小学数学5年级培优奥数讲义 第29讲 最大最小问题(教师版)
奥数最大和最小的问题教案
最大和最小的问题最短的时间内完成作业，有更多时间发展自己的业余爱好怎样乘车路程最短，话费时间最少怎么样做可以使原材料最省大桥建设在什么位置，才能方便附近尽可能多数居民......例1.幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。
那么最多能分给几个小朋友？100=10+20+30+40100=10+11+12+13+14+15+25分析：得掉小棒的小朋友尽量多每个人分的根数不同↓ 丨每个人得到的小棒尽量少丨丨丨每个人分得的根数分别是1，2，3，4，......算一算：1+2+3+4+5+...+？=100试算：1+2+3+4+5+...+13=91 ＜1001+2+3+4+5+...+13+14=105 ＞100解：每人分得的小棒分别是1根，2跟，3根，4跟，......1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91（根）1 1 1 1 1 1 1 1 1100-91=9（根）100根分给13人，分别是1根，2根，...13根，余9根这9根只能分给得小棒多的1人，2人...，最多9人答：最多能分给13个小朋友。
例2.把自然数1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？1121371819789 8 999887×错误78989分析：（1）去掉24个数字之后，得到一个几位数？（2）要使得到的多位数最大，在高位上尽量留较大的数字，9，8，7，......解：（1）这一列数共有多少个数字？｝一位数：1-9，有9个数字｝共有29个数字二位数：10-19，有2×10=20个数字｝（2）划去24个数字后，得到一个几位数？29-24=5（位）（3）划去24个数字，合理的在高位数上尽量留较大数字123456789101112131415161718199 7 819划掉24个数字→97819观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律？10=1+9 1×9=910=2+8 2×8=1610=3+7 3×7=2110=4+6 4×6=2410=5+5 5×5=25规律1：两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大：当两个数相等时，它们的乘积最大。
小学五年级 最大与最小
第一章最大与最小【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【例题精萃】【例1】用一段22厘米长的铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方厘米？思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。
长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。
依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4＝28；6×5＝30。
只有当长和宽的差最小时面积最大。
具体列式：22÷2＝11（厘米）（11＋1）÷2＝6（厘米）6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。
方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。
【实践体验】（1）用一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方米？（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少？（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是多少米？【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少？思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。
小学数学3年级培优奥数讲义 第29讲 抽屉原理(含解析)
第29讲 抽屉原理理解抽屉原理的基本概念、基本用法；掌握用抽屉原理解题的基本过程；能够构造抽屉进行解题；利用最不利原则进行解题；；利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
二、抽屉原理的定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案1、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：(1)余数＝1， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里(2)余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里2、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。
学习目标知识梳理典例分析考点一：直接利用公式解题例1、6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？例2、人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
例3、“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．例4、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？例5、求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()---是a b c d e f 105的倍数．例6、某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?例7、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。
小学数学6年级培优奥数讲义 第29讲 综合推理(教师版)
第29讲综合推理教学目标学会对一个问题进行分析、推理；利用我们的推理来解决一些较简单的问题；通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
知识梳理解数学题,从已知条件到未知的结果需要推理,也需要计算,通常是计算与推理交替进行,而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理,而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。
这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生,也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题,要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。
统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论,而又一时难以肯定或否定其中任何一个时,这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时,要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。
典例分析例1、甲、乙两队进行象棋对抗赛,甲队的三人是张、王、李,乙队的三人是赵、钱、孙,按照以往的比赛成绩看,张能胜钱,钱能胜李,李能胜孙,但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问:第一轮比赛的分别是谁对谁？【解析】根据上述分析可知:张能胜钱,说明第一轮只会碰赵或者孙；钱能胜李,说明第一轮只会碰张,或者是王；李能胜孙,说明第一轮只会碰赵或者钱综上所述:第一轮比赛是张与孙,王与钱,李与赵答:第一轮比赛是张与孙,王与钱,李与赵．例2、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛,起跑后甲处在第一的位置,在整个比赛过程中,甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名？(注:整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．)【解析】据题意可知,当甲与共交换了奇数次位置时,甲一定是第二名；偶数次时,甲一定不在第二名．所以甲共交换了7次位置时,7是奇数,则甲一定是在第二名．答:比赛的结果甲是第二名．例3、6支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分,请问:(1)各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？(2)如果在比赛中出现了6场平局,那么各队总分之和是多少？【解析】(1)每支球队赛5场,全胜得分最多:5×3=15(分)最少得分就是全输得0分:答:各队总分之和最多是15分,最少是0分．(2)6×5÷2=15(场)6×2+(15﹣6)×3=12+27=39(分)答:那么各队总分之和是39分．例4、编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛,每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问:编号为6的同学赛了几盘？【解析】因为是每2个人都要赛1盘,所以可以这样推理:①5号赛了5场,说明他与1,2,3,4,6,各赛了1场；②1号赛1场,那么1号只跟5号赛了1场；③4号赛了4场,除了跟5号赛1场,另外3场是跟2,3,6号；④那么2号此时分别和5号、4号已赛了2场；④3号赛了3场,除了和4号,5号之外,又和6号赛了1场．将上述推理过程用图表示为:答:此时6号已经赛了3场．例5、甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表,已知:①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5；②五个人的总分互不相同,且从高到低的顺序排列是:甲、乙、丙、丁、戊；③丙有四门功课的分数相同．请你把表格补充完整．语文数学英语音乐美术总分田24乙丙丁 4戊 3 5【解析】因为甲得24分,而戊得英语得5分,所以甲的英语只能得4分,根据题意可得甲的其它科目都得5分；而戊是最后一名,且语文3分,英语5分,所以其它科目就是1,2,4分,因为是最后一名,甲得分数是5或者是4,所以戊的分数不会出现4分和2分,只能是1分,据此戊得11分；语文数学英语音乐美术总分田 5 5 4 5 5 24乙丙丁 4戊 3 1 5 1 1 11而丙有四门功课的分数相同,且每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5,丙得分最少是13分,所以丙的成绩如下:语文数学英语音乐美术总分田 5 5 4 5 5 24乙丙 1 3 3 3 3 13丁 4戊 3 1 5 1 1 11所以乙的数学是2分,英语是1或者2分,音乐是2或者4分,美术是2或者4分,语文是2或者4分,且乙的总分小于19分大于13分,据此乙的成绩分别是4,2,1,4,4；进而推出丁的成绩即可．根据上述分析及其题意得出他们的成绩如下:数学英语音乐美术总分田 5 4 5 5 24乙 2 1 4 4 15丙 3 3 3 3 13丁 4 2 2 2 12戊 1 5 1 1 11例6、九个外表完全相同的小球,重量分别是1,2,…,9．为了加以区分,它们都被贴上了数字标签,可是有一天,不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量,得到如下结果:(1)①②＞③④⑤⑥⑦；(2)③⑧=⑦,请问:⑨号小球的重量是多少？【解析】根据分析及其题意可得:①②必须有一个是8,一个是9的；所以⑦是5,6,7都可以．(1)当⑦=5时,③=1,⑧=4则1+2+3+5+6=17不符合题意；③=2,⑧=3时,则:1+2+4+5+6=18,显然不合适；(2)当⑦=6时,③=2,⑧=4则:1+2+3+5+6=17不合适；③=1,⑧=5则1+2+3+4+6=16故此①②是8和9中的一个,③是1,⑧是5,⑦是6,④⑤⑥就是2,3,4中的一个,所以⑨是7；(3)当⑦=7时,③+④+⑤+⑥+⑦＞17不符合题意．答::⑨号小球的重量是7．例7、在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士打了四发子弹,全部中靶,其中命中情况如下:(1)每人四发子弹命中的环数各不相同；(2)每人四发子弹命中的总环数均为17环；(3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样,乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；(4)甲与丙只有一发环数相同；(5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问:甲与丙命中的相同环数是几？【解析】根据(1)、(2)、(5)三个条件,可以列举出四个加数互不相同,且最大加数不超过7,总和为17的所有情况:1+3+6+7=17①；1+4+5+7=17②；2+3+5+7=17③；2+4+5+6=17④；因为(3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样,乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；只有算式③中的加数2、3、5、7中的不同的两对分别出现在两个算式①④中；算式①④的加数也符合(4)甲与丙只有一发环数相同；所以:甲:1,3,6,7乙:2,3,5,7丙:2,4,5,6所以:甲与丙的相同环数为6．例8、9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上．每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下,发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数,也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子,第六个小朋友戴着黄帽子,请问:最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？【解析】(1+2+3+4+…+8)÷3=36÷3=12(次)第三个人是红帽子,已经被6个人看到,所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8,要么是第5和第7,这样两顶帽子被看到的次数是6,6+6=12,刚好；最后一个小朋友不可能是戴红帽子,他也不可能带黄帽子:因为第6个是黄帽子,被3个人看到,如果最后一个是黄帽子,那么就没人看到了,剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴,也才被8个人看到,3+0+8=11所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子；例9、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛,即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分,平一场积1分,负一场积0分,表1是一张记有比赛详细情况表格,但是,经过核对,发现表中恰好有4个数字是错误的,请你把正确的结果填入表2中．表1场数胜负平进球失球积分A 2 2 0 1 0 2 3B 2 1 1 0 3 6 2C 1 2 1 2 0 1 1表2场数胜负平进球失球积分ABC【解析】根据题意及其条件可得:场数胜负平进球失球积分A 2 1 0 1 6 2 3B 2 1 1 0 3 6 2C2 0 1 1 0 1 1➢课堂狙击1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘．到现在为止,甲已经赛了4盘,乙赛了3盘,丙赛了2盘,丁赛了1 盘．问:小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？【解析】用五个点分别表示参加比赛的五个人,如果某两人已经赛过,就用线段把代表这两个人的点连接起来,因为甲已经赛了4盘,除了甲以外还有4个点,所以甲与其他4个点都有线段相连(见左下图),因为丁只赛了1盘,所以丁只与甲有线段相连,因为乙赛了3盘,除了丁以外,乙与其他三个点都有线段相连(见右上图),因为丙赛了2盘,右上图中丙已有两条线段相连,所以丙只与甲、乙赛过,由上页右图清楚地看出,小强赛过2盘,分别与甲、乙比赛,实战演练答:小强赛过2盘,分别与甲、乙比赛．2.有10名选手参加乒乓球单打比赛,每名选手都要和其它选手各赛一场,而且每场比赛都分出胜负,请问:(1)总共有多少场比赛？(2)这10名选手胜的场数能否全都相同？(3)这10名选手胜的场数能否两两不同？【解析】(1)×10×(10﹣1)=45(场),答:一共要进行45场比赛．(2)45÷10=4(个)…5(场) (不相同,有余数．)答:这10名选手胜的场数不相同．(3)45可以分成1,2,3,4,5,6,7,8,9,0的数列(有五列,是整数,可以)答:这10名选手胜的场数可以两两不同．3. 5支球队进行单循环赛,每两队之间比赛一场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,打平则双方各得1分,最后5支球队的积分各不相同,第三名得了7分,并且和第一名打平．请问:这5支球队的得分,从高到低依次是多少？【解析】由题意可知,每支球队进行了4场比赛,第三名得了7分,并且和第一名打平,那么另三场只能是两胜一负；因各队得分都不相同,第一名平一场,另三场只能胜,积3×3+1=10分,也就是胜2、4、5名；第二名只能是三胜一负,积3×3+0=9分．也就是胜3、4、5；第三名胜4、5,负2,平1；第四名为负1、2、3,第五名也负1、2、3名；又因各队比分不同则4胜5积3分,则第五名全负,积0分；即:第一名:10分,第二名:9分,第三名:7分,第四名:3分,第五名:0分．答:第一名:10分,第二名:9分,第三名:7分,第四名:3分,第五名:0分．4. 红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛,每队派出3名队员参赛．比赛规则如下:参赛的9名队员进行单循环赛决出名次,按照获胜场数进行排名,并按照排名获得一定的分数,第一名得9分,第二名得8分,…,第九名得1分；除产生个人名次外,每个队伍还会计算各自队员的得分总和,按团体总分的高低评出团体名次．最后,比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是:第一名是一位黄队队员,第二名是一位蓝队队员,相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是:团体第一的是黄队,总分16分；第二名是红队,第三名是蓝队．请问:红队队员分别得了多少分？【解析】1)由于1到9名分数分别是9到1分,那么总共9人总分就是45分2)由于团队第一名16分,第二名只能是小于等于15,第三名小于等于14．而总分是45．所以第二,第三只能分别是15分,14分．(因为16+15+14=45,没有其他组合等于45分)因此第二名红对共得15分．3)由于单打前两名分别由黄队和蓝队的队员获得．因此红对个人得分最多的一个小于等于7分．又因为相邻名次没有同队的人员,所以红对的三人得分可能是7,5,3或者7,4,2等几种(没有列全)．但是红队总分能达到15分的组合只有7+5+3=15．所以红对队员分别得了7,5,3分．答:红队队员分别得了7,5,3分．5.一次考试共有10道判断题,正确的画“√”,错误的画“×”,每道题10分,满分为100分．甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得90分．题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分甲××√√××√×√√70乙×√×√√××√√×70丙√×××√√√×××60丁×√×√√×√×√×【解析】由于A、B有1、4、6、9这四道题答案相同,6道题答案不同．且每人都是70分,所以4道答案相同的题都答对了,6道答案不同的题各对了3道；由此可知第1、4、6、9题的答案分别是×、√、×、√；由于丙的1、4、6、9题的答案分别是√、×、√、×；所以丙的这四道题答错,又丙得60分,所以丙的其他题目全部答对,即2,3,5,7,8,10的答案分别是×,×、√、√、×、×．这10道题的答案分别是:所以丁的只的2题,扣10分,得90分．故答案为:90．6.五行(火水木金土)相生相克,其中每一个元素都生一个,克一个,被一个生和被一个克,水克火是我们熟悉的,有一个俗语叫做“兵来将挡,水来土掩”,是说土能克水．另外,水能生木,火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．【解析】根据五行相生:水生木→木生火→火生土→土生金→金生水五行相克:木克土→土克水→水克火→火克金→金克木得出图为:7. 4支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分,负者得0 分,平局各得1分．比赛结果,各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问:输给第一名的队的总分是多少？【解析】4×(4﹣1)÷2=6场,即共要进行6场比赛．又各队的总得分恰好是四个连续的自然数．则第一名肯定不能是胜两场,否则得分不连续,只胜一场的队有两个,另外两个队伍一场都没胜,因为胜一场至少3分,一场没胜至多3分．得分只能是5、4、3、2或4、3、2、1．如果是4、3、2、1,3分的队伍需要输两场,也就是别的至少两个队伍得到至少3分,但最后两名都没胜过,因此不可能是4、3、2、1．只能是5、4、3、2．由此可得:第一名:1胜2平0负5分(甲) 胜乙平丙平丁第二名:1胜1平1负4分(乙) 胜丁平丙负甲第三名:0胜3平0负3分(丙) 平甲平乙平丁第四名:0胜2平1负2负(丁) 平甲负乙平丙所以输给第一名的是乙,总分为4分．8.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后,A、B、C三队的比赛情况如表:问:D赛了几场？D 赛的几场的比分各是多少？场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D【解析】由分析可知,4个队共赛4×3=12场,去掉重复的情况,实际只赛了12÷2=6场,结合表中比赛情况可知:A 赛了3场有一场是跟D进行的,B、C各赛了2场,都没有跟D进行,所以D队一共赛了1场,是跟A进行的,由于A的1平是跟B进行的,两场胜利是跟C、D进行的,所以D队与A队比赛的比分是0:1．答:D对只与A对赛了1场．比分是0:1．9.一次象棋比赛共有10位选手参加,他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘,每盘胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分,丙队平均得分为9分,那么甲队平均得多少分？【解析】据题意,可得10名选手共赛:10×9÷2=45盘,总分为45分；因为丙队平均得分为9分,而最多只能有一人得分为9分,可得丙队有1人,而且9盘比赛全部获胜,则甲乙两队总得分为:45﹣9=36分；根据题意,可得每个人的得分是整数或整数加上0.5分,可得乙队的总得分,即3.6乘以乙队的人数是整数或整数加上0.5分,利用穷举法,可得乙队的人数只能是5,则甲队的人数是:9﹣5=4(人),故甲队平均得分是:(36﹣3.6×5)÷4=18÷4=4.5(分)答:甲队平均得4.5分．➢课后反击1.有A、B、C三支足球队,每两队比赛一场,比赛结果为:A:两胜,共失2球；B:进4球,失5球；C:有一场踢平,进2球,失8球．则A与B两队间的比分是多少？【解析】总进球=总失球A进球+4+2=2+5+8A进球=9A全胜那么B与C打平又因为B比C多进2球那么B对A进的球比C对A进的球多2个又因为A只失2球那么B对A进2球C对A进0球那么B:C=2:2那么A:B=3；2答:A与B两队间的比分是3:2．2.赵、钱、孙、李、周5户人家,每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸,而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？【解析】赵钱孙李订的份数:2+2+4+3=11份A,B,C,D订的份数:1+2+2+2=7份根据题意可知周至少订了1份所以5人一共最少订了11+1=12份那么订E的就有12﹣7=5户如果周订的不止1份,假设周至少订了2份那么5人订报总数至少为11+2=13份那么订E的至少有:13﹣7=6户,这与一共有5户矛盾所以周只能订1种,订E的有5户答:周姓订户订有这5种报纸中的1种,报纸E在这5户人家中有5家订户．3.A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛(即每队都与其他队赛一场),每天同时在3个场地各进行一场比赛,已知第一天B对D,第二天C对E,第三天D对F,第四天B对C请问:第五天与A队比赛的是哪支队伍？【解析】第二天A不能对B,否则A对B、D对F与第三天D对F矛盾,所以应当B对F、A对D．第三天A也不能对B,否则C对E与第二天C对E矛盾,应当B对E(不能B对C,与第四天矛盾),A对C．第四天B对C,D对E,A对F,所以第五天A对B．答:第五天与A队比赛的是B支队伍．4. A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况:A打听到的:姓李,是女同学,13岁,东城区；B打听到的:姓张,是男同学,11岁,海淀区；C打听到的:姓陈,是女同学,13岁,东城区；D打听到的:姓黄,是男同学,11岁,西城区；E打听到的:姓张,是男同学,12岁,东城区．’实际上第一名同学的情况在上面都出现过,而且这五位同学的消息都仅有一项正确,那么第一名的同学应该是哪个区的,今年多少岁呢？【解析】由于五位同学打听到的情况,每人仅有一项是正确的,所以,这位获第一名的同学不可能姓李或陈,这是因为A,C打听到的情况除了姓什么不一样外其他都一样,如姓李是正确的,那么就不是女同学,不是13岁,不是东城区,这样C打听到的姓陈又是正确的,互相矛盾．如果姓张,B,E打听到的姓什么是正确的,其他是不正确的,即不是男同学,不是11,12岁,不是海淀区,东城区．那么,只能是女同学,13岁,西城区,这样,A打听到的就有两项是正确的,显然矛盾,那么,最后剩下D,D打听到的姓黄应是正确的．又由D知不是男同学,是女同学；再看A和D可知年龄不是11岁,13岁,不是东城区也不是西城区人,而是12岁,海淀区．综上所述,获第一名的同学:姓黄,女,12岁,海淀区．答:那么第一名的同学应该是海淀区的,姓黄,女,12岁．5. 10名选手参加象棋比赛,每两名选手间都要比赛一次,已知胜一场得2分,平一场得1分,负一场不得分．比赛结果:选手们所得分数各不相同,前两名选手都没输过,前两名的总分比第三名多20分,第四名得分与后四名所得总分相等,问:前六名的分数各为多少？【解析】设第k名选手的得分为a k(1≤k≤10),依题意得:a1＞a2＞a3＞…a9＞a10a1≤1+2×(9﹣1)=17,a2≤a1﹣1=16,a3+20=a1+a2,所以a3≤13 ①,又后四名棋手相互之间要比赛=6场,每场比赛双方的得分总和为2分,所以a7+a8+a9+a10≥12,所以a4≥12而a3≥a4+1≥13,②所以由①②得:a3=13,所以a1+a2=33,所以a1=17,a2=16,又因为a1≤a3﹣1=12,所以a4=12,因为a1+a2+a3+…a8+a9+a10=×2=90,所以17+16+13+12+a5+a6+12=90,而a5+a6≤a5+a5﹣1,即:a5≥10\frac{1}{2},又a5＜a4=12,则a5=11,a6=9,答:前六名得分分别是:17分,16分,13分,12分,11分,9分．6. 阿奇和8个好朋友去李老师家玩,李老师给每人发了一顶帽子,并在每个人的帽子上写了一个两位数,这9个两位数互不相同,且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．李老师在纸上写了一个自然数A,问这9位同学:“你们知道自己帽子上的数能否被A整除吗？知道的请举手,”结果有4人举手．李老师又问:“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？知道的请举手．”结果有6人举手．已知阿奇两次都举手了,并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问:除了阿奇之外的人帽子上8个两位数的总和是多少？【解析】知道自己帽子上的数能否被A整除的人=知道自己的帽子的数不能被A整除,也就是说9个两位数只有5个能被A整除,所以5A≤99,6A＞100,所以A只能在17～19中取数．同理,知道自己帽子上的数能否被24整除的人=知道自己的帽子的数不能被24整除,24的倍数有24,48,72,96,按理应该有5人举手才对,那么说明至少有一个人肯定知道自己能被24整除,同时也说明了A只能是18,因为24的倍数里72能同时被18整除．所以,其他8个人帽子上的两位数分别是:18,36,54,(72),90,24,48,96,所以总和是438重点回顾(1)学会对一个问题进行分析、推理；(2)利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题；重点和难点突破:(1)理解每一个题的逻辑关系；(2)掌握推理的一般方法。
小学奥数学案-第29讲-最大最小问题(学)
学员编：
年级：五年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：数学
教师：
授课主题
第29讲-最大最小问题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1学会在题目中判断出限制条件；
2学会分数知识的综合运用；
3从题目限制条件中分析最大最小问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
4、有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？
5、在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加或一个减，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；
（2）这个算式中的所有减数（前面添了减的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
7、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？
8、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？
9、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？
最大与最小专题(教师版)
北师大二附中培训中心五年级兴趣班讲义最大与最小专题在现实生活中，日有长短之分，国有大小而论，比较大小的问题几乎无处不在。
在一定条件下求最大值或最小值是数学中的一类重要问题。
典型例题1．一把钥匙只能打开一个房间，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙开哪个房间，如要打开所有的房间，最多要开几次？解析：考虑极端情况，开第一个房间最多需20次。
第二个房间19次，……，开最后一个房间需1次，共需20+19+18+…+1=210（次）2．小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？解析：将最后一排编号，由题意可知，没有连续3个空位，极端情形：2,5,8,11,14,17,19这几个编号坐着人，其余空着。
故最少坐7人。
3．用30米长的篱笆围成一个长方形花圃。
（1）当长和宽各是多少时，花圃的面积最大？（2）若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？解析：⑴和一定时，差越小积越大，所以长宽相等时即为7.5时，S=7.5×7.5=56.25（cm2）⑵长=宽=10,S=100（cm2）4．把17分成若干个自然数的和，如何分才能使这些自然数的乘积最大？解析：拆分成2和3，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。
因为2×2×2=8，而3×3=9。
所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。
5．已知1+2+3+……+n的和的个位数是3，十位数为0，百位数不为0，求n的最小值。
解析：设1+2+3+...+N=abc由题意可知,b=0,c=3所以1+2+3+...N=100a+3N*(N+1)/2=100a+3N*(N+1)=200a+6两个连续的自然数相乘,个位数=6的只有自然数的个位是2和3或7和8 并且百位数不为0,那这两个数应该大于10试一下12,13和17、18 ，17*18=306,符合条件。
小学五年级最大与最小
第一章最大与最小【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【例题精萃】【例1】用一段22厘米长的铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方厘米？思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。
长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。
依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4＝28；6×5＝30。
只有当长和宽的差最小时面积最大。
具体列式：22÷2＝11（厘米）（11＋1）÷2＝6（厘米）6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。
方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。
【实践体验】（1）用一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方米？（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少？（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是多少米？【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少？思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。
【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第九讲 最大最小问题 人教版(含答案)
第九讲最大最小问题
第一部分：趣味数学
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些
极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值
的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
第二部分：奥数小练
例题1 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）
思维导航：除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。
根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。
所以，第三名至少得95分。
练习一
1.一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。
2.如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。
已知DE=2CE，BE=3AE。
在AB和CD 取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？
3.一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。
已知得分最少的人得了75分，那么，第三名同学至少得了多少分？。
人教版五年级奥数练习：最大最小问题 (3)
人教版五年级奥数练习：最大最小问题
例题3 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）
分析除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。
根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。
所以，第三名至少得95分。
练习三
1，一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a ＋b的最大值。
2，如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。
已知DE=2CE，BE=3AE。
在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？
3，一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。
已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？。
小学奥数最大值最小值问题汇总讲解学习
小学奥数最大值最小值问题汇总1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。
3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。
4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。
5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。
6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。
7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。
8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。
9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。
10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。
二、解答题（30分）1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。
3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。
前后轮可在适当时候交换位置。
问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？4．如下图，有一只轮船停在M点，现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。
两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。
一起学奥数最大和最小ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
通过编号，排序，我们把生活问题变成了数学中的等差数列问题，我们只要球这个等差数列的个 数即可。
（89-2）÷3+1=30
很多生活问题，可以转化为数学问题，关键 是要用心去发现规律。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例3、用2、3、4、5、6这五个数组成一个三位数，如果要使这个三位数与这
个两位数的乘积尽量大，那么所组成的三位数是
。
【分析】根据乘法积乘法算式的性质，乘法算式中的因数越大，积就越大。而一个数的高为上数字越 大，这个数也就越大。 另外，在各个数的和一定的情况下，两个因数越接近，乘积就越大。所以，6应该在两位数的十位上， 5放在三位数的百位上。
把上面算式分成三个乘数：a÷b，c+d，e-f。要使这三个因数尽量大，则a、c、d、e要尽量大，b、f 要尽量小。所以，分别可以选（9、8、7、6）和（1、2）。
根据前面学过的，我们清楚，要使积最大，三个因数的值要尽量的接近。所以有： 9÷1×（6+7）×（8-2）=728
灵活的运用乘法性质，是解这类题的关键
【分析】题目中给定的限制条件是：每个盒子中至少有一个乒乓球，且每个盒子中的球不一样多。 请思考怎样放，所需要的乒乓球最少呢？ 肯定是最少的一个盒子放1个，其它依次增加一个，这样总共需要乒乓球：
小学数学5年级培优奥数讲义 第29讲 最大最小问题(教师版)
第29讲最大最小问题教学目标学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为:在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:1、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
考点一:简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出:中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
典例分析知识梳理教学目标(2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16)÷3=72例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知:最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。
小学五年级 最大与最小
第一章最大与最小【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【例题精萃】【例1】用一段22厘米长的铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大最大面积是多少平方厘米思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。
长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。
依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4＝28；6×5＝30。
只有当长和宽的差最小时面积最大。
具体列式：22÷2＝11（厘米）（11＋1）÷2＝6（厘米）6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。
方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。
【实践体验】（1）用一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大最大面积是多少平方米（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是多少米【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。
五年级下册数学思维训练讲义-第三单元第五讲最大最小问题人教版
五年级下册数学思维训练讲义-第三单元第五讲最⼤最⼩问题⼈教版
第五课时最⼤最⼩问题
第⼀部分：趣味数学
阿拉伯数字
⼩明是个喜欢问问题的孩⼦。
有⼀天，他对0-9这⼏个数字产⽣了兴趣：为什么它们被称为“阿拉伯数字”呢？
于是他就去问他的当数学⽼师的妈妈：“0-9既然叫‘阿拉伯数字’，那么肯定是阿拉伯⼈发明的了，妈妈对吗？”
妈妈摇摇头，说：“阿拉伯数字实际是印度⼈发明的。
⼤约在1500年以前，印度⼈就已经⽤⼀种特殊的字来表⽰数⽬，这些字有10个，只要⼀笔两笔就可以写成。
后来，由于各国之间的接触，这些数字传⼊阿拉伯，阿拉伯⼈觉得它们很简单，于是在⾃⼰的国家开始⼴泛使⽤并且把他传到全欧洲。
就这样，它们慢慢地就成了我们今天使⽤的数字。
因为阿拉伯⼈在传播这种数字⽅⾯，起的作⽤很⼤，⼈们也就习惯了称这种数字为‘阿拉伯数字’。
”
⼩明⾼兴地说：“原来是这样。
妈妈，这可不可以叫做‘将错就错’呢？”⼩明和妈妈都笑了。
第⼆部分：奥数⼩练
【例题1】甲、⼄两地相距420千⽶，⼀辆汽车从甲地开到⼄地共⽤了8⼩时，途中，有⼀段路在整修路⾯，汽车⾏驶这段路时每⼩时只能⾏20千⽶，其余时间每⼩时⾏60千⽶。
整修路⾯的⼀段路长多少千⽶？
【思路导航】假如这8⼩时都是每⼩时⾏60千⽶，就⽐实际⾏的路程多出了60×8－
420=60千⽶。
在8⼩时⾥，只要有1⼩时⾏驶在整修路⾯的公路上，汽车就少⾏60－20=40千⽶，60⾥⾯有1.5个40，因此，汽车在整修路⾯的公路上⾏驶了1.5⼩时，路长20×
上⼀页下⼀页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第29讲最大最小问题教学目标学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。
在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
考点一：简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
典例分析知识梳理教学目标(2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16)÷3=72例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。
例3、一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？(分数取整数)【解析】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。
根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。
所以，第三名至少得95分。
例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。
现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表(一种庄稼不割好、捆好，不准运输)，这两组从开工到完工最少经过多少小时？【解析】先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。
平均每个小组用(12+9+6+14)÷2=20.5小时，但实际做不到。
因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。
12+9=21小时是最少经过的时间。
例5、A、B、C是三个风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16千米，从B经过A到C要走24千米。
相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？【解析】根据题意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用(18+16+24)÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。
因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。
B、C两个风景点的距离最近，只相距5千米。
考点二：数论中的极端思想例1、1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少？【解析】8531和7642。
高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。
两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。
同理可确定十位和个位数。
例2、有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0。
例3、某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元……100元的钱数(整数元)，那么至少需要准备货币多少张？【解析】为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。
当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。
当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。
当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2张，这样也找不到比14张更少的方案。
综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。
例4、a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
【解析】根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950例5、有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？ 【解析】甲数：乙数=23 ：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×(7-3)=56。
例6、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。
因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103(个)数码，剩下的数码只有192－103=89(个)，不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。
然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数(见下图)：所求最大数是9999978596061…99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。
2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85(个)数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数(见下图)：；所求最小数是100000123406162…99100。
考点三：智巧趣题的极端思想例1、99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?【解析】1+2+3+…+13=91＜99，1+2+3+…+14=105＞99，说明若13位各分得1，2，3，…，13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，…，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12，13，14个。
所以最多有13位小朋友。
(注：13人的分法不唯一)例2、某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？【解析】三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的。
可求出三天都迟到的学生最多有：(15+12+9-22)÷2=7(人)。
例3、如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车。
第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。
车到学校时，车上最少有多少学生？【解析】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个。
所以，最少有31个学生。
例4、若干名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？【解析】家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。
在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7人。
因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。
但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。
那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。
所以，爸爸有12-7=5人。
例5、三个数字能组成6个不同的三位数。
这6个三位数的和是2886。
求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。
所以，2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba＝(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2＝(a+b+c)×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
实战演练➢课堂狙击1、两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【解析】将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：15=1+14，1×14=14；15=2+13，2×13=26；15=3+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。