是最大值, 那个小的就是最小值;
与最小值.
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 12x在[3,4]上连续 , 在该区间上 解: 因 存在最大值与最小值 . 又 f ( x) 6 x 2 6 x 12 6( x 2)( x 1) 令 f ( x) 0, 得 x1 2, x2 1. 计算 f ( 2) 20 f (1) -7 f ( 3) 9 f (4) 128
解方程 f ( x ) 0, 得 x1 2, x2 1.
150
上的最大值与最小值.
f ( 3) 23; f (1) 7;
f ( 2) 34;
f (4) 142;
100
函数的最大点是 4，最大值是 142； 函数的最小点是 1； 最小值是 7
50
0 -3
-2
-1
0
1
其中以y380k为最小 因此当AD15km时 运费最省
特殊情况下的最大值与最小值
如果 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有 一个极点x0 那么 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值
y5kCD3kDB (k是某个正数)
即
y 5k 400 x2 3k (100 x) (0x100)
A 20km 100km x D DB100x B
CD 400 x 2
例2 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站 B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁 路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的 运费最省 问D点应选在何处？ 解 设ADx(km) B与C间的运费为y 则
比较各值,得 最大值f(4)=128
最小值f(1)= -7
例2 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站 B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁 路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的 运费最省 问D点应选在何处？ 解 设ADx(km) B与C间的运费为y 则
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例3 把直径为d的圆木锯成截面为矩形 的梁 问矩形截面的高h和宽b应如何选择才 能使梁的抗弯截面模量W (W 1 bh 2 )最大? 6 解 把W表示成b的函数 1bh 1b 22 22 W W 1 bh 1 b (( d d22 b b ))(0< (0< b b < < d d )) 6 6 6 6 1 1d 1 2 2 得 b d b 由 W (d 3b ) 0 得函数的唯一驻点 0 0 3 3 6
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最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下， 怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问
题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨
论问题的两个方面：最值的存在性 ；最值的求法。 先看下面图像 ,直观感知最高点最低点以及与极点端点之间的关系
注意 ：我们可以扩大可疑的范围，把最值点的可疑点认为是导数为0 的点、导数不存在的点与端点，所以求出导数为0点、导数不存在的点 后，直接把这三种可疑点的函数值求出后然后比较即可，而不再判断 是否为极点，这样有时会简单些
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例1 求函数 f ( x ) 2 x 3 3 x 2 12x在[3,4]上的最大值
2
3
4
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1注意:最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
2、在闭区间上连续的函数一定存在最值
3、连续函数最值点的可疑点是端点与极点，极点的 可疑点是导数为0或导数不存在的点 4、思考题：若目标函数只有一个极点该点函数值一定
最大(小）值吗
3.7 函数的最值
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函数最值定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M) (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M 那么我们称M是函数y=f(x)的最大值(最小值)
注意:
(1)最值首先是函数值
(2)最值是所有函数值中的最大或最小值
a
b
由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在极点处， 也可
能发生在区间的端点。因此 , 函数的最大最小值点应从：极点 端点 中去寻找， 这两种点中，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点， 因此求 : 最大最小点的步骤应为 解指定区间上连续函数的最值 步骤: 1.求极点(极点可能为导数为0的点也可能是导数不存在的点);
y5kCD3kDB (k是某个正数)
即
y 5k 400 x2 3k (100 x) (0x100) 由 y k ( 5x 3) 0 得 x15 2 400 x
由于当x=0时,y400k 当x=15时y380k
当x 100 时，y 500k 1 1 52
2.求极值与端点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,
那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
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快速一练
例 求函数 y = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 14 的在[-3, 4]
解 f ( x) 6( x 2)( x 1) 比较函数在稳定点和区间端点处的函数值：
5、求最值的步骤. (1)建立目标函数; (2)求最值; 求端点的函数值与极值然后比较大小
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指定区间上连续函数的最值的求法
步骤:
1.求最值点点可疑点(可能是导数为0的点或导数不存 在的点或端点) 2.把可疑值进行比较,然后比较大小,那个大那个就是最大值, 那个小的就是最小值;
与最小值.
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 12x在[3,4]上连续 , 在该区间上 解: 因 存在最大值与最小值 . 又 f ( x) 6 x 2 6 x 12 6( x 2)( x 1) 令 f ( x) 0, 得 x1 2, x2 1. 计算 f ( 2) 20 f (1) -7 f ( 3) 9 f (4) 128
解方程 f ( x ) 0, 得 x1 2, x2 1.
150
上的最大值与最小值.
f ( 3) 23; f (1) 7;
f ( 2) 34;
f (4) 142;
100
函数的最大点是 4，最大值是 142； 函数的最小点是 1； 最小值是 7
50
0 -3
-2
-1
0
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其中以y380k为最小 因此当AD15km时 运费最省
特殊情况下的最大值与最小值
如果 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有 一个极点x0 那么 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值
y5kCD3kDB (k是某个正数)
即
y 5k 400 x2 3k (100 x) (0x100)
A 20km 100km x D DB100x B
CD 400 x 2
例2 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站 B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁 路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的 运费最省 问D点应选在何处？ 解 设ADx(km) B与C间的运费为y 则
比较各值,得 最大值f(4)=128
最小值f(1)= -7
例2 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站 B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁 路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C间的 运费最省 问D点应选在何处？ 解 设ADx(km) B与C间的运费为y 则
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最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下， 怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问
题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨
论问题的两个方面：最值的存在性 ；最值的求法。 先看下面图像 ,直观感知最高点最低点以及与极点端点之间的关系
注意 ：我们可以扩大可疑的范围，把最值点的可疑点认为是导数为0 的点、导数不存在的点与端点，所以求出导数为0点、导数不存在的点 后，直接把这三种可疑点的函数值求出后然后比较即可，而不再判断 是否为极点，这样有时会简单些
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例1 求函数 f ( x ) 2 x 3 3 x 2 12x在[3,4]上的最大值
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最值是整体概念而极值是局部概念.
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3、连续函数最值点的可疑点是端点与极点，极点的 可疑点是导数为0或导数不存在的点 4、思考题：若目标函数只有一个极点该点函数值一定
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一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M) (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M 那么我们称M是函数y=f(x)的最大值(最小值)
注意:
(1)最值首先是函数值
(2)最值是所有函数值中的最大或最小值
a
b
由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在极点处， 也可
能发生在区间的端点。因此 , 函数的最大最小值点应从：极点 端点 中去寻找， 这两种点中，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点， 因此求 : 最大最小点的步骤应为 解指定区间上连续函数的最值 步骤: 1.求极点(极点可能为导数为0的点也可能是导数不存在的点);
y5kCD3kDB (k是某个正数)
即
y 5k 400 x2 3k (100 x) (0x100) 由 y k ( 5x 3) 0 得 x15 2 400 x
由于当x=0时,y400k 当x=15时y380k
当x 100 时，y 500k 1 1 52
2.求极值与端点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,
那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
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快速一练
例 求函数 y = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 14 的在[-3, 4]
解 f ( x) 6( x 2)( x 1) 比较函数在稳定点和区间端点处的函数值：