复变函数第二章2解析函数
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第二章解析函数
z x iy 处可微且满足C-R条件
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
第2章、解析函数
第二章 解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。
第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、 此定义也用εδ-语言给出。
注2、 可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数第二章
2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
【复变函数】第二章 解析函数(工科2版)
(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
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结束
【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
复变函数2
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数
u x, y x y xy ,
2 2
求一解析函数 f z u iv 使 f 0 0. 解： （法一） ux 2x y , u y 2 y x
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v
2 x y dy
2
1 2 2 xy y c x vx 2 y c x , 2 1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c ,
u与v是区域D内的调和函数 证明：f ( z)在D内解析 u x v y , vx u y ,
u xx vxy , u yy vxy uxx u yy 0. 同样可得 vxx v yy 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv 不一定是解析函数 .
2
2
lim (2 z Δ z ) 2 z .
Δ z 0
所以 f '(z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。）
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f ( z z ) f ( z ) [解] 这里 lim z 0 z ( x x) 2( y y )i x 2 yi x 2yi lim lim z 0 z 0 x yi x yi x 2yi x lim 1. 取z x 0, lim z 0 x yi z 0 x x 2yi 2y 取z iy 0, lim lim 2. z 0 x yi z 0 y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
复变函数解析函数
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
z lim
z z0
lim
z z0
z z0
n ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 1 ) n lim nz0 1 z z0 z z0
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
2
实 函 数 中 f ( x ) x 在( , )内 可 导 , ; 复 函 数 中 f (z) z 的 可 导 性 , ?
2
1 例2 已 知 f ( z ) ( z 5 z ) ， 求f ' ( z ) z 1 1 2 解 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析；
如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称
复变函数第2章解析函数
2019/8/11
20
证 : (1) 若 f (z) 0，即
f (z) u i v 1 u v 0 x x i y y
于是 u v u v 0 x x y y
所以 u、v 为常数, 即 f (z) u iv 为常数。
（7）f (z) 1 , 其中, w f (z) 与 z (w) 是两个 ( w )
互为反函数的单值函数且 (w) 0。
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7
4、解析函数概念
定义. 若函数 w f (z) 在点 z0 及 z0 的某领域内 处处可导, 称 f (z) 在 z0 解析。
点 z0 z D, 若极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在, 则称函数 f (z) 在 z0 点可导或可微。此极限值 称为 f (z) 在 z0 点的导数, 记作 :
f (z0 )
或
dw dz zz0
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2
即
f (z0 )
lim
z0
于是,由定理知 f (z) 在复平面上处处解析。
(2) f (z) x2 iy2
u( x, y) x2 , v( x, y) y2
u 2x, u 0, v 0, v 2 y
x
y x y
在复平面连续且 u v y x
但仅当 y x 时才有 u v x y
有理分式函数 P(z) 在 Q(z) 0的区域内为解析函数。 Q(z)
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12
二、函数解析的充分必要条件
定理 ( 函数解析的充要条件 )
函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义域 D内解析的充要 条件是 :
复变函数
1)u( x , y )，v ( x , y )在点( x , y )可微; 2)满足柯西- 黎曼方程：
u v u v ， 。 x y y x
证明:
必要性
f(z)在D内一点z可导，则：
f f ( z z ) f ( z ) f '( z )z ( z )z
比较两边实部与虚部得：
u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
由于 lim ( z ) 0 ，所以
z 0
x 0 y 0
lim 1 0 lim 2 0
x 0 y 0
所以u，v可微，且
lim 其中，A与z无关， z0 ( z ) 0. 则称f(z)在z0处可微。
并称Az为f(z)在z0处的微分。记作 dw Az 可以证明， f(z)在z0处可微的充要条件是f(z)在z0处 可导。且 A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z 由于在dz z ，故dw f ( z0 )dz。
f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) 2 g( z ) [ g( z )]
{ f [ g( z )]} f ( w ) g( z ), 其中w g( z ).
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w )是两个互为反 ( w ) 函数的单值函数，且 ( w ) 0.
h( z0 z ) h( z0 ) z 的极限不存在。 因此，函数h(z)=|z|2仅在z0=0处可导，而在其它点 均不可导. 故它在整个复平面上不解析。
几个重要结论： 1、两个解析函数的和、差、积 、商（分母不为零） 是解析函数。
u v u v ， 。 x y y x
证明:
必要性
f(z)在D内一点z可导，则：
f f ( z z ) f ( z ) f '( z )z ( z )z
比较两边实部与虚部得：
u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
由于 lim ( z ) 0 ，所以
z 0
x 0 y 0
lim 1 0 lim 2 0
x 0 y 0
所以u，v可微，且
lim 其中，A与z无关， z0 ( z ) 0. 则称f(z)在z0处可微。
并称Az为f(z)在z0处的微分。记作 dw Az 可以证明， f(z)在z0处可微的充要条件是f(z)在z0处 可导。且 A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z 由于在dz z ，故dw f ( z0 )dz。
f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) 2 g( z ) [ g( z )]
{ f [ g( z )]} f ( w ) g( z ), 其中w g( z ).
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w )是两个互为反 ( w ) 函数的单值函数，且 ( w ) 0.
h( z0 z ) h( z0 ) z 的极限不存在。 因此，函数h(z)=|z|2仅在z0=0处可导，而在其它点 均不可导. 故它在整个复平面上不解析。
几个重要结论： 1、两个解析函数的和、差、积 、商（分母不为零） 是解析函数。
复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
复变函数第二章第二节初等解析函数
18
当 z 为纯虚数 yi 时,
cos yi e y e y cosh y, 2
sin yi e y e y i sinh y. 2i
(3)
cos( x yi) cos x cosh y i sin x sinh y, sin( x yi) sin x cosh y i cos x sinh y.
的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都
是有界函数, 但在复变三角函数中,
sin z 1与 cos z 1不再成立.
2020/3/18
26
小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:
正弦函数为sinz eiz eiz . 2i
容易证明, sin z 是奇函数, cosz 是偶函数. sin(z) sin z, cos(z) cos z.
正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
16
例9 求 f (z) sin5z 的周期.
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ,
sin2 z cos2 z 1.
(2)
cos( x yi) cos x cos yi sin x sin yi, sin( x yi) sin x cos yi cos x sin yi.
① 处处可导且有 ex ex;
② 对任意的实数 x1, x2 , 有 ex1x2 ex1 ex2 ; ③ 对任意的实数 x R ,有 ex 0。
复变函数：第2章 解析函数
= 0 ⋅ f ′( z 0 ) = 0
• 知 zlim f ( z ) = f ( z 0 )，故 →z
0
f (z )在点 z 0 处连续.
• 2.1.3 复变函数的微分 • 定义2 称函数 f (z)的改变量 ∆w的线性部分 定义 f ′( z0 )∆z 为函数 f (z)在点 z 0 处的微分，记作
n
k ( z + ∆z ) n = ∑ C n z k ( ∆ z ) n − k = n k =0
1 2 n ( ∆z ) n + C n (∆z ) n −1 z + C n ( ∆z ) n − 2 z 2 + ⋯ + C n ( ∆z ) n − n z n
所以，由导数定义有
n
( z + ∆z ) − z f ′( z ) = ( z )′ = lim ∆z →0 ∆z
n
n
= lim [(∆z )
∆z →0
n −1
+ C (∆z )
1 n
n−2
z +⋯+ C
n −1 n −1 n
z
]
= nz
n −1
• 例2 求 f ( z ) = • 解 由例1
z 的导数.
2
df f ′( z ) = = 2z dz
• 2.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 w = f (z )在点 z 0处可导，则 点 z 0 处必连续. • 证 因为
dw 或 dz
，即
z = z0
dw f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z →0 ∆z
• 知 zlim f ( z ) = f ( z 0 )，故 →z
0
f (z )在点 z 0 处连续.
• 2.1.3 复变函数的微分 • 定义2 称函数 f (z)的改变量 ∆w的线性部分 定义 f ′( z0 )∆z 为函数 f (z)在点 z 0 处的微分，记作
n
k ( z + ∆z ) n = ∑ C n z k ( ∆ z ) n − k = n k =0
1 2 n ( ∆z ) n + C n (∆z ) n −1 z + C n ( ∆z ) n − 2 z 2 + ⋯ + C n ( ∆z ) n − n z n
所以，由导数定义有
n
( z + ∆z ) − z f ′( z ) = ( z )′ = lim ∆z →0 ∆z
n
n
= lim [(∆z )
∆z →0
n −1
+ C (∆z )
1 n
n−2
z +⋯+ C
n −1 n −1 n
z
]
= nz
n −1
• 例2 求 f ( z ) = • 解 由例1
z 的导数.
2
df f ′( z ) = = 2z dz
• 2.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 w = f (z )在点 z 0处可导，则 点 z 0 处必连续. • 证 因为
dw 或 dz
，即
z = z0
dw f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z →0 ∆z
复变函数-第二章-解析函数
23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e
Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一
复变函数第2章解析函数
dw zz0 f (z0 )z
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
复变函数课件2-2函数解析的充要条件
(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;
复变函数ppt教学2-2解析函数和调和函数的关系
( 0, 0 )
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
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u v 2y x y
u v 2x
y x
u u du dx dy (2y)dx (2x)dy
x y
( x, y)
u(x, y) (2 y)dx (2x)dy c (0,0)
x
y
0 0dx 0 (2x)dy c
2xy c
(x,y)
等势线方程为xy c 课件 (0,0)
且它们的一阶偏导数满足柯课西件 - 黎曼方程.(解析的充要12条件)
解析函数的实部,虚部为调和函数,且虚部为实部 的共轭调和函数.
例3 设u(x, y) x2 y2 , v(x, y) 2xy
问u(x, y)和v(x, y)为调和函数么?
v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数么？
解: u(x, y), v(x, y)具有连续的二阶偏导数
v 0 x
v 2 y y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u
f (z)仅在z 0处可导 y
v y 仅在z v
x
0处成立
f (z)在整个复平面上处课处件 不解析。
7
(2) f (z) 2x(1 y) i(x2 y2 2 y)
解: u(x, y) 2x(1 y) v(x, y) x2 y2 2 y
课件
20
平面静电场的分析
例: f (z) u iv为解析函数，f '(z) 0,则曲线u(x, y) c1
v(x, y) c2必互相正交。
证：
曲 线u ( x,
y)
c1斜率为k1
ux uy
曲 线v( x,
y)
c2斜率为k2
vx vy
根据柯西-黎曼方程, k1 k2 1 所以,相互正交.
(二)解决复变函数的表示问题.(第四章)
例如：给定复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)是否一定可以
表示为z的形式？
例子：f (z) x2 y2 i2xy
f (z) z2
f (z) x2 y2 i2xy
f (z) ?
若f (z)为解析函数，则f (z)一定可表示为z的形式。
问题：已知调和函数u(x, y),求解函数v(x, y)使得
f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数。 (或者就是求解u(x, y)的共轭调和函数）
（方法一） 根据共轭调和函数的定义
u(x,
y), v(x,
u y)满足柯西－黎曼方程 x
v y
u
v
y x
得到v(x, y)满足的微分方程，通过求解微分方程可得到结果。
设f (z) u(x, y) iv(x, y)为区域D上的解析函数
u v , u v x y y x
(柯西-黎曼方程)
2u x 2
2v 2u yx , y 2
2v . xy
（解析函数有任意阶的高阶导数—第三章的结论）
u(x, y), v(x, y)具有二阶连续偏导数
[若函数f
(x,
注：若u(x, y), v(x, y)都为调和函数，但u(x, y) iv(x, y)
不一定为解析函数.
如：u
x2
y2,v
x2
y
y2
,
u 2x, 2u 2, 2u 2, v 2xy ,
x
x 2
y 2
x (x2 y2 )2
2v x 2
6x2y 2y3 (x2 y2)3
,
v x2 y2 2v 6x2 y 2 y3 y (x2 y2 )2 , y2 (x2 y2 )3 ,
课件
15
例 4 已知一调和函数u(x, y) x2 y2 xy,
求一解析函数f (z) u(x, y) iv(x, y)使f (0) 0。
解：（方法一） 根据柯西－黎曼方程，得
（1）u 2x y v
x
y
（2）
u y
2
y
x
v x
根据(1)可得 v(x, y) (2x y)dy
u
黎曼方程
x u
v y v
y x
课件
5
问题：判定f (z)的解析性？
a. 确定u(x, y), v(x, y);
b. 计算偏导数u , u , v , v 判定它们在哪些点处连续？ x y x y
c. 判定偏导数u , u , v , v 在哪些点处满足 x y x y
柯西 黎曼方程？
d. 判定b, c中的共同点为f (z)的可导点,
若可导的点构成一个区域, 则f (z)在这一区域上解析； 若可导的点只是一些孤立的点, 则f (z)处处不解析.
课件
6
例2 （1）f (z) z Im( z)
解: 令z x iy, f (z) (x iy) y xy iy2
u(x, y) xy
u y x
v(x, y) y2
u x y
y
x
( x, y)
v(x, y) ( x 2 y)dx (2x y)dy c
(0,0)
(x,y)
x
xdx
y 2x y dy c
01
x2
0
2xy
1
y2
c
2
2
(0,0)
(x,0)
课件
19
注： 已知调和函数v(x, y),求解函数u(x, y)使得 f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数。 求解方法是完全相同的。
(2x2,0)
课件
23
课件
24
u
u
v(x, y)
( )dx dy c
y ( x0 , y0 )
x
其中，(x0, y0 )为任意的一点，c为任意实数。 【定理2.11】
课件
18
例3（续）（方法二） 根据柯西－黎曼方程，得
u 2x y v
x
y
u y
2
y
x
v x
dv(x, y) ( u )dx u dy (x 2y)dx (2x y)dy
f (z)在区域D内可导
f (z)在区域D内解析
放大
z0
D
z0
课件
z0
3
例1 常见函数的解析性质
指数函数ez在整个复平面上处处可导，处处解析。
三角函数sin z,cosz,等在它们的定义域内处处可导，
处处解析。 对数函数Ln z及主值ln z在除去原点及负实轴外
处处可导，处处解析。
整个复平面上解析 幂函数z 除原点外解析
冰冷却
稳定后，导体中温度的分布情况：
T (x,
y)满足：x2T2
2T 2y
0
课件
火加热
9
2.5.1 调和函数的概念
定义: 若二元实变函数h(x, y)在区域D内具有二阶连续
偏导数，且满足Laplace方程 2h 则称h(x, y)为D内的调和函数。x2
2h y 2
0
问题：调和函数与解析函数有怎样的联系？
(2)若v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数，则u(x, y)通常不是 v(x, y)的共轭调和函数。
(u(x, y),v(x, y)不能任意调换，即u(x, y) iv(x, y)
为解析函数，但v(x,y) iu(x,y)不一定是解析函数）
例如：设u(x,y) x2 y2, v(x, y) 2xy,
u 2(1 y) x
u 2x y
v 2x x
v 2 y 2 y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
针对柯西 黎曼方程2(21xy)(2x2) y 2在复平面上处处成
f (z)在复平面上处处可导 (复平面构成一个区域)
f (z)在整个复平面上处处解析。
课件
8
2.5 调和函数
引例（热传导问题）
f (z) u(x, y) iv(x, y) z2为解析函数
v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数。
(z) v(x, y) iu(x, y) 2xy i(x2 y2 )不是解析函数
( 不满足柯西-黎曼方程)
所以，u(x, y)不是v(x, y)的共轭调和函数。
课件
14
2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式
(三)解决调和函数的问题.(第2.5小节)
(四)解析函数对应的函数图像有较好的几何性质.(第六章
保形映照;第七章 具体的应用-电场的分析)
课件
2
注: 函数解析与可导之间的关系:
针对一个点: f (z)在z0处可导 f (z)在z0处解析
f (z)在z0处解析
f (z)在z0处可导
针对一个区域:
y)的二阶混合偏导数f xy " ( x,
y),
f
'' yx
(
x,
y )在( x,y )连续，
则f xy"(x, y)
f
'' yx
(
x,
y)]
课件
10
2v
2v
xy yx
2u x 2
2u y 2
0，
定理2.10 若f (z) u(x, y) iv(x, y)为区域D内的解析函数，
则u(x, y), v(x, y)都是D内的调和函数.
2u
2u
x2 2 y2 2
2v
2v
x2 0 y2 0
2u x 2
2u y 2
0，
2v x 2
2v y 2
0
u(x, y)和v(x, y)为调和函数.
又因为柯西-黎曼方程 u 2x v
x
y
u 2 y v
y