《相似三角形的性质》课件PPT
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相似三角形的性质课件ppt课件
周长比则要开方。
基础练习
1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5
倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（√）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，
那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）
2、如图，△ABC∽△AˊBˊCˊ ，它们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，BˊCˊ =24cm，
答:三角形的边长,周长放大为原来的10倍.
三角形的面积放大为原来的100倍. 三角形的角大小不变.
已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比
2
1
100
3
．．．
周长比
2
面积比
4
1 100
3
1 10000 9
．．． ．．．
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方; 而已知面积比，求相似比或
C B/
C/
解: ∵ ΔABC∽ΔAˊBˊCˊ ∴ AB BC CA k
A`B` B`C` C`A`
∴设 AB BC CA k
A`B` B`C` C`A`
∴
AB k A`B`
BC k B`C`
CA k C`A`
∴ lABC AB BA CA kA`B`kB`C`kC`A` k
B ˊ Dˊ C ˊ 都等于相似比。
B
D
C
中线
中线
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 的面积比是多少？
A
A/
AB BC CA AD k A`B` B`C` C`A` A`D`
B
D
C B/
D/ C/
SABC
1 BC AD 2
相似三角形的性质pptPPT课件-2024鲜版
16
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
相似三角形的性质ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
3.4.2 相似三角形的性质课件(共18张PPT)湘教版 数学九年级上册
似比”列方程求解.
课堂新授
解：：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4， △DEF的最长边为12， ∴△ABC与△DEF的相似比为4∶ 12=1∶3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3∶1， ∴△DEF的周长为3×(2＋3＋4)＝27. 答案：C
感悟新知
2-1. [ 期末·嘉峪关 ] 两个三角形的相似比为1∶ 4，它 们的周长之差为 27 cm，则较小的三角形的周长为 __9_c_m___ ．
课堂新授
知识点 2 相似三角形面积的比
相似三角形面积的比：相似三角形面积的比等于相似比的 平方. 若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则
SS△△AA′BB′CC′＝k2. 特别提醒：面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的 比、周长的比等于相似比混淆.
课堂新授
活学巧记 两个相似三角形， 各角对应都相等， 各边对应成比例， 周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方.
3.4 相似三角形的判定与性质 第2课时
相似三角形的性质
课堂新授
知识点 1 相似三角形对应线段的比
1. 定理： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线 的比都等于相似比. 即：相似三角形对应线段的比等于相似比. 深度理解 对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似 三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.
感悟新知
例3 [中考·阜新] 如图 3.4-19，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 边上一点，且 AE ＝ 2DE， BD 与 CE 相交于点 F， 若△ DEF 的面积是 3，则△ BCF 的面积是 ___2_7____．
感悟新知
解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似 比的平方” 求解 .
相似三角形的性质ppt课件
知2－练
解题秘方：由DE ∥BC 可得出△ ADE ∽△ ABC，
利用相似三角形的性质结合S△ ADE=S 四边形BCED，可
得出
= ，结合BD=AB－AD
即可求出
的值．
感悟新知
知2－练
解：∵ DE ∥ BC，∴∠ ADE= ∠ B，∠ AED= ∠ C.
∴△ ADE ∽△ ABC. ∴ (
据相似三角形周长的比等于相似比列方程，解方程
即可解决问题.
感悟新知
知1－练
2-1.[期末·枣庄台儿庄区] △ ABC 的三边长分别为2，3，4，
另有一个与它相似的△ DEF， 其最长边为12， 则△
DEF 的周长是(
A.54
B.36
C.27
D.21
C )
感悟新知
知识点 2 相似三角形面积的比
知2－讲
边角
相似三
角形的
性质
周长
对应
线段
面积
对应边成比例，对应角相等
周长比等于相似比
对应高、中线、角平
分线的比等于相似比
面积比等于相似比的平方
在BC 上，AD与EH 的交点为P，矩形相邻两边长的
比为1∶2 . 若BC=30 cm，AD=10 cm，求矩形EFGH
的周长.
解题秘方：将矩形周长问题转化为
相似三角形对应高的比求解.
感悟新知
解：设HG=x cm，则EH=2 x cm.
知1－练
易得AP⊥ EH，PD=HG=x cm.
∵AD=10 cm，∴ AP=(10 －x)cm.
S △ ADE ∶S 四边形BCED.
解：∵AD∶DB=2 ∶1，∴
解题秘方：由DE ∥BC 可得出△ ADE ∽△ ABC，
利用相似三角形的性质结合S△ ADE=S 四边形BCED，可
得出
= ，结合BD=AB－AD
即可求出
的值．
感悟新知
知2－练
解：∵ DE ∥ BC，∴∠ ADE= ∠ B，∠ AED= ∠ C.
∴△ ADE ∽△ ABC. ∴ (
据相似三角形周长的比等于相似比列方程，解方程
即可解决问题.
感悟新知
知1－练
2-1.[期末·枣庄台儿庄区] △ ABC 的三边长分别为2，3，4，
另有一个与它相似的△ DEF， 其最长边为12， 则△
DEF 的周长是(
A.54
B.36
C.27
D.21
C )
感悟新知
知识点 2 相似三角形面积的比
知2－讲
边角
相似三
角形的
性质
周长
对应
线段
面积
对应边成比例，对应角相等
周长比等于相似比
对应高、中线、角平
分线的比等于相似比
面积比等于相似比的平方
在BC 上，AD与EH 的交点为P，矩形相邻两边长的
比为1∶2 . 若BC=30 cm，AD=10 cm，求矩形EFGH
的周长.
解题秘方：将矩形周长问题转化为
相似三角形对应高的比求解.
感悟新知
解：设HG=x cm，则EH=2 x cm.
知1－练
易得AP⊥ EH，PD=HG=x cm.
∵AD=10 cm，∴ AP=(10 －x)cm.
S △ ADE ∶S 四边形BCED.
解：∵AD∶DB=2 ∶1，∴
相似三角形性质ppt课件
应用举例
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。
相似三角形的性质(精讲PPT课件)
课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
相似三角形的性质-ppt课件
错误的是 A．相似比为2∶3
( B)
B．面积比为2∶3
C．对应中线的比为2∶3
D．对应高的比为2∶3
3. 已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶1，则下列说法正
确的是 A．相似比为9∶1
( D)
B．周长比为9∶1
C．对应中线的比为9∶1
D．对应角的比为1∶1
4. 如图，在△ABC中，已知DB＝2AD，EC＝2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC；
∴ S ADE ＝ 4＝ 8
，
S ABC 9 S ABC
∴S△ABC＝18 cm2， S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝18－8＝10 (cm2).
6. 【教材改编】(BS九上P107)如图，AD是△ABC的高， AD＝6，EF⊥AD，垂足为G，若 EF ＝1 ，则DG＝
BC 3
____4____．
.
∴ . C AEF AE 2 C CDF CD 5
(2)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
(2)∵△AEF∽△CDF，
∴ . S S
AEF CDF
AE 2 CD
4 25
∴S△AEF＝ 245S△CDF＝
4 ×20＝16
25
5
(cm2).
7.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，
2．(2023·南海区期中)若两个相似三角形的面积之比为
4∶9，则它们对应角的平分线之比为__2_∶__3__.
3．(2023·南山区月考)如果两个相似多边形面积之比为
4∶9，则它们的边长之比为__2_∶__3__．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应角
平分线，AC 2 A'C ' 3
相似三角形的性质ppt课件
一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
新知讲解
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比
是多少？ A
A'
B
C
B'
C'
新知讲解
因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
AB BC CA k， A'B' B'C ' C ' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而
新知讲解
解：1
CD C ' D'
AB A' B '
,C 'D'
8 cm
2
CABC C A' B'C '
AB 1 20 A'B' 2 CA'B'C'
CA'B'C' =40 cm
3
SABC S A' B'C '
AB A' B'
2
,
1 4
SABC 64
SABC 16 cm2
∴BC∥AD，BC＝AD.
∴△BEF∽△DAF. ∵BE＝ 1 EC，
2
∴BE∶DA＝BE∶BC＝1∶3.
∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3. (2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为 1
3
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9. 又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.
课堂总结
∴ AE : EC=2:3， 则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
新知讲解
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比
是多少？ A
A'
B
C
B'
C'
新知讲解
因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
AB BC CA k， A'B' B'C ' C ' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而
新知讲解
解：1
CD C ' D'
AB A' B '
,C 'D'
8 cm
2
CABC C A' B'C '
AB 1 20 A'B' 2 CA'B'C'
CA'B'C' =40 cm
3
SABC S A' B'C '
AB A' B'
2
,
1 4
SABC 64
SABC 16 cm2
∴BC∥AD，BC＝AD.
∴△BEF∽△DAF. ∵BE＝ 1 EC，
2
∴BE∶DA＝BE∶BC＝1∶3.
∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3. (2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为 1
3
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9. 又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.
课堂总结
∴ AE : EC=2:3， 则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
《相似三角形的性质》PPT课件
《相似三角形的性质》PPT 课件
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
相似三角形的性质PPT通用课件
比例
相等
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
相似比
对应角平分线的比都等于________.
相似比
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
SADE
.
(3)
_______
D
E
S
ABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1
15
B
C
7、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
AE 1
线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上
（1）△ ASR与△ ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
A
S
B
P
E R
D
Q
C
A
例题解析
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
40
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
100厘米、40厘米
———————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这
两个三角形的面积分别是——————
50平方厘米、8平方厘米
——。
(1)与(2)的相似比=______
相等
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
相似比
对应角平分线的比都等于________.
相似比
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
SADE
.
(3)
_______
D
E
S
ABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1
15
B
C
7、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
AE 1
线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上
（1）△ ASR与△ ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
A
S
B
P
E R
D
Q
C
A
例题解析
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
40
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
100厘米、40厘米
———————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这
两个三角形的面积分别是——————
50平方厘米、8平方厘米
——。
(1)与(2)的相似比=______
相似三角形的性质定理ppt课件
△ABC 的面积为100
cm2，且
AE AD 3
，求
AC AB 5
四边形 BCDE 的面积.
A
E
D
B
侵权必究
C
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
1:2
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
1:4
比等于_____.
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，
相似三角形的性质
对应高之比、对应中线之比、对
应角平分线之比都等于相似比
周长之比等于相似比
面积之比等于相似比的平方
侵权必究
k
侵权必究
探索证明
那我们该如何证明呢？
已知： 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，
∆
求证：
=k
∆’’’
A
C
B
A'
B'
侵权必究
C'
新课导入
思考：相似三角形的面积比有什么关系呢？
如图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角
形，它们都相似．
2:1
（2）与（1）的相似比＝_____
A
D'分别是它们的高。
∆
求证：
= 2
∆’’’
B D
A'
B'
侵权必究
D'
C
C'
归纳总结
侵权必究
小试牛刀
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为4：3，则对
应边上中线之比 4:3 ，面积之比为 16:9 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，
1:3
cm2，且
AE AD 3
，求
AC AB 5
四边形 BCDE 的面积.
A
E
D
B
侵权必究
C
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
1:2
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
1:4
比等于_____.
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，
相似三角形的性质
对应高之比、对应中线之比、对
应角平分线之比都等于相似比
周长之比等于相似比
面积之比等于相似比的平方
侵权必究
k
侵权必究
探索证明
那我们该如何证明呢？
已知： 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，
∆
求证：
=k
∆’’’
A
C
B
A'
B'
侵权必究
C'
新课导入
思考：相似三角形的面积比有什么关系呢？
如图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角
形，它们都相似．
2:1
（2）与（1）的相似比＝_____
A
D'分别是它们的高。
∆
求证：
= 2
∆’’’
B D
A'
B'
侵权必究
D'
C
C'
归纳总结
侵权必究
小试牛刀
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为4：3，则对
应边上中线之比 4:3 ，面积之比为 16:9 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，
1:3
相似三角形的性质一课件
角边相似
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的一对对应角相等，并且这两个 角的夹边成比例，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形的三组对应边成比例 ，则这两个三角形相似。
性质与定理
对应角相等
相似三角形对应角相等，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
这个比例称为相似比，是判定两个三角形是否相似的重要依据。
对应边之间的比例关系可以用数学公式表示，即 a/b = c/d = ... = k，其中 a, b, c, d, ... 是对应边的长度，k 是相似比。
面积比等于相似比的平方
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
相似三角形的性质一ppt课
件
• 相似三角形的定义 • 相似三角形的性质 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的判定定理 • 相似三角形的性质定理 • 相似三角形的综合应用
目录
CONTENTS
01
相似三角形的定义
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
应用。
在数学竞赛中的应用
相似三角形是数学竞赛中常见的知识点之一，对于提高学生的数学竞赛 成绩有着重要的作用。
在数学竞赛中，相似三角形常常与其它知识点结合，形成综合性题目， 考察学生的数学综合素质。
掌握相似三角形的性质和判定方法，对于解决数学竞赛中的难题和压轴 题至关重要。
THANKS
感谢观看
04
相似三角形的判定定理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
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F
AB AC
在ECP和DFP中
ACB BDFB B DF BD CE BD
EPC DPF
E FDP
EC DF
EC DF
ECP DFP PD PE
例题精析
（2）由（1）得DF CE
若CE : AC 1: 5
则DF : AC 1: 5
F
DF // AC BDF ~ BAC
解得DG 12 3x
面积y DE• DG x(12 3x) 3x2 12x 点P在AH上
0 x 4
拓展延伸 (2)根据(1)的结果，求DE为何值时，矩形DEFG面积最 大？最大面积是多少？
解： y 3x2 12x 配方得y 3(x 2)2 12 0 x 4,函数图像开口向下 当x 2时，y有最大值12 当DE 2时，矩形DEFG面积最大为12
相似三角形的性质
知识回顾
1. __两__角___对应相等的两个三角形相似 2.两边对应成比例且_夹__角__相等的两个三角形相似 判定 3.___三__条_边___对应成比例的两个三角形相似 4.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所 构成的三角形与原三角形相似
知识回顾
1.相似三角形的对应角_相__等___ 2.相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平 性质 分线）成比例 3.相似三角形的周长比等于相__似__比__，面积比等于 _相__似__比_的__平__方___
(2)根据(1)的结果，求DE为何值时，矩形DEFG面积最大？最大 面积是多少？
拓展延伸
(1)设DE=x，矩形DEFG面积为y，求y与x的函数解析 式及x的取值范围；
解：DG// BCADG~ ABC BC 12，AH 4, PH DE x,
AP AH PH 4 x
DG AP 即DG 4 x BC AH 12 4
知识回顾
“平行线型”的相似三角形
“斜交型”的相似三角形(需满足∠1=∠2）
“垂直型”的相似三角形
例题精析
例1 如图，在平行四边形ECHD中，AE:AC=1:2, （1）试找出图中的相似三角形?
∆ADE∽ ∆ABC ∽ ∆DBH
（2）AC:DH = _2_：__3___； （3）若⊿ABC的周长为4，则⊿BDH的周长为_6____； （4）若⊿ABC的面积为4，则⊿BDH的面积为_9____.
例题精析
例2 （2010贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上 一点，E为AC延长线上的一点，且CE＝BD，连接DE交BC 于点P．
（1）求证：PD＝PE．
（2）若CE:AC=1:5，BC=10，求BP的长.
（1）证明：过点D作DF // AC交BC于点F
ACB DFB, FDP E
BF DF 1 BC AC 5
BC 10 BF 2, FC 8
DFP ECP
FP PCFP 1 FC 4 2
BP BF FP 2 4 6
拓展延伸
1.（2013长沙）如图，矩形DEFG内接于△ABC，且边EF落在 BC上. BC＝12，高AH＝4.
(1)设DE=x，矩形DEFG面积为y，求y与x的函数解析式及x的取 值范围；
归纳小结
用相似三角形性质求线段比例或数量关系的基本思路： （1）先看要求的成比例线段，确定可能的相似三角 形 （2）找出两三角、作垂线，作延长线， 作中线等）构造相似三角形，然后再利用相似三角形 的性质求解。