初中数学最值问题专题分类讲解全书
初中数学几何最值专题44:阿波罗尼斯圆问题(最全修正版)
阿波罗尼斯圆问题(阿氏圆)所谓“阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.如下图,已知A 、B 两点,点P 满足PA :PB=k (k ≠1),则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆.【问题引入】如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C 为圆心,2为半径作圆C ,分别交AC 、BC 于D 、E 两点,点P 是圆C 上一个动点,则12PA PB 的最小值为__________;则PA+23PB 的最小值为__________;解析提示:解析提示:【问题分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ,此处P 点轨迹是圆,注意到圆C 半径为2,CA=4,连接CP ,构造包含线段AP 的△CPA ,在CA 边上取点M 使得CM=2,连接PM ,可得△CPA ∽△CMP ,故PA :PM=2:1,即PM=12PA .问题转化为PM+PB 最小值,直接连BM 即可. 【问题剖析】(1)这里为什么是12PA ?(2)如果问题设计为PA+kPB 最小值,k 应为多少?【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决. 【思考】分析解析提示2中原理EAB C DPMPDCBA【问题引入】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两,则2PM+PN的最小值为__________;则2PM+3PN的最小值为点,点P是圆C上一个动点,CM=1,CN=43__________;解析提示:解析提示:【问题分析】这个问题最大的难点在于转化2PM,此处P点轨迹是圆,注意到圆C半径为2,CM=1,连接CP,构造包含线段PM的△CMP,连接AP,可得△CPA∽△CMP,故PA:PM=2:1,即2PM=PA.问题转化为PN+PA最小值,直接连AN即可.【问题剖析】(1)这里为什么是2PM?(2)如果问题设计为PM+kPN最小值,k应为多少?【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决.【思考】分析解析提示2中原理【例题精讲】例1、如图,点A、B在圆O上,且OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4。
最值问题课件
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据,通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质,如介值定理和零点定理。介值定理指出,如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值,则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出,如果函数在闭区间的两端取不同的符号,则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ,包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下, 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用,是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中,最值的应用非常广泛。例如 ,在统计分析中,我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值,以了解数据的分布 情况;在回归分析中,我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
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梯度法的步骤
计算目标函数的梯度,沿着负梯度的 方向搜索,确定步长,更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数(海森 矩阵)信息,通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数(海森矩 阵),求解线性方程组,确定步长 ,更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快;缺 点是需要计算二阶导数(海森矩阵 ),对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
中考数学 专题聚焦一 最值问题课件
[对应训练] 1.在△ABC中,AC=BC=6,∠ACB=90°, D是BC边的中点, E是AB上的一个动点,则EC+ED的最小值是__3__5____.
点拨:以 AC 为边作正方形 ACBP,如图,连接 CP,则 AB 与 CP 互相 垂直平分,连接 DP 交 AB 于点 E, 连接 CE,∵AC=BC=6,D 是 BC 的中点,∴DB=3,又∵∠CBP=90°,PB=6,在 Rt△DBP 中,由 勾股定理有,DP= 32+62= 45=3 5,又∵EC=EP,∴EC+ED=EP +ED=DP=3 5,即:EC+ED 的最小值是 3 5
专题一 最值问题
美国著名数学家哈尔莫斯曾经说过:“数学的真正部分是问题的解” .毋庸置疑,学习数学就意味着解题.解题,联想是基础,转化是手段 ,问题解决是目的.如果说:解题它是表达一个命题从题设到结论的演 变过程,那么联想与转化它可以迅速沟通这一演变过程的作用.联想是 基础,转化是手段,灵活应用是关键,问题解决是目的,把握好这一解 题策略,对于我们学习数学,提高解题质量,提高学习成绩,可以起到 事半功倍的作用.
为(-43,0),PQ′= (-2-0)2+(2+4)2=2 10
【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题,有一定的难度.
[对应训练] 1.在平面直角坐标系中,设P(-1,1),Q(2,3),x轴上有一点R, 则PR+RQ的最小值为__5__.
2.(2016·创新题)若一次函数y=kx+b的图象与x,y轴分别交于点 A(4,0),B(0,6). (1)求该一次函数的解析式; (2)O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C,D,P为OB上一动点 ,求PC+PD的最小值.
解:设 t 秒后 PQ+QC 最小,取点 P 关于 AD 的对称点 P′,连接 CP′与 AD 相交,由轴对称确定最短路线问题,交点即为所求的使 PQ+QC 最小 的点 Q 的位置,∵AB=6 cm,AD=12 cm,∴AP=AP′=6-t,AQ=2t, QD=12-2t,∵AB∥CD,∴△AP′Q∽△DCQ,∴ACPD′=AQQD,
初中数学 几何最值专题
初中数学几何最值专题初中数学中,几何最值问题是一个常见的专题。
以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法:一、两点之间线段最短原理:两点之间线段最短。
应用:在解决几何最值问题时,常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。
例如,在一个矩形中,从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。
二、三角形三边关系原理:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
应用:在解决几何最值问题时,可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。
例如,在一个三角形中,已知两边长分别为a和b,第三边长为c,则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。
当c取最小值时,三角形为直角三角形;当c取最大值时,三角形为等腰三角形。
三、利用对称性求最值原理:利用对称性可以简化问题,找到最值。
应用:在解决几何最值问题时,可以利用对称性来找到最值。
例如,在一个圆内,从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。
同样地,在一个矩形内,从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。
四、利用旋转和平移求最值原理:利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向,从而找到最值。
应用:在解决几何最值问题时,可以利用旋转和平移来找到最值。
例如,在一个三角形中,已知两边长分别为a和b,夹角为θ,则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形,从而找到第三边长的最值。
五、利用相似性和全等性求最值原理:利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题,从而找到最值。
应用:在解决几何最值问题时,可以利用相似性和全等性来找到最值。
例如,在两个相似的三角形中,已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c,则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。
同样地,在两个全等的图形中,可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。
初中数学关于最值问题
模型四 “小虫爬行问题”
蚂A
蚁′
C蜜
′蜂
不想说连
模型五 二次函数最值问题
模型六 圆外(内)一点到圆上最大(小)距离问题。
说明:模型六基本上都用于动点问题。 1.一动点到某定点的距离为定值,则该动点的运动轨迹为圆。 2.一动点所对一条固定线段所成的角为定值,则该动点的运动轨 迹为圆。
模型七 过圆内一点最长弦,最短弦问题。 模型八 弦切角定理。 模型九 切点所对的弦成的角大于切线上其它点对着弦的 角。
当不能直接联想到已有模型上时,那 就通过联想推理转化到已有模型或本 源知识上去。
结论:要使△PCD周长最小,即PC+PD+CD值最小,根据两点之 间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可,则△PCD周长 最小为线段的长.
类型2 两定点与两条直线上两动点问题 问题:点P、Q在∠AOB的内部,在OB上找点D,在OA上找点 C,使得四边形PQDC周长最小. 问题解决:
结论:将问题转化为类型1即可,PC+CD+DQ的 最小值为线段P’Q’长,则四边形PQDC的周长的最 小值为P’Q’+PQБайду номын сангаас值.
模型一 两点一线 类型1 异侧和最小值问题 问题:两定点A、B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使PA+PB值最 小. 问题解决:
结论:根据两点之间线段最短,PA+PB的最小值即 为线段AB长.
类型2 同侧和最小值问题 问题:两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB值 最小. 问题解决:
最值问题
最值问题不是一两节课就能解决的问题
与最值有关的知识有哪些? 与最值有关的模型有哪些? 从数和形的角度将它们归类掌握?
与最值有关的本源知识有哪些?
初中数学几何最值问题的模型_概述及解释说明
初中数学几何最值问题的模型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初中数学中,几何最值问题是一个重要的研究领域。
通过求解这类问题,我们可以进一步理解几何形体之间的关系,并探讨如何确定能取得最大或最小值的量。
几何最值问题在现实生活和科学研究中具有广泛的应用,例如在建筑设计、物理力学等领域都可以找到相关的应用。
1.2 文章结构本文将围绕初中数学中的几何最值问题展开讨论。
首先,我们将介绍几何最值问题的基本概念,包括其定义和分类以及其在数学学科中的重要性。
接着,我们将详细阐述解决几何最值问题所需采用的方法和思路。
随后,我们将阐明几何最值问题的模型建立过程,包括确定待求量和已知条件、构造几何图形并标明符号、建立数学关系式和方程组等步骤。
然后,我们将通过实例解析展示如何求解特定的几何最值问题,并给出具体操作步骤。
最后,在结论与拓展思考部分,我们会对几何最值问题研究进行总结,并提出存在的问题和不足之处,同时探讨继续探索几何最值问题的方向和方法。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍初中数学中几何最值问题的模型及其解决方法,并通过实例解析加深读者对该类问题的理解。
通过阅读本文,读者将能够了解到几何最值问题在数学中的重要性、学习建立几何最值模型的步骤以及如何运用所学知识求解特定问题。
此外,本文还将提供对几何最值问题研究更深入思考和拓展的启发。
2. 几何最值问题的基本概念:2.1 最值问题的定义和分类在数学中,最值问题是指寻找某个函数或模型在一定条件下取得最大值或最小值的问题。
几何最值问题则是特指涉及几何图形、空间形体以及它们属性的最值问题。
几何最值问题可以分为以下两类:一类是求解某个几何对象在给定条件下的最大或者最小性质。
比如,我们可能会面临寻找矩形面积最大化、寻找三角形周长最小化等问题。
另一类是求解一个几何对象对于某个性质达到极限条件时所满足的相关位置关系。
例如,要找出使得与给定线段相切的圆面积最大化时圆心所在的位置。
初中数学最值问题分类解析_薛俊
由
AB·BC=BE·AC
圯 BE
=4
%
姨
5
圯
BB′=8
%
姨
5
.
由△BB′N1∽△CAB圯AB ∶ AC=B′N1 ∶ BB′圯B′N1=16,所以(BM+MN)min=16.
3. 对称背景下的三角形两边之和
大于第三边
几何问题的最值本质上是目标表
达 式 的 一 个 取 值 范 围 问 题 ,从 知 识 归
3.%代数式背景下的最值
代数式背景下的最值模型往往是
ax2+bx+cy2+dy+e可化成(kx+m)2+(hy+
n)2+l 的 形 式 ,显 然 在 实 数 范 围 内(kx +
m)2+(hy+n)2+l≥l,当且仅当kx+m=hy+n=
0时代数式取到l. 这其实是利用了非负
数的性质建立了不等关系,从而获取最值.
2. 方程背景下的最值 以方程为背景的最值模型,往往为 求y= (f x)((f x),g(x)中有一个为二次 g(x) 多项式)的最小值或最大值,这一类型 若按原型归类应当归于函数背景下, 但 由 于 初 中 知 识 范 围 有 限 ,无 法 通 过 函 数 去 求 解 最 值 ,但 可 以 通 过 恒 等 变 形 将 函 数 转 化 成 方 程 ,此 时 就 可 以 借 助一元二次方程根的判别式建立一个 关于y的不等式,求解不等式,可得一个 关于y的范围.
例如,求y= x2-x+1 的最大值和最小 x2+x+1
值. 恒等变换可得x2-x+1=y(x2+x+1),移
浙教版初中数学中考复习-最值问题 (共43张PPT)
6
解析:
7
方法提炼:
• 1.线段和的最小值问题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用 ,即为同一平面内线段和最短问题,其基本图形如图,点A,B是 直线同旁的两个定点.如何在直线上确定一点P,使AP+BP的值 最小.方法是作A点关于直线l的对称点A′,转化为两点间的距离 问题,即连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小.
考向四:几何最值——图形周长最值问题
• 【例】如图,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线 OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O ,A,E三点.
• (1)求此抛物线的解析式;
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解析:
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考向四:几何最值——图形周长最值问题
• 2.不管在什么背景图中,有关线段之和的最短问题,常化归与 转化为线段公理“两点之间,线段最短”,而化归与转化的方法都 是借助于“轴对称点”. 然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间 线段最短的原理,构造直角三角形,并运用勾股定理计算最小值 来解决问题.
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考向二:几何最值——线段之差最值问题
• 【例】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(1,2),点P在x轴上运动,当点P到A ,B两点距离之差的绝对值最大时,求点P的坐标.
AB上,苍蝇Q在⊙M的圆周上,线段PQ为蜘蛛爬行路线.若PQ与⊙M相切,试求PQ长度的 取值范围.
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解析:
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方法提炼:
• 要计算立体图形中不在同一平面上两点之间的最短距离,一般是把立体图 形的侧面展开,转化为平面图形,借助线段公理计算.将立体图形转化为平面 图形是初中阶段常用的基本方法.
中考数学最值问题讲座课件
例3.为加快复工复产,某企业需运输一批物资。据调查得知,2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 (1)一辆大货车和一辆小货车,一次可以分别运输多少箱物资;
(2)该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一 次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元,若运输物资不 少于1500箱,且总费用小于54000元,请你列出所有运输方案,并 指出哪种方案所需总费用最少,最少总费用是多少 ?
例3.为加快复工复产,某企业需运输一批物资。据调查得知,2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 (1)一辆大货车和一辆小货车,一次可以分别运输多少箱物资;
初中数学的最值问题
(代数方面)
一、根据绝对值的意义求最值
二、利用二次根式的非负性求最值
例:当x取什么实数时,式子 最小?最小值是多少?
的值
根据二次根式被开方数是非负数可知3x-1≥0, 所以当3x-1=0时式子的值最小,此时最小值为2。
三、利用配方法求最值
1.当x为_______时, 多项式x2+6x+10有最小值________
分析:(1)购买甲种蔬菜x千克,那么购买乙种蔬菜就是 (100-x)千克,进货的总资金就是10x+14(100-x),然后 根据投入资金不少于1160元,又不多于1168元 ,就可以建立 不等式组1160≤10x+14(100-x)≤168,进而找到x的取值范 围58≤x≤60,然后找出符合条件的x的所有正整数解 58,59,60,这样购买方案就是3种。
初中数学几何模型与最值问题11专题-二次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题11 二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:(1)请你根据表中数据,用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润﹣日支出费用)3、怡然美食店的A、B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元.(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份;(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少.4、“五一”期间,恒大影城隆重开业,影城每天运营成本为1000元,试营业期间统计发现,影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数:y=﹣4x+220(10≤x≤50,且x是整数),设影城每天的利润为w(元)(利润=票房收入﹣运营成本).(1)试求w与x之间的函数关系式;(2)影城将电影票售价定为多少元/张时,每天获利最大?最大利润是多少元?5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180,得到新函数2C 的图象,我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数.2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t .(1)填空:t 的值为 (用含m 的代数式表示) (2)若1a =-,当12x t ≤≤时,函数1C 的最大值为1y ,最小值为2y ,且121y y -=,求2C 的解析式; (3)当0m =时,2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点(点A 在点B 的右侧).与y 轴相交于点D .把线段AD原点O 逆时针旋转90,得到它的对应线段''A D ,若线''A D 与2C 的图象有公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.6、湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养天的总成本为万元;放养天的总成本为万元(总成本=放养总费用+收购成本).(1)设每天的放养费用是万元,收购成本为万元,求和的值;(2)设这批淡水鱼放养天后的质量为(),销售单价为元/.根据以往经验可知:与的函数关系为;与的函数关系如图所示.①分别求出当和时,与的函数关系式;①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元,求当为何值时,最大?并求出最大值.(利润=销售总额-总成本)7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m.设饲养室为长为x(m),占地面积为.(1)如图,问饲养室为长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图,现要求在图中所示位置留2m的门,且仍使饲养室占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀.小张购进一批食材制作特色美食,每盒售价为50元,由于食材需要冷藏保存,导致成本逐日增加,第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元,已知p与x之间满足一次函数关系;第3天时,每盒成本为21元;第7天时,每盒成本为25元,每天的销售量为y盒,y与x之间的关系如下表所示:(1)求p与x的函数关系式;(2)若每天的销售利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时当天的销售利润最大,最大销售利润是多少元?(3)在“荷花美食”厨艺秀期间,共有多少天小张每天的销售利润不低于325元?请直接写出结果.9、2016年12月29日至31日,黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行,从中寻找到商机的人不断涌现,促成了罗甸农民工返乡创业热潮,某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销,若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”,共需120元;若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”,共需205元.(1)设A,B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元,求a、b的值;(2)B种“火龙果”每件的成本是40元,根据市场调查:若按(1)中求出的单价销售,该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件;若销售单价每上涨1元,B种“火龙果”每天的销售量就减少5件.①求每天B种“火龙果”的销售利润y(元)与销售单价(x)元之间的函数关系?①求销售单价为多少元时,B种“火龙果”每天的销售利润最大,最大利润是多少?10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个,若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售为y个.(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式;(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个,若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售为y个.(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式;(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示:(1)求y与x的函数解析式(也称关系式);(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克,成本为每千克30元,物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍,经试销发现,日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元,当销售单价为多少时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?专题11 二次函数在实际应用中的最值问题 答案1、某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x <15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元? 【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率是x ,10(1﹣x )2=8.1,x =10%或x =190%(舍去). 答:该种水果每次降价的百分率是10%;(2)当1≤x <9时,第1次降价后的价格:10×(1﹣10%)=9,①y =(9﹣4.1)(80﹣3x )﹣(40+3x )=﹣17.7x +352,①﹣17.7<0,①y 随x 的增大而减小,①当x =1时,y 有最大值,y 大=﹣17.7×1+352=334.3(元); 当9≤x <15时,第2次降价后的价格:8.1元,①y =(8.1﹣4.1)(120﹣x )﹣(3x 2﹣64x +400)=﹣3x 2+60x +80=﹣3(x ﹣10)2+380,①﹣3<0,①当9≤x ≤10时,y 随x 的增大而增大,当10<x <15时,y 随x 的增大而减小,①当x =10时,y 有最大值,y 大=380(元).综上所述,y 与x (1≤x <15)之间的函数关系式为: 217.7352(19){ 36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<,第10天时销售利润最大;(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元,由题意得:380﹣127.5≤(4﹣a )(120﹣15)﹣(3×152﹣64×15+400),252.5≤105(4﹣a )﹣115,a ≤0.5. 答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:(1)请你根据表中数据,用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式 (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用,当40≤x ≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a 的值.(日获利=日销售利润﹣日支出费用) 【解析】(1)假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得301500k b =-⎧⎨=⎩,①301500p x =-+,检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ①所求的函数关系式301500p x =-+,(2)设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-,即()223024004500030403000w x x x =-+-=--+,当40x =时,w 有最大值为3000元, 故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, (3)日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--, 即()()230240030150045000w x a x a =-++-+,对称轴这()2400301402302a x a +=-=+⨯-,若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<(不合题意), 若10a <,则当1402x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+代入,可得2130101004w a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 当2430w =时,21243030101004a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,解得12a =,238a =(舍去), 综上所述,a 的值为2.3、怡然美食店的A 、B 两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元. (1)该店每天卖出这两种菜品共多少份;(2)该店为了增加利润,准备降低A 种菜品的售价,同时提高B 种菜品的售价,售卖时发现,A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少. 【解析】(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份,根据题意得:()()2018112020141814280x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得:2040x y =⎧⎨=⎩,答:该店每天卖出这两种菜品共60份;(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元,即每天卖(20+a )份,总利润为w 元,因为两种菜品每天销售总份数不变,所以B 种菜品卖(40﹣a )份,每份售价提高0.5a 元. 则w=(20﹣14﹣0.5a )(20+a )+(18﹣14+0.5a )(40﹣a )=(6﹣0.5a )(20+a )+(4+0.5a )(40﹣a )=(﹣0.5a 2﹣4a +120)+(﹣0.5a 2+16a +160) =﹣a 2+12a +280=﹣(a ﹣6)2+316, 当a =6,w 最大,w=316答:这两种菜品每天的总利润最多是316元.4、“五一”期间,恒大影城隆重开业,影城每天运营成本为1000元,试营业期间统计发现,影城每天售出的电影票张数y (张)与电影票售价x (元/张)之间满足一次函数:y =﹣4x +220(10≤x ≤50,且x 是整数),设影城每天的利润为w (元)(利润=票房收入﹣运营成本). (1)试求w 与x 之间的函数关系式;(2)影城将电影票售价定为多少元/张时,每天获利最大?最大利润是多少元? 【解析】(1)根据题意,得:w =(﹣4x +220)x ﹣1000=﹣4x 2+220x ﹣1000;(2)①w =﹣4x 2+220x ﹣1000=﹣4(x ﹣27.5)2+2025,①当x =27或28时,w 取得最大值,最大值为2024,答:影城将电影票售价定为27或28元/张时,每天获利最大,最大利润是2024元.5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180,得到新函数2C 的图象,我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数.2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t .(1)填空:t 的值为 (用含m 的代数式表示) (2)若1a =-,当12x t ≤≤时,函数1C 的最大值为1y ,最小值为2y ,且121y y -=,求2C 的解析式; (3)当0m =时,2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点(点A 在点B 的右侧).与y 轴相交于点D .把线段AD原点O 逆时针旋转90,得到它的对应线段''A D ,若线''A D 与2C 的图象有公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.【解析】(1)221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180180°的对称点为(21,4)m a -,2:(21)24C y a x m a =--++,函数的对称轴为:21x m =-,21t m =-,(2)1a =-时,21:(1)4C y x =--,①当112t ≤<时,12x =时,有最小值2154y =,x t =时,有最大值21(1)4y t =--+, 则21215(1)414y y t -=--+-=,无解; ①312t ≤≤时,1x =时,有最大值14y =,12x =时,有最小值22(1)4y t =--+,12114y y -=≠(舍去);①当32t >时,1x =时,有最大值14y =,x t =时,有最小值22(1)4y t =--+,212(1)1y y t -=-=,解得:0t =或2(舍去0),故222:(2)44C y x x x =--=-;(3)0m =,22:(1)4C y a x a =-++,点'',,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --,当0a >时,a 越大,则OD 越大,则点'D 越靠左,当2C 过点'A 时,2(01)41y a a =-++=,解得:13a =, 当2C 过点'D 时,同理可得:1a =, 故:103a <≤或1a ≥; 当0a <时,当2C 过点'D 时,31a -=,解得:13a =-, 故:13a ≤-; 综上,故:103a <≤或1a ≥或13a ≤-.6、湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养天的总成本为万元;放养天的总成本为万元(总成本=放养总费用+收购成本).(1)设每天的放养费用是万元,收购成本为万元,求和的值; (2)设这批淡水鱼放养天后的质量为(),销售单价为元/.根据以往经验可知:与的函数关系为;与的函数关系如图所示. ①分别求出当和时,与的函数关系式;①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元,求当为何值时,最大?并求出最大值.(利润=销售总额-总成本)【解析】(1)由题意得,解得答:a的值为0.04,b的值为30.(2)①当0≤t≤50时,设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点(0,15)和(50,25)的坐标分别代入y=k1t+n1,得解得①y与t的函数关系式为y=t+15当50<t≤100时,设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点(50,25)和(100,20)的坐标分别代入y=k2t+n2,得解得①y与t的函数关系式为y=t+30①由题意得,当0≤t≤50时,W=20000×(t+15)-(400t+300000)=3600t①3600>0,①当t=50时,W最大值=180000(元)当50<t≤100时,W=(100t+15000)(t+30)-(400t+300000)=-10t2+1100t+150000=-10(t-55)2+180250①-10<0,①当t=55时,W最大值=180250综上所述,当t为55天时,W最大,最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m.设饲养室为长为x(m),占地面积为.(1)如图,问饲养室为长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图,现要求在图中所示位置留2m的门,且仍使饲养室占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.【解析】(1)①=,①当x=25时,占地面积y最大;(2)=,①当x=26时,占地面积y最大.即当饲养室长为26m时,占地面积最大.①26-25=1≠2,①小敏的说法不正确.8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀.小张购进一批食材制作特色美食,每盒售价为50元,由于食材需要冷藏保存,导致成本逐日增加,第x 天(1≤x ≤15且x 为整数)时每盒成本为p 元,已知p 与x 之间满足一次函数关系;第3天时,每盒成本为21元;第7天时,每盒成本为25元,每天的销售量为y 盒,y 与x 之间的关系如下表所示:(1)求p 与x 的函数关系式;(2)若每天的销售利润为w 元,求w 与x 的函数关系式,并求出第几天时当天的销售利润最大,最大销售利润是多少元?(3)在“荷花美食”厨艺秀期间,共有多少天小张每天的销售利润不低于325元?请直接写出结果. 【解析】(1)设p =kx +b (k ≠0),①第3天时,每盒成本为21元;第7天时,每盒成本为25元,①321725k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:118k b =⎧⎨=⎩,所以p =x +18;(2)1≤x ≤6时,w =10[50﹣(x +18)]=﹣10x +320,6<x ≤15时,w =[50﹣(x +18)](x +6)=﹣x 2+26x +192,所以,w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩, 当1≤x ≤6时,①﹣10<0,①w 随x 的增大而减小,①当x =1时,w 最大为﹣10+320=310,6<x ≤15时,w =﹣x 2+26x +192=﹣(x ﹣13)2+361,①当x =13时,w 最大为361, 综上所述,第13天时当天的销售利润最大,最大销售利润是361元;(3)w =325时,﹣x 2+26x +192=325,x 2﹣26x +133=0,解得x 1=7,x 2=19,所以,7≤x ≤13时,即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元.9、2016年12月29日至31日,黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行,从中寻找到商机的人不断涌现,促成了罗甸农民工返乡创业热潮,某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销,若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”,共需120元;若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”,共需205元.(1)设A,B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元,求a、b的值;(2)B种“火龙果”每件的成本是40元,根据市场调查:若按(1)中求出的单价销售,该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件;若销售单价每上涨1元,B种“火龙果”每天的销售量就减少5件.①求每天B种“火龙果”的销售利润y(元)与销售单价(x)元之间的函数关系?①求销售单价为多少元时,B种“火龙果”每天的销售利润最大,最大利润是多少?【解析】(1)根据题意得:2120{32205a ba b+=+=,解得:a=35,b=50;(2)①由题意得:y=(x﹣40)[100﹣5(x﹣50)]①y=﹣5x2+550x﹣14000;①①y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5(x﹣55)2+1125,①当x=55时,y最大=1125,①销售单价为55元时,B商品每天的销售利润最大,最大利润是1125元.10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个,若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售为y个.(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式;(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?【解析】(1)依题意有:y=10x+160;(2)依题意有:W=(80﹣50﹣x)(10x+160)=﹣10(x﹣7)2+5290,①-10<0且x为偶数,故当x=6或x=8时,即故当销售单价定为74或72元时,每周销售利润最大,最大利润是5280元;(3)依题意有:﹣10(x﹣7)2+5290≥5200,解得4≤x≤10,则200≤y≤260,200×50=10000(元).答:他至少要准备10000元进货成本.11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个,若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售为y个.(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式;(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?【解析】(1)依题意有:y=10x+160;(2)依题意有:W=(80﹣50﹣x)(10x+160)=﹣10(x﹣7)2+5290,①-10<0且x为偶数,故当x=6或x=8时,即故当销售单价定为74或72元时,每周销售利润最大,最大利润是5280元;(3)依题意有:﹣10(x﹣7)2+5290≥5200,解得4≤x≤10,则200≤y≤260,200×50=10000(元).答:他至少要准备10000元进货成本.12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示:(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式);(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【解析】(1)当6≤x ≤10时,由题意设y =kx +b (k =0),它的图象经过点(6,1000)与点(10,200), ①1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩ ,解得2002200k b =-⎧⎨=⎩, ①当6≤x ≤10时, y =-200x +2200,当10<x ≤12时,y =200,综上,y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ (2)设利润为w 元,当6≤x ≤10时,y =-200x +2200,w =(x -6)y =(x -6)(-200x +200)=-2002172x -()+1250, ①-200<0,6①x ≤10,当x =172时,w 有最大值,此时w=1250; 当10<x ≤12时,y =200,w =(x -6)y =200(x -6)=200x -1200,①200>0,①w =200x -1200随x 增大而增大,又①10<x ≤12,①当x =12时,w 最大,此时w=1200,1250>1200,①w 的最大值为1250,答:这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克,成本为每千克30元,物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍,经试销发现,日销售量y (千克)与销售单价x (元)符合一次函数关系,如图所示.(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元,当销售单价为多少时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?【解析】(1)设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得,当30x =时,140y =;50x =时,100y =①1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩ ①y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤.(2)设该公司日获利为W 元,由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+①20a =-<;①抛物线开口向下;①对称轴65x =;①当65x <时,W 随着x 的增大而增大;①3060x ≤≤,①60x =时,W 有最大值;22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值.即,销售单价为每千克60元时,日获利最大,最大获利为1950元.。
初中数学几何模型与最值问题04专题-费马点中三线段模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题4 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况:(1)当三角形三个内角都小于120°的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题。
(2)当三角形有一个内角大于120°时,费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧:旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题:在△ABC内找一点P,使得P A+PB+PC最小.APB C【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:△ADC≌△ABE.(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°.在图三的模型里有结论:(1)∠BPD=60°;(2)连接AP,AP平分∠DPE.有这两个结论便足以说明∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!【例题】1、如图,四边形ABCD 是菱形,AB =4,且∠ABC =∠ABE =60°,G 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ,当AG +BG +CG 取最小值时EF 的长( )A .B .C .D .2、如图,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆,DE 与BC 交于点P ,可推出结论:PA PC PE +=问题解决:如图,在MNG ∆中,6MN =,75M ∠=︒,MG =O 是MNG ∆内一点,则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________3、如图,四边形ABCD是菱形,A B=6,且∠ABC=60° ,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为________.4、如图,∠ABC中,∠BAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为,则BC=_____.5、如图,四边形ABCD 是正方形,∠ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM .∠ 求证:∠AMB ∠∠ENB ;∠ ∠当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;∠当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由; ∠ 当AM +BM +CM 的最小值为13 时,求正方形的边长.EA DB CNMF EA DB CNM6、在正方形ABCD中,点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB=(1)如图1,将∠ADE绕点D逆时针旋转90°得到∠DCF,连接EF;∠把图形补充完整(无需写画法);∠求2EF的取值范围;(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.专题4 费马点中三线段模型与最值问题答案【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
初中数学几何模型与最值问题10专题-一次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题10 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系.【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助.2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用.利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位.【注】函数y=kx+b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y=kx+b(k≠0)的图象就不再是一条直线.要根据实际情况进行【分析】,其图象可能是射线、线段或折线等等.1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)乙队开挖到30 m时,用了________ h.开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出:①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式;②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式.(3)当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等?2、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图,观察图象回答下列问题:(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算?(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算?3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶.已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表,与行驶路程x(km)的关系如下图.请你根据这些信息求A型车在实验中速度.3、有A B、两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A发电厂比B发电厂多发40度电,A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电.(1)求焚烧1吨垃圾,A和B各发多少度电?(2)A B、两个发电厂共焚烧90吨垃圾,A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍,求A厂和B厂总发电量的最大值.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.(1)求A,B两种奖品的单价;(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的13.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元.(1)改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元?(2)根据消费者需求,网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋,且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45,已知甲种口罩每袋的进价为22.4元,乙种口罩每袋的进价为18元,请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口罩各多少袋,最大获利多少元?6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金,用于初中毕业时各项活动的经费.通过商议,决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照,其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品.已知每件文化衫28元,每本相册20元.(1)适用于购买文化衫和相册的总费用为W元,求总费用W(元)与购买文化衫件数t(件)函数关系式(2)购买文化衫和相册有哪几种方案?为了使拍照的资金更充足,应选择哪种方案,并说明理由.7、江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.8、为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价间的关系如下表:(1)商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个?(2)设商店所获利润为y(单位:元),购进篮球的个数为x(单位:个),请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(3)若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求出最大利润是多少?9、为解决消费者停车难的问题,某商场新建一小型轿车停车场,经测算,此停车场每天需固定支出的费用(包括设施维修费、管理人员工资等)为600元,为制定合理的收费标准,该商场对每天轿车停放辆次(每辆轿车每停放一次简称为“辆次”)与每辆轿车的收费情况进行调查,发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时,每天来此停放的轿车都为300辆次;若每辆次轿车的停车费定价超过10元,则每超过1元,每天来此停放的轿车就减少12辆次,设每辆次轿车的停车费x元(为便于结算,停车费x只取整数),此停车场的日净收入为y元(日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出)回答下列问题:(1)①当x≤10时,y与x的关系式为:;①当x>10时,y与x的关系式为:;(2)停车场能否实现3000元的日净收入?如能实现,求出每辆次轿车的停车费定价,如不能实现,请说明理由;(3)该商场要求此停车场既要吸引顾客,使每天轿车停放的辆次较多,又要有最大的日净收入,按此要求,每辆次轿车的停车费定价应定为多少元?此时最大日净收入是多少元?10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国,通过优质快捷的网络销售渠道,小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果,共花费450元;后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果,共花费275元(每次两种芒果的售价都不变).(1)问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元?(2)现要购买两种芒果共18箱,要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍,但不超过A品种芒果数量的4倍,请你设计购买方案,并写出所需费用最低的购买方案.专题10 一次函数在实际应用中的最值问题答案【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系.【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助.2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用.利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位.【注】函数y=kx+b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y=kx+b(k≠0)的图象就不再是一条直线.要根据实际情况进行【分析】,其图象可能是射线、线段或折线等等.1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)乙队开挖到30 m时,用了________ h.开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出:①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式;②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式.(3)当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等?【分析】(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时,用了2 h.开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m;(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x(k1≠0),由图可知,函数图象过点(6,60),∴6k1=60,解得k1=10,∴y=10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b(k2≠0),由图可知,函数图象过点(2,30),(6,50),代入y=k2x+b,求出k2=5,b=20,∴y=5x+20.(3)由题意,得10x=5x +20,解得x=4(h).【解析】(1)210(2)①y=10x.②y=5x+20.(3)由题意,得10x=5x+20,解得x=4(h).故当x为4 h时,甲、乙两队所挖的河渠长度相等.2、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图,观察图象回答下列问题:(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算?(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算?【分析】本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息:都是一次函数,一个是正比例函数;两条直线交点的横坐标为1 500;表明当x=1 500时,两个函数值相等;根据图象可知:x>1 500时,y2>y1;0<x<1 500时,y2<y1.【解析】观察图象,得:(1)每月行驶的路程小于1 500 km时,租国有出租车公司的车合算;(2)每月行驶的路程为1 500 km时,租两家车的费用相同;(3)如果每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租个体车主的车合算.析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中,当取相同的自变量时,下方图象对应的函数的函数值小;交点处函数值相等3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶.已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表,与行驶路程x(km)的关系如下图.请你根据这些信息求A型车在实验中速度.【分析】考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力.解法一:∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线,∴可设关系式为y=kx+b(k≠0).由图象可知y=kx+b经过两点(0,100)和(500,20),则有b=100,20=500k+b.把b=100代入20=500k+b,得20=500k+100,解得k=-425.∴直线的解析式为y=-425x+100.当y=100时,x=0;当y=84时,x=100.由图表可知,油箱中的余油量从100 L到84 L,行驶时间是1 h,行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二:由图表可知:A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知:A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L所行驶的路程为x km,则500∶80=x∶16,解得x=100.∴A型汽车1 h行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.【小结】有时,我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解.3、有A B 、两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A 发电厂比B 发电厂多发40度电,A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.(1)求焚烧1吨垃圾,A 和B 各发多少度电?(2)A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾,A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍,求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【解析】(1)设焚烧1吨垃圾,A 发电厂发电a 度,B 发电厂发电b 度,则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩,解得:300260a b =⎧⎨=⎩ 答:焚烧1吨垃圾,A 发电厂发电300度,B 发电厂发电260度.(2)设A 发电厂焚烧x 吨垃圾,则B 发电厂焚烧()90x -吨,总发电量为y 度,则 300260(90)4023400y x x x =+-=+①2(90)x x ≤-①60x ≤①y 随x 的增大而增大①当60x =时,y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元;购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元.(1)求A ,B 两种奖品的单价;(2)学校准备购买A ,B 两种奖品共30个,且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.【解析】(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元, 根据题意,得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩,3015x y =⎧∴⎨=⎩,∴A 的单价30元,B 的单价15元; (2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为(30)z -个,购买奖品的花费为W 元, 由题意可知,1(30)3z z ≥-,152z ∴≥, 3015(30)45015W z z z =+-=+,当=8z 时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少;5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元.(1)改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元?(2)根据消费者需求,网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋,且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45,已知甲种口罩每袋的进价为22.4元,乙种口罩每袋的进价为18元,请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口罩各多少袋,最大获利多少元?【解析】(1)设该网店甲种口罩每袋的售价为x元,乙种口罩每袋的售价为y元,根据题意得:5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩,解这个方程组得:2520xy=⎧⎨=⎩,故该网店甲种口罩每袋的售价为25元,乙种口罩每袋的售价为20元;(2)设该网店购进甲种口罩m袋,购进乙种口罩(500﹣m)袋,根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩,解这个不等式组得:222.2<m≤227.3,因m为整数,故有5种进货方案,分别是:购进甲种口罩223袋,乙种口罩277袋;购进甲种口罩224袋,乙种口罩276袋;购进甲种口罩225袋,乙种口罩275袋;购进甲种口罩226袋,乙种口罩274袋;购进甲种口罩227袋,乙种口罩273袋;设网店获利w元,则有w=(25﹣22.4)m+(20﹣18)(500﹣m)=0.6m+1000,故当m=227时,w最大,w最大=0.6×227+1000=1136.2(元),故该网店购进甲种口罩227袋,购进乙种口罩273袋时,获利最大,最大利润为1136.2元.6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金,用于初中毕业时各项活动的经费.通过商议,决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照,其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品.已知每件文化衫28元,每本相册20元.(1)适用于购买文化衫和相册的总费用为W元,求总费用W(元)与购买文化衫件数t(件)函数关系式(2)购买文化衫和相册有哪几种方案?为了使拍照的资金更充足,应选择哪种方案,并说明理由.【解析】(1)设购买的文化衫t件,则购买相册(45﹣t)件,根据题意得:W=28t+20×(45﹣t)=8t+900.(2)根据题意得:,解得:30≤t≤32,①有三种购买方案:方案一:购买30件文化衫、15本相册;方案二:购买31件文化衫、14本相册;方案三:购买32件文化衫、13本相册.①W=8t+900中W随x的增大而增大,①当t=30时,W取最小值,此时用于拍照的费用最多,①为了使拍照的资金更充足,应选择方案一:购买30件文化衫、15本相册.7、江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.【解析】(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,根据题意得:,解得:.答:每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,根据题意得:w=300×2m+200×2(10﹣m)=200m+4000.①2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,①,解得:5≤m≤7,①有三种不同方案.①w=200m+4000中,200>0,①w值随m值的增大而增大,①当m=5时,总费用最小,最小值为5000元答:有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元.8、为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价间的关系如下表:(1)商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个?(2)设商店所获利润为y(单位:元),购进篮球的个数为x(单位:个),请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(3)若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求出最大利润是多少?【解析】(1)设购进篮球m个,排球n个,根据题意得:6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩,解得:4020mn=⎧⎨=⎩.答:购进篮球40个,排球20个.(2)设商店所获利润为y元,购进篮球x个,则购进排球(60﹣x)个,根据题意得:y=(105﹣80)x+(70﹣50)(60﹣x)=5x+1200,①y与x之间的函数关系式为:y=5x+1200.(3)设购进篮球x个,则购进排球(60﹣x)个,根据题意得:512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩,解得:40≤x≤1303.①x取整数,①x=40,41,42,43,共有四种方案,方案1:购进篮球40个,排球20个;方案2:购进篮球41个,排球19个;方案3:购进篮球42个,排球18个;方案4:购进篮球43个,排球17个.①在y=5x+1200中,k=5>0,①y随x的增大而增大,①当x=43时,可获得最大利润,最大利润为5×43+1200=1415元.9、为解决消费者停车难的问题,某商场新建一小型轿车停车场,经测算,此停车场每天需固定支出的费用(包括设施维修费、管理人员工资等)为600元,为制定合理的收费标准,该商场对每天轿车停放辆次(每辆轿车每停放一次简称为“辆次”)与每辆轿车的收费情况进行调查,发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时,每天来此停放的轿车都为300辆次;若每辆次轿车的停车费定价超过10元,则每超过1元,每天来此停放的轿车就减少12辆次,设每辆次轿车的停车费x元(为便于结算,停车费x只取整数),此停车场的日净收入为y元(日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出)回答下列问题:(1)①当x≤10时,y与x的关系式为:;①当x>10时,y与x的关系式为:;(2)停车场能否实现3000元的日净收入?如能实现,求出每辆次轿车的停车费定价,如不能实现,请说明理由;(3)该商场要求此停车场既要吸引顾客,使每天轿车停放的辆次较多,又要有最大的日净收入,按此要求,每辆次轿车的停车费定价应定为多少元?此时最大日净收入是多少元?【解析】(1)①由题意得:y=300x﹣600;①由题意得:y=[300﹣12(x﹣10)]x﹣600,即y=﹣12x2+420x﹣600;(2)依题意有:﹣12x2+420x﹣600=3000,解得x1=15,x2=20.故停车场能实现3000元的日净收入,每辆次轿车的停车费定价是15元或20元;(3)、当x≤10时,停车300辆次,最大日净收入y=300×10﹣600=2400(元);当x>10时,y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12(x2﹣35x)﹣600=﹣12(x﹣17.5)2+3075,①当x=17.5时,y有最大值.但x只能取整数,①x取17或18.显然x取17时,小车停放辆次较多,此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072(元).由上可得,每辆次轿车的停车费定价应定为17元,此时最大日净收入是3072元.10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国,通过优质快捷的网络销售渠道,小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果,共花费450元;后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果,共花费275元(每次两种芒果的售价都不变).(1)问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元?(2)现要购买两种芒果共18箱,要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍,但不超过A品种芒果数量的4倍,请你设计购买方案,并写出所需费用最低的购买方案.【解析】(1)设A品种芒果箱x元,B品种芒果为箱y元,根据题意得:23450{2275x yx y+=+=,解得:75{100xy==.答:A品种芒果售价为每箱75元,B品种芒果售价为每箱100元.(2)设A品种芒果n箱,总费用为m元,则B品种芒果18﹣n箱,①18﹣n≥2n且18﹣n≤4n,① 185≤n≤6,①n非负整数,①n=4,5,6,相应的18﹣n=14,13,12;①购买方案有:A品种芒果4箱,B品种芒果14箱;A品种芒果5箱,B品种芒果13箱;A品种芒果6箱,B品种芒果12箱;∴所需费用m分别为:4×75+14×100=1700元;5×75+13×100=1675元;6×75+12×100=1650元,∴购进A 品种芒果6箱,B品种芒果12箱总费用最少.。
中考数学最值问题ppt课件
Q
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求两点间距离的最值,常依据两点间线段最短 (三角形两边之和大于第三边)
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求直线上动点到两定点距离和的最值, 常将两定点变化到直线异侧,再利用 对称的性质解决。本题是几何方法求 最值较经典的例题,依据是三角形两 边之和大于第三边(两点间线段最短)
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求直线上动点到两定点距离差的最值, 常将两定点变化到直线同侧,再利用 对称的性质解决。依据是三角形两 边之差小于第三边
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【例】(2016•成都)如图,面积为6的平行四边形纸片ABCD中,AB=3,∠BAD= 45°,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:如图①,将平行四边形纸片沿对角线BD剪开,得到△ABD和△BCD纸片,再 将△ABD纸片沿AE剪开(E为BD上任意一点),得到△ABE和△ADE纸片;
第二步:如图②,将△ABE纸片平移至△DCF处,将△ADE纸片平移至△BCG处;
第三步:如图③,将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处(边PQ与DC重 合,△PQM与△DCF在CD同侧),将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处(边PR与BC重合,△PRN与△BCG在BC同侧)。
33将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移设平移的时间为t秒平移后的直尺为wxyz其中边xy所在的直线与x轴交于点m与抛物线的其中一个交点为点n请直接写出当t为何值时可使得以cdmn为顶点的四边形是平行四边形
最值问题
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最值问题是初中数学的重要内容,从难度上看,既可以是很简 单的小题,也可以是综合性较强的大题,一直是中考命题的热 点,在压轴题和选择填空题中都经常出现。
(人教版数学)七年级竞赛专题讲解:第二十九讲 最值问题
第二十九讲 最值问题求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值,是数学问题中的一种常见类型,又在实际生活与生产实践中,我们经常碰到一些带有“最”字的问题,如投入最少、路程最短、材料最省等,这些问题我们称之为最值问题,在现阶段,解这类问题的基本知识与基本方法有:1.穷举获取;2.运用非负数的性质;3.利用不等分析逼近求解;4.使用几何公理、定理、性质等.解这类问题时,既要说明最值可以达到,又要证明不可能比所求的值更大(或更小),前者需构造一个恰当的例子,后者需要详细说理.例题【例1】 设自然数x ,y ,m ,n 满足条件85===n m m y y x ,则x+y+m+n 的最小值是 . (湖北省黄冈市竞赛题) 思路点拨 把连等式拆开用,用一个字母的代数式表示另一个字母,利用隐含整除条件,分别求出x ,y ,m ,n 的最小值.【例2】 设a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=9,那么代数式(a 一b)2+(b —c)2+(c 一a)2的最大值是( ).A .27B .18C .15D .12(全国初中数学联赛题) 思路点拨 利用乘法公式,把代数式变形成与已知条件关联的式子,进而求出最大值.【例3】 已知n 、k 均为自然数,且满足不等式116137<+<k n n ,若对于某一给定的自然数n ,只有惟一的一个自然数k 使不等式成立,求所有符合要求的自然数中的最大数和最小数.(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 解关于k 的不等式组,利用已知条件的约束,通过穷举求出n 的最大数与最小数.注:解含等式、不等式组成的混合组的基本思路是:用消元法转化为只合有一个未知数的不等式(组),解不等式(组)来逼近这个未知数的值,进而解出相关问题【例4】某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元?(全国初中数学竞赛题)思路点拨 即要求出此人从A 城出发到B 城的最短时间,而从A 城到B 城有多条线路,故只需一一列举,比较就可得出结论.【例5】 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,已知生产这些家电产品的所需工时和每台产值如下表:问:每周生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)?(河南省竞赛题)思路点拨 设每周生产空调器、彩电、冰箱各x 台、y 台、z 台,产值为s ,可得到关于x 、y 、z 的混合方程组,通过消元,建立一元不等式组,通过解不等式组,确定相应字母取值范围,进而求出x 的最大值.学力训练1.多项式些x 2+y 2一6x+8y+7的最小值为 .(江苏省竞赛题)2.在式子4321+++++++x x x x 中,用不同的x 值代人,得到对应的值,在这些对应的值中,最小的值为 .3.如果把分数79的分子、分母分别加上正整数a ,b 结果等于139,那么a+b 的最小值是 . (第15届江苏省竞赛题)4.当x = 且y= 时,代数式-x 2一2y 2—2x+8y 一5有最大值,这个最大值是 .5.若a 、b 、c 、d 为整数,且b 是正整数,满足b+c =d ,c+d =a ,a+b=c ,那么a+b+c+d 的最大值是( ).A .一1B .一5C .0D .16.多项式5x 2—4xy+4y 2+12x+25的最小值为( ).A .4B . 5C .16D .25(“五羊杯”竞赛题)7.已知2351312x x x --≥--,求31+--x x 的最大值和最小值. 8.某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演,评出一等奖5个,二等奖l0个,三等奖15个.学校决定给获奖的学生发奖品,同一等次的奖品相同,并且只能从下表所列物品中选取一件:(1)如果获奖等次越高,奖品单价就越高,那么学校最少要花多少钱买奖品?(2)学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍,二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍,在总费用不超过1000元的前提下,有几种购买方案?花费最多的一种方案需要多少钱?(江苏泰州市试题)9.现有某物质73吨,计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走,且每辆车都要装满,已知载重量7吨的卡车每台车运费65元,载重量5吨的卡车每台车运费50元,问最省运费是多少元?(重庆市竞赛题)10.设m ,n 是非零自然数,并且19n 2一98n —m =0,则m+n 的最小值是 . (国家理科实验班招生试题)11.设a 1,a 2,…,a k 为k 个互不相同的正整数,且a 1+a 2+…+a k =1995,那么k 的最大值是 .12.a 、b 、c 是非负数,并且满足3a+2b+c =5,2a+b -3c=1,设m =3a+b -7c ,设x 为m 的最小值,y 为m 的最大值,则xy = .(2003年北京市竞赛题)13.甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨,A 、B 两市分别用粮1200吨、800吨,需从甲、乙两粮库调运,由甲库到A 、B 两市的运费分别为6元/吨、5元/吨;由 乙库到A 、B 两市的运费分别是9元/吨、6元/吨,则总运费最少需 元.(北京市“迎春杯”竞赛题)14.设a 、b 、c 、d 都是整数,且a<3b ,b<5c ,c<7d ,d<30,则a 的最大可能值是 ( ).A .3026B .3029C .3045D .3150(“数学新蕾”竞赛题)15.某种出租车的收费标准是:起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费),超过3千米以后,每增加0.5千米,加收0.9元(不足0.5千米按0.5千米计).某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元,则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是( )千米.A .12B .11C .10D .9(重庆市竞赛题)16.把一根lm 长的金属线材,截成长为23cm 和13cm 的两种规格,用怎样的方案截取材料利用率最高?求出最高利用率.(利用率=%100 原材料长度实际利用材料长度,截口损耗不计) (江苏省竞赛题)17.已知a 1,a 2,…,a 2000的值都是+1或-1,设S 是这2002个数的两两乘积之和.(1)求S 的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件;(2)求S 的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.(“我爱数学”夏令营竞赛题)18.6盒火柴按“规则方式”打包,所谓“规则方式”是指每相邻2盒必须是以完全重合的面对接,最后得到的包装形状要是一个长方体.已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是:a =46mm ,b =36mm ,c=16mm ,请你给出一种能使表面积最小的打包方式,并画出其示意图.19.永强加工厂接到一批订单,为完成订单任务,需用a 米长的材料440根,b 米长的材料480根,可采购到的原料有三种,一根甲种原料可截得a 米长的材料4根,6米长的材料8根,成本为60元;一根乙种原料可截得a 米长的材料6根,b 米长的材料2根,成本为50元;一根丙种原料可截得a 米长的材料4根,b 米长的材料4根,成本为40元.问怎样采购,可使材料成本最低?(第六届北京市数学知识应用竞赛试题)参考答案。
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初中数学最值问题专题分类讲解全书●平面几何中的最值问题●几何的定值与最值●最短路线问题●对称问题●巧作“对称点”妙解最值题●数学最值题的常用解法●求最值问题●有理数的一题多解1/ 49●平面几何中的最值问题在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例.在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种:(1)应用几何性质:①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;②两点间线段最短;③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;④定圆中的所有弦中,直径最长。
⑵运用代数证法:①运用配方法求二次三项式的最值;②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。
分析:在直线L上任取一点P’,连结A P’,BP’,在△ABP’中AP’+BP’>AB,如果AP’+BP’=AB,则P’必在线段AB上,而线段AB与直线L无交点,所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A’,则AP’=AP,2/ 49在△A’BP中A’P’+B’P’>A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’=A’B,所以这时PA+PB最小。
1 已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.解作DE⊥AB于E,则x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry,所以所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,上式只有当x=R时取等号,这时有所以2y=R=x.所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,这时,梯形的底角恰为60°和120°.2 .如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?3/ 49分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+πx=8,若窗户的最大面积为S,则把①代入②有即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大.3. 已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?分析与解因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限状况(P与A重合时)等于AB.因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.4/ 49为了证PA+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P′,连P′A,P′B,延长AP′到C′,使P′C′=BP′,连C′B,CC′,则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,所以A,B,C′,C四点共圆,所以∠C C′A=∠CBA=90°,所以在△ACC′中,AC>AC′,即PA+PB>P′A+P′B.4 如图3-94,在直角△ABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是△ABD,△ACD的内心,直线MN交AB,AC于K,L.求证:S△ABC≥2S△AKL.证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.因为在△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,所以∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.因为M,N分别是△ABD和△ACD的内心,所以∠1=∠2=45°,∠3=∠4,所以△ADN∽△BDM,又因为∠MDN=90°=∠ADB,所以△MDN∽△BDA,所以∠BAD=∠MND.由于∠BAD=∠LCD,所以∠MND=∠LCD,所以D,C,L,N四点共圆,所以∠ALK=∠NDC=45°.同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=AL.因为△AKM≌△ADM,所以AK=AD=AL.而而5/ 49从而所以S△ABC≥S△AKL.5. 如图3-95.已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P,Q.求证:PQ≤AB.证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P1,Q1,连结P1C,显然,PQ≤P1Q1.因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°,所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角.若∠AQ1P1≥90°,则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB;若∠P1Q1C≥90°,则PQ≤P1Q1≤P1C.同理,∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角,不妨设∠BP1C≥90°,则P1C≤BC=AB.对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论,因此,PQ≤AB.6. 设△ABC是边长为6的正三角形,过顶点A引直线l,顶点B,C到l的距离设为d1,d2,求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题).解如图3-96,延长BA到B′,使AB′=AB,连B′C,则过顶点A的直线l或者与6/ 49BC相交,或者与B′C相交.以下分两种情况讨论.(1)若l与BC相交于D,则所以只有当l⊥BC时,取等号.(2)若l′与B′C相交于D′,则所以上式只有l′⊥B′C时,等号成立.7. 如图3-97.已知直角△AOB中,直角顶点O在单位圆心上,斜边与单位圆相切,延长AO,BO分别与单位圆交于C,D.试求四边形ABCD面积的最小值.解设⊙O与AB相切于E,有OE=1,从而7/ 49即AB≥2.当AO=BO时,AB有最小值2.从而所以,当AO=OB时,四边形ABCD面积的最小值为8/ 49●几何的定值与最值几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理(公理)法;3.数形结合法等.注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.【例题就解】【例1】如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为.思路点拨如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,1AB一常数,当CQ越小,CD越小,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=2本例也可设AP=x,则PB=x10,从代数角度探求CD的最小值.注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:(1)中点处、垂直位置关系等;(2)端点处、临界位置等.【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为⌒9/ 4910 / 49T ,圆交AC 、BC 于M 、N ,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN 为的度数( )A .从30°到60°变动B .从60°到90°变动C .保持30°不变D .保持60°不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时, 其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断. 注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下, 动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变 化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时, 研究的量取得定值与最值.【例3】 如图,已知平行四边形ABCD ,AB=a ,BC=b (a >b ),P 为AB 边上的一动点,直线DP 交CB 的延长线于Q ,求AP+BQ 的最小值.思路点拨 设AP=x ,把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示,运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值.【例4】 如图,已知等边△ABC 内接于圆,在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ,设直线AC 与BM 相交于K ,直线CB 与AM 相交于点N ,证明:线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.思路点拨 即要证AK·BN 是一个定值,在图形中△ABC 的边长是一个定值,说明AK·BN 与AB 有关,从图知AB 为 △ABM 与△ANB 的公共边,作一个大胆的猜想,AK·BN=AB 2, 从而我们的证明目标更加明确.注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC 直角边长的最大可能值.思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z 在斜边AB 上时,取xy 的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z 在(AC 或CB)上时,设CX=x ,CZ=y ,建立x ,y 的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.⌒注:数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;(2)构造二次函数求几何最值.学力训练1.如图,正方形ABCD 的边长为1,点P 为边BC 上任意一点(可与B 点或C 点重合),分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为 ,最小值为 .2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P ,PO=10,在角的两边上有两点Q ,R(均不同于点O),则△PQR 的周长的最小值为 .3.如图,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC=8,B 到MN 的距离BD=5,CD=4,P 在直线MN 上运动,则PB PA -的最大值等于 .4.如图,A 点是半圆上一个三等分点,B 点是弧AN 的中点,P 点是直径MN 上一动点,⊙O 的半径为1,则AP+BP 的最小值为( )A .1B .22 C .2 D .13- 5.如图,圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形,动点P 从A 点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A .212π+B .2412π+C .214π+D .242π+6.如图、已知矩形ABCD ,R ,P 户分别是DC 、BC 上的点,E ,F 分别是AP 、RP 的中点,当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时,那么下列结论成立的是( )A .线段EF 的长逐渐增大B .线段EF 的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定7.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC 为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.(1)求证:MN∥AB;(2)若AB的长为l0cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.(2002年云南省中考题)8.如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S 对AB作垂线的垂足,求证:不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.9.已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.(1)当点P在线段AB上时(如图),求证:PA·PB=PE·PF;(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是( )25D.14A.8 B.12 C.211.如图,AB是半圆的直径,线段CA上AB于点A,线段DB上AB于点B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是( ) A.23+2+B.23+D.21+C.212.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,A V与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米.(1)设矩形的边AB=x(米),AM=y(米),用含x的代数式表示y为.(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.(镇江市中考题)16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m2).参考答案●最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.在本讲所举的例中,如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内,那么所求的最短路线是线段;如果它们位于凸多面体的不同平面上,而允许走的路程限于凸多面体表面,那么所求的最短路线是折线段;如果它们位于圆柱和圆锥面上,那么所求的最短路线是曲线段;但允许上述哪种情况,它们都有一个共同点:当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时,例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等,将它们展开在一个平面上,两点间的最短路线则是连结两点的直线段.这里还想指出的是,我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如,在地球(近似看成圆球)上A、B二点之间的最短路线如何求呢?我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球,在地球表面留下的截痕为圆周(称大圆),在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线,航海上叫短程线.关于这个问题本讲不做研究,以后中学会详讲.在求最短路线时,一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法.例1 如下图,侦察员骑马从A地出发,去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马,如果途中没有重要障碍物,那么侦察员选择怎样的路线最节省时间,请你在图中标出来.解:要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.作点A关于河岸的对称点A′,即作AA′垂直于河岸,与河岸交于点C,且使AC=A′C,连接A′B交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置,连接PA,此时PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.证明:设河岸上还有异于P点的另一点P′,连接P′A,P′B,P′A′.∵P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB,而这里不等式P′A′+P′B>A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段,所以PA+PB是最短路线.此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B,所以这种方法也叫做化直法,其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点,爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾,它可以沿许多路径到达,但哪一条是最近的路线呢?解:我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°(如下页右图),使它和含A点的墙α处在同一平面上,此时β转过来的位置记为β′,B点的位置记为B′,则A、B′之间最短路线应该是线段AB′,设这条线段与墙棱线交于一点P,那么,折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线.证明:在墙棱上任取异于P点的P′点,若沿折线AP′B走,也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长,所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线.由此例可以推广到一般性的结论:想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时,可以把不同平面转成同一平面,此时,把处在同一平面上的两点连起来,所得到的线段还原到原始的两相邻平面上,这条线段所构成的折线,就是所求的最短路线.例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,A′A=2′,AD=1,有一只小虫从顶点D′出发,沿长方体表面爬到B点,问这只小虫怎样爬距离最短?(见图(1))解:因为小虫是在长方体的表面上爬行的,所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上,在这个“展开”后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段,这样,从D′点出发,到B点共有六条路线供选择.①从D′点出发,经过上底面然后进入前侧面到达B点,将这两个面摊开在一个平面上(上页图(2)),这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段,它是直角三角形ABD′的斜边,根据勾股定理,D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25,∴D′B=5.②容易知道,从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.③从D′点出发,经过左侧面,然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面上,同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线(上页图(3)),有:D′B2=22+(1+4)2=29.④容易知道,从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29.⑤从D′点出发,经过左侧面,然后进入下底面到达B点,将这两个平面摊开在同一平面上,同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线(见图),D′B2=(2+4)2+12=37.⑥容易知道,从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.比较六条路线,显然情形①、②中的路线最短,所以小虫从D′点出发,经过上底面然后进入前侧面到达B点(上页图(2)),或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线,它的长度是5个单位长度.利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法,可以解决一些类似的问题,例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题(下左图),同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面(下右图),连接A、B成线段AP1P2B,P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点,则折线AP1P2B就是AB间的最短路线.圆柱表面的最短路线是一条曲线,“展开”后也是直线,这条曲线称为螺旋线.因为它具有最短的性质,所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如:螺钉上的螺纹,螺旋输粉机的螺旋道,旋风除尘器的导灰槽,枪膛里的螺纹等都是螺旋线,看下面例题.例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线,如下左图,如果将金线的起点固定在A点,绕一周之后终点为B点,问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少?解:将上左图中圆柱面沿母线AB剪开,展开成平面图形如上页右图(把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时,A′、B′分别与A、B重合),连接AB′,再将上页右图还原成上页左图的形状,则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.圆锥表面的最短路线也是一条曲线,展开后也是直线.请看下面例题.例5 有一圆锥如下图,A、B在同一母线上,B为AO的中点,试求以A为起点,以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.21/ 49解:将圆锥面沿母线AO剪开,展开如上右图(把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时,A′、B′分别与A、B重合),在扇形中连AB′,则将扇形还原成圆锥之后,AB′所成的曲线为所求.例6 如下图,在圆柱形的桶外,有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米,B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米,而C、D两点之间的(桶口)弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线,应该怎么走?路程总长是多少?分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图(下图),由于B点在里面,不便于作图,设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.解:将圆柱面展成平面图形(上图),延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于O.因为桶口沿线CD是B、F的对称轴,所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直线段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到O点后,转向桶内B点爬去.延长AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形,AF是斜边,EF=CD,根据勾股定理,AF2=(AC+CE)2+EF2 =(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.22/ 49例7 A、B两个村子,中间隔了一条小河(如下图),现在要在小河上架一座小木桥,使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点,使A、B两个村子之间路程最短.分析因为桥垂直于河岸,所以最短路线必然是条折线,直接找出这条折线很困难,于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相当于河宽,而河宽是定值,所以桥长是定值.因此,从A点作河岸的垂线,并在垂线上取AC等于河宽,就相当于把河宽预先扣除,找出B、C两点之间的最短路线,问题就可以解决.解:如上图,过A点作河岸的垂线,在垂线上截取AC的长为河宽,连结BC交河岸于D点,作DE垂直于河岸,交对岸于E点,D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即两村的最短路程是AE+ED+DB.例8 在河中有A、B两岛(如下图),六年级一班组织一次划船比赛,规则要求船从A岛出发,必须先划到甲岸,又到乙岸,再到B岛,最后回到A岛,试问应选择怎样的路线才能使路程最短?解:如上图,分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′,连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点,则A→E→F→B→A是最短路线,即最短路程为:AE+EF+FB+BA.证明:由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度.而从A岛到23/ 49甲岸,又到乙岸,再到B岛的任意的另一条路线,利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线,它们的长度都大于线段A′B′,例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度,它大于A′B′的长度,所以A→E→F→B→A 是最短路线.●对称问题教学目的:进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法,对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识,可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。