运用超级画板探索圆锥曲线的切线实例

运用超级画板探索圆锥曲线的切线性质实例

绥阳中学 邹习平

【摘要】拖动点P ，我们会发现过焦点弦MN 两端点的切线的交点始终在准线上。这与椭圆和抛物线的过焦点弦端点的切线是统一的。

【关键词】轨迹、切线、准线、拖动、超级画板。

【参考文献】数学教学2010年第8期，《双曲线两弦端点处切线的有趣性质》，浙江省杭州市徐杭高级中学，陈强。

【正文】

超级画板是最近在广泛运用于数学教学中的一种几何软件，它成为了现信息技术在数学教学的一个重要工具，将此工具进行有效的运用，对开展教学，提高教学质量，促进教学的发展，特别提高教师的教学能力与学生学的习能力有着不可忽视的作用。现就我在教学实践中，运用它探究和解决一些数学问题时的体会，对同行们进行交流，希望得到大家的帮助和指正。

圆锥曲线的切线一直都是数学爱好者喜欢探究的一个主题，但是由于其性质难于发现和推证，给探索者们带来了不少困难与疑惑。现就本人在教学实践中，通过运用“超级画板”作为辅助工具来探求三种圆锥曲线，即抛物线、椭圆和双曲线的切线性质，所获得的体会和感受与大家共同分享。

一．运用画板的作图过程探求抛物线的切线性质。

我们都知道，抛物线可以由如下的轨迹得到：已知定点)0,2

(p

F 和定直线

2

:p

x l -=，Q 是直线l 上的一动点，过Q 作直线l 的垂线与线段FQ 的中垂线相

交于点M ，则点M 的轨迹是抛物线（如图）。

容易证明：点M 到定点F 与到定直线l 的距离相等，即点M 的轨迹是抛物线。拖动点Q ，我们会发现：线段QF 的中垂线始终与抛物线只有一个公共点，因些，这条直线就是抛物线过点M 的切线。

由此，我们可以求出过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线MH 的方程。

),2(0y p Q -

，)0,2(p

F ，)2

,0(0y H ∴，于是知点H 在y 轴上。 又求得直线FQ 的斜率p

y K QF 0

-

=，所以切线MH 的方程为： 2

20y x y p

y +=

2

2

00y px y y +=，又02

02px y =

所以得)(00x x p y y +=，这个方程可以认为是将原抛物线方程px y 22=中的

2y 换成y y 0，x 换成

2

x x +而得到的。 而另一方面：由图易知：FMH RMN ∠=∠，于是，我们把直线MF 与MR 可

R

以比拟成是从F点为光源发出的入射光线与反射光线，于是我们由此可以说明以抛物线绕其轴旋转得到的探照灯镜面，可以将从焦点发出的光线变成一束平行光线这一物理原理。

再一方面，如果把MF延长与抛物线相交于点G，过点G的切线与MH相交于点K，当我们拖动点Q运动时，会发现点Q始终在准线l上运动。并且容易发现和证明GK

MK⊥，这是经过焦点弦的两端点的两条切线的很重要的性质。如下图所示

通过类比思想，我们一样可以用此方法去探究椭圆和双曲线的切线的性质。

二．运用画板的作图过程探椭圆的切线性质。

首先，我们用如下方法制作轨迹：在圆心为C的圆内任取一点F，点P是圆C上的一动点，线段PF的中垂线RG与半径PC交于点M，容易证明MF

MP

MC>

MC

R

+，于是根据椭圆的定义，点M的轨迹是以=

+

=

|

|CF

|

|

|

|

||

|

|

C,为焦点，长轴为R的椭圆，拖动点P，会发现直线MG与椭圆始终只有唯一F

的公共点M，由此可以说明，这条直线就是椭圆上过点M的切线。

下面我们探求切线MG的性质。

1．由图形知：FMG

∠

∠。由此，可把FM，MC看成是以

=

PMG

CMR∠

=

点F为光源的入射光线和反射光线，于是可得出以椭圆旋转得到的曲面镜的物理性质：即从一个焦点发出的光线经反射后经过另一个焦点。

2．过点M作切线MG的垂线，由于MG是直线MF，MG的所成角的一条平分线，过切点M且垂直于切线MG的直线，我们称之为椭圆点M处的法线，所以又有结论：过椭圆上的点M的法线平分CMF

∠（如下图）。

3．作过焦点C的弦的另一端点作切线JK，跟踪两切线MG，JK的交点K，

会发现点K的轨变是一条切线。作出椭圆的准线，于是发现这条直线就是椭圆的准线。由此得出与抛物线有统一的性质：即经过椭圆的一条焦点弦两端的切线相

交于椭圆的一条准线上。

三．运用画板的作图过程探究双曲线的性质。

类似于椭圆的轨迹制作方法，如下图左，在圆心为C的圆外任取一点F，点P是圆C上的一动点，线段PF的中垂线MG与半径PC所在直线交于点M，容易证明|

R

MC

MP

MC<

=

=

-

-，于是根据双曲线的定义，点M的MF

|

|

|

|CF

|

||

|

|

轨迹是以F

C,为焦点，实轴长为R的双曲线，拖动点P，会发现直线MG与双曲线始终只有公共点M，由此可以说明，这条直线MG就是双曲线上过点M的切线。由作图过条件，容易看出这条切线平分CMF

∠。

如上图右，延长MF交双曲线于点N行得焦点弦MN，又过N作双曲线的切线NH和抛物线的准线。拖动点P，我们会发现过焦点弦MN两端点的切线的交点始终在准线上。

根据以上三个实验，于是我们得出这三个圆曲线的一个统一的性质：经过它们的焦点弦的两端的切线的交点在它们的准线上。它们的这一共同性质运用超线画板进行探究简单明了，把圆锥曲线的性质用一种直观动态的方式呈现出来，免于用数字进行繁杂的推演计算，给人一种轻快而简洁之感觉。