精选-高考数学二轮专题复习大题规范练五文

大题规范练(五)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin B 2

cos B 2

＝b sin

π

3

cos A .

(1)求角A ；

(2)若a ＝2，求△ABC 的周长的取值范围．

解：(1)在△ABC 中，因为a sin B 2

cos B 2

＝b sin π

3

cos A ，

所以a sin B ＝3b cos A ，

根据正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 因为sin B ≠0，所以tan A ＝3， 因为0＜A ＜π，所以A ＝π

3

.

(2)由(1)知，A ＝π3

，根据正弦定理

b

sin B ＝

c sin C ＝a sin A

，

得

b sin B ＝

c sin C ＝2sin

π3

＝433

， 所以b ＋c ＝43

3

(sin B ＋sin C ) ＝

433⎣⎢⎡⎦

⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛

⎭⎪⎫sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝

433⎝ ⎛⎭

⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝4sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫B ＋π6.

因为0＜B ＜

2π3，π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫B ＋π6≤1，

所以2＜b ＋c ≤4，所以4＜a ＋b ＋c ≤6， 所以△ABC 的周长的取值范围为(4，6]．

2．(本题满分12分)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，

PA ⊥平面ABCD ，△PAD 是等腰三角形，AB ＝2AD ，E 是AB 上一点，

且三棱锥P ­BCE 与四棱锥P ­ADCE 的体积之比为1∶2，CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PF .

(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；

(2)若三棱锥P ­AEF 的体积为3

2

，求线段AD 的长．

解：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又底面ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD . 因为PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD . 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD . (2)不妨设AP ＝AD ＝x ，则AB ＝2AD ＝2x ，BC ＝x . 因为三棱锥P ­BCE 与四棱锥P ­ADCE 的体积之比为1∶2，

所以13×1

2BE×BC×PA 13×AE ＋CD 2

×AD×PA ＝12，得BE AE ＋CD ＝12，得BE AE ＋AE ＋BE ＝12，得BE ＝2AE .

则BE ＝4x 3，AE ＝2x 3

. 易知△AEF ∽△BEC ，则AF BC ＝

AE BE ＝12.则AF ＝1

2

x .

所以三棱锥P ­AEF 的体积V ＝13×1

2

×AF ×AE ×AP ＝13×12×12

x ×23

x ×x ＝32

， 解得x ＝3，故AD 长为3.

3．(本题满分12分)某省召开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表如下所示．

设备改造后样本的频数分布表

量指标值与设备改造有关；

(2)

(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏

损100元，用频率估计概率，则生产1 000件产品企业大约能获利多少元？

附：

K2＝

.

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

解：(1)根据题中图和表得到2×2列联表：

将2×2列联表中的数据代入公式计算得