6.1二次型的定义及其矩阵表示

)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
1
0
1
1
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
a11 x1 a12 x2 a1n xn
( x1, x2 ,
,
xn)
a21
x1
a22
x2
a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1 ,
x2
,
,
xn
a21
an1
a12 a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
a11 a12 a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2 ,
ห้องสมุดไป่ตู้n1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;