半角模型及其拓展

一、半角模型及其常见结论

在正方形A B C D中，已知E、F分别是边B C、C D上的点，且满足,∠E A F=45°，A E、A F分别与对角线交于点M、N（△A E F满足定角定高为‘唐三角模型’）

求证：（1）B E+D F=E F

（2）S△A B E+S△A D F=S△A E F

（3）A H=A B

（4）C△E C F=2A B

（5）B M2+D N2=MN2

（6）△A MN∽△D N F∽△B E M∽△A E F∽△B N A∽△D A M

（7）S△A MN=S四边形MN E F

（8）△A O M∽△A D F,△A O N∽△A B E

（9）△A E N为等腰直角三角形且∠A E N=45°；△A E N为等腰直角三角形

且∠A E N=45°

（10）A、M、F、D四点共圆；A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、E

五点共圆；

唐三角形

小唐在摆弄直尺和三角板时发现：如图，如果将三角板的一个顶点落在直尺的一边上，并绕着该点旋转，三角板和直尺重叠的部分是一个三角形时，该三角形始终有一角及该角所对边上的高度保持不变，于是，小唐将该三角形定义为“唐三角”，这个不变的角定义为定角，这个不变的高定义为定高。小唐和爸爸又一起研究证明出：当“唐三角”是以定角为顶角的等腰三角形式，“唐三角”有最小面积。即当“唐三角”△A B C中A B=A C时，S△A B C取最小值

请你在小唐研究的基础上继续探究

问题探究

（1）如图①一张正方形纸片A B C D，E、F分别为A D、C D边上的点，将其沿B E、B F折叠，使得折叠后的点A、C重合于点M，请指出图中的一个“唐三角”____________；（2）如图②一张边长为a的正方形纸片，E、F分别为A D、C D边上的点，若△D E F的周长为2a，试探究∠E B F的度数，并说明理由；

问题解决

（3）如图③R t△A B C，∠C=90°，∠C A B和∠C B A的外角平分线交于点P，若△A B C的周长恒为8，试探究S四边形A C B P是否存在最大值？若存在，请求出最大值（精确到0.01）；若不存在，请说明理由.

牛刀小试

（1）如图1，在△A B C中，∠A C E=45°，C D为A B上的高，若C D=4，试判断A B是否存在最小值？并求出最小值。

（2）如图2，在四边形A B C D中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，B C=C D=，点E、F分别为A B、A D上的点，若保持C E⊥C F，那么四边形A E C F的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在请说明理由。

（3）如图4，正方形A B C D边长为4，点E、F分别为边A B、B C上的动点，且∠E D F=45°，求四边形D E B F面积的最大值