三元基本不等式基础
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )? 3
证: a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ,
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证: abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值. 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习:
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形: ab 2 ①若a, b R , 则ab ( ). 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc ( ). 3a a a 1 2 n
an ( n
).
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明:设a、b、c为非负实数,且不全为0。
根据三元均值不等式的表述,我们要证明以下不等式成立:(a+b+c)/3 ≥ √(abc)证明:我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式:(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到:(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到:a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc,得到:a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到:(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和,而右边是它们的积,由于三个非负实数的平方和≥它们的积,因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用:(1)证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值:设a和b为非负实数,且不全为0。
根据三元均值不等式,有:(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到:a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
(2)证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积:设a和b为非负实数,且不全为0。
根据三元均值不等式,有:(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到:a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
(3)求证函数的不等式:设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数,并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得:∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
卡尔松不等式三元
卡尔松不等式三元介绍卡尔松不等式是数学中的一种重要不等式,它与多项式的根的关系密切相关。
卡尔松不等式三元是指该不等式在三元多项式的情况下的应用。
本文将介绍卡尔松不等式的定义、性质以及在三元多项式中的应用。
卡尔松不等式的定义卡尔松不等式是由瑞典数学家卡尔松(Carl Gustav Axel Hedenmalm)于19世纪提出的。
它是描述多项式根的位置的一种不等式。
具体而言,对于一个次数为n的多项式f(x),卡尔松不等式给出了该多项式根的复数部分的绝对值的上界。
该不等式可以表示为:|Im(z)| <= C * max{|z|,1}^(1/n)其中,z是多项式f(x)的根,C是一个与多项式相关的常数。
该不等式在复平面上给出了根部的一个包络线,它限制了根的位置。
卡尔松不等式的性质卡尔松不等式具有以下几个重要性质:1.非负性:对于任何一个有根多项式,通过卡尔松不等式得到的上界是非负的,即根的复数部分的绝对值不会超过该上界。
2.调和性:卡尔松不等式保持了多项式根的位置的调和性。
如果一个多项式的根在单位圆内,则通过卡尔松不等式得到的上界仍然位于单位圆内。
3.正确性:卡尔松不等式是一个精确的上界,即根的复数部分的绝对值不会超过该上界。
4.相容性:如果两个多项式具有相同的次数和根的个数,那么它们的卡尔松不等式的上界也是相同的。
卡尔松不等式在三元多项式中的应用卡尔松不等式在三元多项式中的应用较为广泛,尤其是在控制论、自动化以及信号处理等领域。
在控制论中,多变量系统的稳定性分析是一个重要的问题。
通过将系统的转移函数表示为三元多项式,可以使用卡尔松不等式来定量评估系统的稳定性。
根据卡尔松不等式,只需要检查系统的根是否满足不等式给出的上界条件即可判断系统的稳定性。
在自动化领域,多变量控制器的设计也需要考虑系统的稳定性。
通过将控制器的传递函数表示为三元多项式,并结合卡尔松不等式,可以设计出满足系统稳定性要求的控制器。
三元不等式sos
三元不等式sos
三元不等式是包含三个未知数的不等式,形如:a+b+c>k,其中a,b,c是未知数,k是一个常数。
求解三元不等式的方法有多种,下面介绍一种常用的方法:代入法。
代入法的基本思路是将三元不等式转化为二元或一元不等式,然后逐一求解。
具体步骤如下:
选取一个容易求解的未知数,通常选取一个变量等于某个特定值,从而将三元不等式转化为二元或一元不等式。
将选取的未知数代入原不等式中,得到一个较简单的二元或一元不等式。
解这个简单的二元或一元不等式,得到另一个未知数的取值范围。
将得到的取值范围代回原不等式中,继续求解,直到得到所有未知数的取值范围。
需要注意的是,代入法的适用范围有限,只适用于某些特定类型的不等式。
同时,代入法也可能会引入误差或遗漏解,因此需要谨慎使用。
3元基本不等式公式
3元基本不等式公式3元基本不等式公式是数学中一种重要的不等式形式,它在解决实际问题和证明数学定理时具有广泛的应用。
本文将围绕着3元基本不等式公式展开,介绍其基本概念、性质和应用领域。
一、基本概念3元基本不等式公式是指形如a+b+c≥3√abc的不等式,其中a、b、c为实数且大于等于0。
这个公式的核心思想是,对于非负数a、b、c,它们的和一定大于等于它们的立方根的乘积。
二、性质分析1. 对称性:3元基本不等式公式具有对称性,即若a、b、c满足不等式,那么b、c、a也满足不等式。
2. 等号成立条件:当且仅当a=b=c时,3元基本不等式公式取等号。
3. 拓展性:3元基本不等式公式可以推广到n元不等式,其中n为正整数。
4. 不等式关系:在3元基本不等式公式中,若a>b>c,则a+b>a+c>b+c。
三、应用领域1. 几何问题:在解决几何问题中,3元基本不等式公式常常用于证明三角形的不等式关系,如证明三角形的边长之和大于等于两倍的高度之和。
2. 经济学模型:在经济学中,3元基本不等式公式可以用于分析资源分配和生产效率的关系,以及评估不同经济体系的效益差异。
3. 生物学研究:在生物学研究中,3元基本不等式公式可以应用于分析物种数量、生态系统稳定性和物种相互作用的关系。
4. 数学证明:3元基本不等式公式是数学证明中常用的工具之一,可以用于证明诸如柯西不等式、均值不等式等数学定理。
3元基本不等式公式是数学中一种重要的不等式形式,具有对称性、等号成立条件、拓展性和不等式关系等性质。
在几何问题、经济学模型、生物学研究和数学证明等领域都有广泛的应用。
通过研究和运用这个公式,我们可以更好地理解和解决实际问题,推动数学和其他学科的发展。
三元均值不等式的证明方法
三元均值不等式的证明方法方法一:基于平方差的证明法我们考虑三个非负实数a、b和c,取它们的平方差,即(a-b)²,(b-c)²和(c-a)²。
我们可以将每一项展开为:(a-b)² = a²-2ab+b²(b-c)² = b²-2bc+c²(c-a)² = c²-2ca+a²对于这三个平方差,我们可以将它们分别相加,得到:(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = a²-2ab+b² + b²-2bc+c² + c²-2ca+a²= 2(a²+b²+c²) - 2(ab+bc+ca)通过观察,我们可以发现,右侧等式中的每一项都是非负的。
所以我们有:(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0将其展开得到:2(a²+b²+c²) - 2(ab+bc+ca) ≥ 0移项得到:(a²+b²+c²) ≥ (ab+bc+ca)即:(a²+b²+c²)/3 ≥ (ab+bc+ca)/3由于左侧是三个数的算术平均值,右侧是它们的等权重平均值,所以这个不等式成立。
方法二:基于函数的证明法我们考虑一个关于三个非负实数a、b和c的函数f(x)=x²。
这个函数在整个实数轴上是单调递增的。
由于a、b和c都是非负实数,所以我们有a²≥b²≥c²。
根据单调性,我们有f(a)≥f(b)≥f(c)。
考虑函数的平均值不等式:[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥[(a+b+c)/3]²根据函数的定义,我们有:[a²+b²+c²]/3≥[(a+b+c)/3]²即:(a²+b²+c²)/3≥(a+b+c)²/9展开得到:9(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²展开右侧得到:9(a²+b²+c²) ≥ a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)化简得到:8(a²+b²+c²) ≥ 2(ab+bc+ca)再化简得到:4(a²+b²+c²) ≥ ab+bc+ca即:(a²+b²+c²)/3 ≥ (ab+bc+ca)/3从而证明了三元均值不等式的成立。
三元三角不等式
三元三角不等式一、三元三角不等式是什么呢?嘿呀,小伙伴们,这个三元三角不等式呀,就像是数学世界里的一个小怪兽。
它呢,和三角形的三边有着千丝万缕的关系哦。
简单来说呢,在一个三角形里呀,三条边的长度就会满足这个三元三角不等式。
比如说,有三条边a、b、c,那么就会有这样的关系:a + b > c,a + c > b,b + c > a。
这就好像是三角形三边之间的小秘密,谁也不能违背这个规则呢。
你看啊,如果有一个三角形,它的三条边要是不满足这个不等式,那它就不是一个正常的三角形啦。
就像如果 a + b = c,那这三条边就只能是在一条直线上,构不成三角形了。
而且呀,这个三元三角不等式在很多数学问题里都超级有用呢。
比如在计算一些几何图形的边长范围,或者是判断能不能构成三角形的时候,它就像是一个小法宝一样,只要拿出来一用,就知道是怎么回事儿啦。
二、三元三角不等式的一些例子那我来给大家举几个例子吧。
比如说,有三条线段,长度分别是3、4、5。
那我们来验证一下这个三元三角不等式哦。
3 + 4 > 5,3 + 5 > 4,4 + 5 > 3,完全符合呢,所以这三条线段是可以构成一个三角形的。
再比如说,1、2、4这三条线段。
1 + 2 = 3,3可是小于4的哦,所以这三条线段就不能构成三角形啦。
三、三元三角不等式的拓展其实呀,这个三元三角不等式还有一些拓展的内容呢。
在空间几何里,也有类似的概念哦。
不过那时候就不是简单的三条边啦,而是四面体的棱之类的关系,不过基本的原理还是差不多的。
就是说在一个空间图形里,它的一些边长或者棱长之间也会有类似的大小关系,这样才能保证这个空间图形是合理存在的呢。
小伙伴们,这个三元三角不等式虽然看起来有点小复杂,但是只要我们多去研究研究那些例子,就会发现它其实很有趣的啦。
三元三次不等式通法
三元三次不等式通法
三元三次不等式一般形式为:ax³ + bx² + cx + d > 0,其中a、b、c和d是实数,并且a不等于0。
要解决三元三次不等式的通法,以下是一种可能的方法:
1. 将不等式移项,使其等于零。
将不等式转化为方程的形式:ax³ + bx² + cx + d = 0。
2. 如果能够找到一个解x = t,其中t是实数,使得方程ax³ + bx² + cx + d = 0能够被(t - x)整除,那么(t - x)就是方程的一个因式。
3. 通过将方程除以(t - x),可以得到一个二次方程。
然后,我们可以使用二次方程的解法(如因式分解、配方法、求根公式等)来求解这个二次方程。
4. 在求得二次方程的解之后,我们可以通过观察原始方程和求解所得的二次方程的根之间的关系,找到更多的解。
5. 重复上述步骤,直到我们找到所有的实数解。
需要注意的是,三元三次不等式的求解通常会涉及复杂的代数运算和因式分解技巧。
实际上,一般情况下很难得出一个简单、通用的方法来解决所有的三元三次不等式。
因此,在实际问题中,最常用的方法是数值逼近法,通过寻找一些特殊点或者绘制曲线来分析不等式的解集。
三个数的基本不等式证明
三个数的基本不等式证明1. 引言嘿,大家好!今天咱们来聊聊一个有趣又简单的数学概念——三个数的基本不等式。
虽然听起来有点高深,但别担心,咱们会用轻松的方式来搞定它。
首先,咱们先想象一下,你有三个小伙伴,他们分别是 ( a )、( b ) 和 ( c )。
这三个小家伙总是爱争吵,争谁更优秀。
不过,数学告诉我们,有一个很棒的道理,能让他们和睦相处,这就是基本不等式。
2. 基本不等式的定义2.1 三个数的关系那么,什么是这基本不等式呢?其实简单来说,就是对任意非负数 ( a )、( b )、( c ),有一个超级重要的关系:( frac{a + b + c{3 geq sqrt3{abc )。
这句话的意思是,三个数的平均值总是大于等于它们的几何平均值。
这就像是说,如果你有三个苹果,虽然其中一个看起来特别大,但如果把它们平均分,大家的心情都好。
2.2 直观理解想象一下,你去水果市场,买了三个大小不同的水果。
一个大苹果,一个中等的橙子,还有一个小小的草莓。
虽然草莓在外形上有点“弱”,但如果把它们平均分开,最后的体验其实是公平的。
这种公平感,就是基本不等式的魅力所在。
3. 证明过程3.1 用简单的方法证明好啦,接下来是最重要的环节——证明!咱们可以用一个简单的数学方法来证明这个不等式。
我们先把 ( a )、( b ) 和 ( c ) 加起来,得到它们的总和,然后除以3,这就是它们的平均值。
接着,我们来算算它们的几何平均值。
咳咳,别紧张,几何平均值就是把这三个数相乘后开立方。
数学可不是那么吓人的,放心吧!3.2 完美结合接下来,我们要把这两个结果结合起来。
把 ( a + b + c ) 这个和分成三份,咱们就能发现,这三份的分布,和它们的几何平均值相比,其实是有一个“平衡”的感觉。
想象一下,假如你把这三份水果分别给了三个小朋友,每个小朋友都能吃到同样的水果,心里都会乐开花!这就是基本不等式带来的和谐,大家都能感受到公平与美好。
高中数学解三元一次不等式的方法及相关题目解析
高中数学解三元一次不等式的方法及相关题目解析在高中数学中,解三元一次不等式是一个重要的知识点。
它不仅在解决实际问题中有着广泛的应用,而且在考试中也经常出现。
本文将介绍解三元一次不等式的方法,并通过具体题目的解析,帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、解三元一次不等式的基本方法解三元一次不等式的基本方法是利用数轴和区间的概念进行分析。
具体步骤如下:1. 将不等式中的三元变量分别提取出来,得到三个关于单个变量的不等式。
2. 分别解这三个不等式,并将解集表示在数轴上。
3. 根据数轴上的解集,确定原不等式的解集。
下面通过一个具体的例子来说明这个方法。
例题1:解不等式组{x+y+z≥10, 2x+y≤8, x-2y+z≤5}。
解:首先,将不等式组中的三个不等式分别提取出来,得到:x+y+z≥10 (1)2x+y≤8 (2)x-2y+z≤5 (3)然后,我们分别解这三个不等式。
对于不等式(1),我们可以将其表示在数轴上:10────对于不等式(2),我们可以将其表示在数轴上:──── 8对于不等式(3),我们可以将其表示在数轴上:5────接下来,我们根据数轴上的解集,确定原不等式的解集。
根据不等式(1),我们知道x+y+z≥10,即(x,y,z)在数轴上的解集在10的右侧。
根据不等式(2),我们知道2x+y≤8,即(x,y)在数轴上的解集在8的左侧。
根据不等式(3),我们知道x-2y+z≤5,即(x,y,z)在数轴上的解集在5的右侧。
综上所述,原不等式的解集为:{x+y+z≥10, 2x+y≤8, x-2y+z≤5}的解集在数轴上的交集。
二、解三元一次不等式的相关题目解析下面我们通过几个相关题目的解析,进一步说明解三元一次不等式的方法和技巧。
例题2:解不等式组{3x+y+z≥12, x+2y+z≤10, 2x+y+3z≥15}。
解:首先,将不等式组中的三个不等式分别提取出来,得到:3x+y+z≥12 (1)x+2y+z≤10 (2)2x+y+3z≥15 (3)然后,我们分别解这三个不等式。
三元不等式xyz
三元不等式xyz
我们要讨论的是一个三元不等式:xyz。
其中,x、y和z分别是三个实数。
在这个不等式中,我们要探讨三个
实数的关系。
这个不等式要求xyz的值。
我们不能提供具体的数值,但可以给出一
些关于不等式的性质。
首先,我们注意到xyz中的任意一个变量都不能为零,否则等式就无
法成立。
其次,如果一个或多个变量是负数,那么xyz的值可能是正数或负数。
具体的结果取决于变量的取值。
最后,如果所有的变量都是正数,那么xyz的值一定是正数。
综上所述,xyz是一个三元不等式,其中x、y和z是实数。
不等式给
出了关于这三个实数之间的关系。
具体的不等式结果取决于变量的取值。
三元均值不等式的证明方法
三元均值不等式的证明方法对于非负实数a、b、c,有(a^2+b^2+c^2)/3 ≥ (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)下面我将分几个步骤来证明三元均值不等式。
第一步,证明(a+b+c)^2≥3(a^2+b^2+c^2)。
注意到(a+b+c)^2 ≥ 3(ab+bc+ca)成立,可以通过展开两边得到(a+b+c)^2 ≥ 3(ab+bc+ca)。
展开后得到a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ≥ 3(ab+bc+ca),化简得a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca,即2(a^2+b^2+c^2) ≥ (ab+bc+ca)。
因此,(a+b+c)^2≥3(a^2+b^2+c^2)。
第二步,证明(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)。
由得证条件可知(a+b+c)^2≥3(a^2+b^2+c^2),两边同时开根号得到√(a+b+c)≥√(3√(a^2+b^2+c^2))。
由于均值不等式,有√(a+b+c)≥(a+b+c)/3。
再次开根号得到(a+b+c)/3≥³√(a^2+b^2+c^2)。
由于³√(a^2+b^2+c^2) ≥ ³√(abc),所以(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)。
至此,三元均值不等式得证。
总结以上证明步骤,我们可以看到三元均值不等式的证明基于均值不等式以及对不等式进行化简和变形。
在这个过程中,我们利用了非负实数的性质以及基本的代数运算。
三元均值不等式是不等式理论中的重要命题之一,它不仅在数学推理中有广泛的应用,而且在物理、经济等领域也有实际的意义。
通过理解和掌握这一不等式的证明方法,我们能够更好地应用它解决实际问题,提高数学推理能力。
三元基本不等式教学设计
《三元基本不等式》教学设计一、教材背景分析1.教材的地位和作用本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质以及二元基本不等式的基础上展开的,作为二元基本不等式的延续, 为了更好地研究最值问题,此时三元基本不等式是必不可缺的。
它在知识体系中起了承上启下的作用,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材。
在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如作差比较、类比猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用。
就内容的人文价值上来看,三元基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.学情分析在认知上,学生已经掌握了二元基本不等式及其应用,并能够根据二元基本不等式进行最值,和不等式的简单证明. 如何让学生再认识“基本”二字,是本节学习的前提. 事实上,该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化,另外,在用基本不等式解决最值时,学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件,因此,在教学过程中,应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件(一“正”、二“定”、三“相等”)在解决最值问题中的作用.3、教学重难点:重点:1、基本不等式成立时的三个限制条件(即一正、二定、三相等)2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
难点:不等式运用过程中的变形与拼凑方法。
二、教学目标1、知识与能力目标:理解掌握三元基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;并能类比推理得到n元基本不等式。
2、过程与方法目标:利用类比推理得出不等式内容,采取比较法证明,也可借助二元基本不等式演绎推理出三元基本不等式。
如何将问题转化出积为定值,或和为定值。
3、情感与态度目标:通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
不等式证明的方法技巧(三元型)
关于三元不等式的一点总结在自主招生乃至数学竞赛中,我们往往会见到许多三元不等式,形式例如“a b c ++, ,abc ab bc ac ++”的不等式不胜枚举,所以本节就专门来谈谈关于这类不等式的处理手段。
由恒等式()()()()()a b c ab bc ac a b a c b c abc ++++=++++,再结合下面这个不等式:33a b c ab bc acabc ++++=≤⋅,可推出 ()()()()()a b a c b c a b c ab bc ac abc +++=++++-1()()()()9a b c ab bc ac a b c ab ac bc ≥++++-++++ 8()()9a b c ab ac bc =++++ (*) 即产生不等式9()()()8()()a b b c a c a b c ab ac bc +++≥++++ ①由(*)可进一步推:(*)()ab bc ac ≥++所以又产生不等式9()()()a b b c a c +++≥≥ ②从恒等式()()()()()a b a c b c a b c ab bc ac abc +++=++++-中我们又发现:()()()()()a b a c b c a b c ab bc ac abc +++=++++-8abcabc≥-≥即有不等式()()()8abc a b a c b c +++≥ ③结合① ② ③容易发现,()()()a b a c b c +++既可以与abc 和ab bc ac ++单独建立不等关系,又能和abc 、ab bc ac ++混合建立不等式。
进一步,我们若联系熟悉的不等式2)3()ab bc ac abc a b c ++≥++((证明交给读者自己)和舒尔不等式的下列4个变形:变形1 333222222()30x y z x y xy x z xz y z yz xyz ++-++++++≥ 我们把它简记为32()30cyccycx xy z xyz -++≥∑∑变形2 2()4()()9xyz 0x y z x y z xy xz yz ++-+++++≥我们把它简记为3()490cyccyccycx x xy xyz -⋅+≥∑∑∑变形3 ()()(y z x)xyz x y z x z y ≥+-+-+- 我们把它简记为()cycxyz x y z ≥+-∑变形4 222()()z ()3x y z x y x z y x y z xyz +-++-++-≤ 我们把它简记为2()3cycxy z x xyz +-≤∑则又可以产生一大批新的三元不等式,形成有力的证明桥梁!下面再介绍一种解决三元齐次轮换对称式的强有力工具-----舒尔分拆法! 定理1(舒尔不等式的推广),,0,1()()()0(2)()()()0(3)()()()()0k cyck cyck cycx y z k yz x y x z x y z x y x z yz y z x y x z ≥--≥+--≥+--≥∑∑∑设为非负实数,则有如下成立:()证明:(1)()()()(xyz)()()0kk k cyccycyz x y x z x x y x z ---=--≥∑∑(2)12()()()2(yz)()()kkcyccycxy z x y x z x x y x z +--≥--∑∑11222()()()k cycxyz xx y x z -=--∑0≥ (3)由(1)(2)易知也成立。
不等式证明的方法技巧(三元型)
关于三元不等式的一点总结在自主招生乃至数学竞赛中,我们往往会见到许多三元不等式,形式例如“a b c ++,,abc ab bc ac ++”的不等式不胜枚举,所以本节就专门来谈谈关于这类不等式的处理手段。
由恒等式()()()()()a b c ab bc ac a b a c b c abc ++++=++++,再结合下面这个不等式:33a b c ab bc ac abc ++++=≤⋅,可推出 ()()()()()a b a c b c a b c ab bc ac abc +++=++++-1()()()()9a b c ab bc ac a b c ab ac bc ≥++++-++++ 8()()9a b c ab ac bc =++++ (*) 即产生不等式9()()()8()()a b b c a c a b c ab ac bc +++≥++++ ①由(*)可进一步推:(*)()ab bc ac ≥++所以又产生不等式9()()()a b b c a c +++≥≥ ②从恒等式()()()()()a b a c b c a b c ab bc ac abc +++=++++-中我们又发现: ()()()()()a b a c b c a b c ab bc ac abc +++=++++-8abc abc≥-≥ 即有不等式()()()8abc a b a c b c +++≥ ③结合① ② ③容易发现,()()()a b a c b c +++既可以与abc 和ab bc ac ++单独建立不等关系,又能和abc 、ab bc ac ++混合建立不等式。
进一步,我们若联系熟悉的不等式 2)3()ab bc ac abc a b c ++≥++((证明交给读者自己)和舒尔不等式的下列4个变形: 变形1 333222222()30x y z x y xy x z xz y z yz xyz ++-++++++≥我们把它简记为32()30cyc cycx x y z xyz -++≥∑∑ 变形2 2()4()()9xyz 0x y z x y z xy xz yz ++-+++++≥我们把它简记为3()490cyc cyc cycx x xy xyz -⋅+≥∑∑∑ 变形3 ()()(y z x)xyz x y z x z y ≥+-+-+-我们把它简记为()cyc xyz x y z ≥+-∑ 变形4 222()()z ()3x y z x y x z y x y z xyz +-++-++-≤我们把它简记为2()3cyc xy z x xyz +-≤∑则又可以产生一大批新的三元不等式,形成有力的证明桥梁!下面再介绍一种解决三元齐次轮换对称式的强有力工具-----舒尔分拆法! 定理1(舒尔不等式的推广),,0,1()()()0(2)()()()0(3)()()()()0k cyck cyc k cycx y z k yz x y x z x y z x y x z yz y z x y x z ≥--≥+--≥+--≥∑∑∑设为非负实数,则有如下成立:()证明:(1)()()()(xyz)()()0k k k cyc cycyz x y x z x x y x z ---=--≥∑∑ (2)12()()()2(yz)()()k k cyc cycxy z x y x z x x y x z +--≥--∑∑ 11222()()()k cyc xyz x x y x z -=--∑0≥(3)由(1)(2)易知也成立。
三元赫尔德不等式
三元赫尔德不等式你知道“三元赫尔德不等式”吗?乍一听,名字是不是有点拗口,像是数学家开的一个秘密俱乐部的名字?它就是数学中的一种不等式,听起来很复杂,但一旦搞懂了,感觉就像解开了一个小谜团,豁然开朗。
今天我就跟你聊聊这个赫尔德不等式,保证让你既学到了知识,又能笑出声来。
首先呢,“赫尔德不等式”听起来像是个超级严肃的数学理论,像是一个大牛逼的数学大神发明的东西,结果其实它只是数学里的一种“约定俗成”的规则。
就是说,给你几个数,你可以根据这个规则,知道他们之间的一些“关系”。
简单点说,就像你告诉别人“今天下雨了,我带了伞”,别人听了就知道你今天带伞是为了防雨,而不是为了去打伞舞。
好了,接着说“三元赫尔德不等式”。
乍一看,名字里的“赫尔德”让人觉得很有深度。
就好像,赫尔德是某个很神秘的数学家,他弄出来的这个不等式简直可以颠覆一切。
其实呢,这个不等式就是在告诉你,当你有三个数的时候,这三者之间的某种关系有多么神奇。
要是用简单的说法来说,它其实就是通过某种方式把这三个数放到一起,让它们的乘积或者某种“算数”的东西,不会比你单独取其中一个数还要大。
就是说,整体不可能比局部更强大。
听起来是不是有点像那个什么“大于部分”之类的道理?就是整体虽然很有气势,但有时候局部的能量反而能限制它。
你可能会想,“哎,那不就是简单的比较大小吗?有啥了不起的?”嘿,别急!事情没那么简单。
这个不等式,实际上是帮助你在一些复杂的计算和推导中,能够确保“安全边际”。
你就想像你在玩游戏的时候,那个提示框总是告诉你“安全距离”有多远一样。
赫尔德不等式就是给你一个计算过程中的“安全距离”,告诉你,嘿,你可以放心了,不会超出预期的范围。
你也许会问,三元赫尔德不等式具体是怎么操作的?别着急,咱们慢慢聊。
三元呢,顾名思义,就是有三个数。
想象一下,你手里有三个数,比如说3、4、5。
赫尔德不等式告诉你,这三者之间有一个“关系”可以用来比较。
它的形式大概就是,这三个数按一定方式组合在一起后,乘积或者某种加和的结果,它是不会比你分别计算每个数的“特定操作”后的结果还要大。
三元柯西不等式取等条件
三元柯西不等式取等条件
三元柯西不等式是数学中的一个重要不等式,它表达了向量空间中向量的内积的不等式关系。
三元柯西不等式的取等条件如下:
设a、b、c 为三个非零向量,则三元柯西不等式为:
|a·b| ≤|a||b|
当且仅当存在实数k,使得a = kb 或 b = ka 时,等号成立。
换句话说,当两个向量之间存在线性关系时,即一个向量是另一个向量的倍数时,三元柯西不等式取等号。
具体来说,当向量a 和向量b 共线时,即一个向量可以由另一个向量乘以一个实数得到时,三元柯西不等式取等号。
需要注意的是,当a、b、c 中的某一个向量为零向量时,三元柯西不等式也会取等号。
因为零向量与任意向量的内积都为零。
总结起来,三元柯西不等式取等条件为:
1. a、b 共线,即a = kb 或b = ka,其中k 是实数。
2. a、b、c 中存在零向量。
这些条件可以帮助我们理解三元柯西不等式在何种情况下取等号。
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基本不等式在求最值中的应用与完善杨亚军函数的最值是函数这一章节中很重要的部分,它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上,更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。
高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项,才能更好地去解决实际应用问题。
一、基本不等式的内容及使用要点1、二元基本不等式:①a,b∈R时,a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时“=”号成立);②a,b≥0时,a+b≥2 (当且仅当a=b时“=”号成立)。
这两个公式的结构完全一致,但适用范围不同。
若在非负实数范围之内,两个公式均成立,此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形:ab≤ ,ab≤ 。
对不等式ab≤ ,还有更一般的表达式:|ab|≤ 。
由数列知识可知,称为a,b的等差中项,称为a,b的等比中项,故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为:“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
2.三元基本不等式:当a,b,c>0时,a+b+c≥ ,当且仅当a=b=c时,等号成立,……乃至n元基本不等式;当ai >0(i=1,2,…,n)时,a1+a2+…+an≥。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住:当a>0,b>0时,≥2,a+ ≥2等。
当字母范围为负实数时,有时可利用转化思想转化为正实数情形,如a<0时,可得到a+ ≤-2。
基本不等式中的字母a,b可代表多项式。
3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。
利用基本不等式求函数最值时,其条件为“一正二定三等”,“一正”指的是在正实数集合内,“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值(常数),“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛,既可适用于已学过的二次函数,又可适用于分式函数,高次函数,无理函数。
利用基本不等式求函数最值时,可能上面的三个条件不一定满足,此时不能认为该函数不存在最值,因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。
常用的初等变形手段有均匀裂项,增减项,配系数等。
在利用基本不等式求最值时,若不能直接得到结论,应考虑与间接法的解题思路连用,如通过解不等式的途径。
一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积想和, 拆高次,凑和为定值,则积有最大值。
”二、基本不等式求最值的应用例1、已知a>1,0<b<1,求证:loga b+logba≤-2。
解题思路分析:由对数函数可知:,logba<0,因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小,但条件显然不满足,应利用相反数的概念去转化。
∵ logab<0∴ -logab>0∴≥2 =2∴ logab+ ≤-2即 loga b+logba≤-2当且仅当,loga 2b=1,logab=-1时,等号成立,此时ab=1。
例2、已知x,y,z均为正数,且xyz(x+y+z)=1,求证:(x+y)(y+z)≥2。
解题思路分析:这是一个含条件的不等式的证明,欲证不等式的右边为常数2,联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。
下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。
对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。
(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。
将y(x+y+z),xz分别看成是两个因式,得用二元基本不等式:y(x+y+z)+xz=2 =2 =2当且仅当时等号成立 例3、(1)已知x>1,求3x+ +1的最小值;(2)已知x ,y 为正实数,且 =1,求 的最大值;(3)已知x ,y 为正实数,3x+2y=10,求函数W的最值; (4)已知x>0,求函数f(x)=4x+的最小值; (5)已知a>b>0,求函数y=a+ 的最小值;(6)求函数y=x(10-x)(14-3x)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<3140x 的最大值; (7)求函数y=sin 2θcos θ,θ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,的最值。
解题思路分析:这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时,为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。
(1) 在分式的位置凑出分母x-1,在3x 后面施加互逆运算:±3原式=(3x-3)+3+ +1=3(x-1)+ +4≥2 =4+4(2)因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
同时还应化简 中y 2前面的系数为下将x,分别看成两个因式≤∴≤(3)若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,≤ ,本题很简单≤否则,这样思考:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+2 ≤=10+(3x+2y)=20∴W≤(4)函数式为和的形式,故考虑凑积为常数。
分母为x的二次,为使积的结果在分式位置上出现x2,应对4x均匀裂项,裂成两项即可。
f(x)=2x+2x+ ≥(5)本题思路同(1):y=(a-b)+b+ ≥(6)配x项前面系数为4,使得与后两项和式中的x相消y= (4x)(10-x)(14-3x)≤=(7)因式为积的形式,设法凑和为常数,注意到=1为常数,应对解析式平方。
y>0,y2=≤y≤例4、已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y= 的最小值。
解题思路分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
、法一:,由a>0得,0<b<15令t=b=1,1<t<16,ab=∵≥ =8∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
法二:由已知得:30-ab=a+2b∵a+2b≥∴ 30-ab≥令则≤0,≤u≤∴≤ ≤,ab≤18,y≥经验:在法一,通过消元得到一个分式函数,在分子(或分母)中含有二次式。
这种类型的函数一般都可转化为型,从而用基本不等式求解。
其处理方法,请同学们仔细体会。
实际上,一般含二次式的分式函数(a,b,c,m,n,p不全为零)均可用此方法求解。
三、基本不等式在求最值中的完善1. 形如的最值,要视具体情况而定。
如能满足利用基本不等式的三个条件,则利用基本不等式;不能满足,则利用函数的单调性来求。
例5、已知函数(c为常数)最小值为m,求证:(1)当c≤1时,m=2;(2)当c>1时,m= 。
解题思路分析:分母与分子是一次与二次的关系,通过换元法可转化为基本不等式型。
令,则t≥ ,∵≥2,当且仅当t=1时等号成立∴当c≤1时,≤1,t=1在函数定义域(,+∞)内,y min=2当c>1时,>1,1 ,+∞),等号条件不能成立,转而用函数单调性求解。
易证函数在[ ,∞)上递增t= ,x=0时,y min=结论:求函数(a>0,b>0,x∈[c,+∞),c>0)的最小值时,有下列结论(1)若c≤ ,当且仅当x= 时,;(2)若c> ,当且仅当x=c时,。
例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。
解题思路分析:这是一道应用题,一般说来,涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时,考虑建立目标函数,求目标函数的最大值或最小值。
在建立关于造价的目标函数时,造价是由池外圈周壁,中间隔墙造价,池底造价三部分组成,造价均与墙壁长度有关,应设相关墙壁长度为未知数。
若设污水池长为x米,则宽为(米)水池外圈周壁长:(米)中间隔墙长:(米)池底面积:200(米2)目标函数:≥例7:求下列函数的最值(1),求的最小值,若呢?解:,,当且仅当即时, 。
若,,当且仅当即时, 。
(2)当,求的最小值。
分析:,,,当,则,等号取不到。
∴使用基本不等式来求最值,是有条件的,回忆一下,基本不等式有哪些?须满足什么条件?答:,,当且仅当时等号成立。
,,当且仅当时等号成立。
我们应用基本不等式求最值,通常用()或它的变形,利用基本不等式求最值须满足三个条件:①非负数;②和(或积)为定值;③等号要成立。
例8. 形如的最值问题分析:可令,则,。
可从图象上观察,我们来看它的大致图形:渐近线为直线和轴,当时,有最低点(2,4)。
对和的单调性,我们可加以证明。
解:设,则∵,∴,∴,∴,∴,,∴在(0,2]上单调递减。
∵(0,1]是(0,2] 的子区间,∴在(0,1]上单调递减。
∴当,即,时,。
总结:当利用基本不等式求解困难时,可利用函数的单调性来求最值。
例9.求:的最小值,,。
解:∴当时,在上单调递减,而当时,在上单调递增。
∴当时,,∴当时,。
例10.求的最小值,,。
解:∵,∴分类讨论为①当时,在上单调递减,∴时,;②当时,利用基本不等式,∴时,;③当时,在上单调递增,∴时,。
例11. 求的最小值,,。
解:,分类讨论为:①当时,②当时,则时,,则当时,即。
例12.求的最小值,,,。
∵,分类讨论为:①时, 在单调递减,则当即;②当时, 则当,即;③,在单调递增。
总结:对的最值,的讨论,要视具体情况而定。
如能满足利用基本不等式的三个条件(或通过变形创造条件),则利用基本不等式;不能满足,则可考虑利用函数的单调性来求。
2003.7.1。