量子物理补充习题

T 0 c 2
1 2 c 2 0c 2
1 0 2 。 2
其中 0 为粒子的静止质量。试证明当 c 时， T
A5. 对于氢原子、一次电离的氦离子 He+和两次电离的锂粒子 Li++,分别计算它 们的： （1）第一、第二波尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度； （2）电子 在基态的结合能； （3）由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态 退激到基态所放光子的波长。 A6. 在波长从 95nm 到 125nm 的光带范围内，氢原子吸收光谱中包含哪些谱线？ A7. 已知氢和重氢的里德伯常量之比为 0.999728 ，而它们的核质量之比为 mH/mD=0.50020,试计算质子质量与电子质量之比。 A8. 已知琴弦振动的驻波条件为 n
程。 A22. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子的 Schrödinger 方程，
并求其解。
A23.
试用一维势箱模型(6 个
H3C N H3C H C
电子)计算如下分子的电子光谱最大吸收波
CH3 C H C H C H N+ CH3
l =8A
长（第一吸收峰） 。 A24. 一维势箱（0，a）中的粒子处于 n 态。试计算 x, p x ；并验证不确
大小（量级） 。 A16. 下列哪些函数不是品优函数，说明理由： f (x) x ， e
2
2
|x|
，Sin |x|，
e x
A17.
用不确定原理和 virial 定理判断下列论断是否正确：中子是由相距小
于 10-13cm 的质子和电子用 Coulomb 力结合起来的粒子。

A18. 已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为 为势阱的长度。试计算： (a)粒子动量的平方。
有共同的本征函数。 A62. 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表达式为 H=L2/2I（L 为角动
量） 。 试求对应的量子体系在下列情况下的本征能量和波函数: （1） 转子绕一 固定轴转动;（2）转子绕一固定点转动。
L , L i L z x y 证明：
A63. A64. A65. A66.
1 0, a n (b) 取何值时粒子在区间 4 的几率最大。
2 n sin x a a ，其中 a
A19.
一维势箱中的粒子基态波函数为1= 2 / a sin(x/a),试画出其几率密
度分布图（纵坐标以 2/a 为单位，横坐标以 a 为单位） 。 A20. A21. 试写出下列体系的定态薛定谔方程： （a）He 原子（b）H2 分子。 质量为 m 的粒子，在弹性力 kx 作用下运动，试写出其 Schrödinger 方
ˆ 为任一常数 c ˆ 的本征值和本征函数。其中 C ˆ 和H ˆ C 试比较能量算符 H
所对应的算符。 A32.
设 A ， B 为厄米算符，证明： （1） A B 是厄米的； （2） i A, B
是厄米的。 A33. 验证: c1 (1 c2 r )e ar 是氢原子 Schrödinger 方程的解，并确定 c1 ，
2P
x
与
2P
y
正交。
A68.
一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
0 a V(r) a
，
试求粒子能量本征函数的角度部分。 （提示：
ˆ2 1 2 1 2 1 2 L 2 (r ) 2 2 (r ) r r r 2 h 2 ，L2 为角动量平方算符） r r r r r 。
(a) 100 eV 的自由电子。 (b) 0.1 eV，质量为 1g 的粒子。 A12. 若一个电子的动能等于它的静止能量，试求： （1）该电子的速度（2）
其相应的 de Broglie 波长。
A13.
一原子的激发态发射波长为 600mm 的光谱线，测得波长的精度为∆λ/λ =
10−7,试问该原子态的寿命为多长？
2 d 2 ˆ 2 2 m 2 x 2 2 2m dx
bax 若选用 e 作为一维谐振子的尝试波函数，试用变分法计算其近似的基
2
态能量。其中 b 为参数， a m ， m 为谐振子的质量。 A44. A45. A46. 用变分法求锂原子的第二电离能。 写出锂原子基态的行列式波函数。 证明波函数
数是 n 的氢原子电子能级的简并度。 A30. 在求解氢原子电子的 Schrödinger 方程时，曾忽略了万有引力的作用。
质子和电子在万有引力作用下的势能为 V GM r . 其中万有引力常数 G =6.67×10-8 cm3.g-1.s-1。试计算 V 所引起的电子能量的修正值。 A31.
离能 I 和电子亲和能 A。 第三章 双原子分子 A73. A74. A75. A76. 试写出 H2 的 Schrödinger 方程。 按分子轨道法写出 Li2 的基电子组态和电子的总波函数。 用分子轨道能级图解释：N2 的键能比 N2+ 大，而 O2 的键能比 O2+ 小。 如果分子轨道 AB 的成键轨道中的一个电子由 90%的时间在 A 的原子轨道
2
A69.
1 计算单电子原子 1s 电子的 r 的平均值。 由此推出这个电子经受的势能平
均值。证明平均动能等于总能量，但符号不同。 （这个结果叫做维里定理，它
适用于库仑力作用下而达到平衡的粒子系统，它在经典力学和量子力学中均 成立。 ） A70. 函数 Y30=(2cos3θ-3cosθsin2θ)是一个 f 轨道的角度部分（未归一化
2
Ne br
cr
， 并说将近似能量对参数 b 和 c 求极小值时， 得到高于真实基态能量
（核质量为无穷大）0.7%的能量。不做任何计算，说明为什么这个结果一定 是错误的。 A42. 如果对一维无限势阱中的粒子用归一化的尝试变分函数
3 x, 3 l
12

0 xl
则发现其近似能量为零，这比真实的基态能量低。试指出错在哪里。 A43. 一维谐振子的 Hamilton 算符为

2
。按照“定态 a （n＝1，2，…, a 为弦长）
即驻波”的说法，束缚在长宽高分别为 a，b，c 的三维势箱中的粒子(质量 为 m)的定态能量取值是多少？ A9. *μ-子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量的 207 倍外，其余性质与电 子相同。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成μ子原子，试计算： （1） μ子原子的第一波尔轨道半径； （2）μ子原子的最低能量； （3）μ子原子 拉曼线系中的最短波长。 A10. A11. 计算红光 =6000 Å 和 X 射线 =1 Å 的一个光子的能量、动量和质量。 试求下列各粒子的 de Broglie 波长
。 。
验证下列函数的正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性：Y00，Y11，Y10
2 验证 Y1,-1 是 L 和 L z 的本征函数。

r / a0 （a） 函数 e (a0 是常数， r 是电子离核的距离)是否满足波函数
的标准化条件？简述理由。 （b） 试求 的归一化常数并写出归一化的波函数。 A67. 证明氢原子的波函数
2 2 ， c3 的物理意义计算 211 ， 311 都是归一化的。试由 c12 ， c 2
①能量的平均值。 ②能量是 R 4 的几率。 ③角动量的平均值。 ④角动量是 2 的几率。 ⑤角动量 z 分量的平均值。 ⑥角动量 z 分量是 2 的几率。 第二章 原子结构 A41. 1971 年曾发表过一篇论文，该论文对氢原子应用了归一化的变分函数
c 2 ， a 和能量 E 。
A34.
求氢原子中处于 1s 状态的电子矢径 r 的平均值 r 。
A35. A36. A37. A38. A39. A40.
求氢原子中处于 1s 状态的电子出现在 r 2a0 的球内的几率。 求氢原子中处于 2 pz 状态的电子出现在 45 的圆锥内的几率。 求氢原子中处于 321状态的电子的角动量与 z 轴的夹角。 处于 l 2 的电子，求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。 比较 H 的 2 s 电子、He+的 2 s 电子和 He (1s1 2s1 ) 的 2 s 电子能量的高低。 设氢原子的电子处在状态 c1 210 c2 211 c3 311 ，其中 ， 210 ，
. 表示电子的自旋-轨道，则电子密度
也可以写为:
(1) e i (1)
i 1
N
2
. 试验证： 对于 N 2 的闭壳层体系， 以上这
两个电荷密度的表达式等价。 A60. 利用以上两题的结果，说明闭壳层体系或半满壳层的原子体系的电荷密
度是球对称的。 A61. 写出角动量算符 L2 及其分量 Lz 的球坐标表达式，试证 L2 与 Lz 对易，
4d 1 5s 2
A50. A51. A52.
4d 2 5s1
2
由光谱实验可确定其光谱基项为
D3 2
，试判断它的基态是哪种电子组态。
试写出 Cl 原子和 As 原子的光谱基项。 如果一个电子的状态不用量子数 n ， l ， m ，
m s ，来描述，而用 n ， l ，
j ， m j 四个量子数来描述，试证明一定 n 值的状态数目仍为 2n 2 个。
的） 。绘出它在 xz 平面上的极坐标图。 A71. 求解束缚在半径为 a 的球壳上运动的粒子的定态问题。势能：
cr 。试用 e 作为尝试变分函数（c>0 为变分参数） ，对氢
2
0 r a V(r) r a
原子进行变分处理，并与精确能量进行比较。 A72. 试用 Slater 法计算原子 C，C+，C— 的总能量，并求 C 原子的第一电
1 2 (u 1 u 2 )
A14.
设体系处于态
,其中 u1, u2 是体系哈密顿算符 H 的归一
化的本征函数，相应的本征值为 E1，E2 。测量处于态的体系的能量，测 量出的可能值是什么？几率多大？测量平均值是什么？ A15. 1，3—丁二烯分子长度 a≈7Å，试用测不准关系估计其基电子态能级的
A53. A54.
6
求 pd 电子组态的光谱项。
3 1 如果考虑自旋-轨道耦合，下列谱项各能级分裂成几个能级： D ， G ，
S。
组态 p 和 pd 的谱项之间允许的电子跃迁有哪些？
2 谱项 P 的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些？
2
A55. A56. A57.
pd 组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些？总自旋角动量
(1,2)
A47. A48.
1 1s(1) (1) 1s(2) (2) 2 2s(1) (1) 2s(2) (2)
是氦原子忽略电子间相互作用的 Schrödinger 方程的解， 并求其本征值。 用 Clementi 和 Raimondi 给出的计算屏蔽常数的经验公式计算 He 原子
的基态能量。 A49. 基态钇（Y）原子的可能价电子组态为 或
与 z 轴可能的夹角有哪些？ A58.
l
对于给定的 l 值，求和
ml
Y
2
lm
( , )
与角度 和 无关。当 l 1 时，试验证这一结论的正确性。
A59.
一个含有 N 个电子的原子，则电荷密度为
2
(1) Ne (1,2,, N ) d 2 d 3 d N
定关系。
A25.
一维势箱（0，a）中的粒子的状态为
x x (x) ASin cos 2
a
a ，计算：
能量的可能测量值及相应的几率；能量的平均值；求归一化系数 A。 A26. 作为近似，苯中的 6 个 π 电子可看作在边长为 0.35 nm 的正方形二维
势阱中运动。试计算由基态跃迁到第一激发态所对应的光吸收的波长 （nm）? A27. A28. A29. 证明 ( x) e kx 是 Px 的本征函数，并说明 k 的取值情况。 试计算 Li2+离子 2 s 和 2 p 轨道上电子的电离能。 忽略电子的自旋轨道相互作用，但考虑电子的自旋状态，试确定主量子
第一章 量子力学基础 A1. K 的电子逸出功是 2.2 eV，Ni 的电子逸出功是 5.0 eV，而 1 eV=1.6×10-12 erg，波长为 4000 Å 的紫光能否引起金属 K 和 Ni 的光电效应？ A2. Ce 的逸出功是 1.9eV, 求阈值频率和波长. A3. 求氘原子Hα 线 n=2 到 n=3 的波数 A4. 考虑相对论效应，则以速度 运动的粒子的动能为