运筹学-4线性规划的解的概念
线性规划在物流运输中数学模型及应用
目录线性规划在物流运输中数学模型及应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1、线性规划问题 (1)1.1、线性规划问题的提出 (1)1.2、线性规划数学模型 (6)1.3、线性规划问题的标准形式 (7)1.4、线性规划问题解的概念 (8)1.4.1、可行解 (9)1.4.2、基 (9)1.4.3、基可行解 (10)1.4.4、可行基 (10)2、物流运输问题 (10)2.1、物流运输 (10)2.2、物流运输的规划设计 (11)2.2.1、运输成本 (11)2.2.2、运输速度 (11)2.2.3、运输的一致性 (11)2.2.4、与物流节点的匹配程度 (11)2.3、运输规划设计内容 (12)2.3.1、确定运输战略 (12)2.3.2、确定运输线路 (12)2.3.3、选择运输方式 (12)2.3.4、运输过程控制 (12)2.4、物流运输问题的提出 (12)2.5、物流运输问题的数学模型 (14)3、物流运输问题线性规划数学模型实例 (14)3.1、车辆调度问题 (15)3.2、产销运输问题 (17)3.3、物资调运问题： (18)4、结束语 (25)致谢 (25)参考文献 (25)英文摘要 (26)Linear Programming in logistics and (26)transportand application of mathematical models (26)Abstract (26)Keywords (26)线性规划在物流运输中数学模型及应用线性规划在物流运输中数学模型及应用摘要：本论文重要是对线性规划问题的提出、标准型、以及求解进行分析，然后建立一些数学模型来解决一些实际问题。
针对物流运输这个方面的实际应用建立一些特殊的数学模型用线性规划进行分析，让物流运输变的简单、快捷、节约成本。
本文的关键是对物流运输中的问题建立的数学模型就行分析，利用线性规划来运算和求解，建立线性规划数学模型。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
线性规划及在水资源中的应用
（4）基可行性解
满足非负约束条件的基解称为基可行性解；
（5）可行基
对应于基可行解的基称为可行基。
2、线性规划的求解方法
线性规划的基本解法有图解法和单纯形法两 种，图解法一般只适用于2-3个变量的问题，实用 价值不大。单纯形法是一种解变量较多的常用解 法，运用此方法时，常借助于已有的程序用计算 机求解。
（3）基解
方设程问组题变的为基为B=(aij)m×m=(P1 , P2 , … Pm)，将约束
m
n
Pj x j b Pj x j
j 1
j m1
（1）
解 问在向题方量的程基X组=解（(x；11 ）, x的2 ,解…中, 令xmx,j=00,(…j=m, +01,)T,
… , n)，则称 为线性规划
（1） 约束方程均为等式方程 （2） 所有变量均为非负变量
max z C X
A X b
s.t.
X
0
对于非标准形的线性规划模型都可以化为标准形， 其方法如下：
（1）目标函数为最小化的问题：令z′= - z，则
max z′=- min z = - C·X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的 约束条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去） 一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式；
C . 最优性检验的方法
假设要检验基可行解X(1) =(x1(1) , x2(1) ,… , xm(1) , 0 ,…, 0)T =(b′1 , b′2 , b′m , 0 ,… , 0) T的最优性。由约束方程 组对任意的X=(x1 , x2 , … , xm )T有
n
xi bi aijxj (i 1,2,.m) j m 1
线性规划问题的标准型与解的概念
基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,…,xjm）T，非基变量
构成的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=ΣPjxj=BXB=b， 于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的 一个基本解。 基（本）可行解：若基本解中XB=B-1b≥0，则称该解为基 可行解，
这时基B也称为可行基。 -
显然，基可行解的数目≤基解的数目≤
Cm n
例4 求出下面线性规划的所有基本解，并指出哪些
是基可行解。
maxZ=2x1+x2 3x1+5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1,x2≥0
解 ：标准化得 maxZ=2x1+x2 3x1+5x2 + x3 = 15 6x1+2x2 + +x4= 24 x1,x2, x3,, x4 ≥0
11显然基可行解的数目显然基可行解的数目基解的数目基解的数目求出下面线性规划的所有基本解并指出哪些是求出下面线性规划的所有基本解并指出哪些是基可行解
运筹学
主讲教师 向宇
-
第一章 线性规划与单纯形法
• §3 线性规划问题的标准型与解的概念
–3.1 线性规划的标准型
我们规定线性规划的标准型如下：
maxZ=c1x1+c2x2+‥‥+cnxn a11x1+a12x2+‥‥+a1nxn＝b1 a21x1+a22x2+‥‥+a2nxn＝b2 …………………………… am1x1+am2x2+‥‥+amnxn＝bm x1,x2,‥,xn≥0
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
《运筹学》教案汇总
《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。
重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
运筹学总复习
《运筹学》总复习第1章线性规划及其对偶问题• 基本概念基本要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。
标准形式：目标函数取“max ”、约束条件取“="、约束右端项非负、决策变量非负解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称 为线性规划的可行域，使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。
•数学建模与求解建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择 单纯形法与对偶单纯形法：单纯形法对偶单纯形法原规划基本解是可行解原规划基本解的检验数小于等于零无可行解解无界计算：nr b । …b9 = min{-a\a > 0] = -i- a ka以a为中心元素进行迭代以a为中心元素进行迭代计算：o = max(o . o , > 0)计算：b = min(b\b < 0)计算:两阶段法：第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。
在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。
第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。
•练习题：1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示：每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅3.min w = x + 2 x + 3 x1 2 3x + 2 x + 3 x = 15s.t < 2x + x + 5x = 20x > 011~34.用对偶单纯形法求解线性规划问题：min w = 5 x + 2 x + 4 x1 2 33 x + x + 2 x > 4s .t < 6 x + 3 x + 5 x > 12x1 > 02 31 1~3第2章整数规划与分配问题•0-1变量的用法及建模理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握(1)多个取1：¥x = 1，x,= 0,或 1.j=1(2) n 中取 k ：X % = k , x - 0,或 1.j =in 中至少取k ,改为E x > k , x = 0,或1.j -i n 中最多取k , 改为Yx < k , x = 0,或 1.j -i(3)变量取离散数值：x^^^cy.vi =1 i i£y = 1, y = 0或 1i i =1⑷选甲必须选乙，选乙不一定选甲：、 <久，、, 丁或1 （5）两个约束条件只需满足一个:（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选■%+ x w <1< x + x < 1 x , x , x 丙=0或 1I 0,当 x = 0⑼对f (x )= 1 k + cx ,当x > 0可表述为:匈牙利法 步骤：x + x > 2 一 y M < 3 x + 2 x < 10 + y M/ + y 2 = 1,片 y 2 = 0或 1式中：M 为任意大正数 （6）n个约束条件中满足k 个：I x + x > 2 一(1 一 y ) M或1 12一 |3x + 2x < 10 + yM ,y =2ax < 嗔yM< j =1(i = 1,2,L , n )i =1⑺若x 2 < 4，则x 5 >；否则x 2> 4，। x < 4 + y M<x 5>0-y 1M, x 2 > 4- y2Mx 5 < 3 + y 2y 1 +y 2 = y। x < 4 + yMx ： > 0 - yM 或1 5 - x 2 > 4 - (1 - y ) M 「0I f (x ) = yk + cx< y < Mx x < My1.从每行中减去最小数2.再从每列中减去最小数3.⑴先看行,从第一行开始，如该行只有一个0,给该0打A,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行；（2）再看列，如该列只有一个0,给该0打A，划去该0所在行，如无0或两个以上0,转下一列；⑶重复（1）（2）,可能出现三种结局：a.有m个打A的0,令对应A号的xij=1,即为最优.b.存在0的闭回路.对闭回路上的0按顺时针编号，任取单号或双号打A，分别对打A的0都划去所在行（或都划去所在列）返回3（1）C.打A的0的数＜m转44.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3练习题：1.某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如要求：（1）投资额不超过5000万元；（2）至少安排150人员就业；（3）年利润额尽可能地多。
运筹学
线性规划及单纯形法线性规划问题及其数学模型两个变量问题的图解法单纯形法原理单纯形法计算步骤人工变量及其处理方法应用举例线性规划问题及其数学模型一、问题的提出资源有限和目标确定在生产管理和经营活动中，经常会遇到两类问题：一类是（资源有限）如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源，以得到最大的效益；另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少。
例：(1)配载问题：某种交通工具（车、船、飞机等）的容积和载重量一定，运输几种物资，这些物资有不同的体积和重量，如何装载可以使这种运输工具所装运的物资最多？(2)下料问题：某厂使用某种圆钢下料，制造直径相同而长度不等的三种机轴，采用什么样的下料方案可以使余料为最少？(3)物资调运：某种产品有几个产地和销地，物资部门应太如何合理组织调运，从而既满足销地需要，又不使某个产地物资过分积压，同时还使运输费用最省？(4)营养问题：各种食品所含营养成分各不相同，价格也不相等，食堂应该如何安排伙食才能既满足人体对各种营养成分得需要，同时又使消费者得经济负担最少？此外，在地质勘探、环境保护……等方面也都有与上述情况类似的问题。
例1某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。
生产每吨药品所需要的维生素量分别为30K g，20K g，所占设备时间分别为5台班，1台班，该厂每周所能得到的维生素量为160k g，每周设备最多能开15个台班。
且根据市场需求，甲种产品每周产量不应超过4t。
已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为5万元及2万元。
问该厂应如何安排两种产品的产量才能使每周获得的利润最大？解：设该厂每周安排生产甲、乙两种药品的产量分别为x 1,x 2吨，则有例2 喜糖问题设市场上有甲级糖和乙级糖，单价分别为20元/斤，10元/斤。
今要筹办一桩婚事，筹备小组计划怎样花费不超过200元，使糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5斤。
《管理运筹学》课后习题参考标准答案
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案第1章 线性规划(复习思考题)1.什么就是线性规划？线性规划的三要素就是什么？答:线性规划(Linear Programming,LP)就是运筹学中最成熟的一个分支,并且就是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,就是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素:决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量就是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件就是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,保障决策方案的可行性;目标函数就是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现极大值,有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果,哪种结果说明建模时有错误？ 答:(1)唯一最优解:只有一个最优点; (2)多重最优解:无穷多个最优解; (3)无界解:可行域无界,目标值无限增大;(4)没有可行解:线性规划问题的可行域就是空集。
当无界解与没有可行解时,可能就是建模时有错。
3.什么就是线性规划的标准型？松弛变量与剩余变量的管理含义就是什么？ 答:线性规划的标准型就是:目标函数极大化,约束条件为等式,右端常数项0≥i b ,决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力,对企业来说不就是紧缺资源,所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话,则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答:可行解:满足约束条件0≥=X b AX ，的解,称为可行解。
基可行解:满足非负性约束的基解,称为基可行解。
可行基:对应于基可行解的基,称为可行基。
最优解:使目标函数最优的可行解,称为最优解。
最优基:最优解对应的基矩阵,称为最优基。
它们的相互关系如右图所示:5.用表格单纯形法求解如下线性规划。
线性规划的基本概念与解法
线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。
它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。
这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。
例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。
通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解存在于约束条件所定义的空间中。
4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。
最优解可以是唯一的，也可以有多个。
二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。
通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。
该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。
3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。
该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。
三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。
3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。
4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。
第一章 线性规划
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。
1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力
5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
管理运筹学讲义：线性规划
1
相关数据如表所示： • •
10
11
12
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为甲 产品产量，x2为乙产品产量。 (2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时， 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力， A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件表述为 x1 ≤8 同理，B和C车间能力约束条件为 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 第一节 线性规划一般模型 (3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则 maxZ= 3x1 +5 x2 (4)非负约束。甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为 x1 ≥0， x2 ≥0 第一节 线性规划一般模型 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在 城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为 Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。设从Ai到Bj的运输量为xij， (2)目标函数。运费最小的目标函数为 minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足： 供应平衡条件 第一节 线性规划一般模型 • 用一组非负决策变量表示一个决策问题， • 存在一定的等式或不等式的线性约束条件， • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数。可能是最大化，也可能是最小 化。 • 线性规划一般模型的代数式 为： 第二节 线性规划的图解法 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解， 这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。 第二节 线性规划的图解法
运筹学名词解释
1.运筹学：用定量化方法了解和解释运行系统、为管理决策提供科学依据的学科。
它把有关的运行系统
首先归结成数学模型，然后用数学方法进行定量分析和比较，求得合理运用人力、物力和财力的系统运行最优方案。
2.影子价格：根据资源在生产中做出的贡献而作的估价称为影子价格
3.策略：动态规划问题各阶段决策组成的序列总体称作一个策略
4.决策：是指某阶段初从给定的状态出发，决策者在面临的若干种不同方案中做出的选择
5.目标规划：目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主
目标与多个次目标并存的问题。
6.线性规划：经营管理中如何有效的利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何
耗用最少的人力物力去实现。
7.数据包络分析：是一种对具有相同类型决策单元进行绩效评价的方法
8.凸集：如果集合C中任意两个点X1，X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集
9.可行解：满足线性规划约束条件的解称为可行解
10.最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最优解
11.基可行解：满足变量非负约束条件的基称为基可行解
12.偏差变量：表明实际值同目标值之间的差异
13.定量决策：用数学工具、建立反映各种因素及其关系的数学模型，并通过对这种数学模型的计算和求
解，选择出最佳的决策方案。
就这么多了，有要补充的靠大家了。
运筹学第4讲
建立线性规划模型的过程可以分 为四个步骤： (1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的 线性等式或不等式表示； (3)用决策变量的线性函数表示目 标，并确定是求极大（Max）还是极小 （Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究 变量是否有非负性。
x1 2 x 2 x 3 11 4x x 2x 3 1 2 3 x3 1 2 x1 x1 , x 2 , x 3 0
max Z 3 x1 x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7 x1 2 x2 x3 x4 11 4x x 2x x5 x6 3 1 2 3 x3 x7 1 2 x1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0
-1 x2 0 1 0 0
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1 0 0 0
0 x5 -2 -1 0 -1
-M x6 2 1 0
-M+1
-M x7 -5 -2 1
-M-1
j
∴最优解为（0,1,1,12,0,0,0），Z = －2
5-2 两阶段法： 第 一 章 线 性 规 划 及 单 纯 形 法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M, 可能造成计算机上的错误，故多采用两阶段法。 第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如 下模型：
是
是 无可行解
是 无穷多 最优解
停止
循 环
无界解
否
bi 计算 i ( alk 0) alk
用非基变量xk 替换基变量xl
列出下一个 新单纯形表
一、线性规划--合理利用线材问题：如何下料使用材最少。 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润。 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报 最大。 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等， 使获利最大。 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 。 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。
线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
27
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
28
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
21
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
运筹学整理
运筹学知识点整理1、运筹学研究的基本特点及步骤?基本特点：多学科交叉、模型化（定量）、最优化 运筹学的工作步骤：1、提出与表达问题。
2、建立模型。
3、求解。
4、解的检验。
5、解的分析。
6、解的实施。
2、线性规划问题的特点?• 目标明确：要解决的问题的目标可以用数值 指标反映。
Z=ƒ(x1 … xn ) 线性式，求Z 极大或极小• 多种方案：对于要实现的目标有多种方案可 选择 • 资源有限：有影响决策的若干约束条件•线性关系：约束条件及目标函数均保持线性关系3、线性规划的数学模型共同特征及标准形式?（1）共同特征：决策变量：向量决策人要考虑和控制的因素非负约束条件：线性等式或不等式目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z 极大或极小 （2）标准形式 A 一般型其中bi >=0 (i=1,2,…,m) B 矩阵型C 向量型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a x c x c x c Z Max4、线性规划问题解的概念：可行解、最优解、基本解、基本可行解?（1）可行解：满足约束条件的变量值（2）最优解：使目标函数取得最优值的可行解（3）基本解：对应于基B，X=为AX=b的一个解。
（4）基本可行解：基B，基本解X=若，称基B为可行基。
5、线性规划问题解的性质？A、课本上（几何意义）（1）凸集（2）凸组合（3）极点B、PPT上（1）若(LP)问题有可行解，则可行解集(可行域)是凸集(可能有界，也可能无界) 。
（2）基本可行解的个数是有限的，对应于极点的个数是有限的。
（3）(LP)问题的基本可行解可行域的极点。
（4）若(LP)问题有最优解，必可以在基本可行解(极点)达到。
6、图解法及线性规划解结果的几种形式?PPT2-3有解：唯一最优解、无穷多解；无解：无有限最优解、无可行解7、单纯形算法的基本思想，单纯形的计算步骤，如何在单纯形表中去判断问题具有唯一的最优解、无穷多最优解、无界解？根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解(顶点)开始，转换到另一个基本可行解(顶点)，并使得每次的转换，目标函数值均有所改善，最终达到最大值时就得到最优解。
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Ch1 Linear Programming
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max Z 4x1 2x2 x3
10
5x1 x1
x2 x3 x4 6x2 2x3
3 x5
2
5 1 B2 10 0,
xj 0, j 1,
基本解为
,5
X
(2)
(
1
,0,0,4,0)T
当最优解唯一时，最优解
亦是基本最优解，当最优解
不唯一时，则最优解不一定
是基本最优解。例如右图中 线段 Q1Q2的点为最优 解时， Q1点及Q2点是基本最优解,线 段 Q1Q2 的内点是最优解§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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基本最优解 最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足 式（1.1）~(1.3)是最优解,又是B3的基本解,因此它是基本最 优解.
最优基 基可行解对应的基称为可行基；基本最优解对应的基称 为最优基，如上述B3就是最优基，最优基也是可行基。
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可行解 满足式（1.2）及（1.3）的解X=（x1,x2…，xn)T 称为 可行解 。
例如，X (0,0, 1 , 7 ,1)T 与X=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。 2 2
最优解 满足式 （1 .1）的可行解称为最优解，即是使得目标 函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解
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由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且|B|≠0。当矩阵 B的行列式等式零即|B|=0时就不是基
当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基 向量，其余列向量称为非基向量
基向量对应的变量称为基变量，非基向量对应的变量称 为非基变量
5 1 B2 10 0
A
5 10
1 6
1 2
1 0
0 1
在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量 是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变 量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基 变量和非基变量也不同。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
5
由于 X（1） 0是基本解，从而它是基本可行解，在 X（2）中
x1<0,因此不是可行解，也就不是基本可行解。
反之，可行解不一定是基本可行解
例如 X (0,0, 1 , 7 ,1)T 满足式（1.2）～（1.3），但不是
22
任何基矩阵的基本解。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解 的关系如下所示：
基本最优解
基本可行解
基本解
最优解
可行解
例如,B点和D点是可 行解,不是基本解;C点 是基本可行解;A点是 基本最优解,同时也 是最优解、基本可行 解、基本解和可行解。
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【例1.12】线性规划 max Z 4x1 2x2 x3
10
5x1 x1
x2 x3 x4 6x2 2x3
3 x5
2
xj 0, j 1, ,5
【解】约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
求所有基矩阵。
5 1 1 1 0 A 10 6 2 0 1
X ( 3 ,0,0,0,8)T是例2的最优解。 5
基本解 对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（1.２）
解出基变量，则这组解称为基Ｂ的基本解。
基本可行解，若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称 基可行解）。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.３）的非负要求， 那么这个基本解就是基本可行解。
在例1中，对Ｂ１来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，
令x3=x4=x5=0，则式（1.２）为
－5x110x1x2
x2
40 30 20
10
(3,4)
C(0,20)
例1.6 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5x2 30
容易看出r（A）=2，2阶子矩阵有 =10个，基矩阵只有9个，即
C5
2
5 B1 10
1
5
6, B2 10
1 0,
5 B3 10
0 1,
B4
1 6
1
2
1 B5 6
10,
1 0 B6 6 1,
1
B7
2
0 1,
1
B8
2
1 0,
B9
1 0
0 1
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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设线性规划的标准型
max Z=CX
（1.1）
AX=b
（1.2）
X≥0
（1.3）
式中A是m×n矩阵，m≤n并且r（A）=m，显然A中
3 6x2
2
5 1 B1 10 6,
因|Ｂ１|≠０，由克菜姆法则知，x1,x2有唯一解
x2=1则基本解为
x(1) ( 2 ,1,0,0,0)T
5
x1
2 5
对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式
（1.2）得到
x1
1 5
，x4=4，
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
至少有一个m×m子矩阵B，使得r（B）=m。
基 A中m×m子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线
性规划的一个基（或基矩阵 ）。当m=n时，基矩阵
唯一，当m<n时，基矩阵就可能有多个，但数目不
超过 Cnm
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
Ch1 Linear Programming