几何画板迭代全解(谢辅炬)
11_几何画板---迭代与深度迭代

• 7、同时选取点B、“n-1=5”;
• 8、按住Shift键不放,单击菜单“变换”→“深 度迭代”弹出迭代对话框;
• 9、单击工作区中的点B’,使 “初象”下面框 中的问号变成B’,单对话框中的“迭代”按钮
几何画板---迭代与深度迭代
• 我们用旋转变换不难画出正多边形,但边 数太多,如要画正十七边型,得用旋转变 换16次,那么有没有简单的方法呢,有, 那就是“迭代”
例1、正十七边形的画法
操作步骤:
• 1、画两个点,让B点围绕点A旋转 得B’ , 连接B’B 。
• 2、选定B点,单击菜单“变换”→“迭代”,出 现下面对话框
迭代变换使用的前提条件:
• 1)选定一个(或几个)自由的点,即平面上 任一点,或线(直线、线段、射线、圆、 轨迹)上的任一点,如上例的B点。
• 2)由选定的点产生的目标点(不要选定,出 现迭代对话框后,再选),如线段的中点, 或由选定点经过变换产生的点
迭代的深度(即重复的次数), 1、画两个点,标记其中一个点作为正n 边形的中
心。另一个点为最基本的第一顶点; • 2、“新建参数”n,用3600除以n,得正n边形的圆
心角; • 3、选取圆心角后“标记角度”,让第一顶点绕中心
按“标记的角度”旋转,得第二顶点; • 4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深度
迭代”; • 5、选取参数n,按小键盘上的“+、-”键可以改
变参数,得到动态的正n边形。
操作步骤:
• 1、 按“alt+=”键,调出计算器,输入 “360°÷”(“°”由单位按钮输入)
• 2、 单击计算器的“数值”按钮 • 3、 单击“新建参数”按钮
• 6、让B点,绕点A旋转“ 接BB’。
几何画板的记录功能和迭代功能
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几何画板的迭代功能
演示实例 例9: 教材P39 例2.18 用迭代功能绘 教材P39 制正十二边形 方法一:用圆绘制正多边形 方法二:用线段绘制正多边形
三、综合应用实例 三、综合应用实例
Байду номын сангаас
例10:正方形面积函数 10:
几何画板的记录功能 和迭代功能
几何画板的记录功能
记录文件实例:
例1:作等腰梯形的记录文件 例2:作正方形的记录文件 例3:作直角三角形的记录文件 例4:作半圆的记录文件 例5:验证勾股定理 例6:三个半圆 例7:利用循环功能作等边三角形 例8:应用我的变换例作正12边形 应用我的变换例作正12边形
几何画板迭代全解谢辅炬

几何画板迭代全解佛山市南海区石门中学谢辅炬目录✧迭代的基本概念以及迭代的基本操作◆迭代的概念◆迭代在代数、几何中的应用◆画正多边形◆数列的图像、前n项和与积✧迭代与分形几何◆Sierpinski 三角形◆Sierpinski 地毯◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树◆分形树◆KOCH 曲线◆KOCH Snowflake柯克雪花◆数学之美◆H迭代◆蜂巢◆其它分形欣赏✧函数迭代:函数映射,M集,朱丽亚集◆迭代法求方程解◆MIRA◆Henon-Attractor◆Mandelbrot集合◆Julia Sets集合◆牛顿迭代法✧下期预告第一章:迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能,它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义:!(1)!(1)!(1)(2)!n n n n n n =⨯--=-⨯- 。
递归算法的特点是书写简单,容易理解,但是运算消耗内存较大。
我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代:按一定的迭代规则,从原象到初象的反复映射过程。
原象:产生迭代序列的初始对象,通常称为“种子”。
初象:原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点,在代数学中,如计算数列1,3,5,7,9......的第n 项。
我们知道12n n a a -=+,所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像,3作为初像,迭代一次后得到5,再迭代一次得到7,如此下去得到以下数值序列7 , 9,11, 13, 15......如图1.1所示。
在几何学中,迭代使一组对象产生一组新的对象。
图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ,各点相距1cm ,那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢?我们可以发现其中的规律就是从左到右,每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。
所以我们以A 点作为原像,B 点作为初像,迭代一次得到B 点,二次为C 点,以此类推。
在几何画板中,如何用“迭代法”构造二次函数的轨迹及动态演示函数图象的生成过程
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在几何画板中,如何用“迭代法”构造二次函数轨迹及动态演示函数图象的生成过程?下面以二次例函数.2y 05x x 6=-++为例(见最后的截图):1.定义直角坐标系,绘制函数.2y 05x x 6=-++的图象;2.描图象“轨迹”的起点:新建参数=.1x 37-→计算().1y x 455=-(计算过程:数据→计算→点击.2y 05x x 6=-++→点击=.1x 37-→确定即可完成)→同时选定=.1x 37-和().1y x 455=-绘图绘制点即可完成(也可分别点选输入绘制);3.新建.b 02=,计算.1x b 350+=-;4.新建反映迭代次数的参数n 47=(注意数据设置成整数,并注意迭代范围和速度时间和单位的设置);5.迭代:同时选定=.1x 37-、n 47=→按住Shift →变换→深度迭代→=.1x 37- →+.1x b 350=-(点击+.1x b 350=-即可)→迭代.见上面的示意图,若不需要标示的迭代,只需选定=.1x 030和n 22=来进行迭代(见反比例函数的示意图);6.在x 轴上构造控制轨迹线段,线段的终点(如图的M ):建立参数+.1x n b 564⋅=,通过“绘图”的绘制点点击和输入的方式(+.1x n b 564⋅=,0)完成;线段起点(如图的N )可以点选完成,落在迭代轨迹的起点的区间内,这样动画的效果更好;构造线段MN .7.在x 轴上构造控制轨迹线段的控点和构造轨迹:选定线段→线段上的点→平移点→过线段上的点→作射线或直线(若轨迹在正半轴和负半轴则作直线)或作垂直于x 轴的直线(道理是一样的)→构造此射线或直线与函数图象的交点→选择线段上的构造的点和交点→构造→轨迹.8.隐藏不需要的点、线、迭代等(包括隐藏原反比例函数的图象、动画参数表);9.选定迭代次数的按钮n 47=,制作动画按钮(设置范围和速度等).补充说明:①、构造轨迹的辅助平移点的环节可以舍去,直接过“线段上的点”作轴的垂线(直线、射线),再构造交点,构造轨迹;②、要使动画不显得那么慢,除了速度设置,还可以把作为迭代平移的+.1x b 350=-中平移距离参数b 值设置大一些;③、要使轨迹动画全覆盖,除了构造轨迹的线段的端点注意设置,还要注意迭代次数的参数范围比轨迹参数实际的设置大一些来解决.④.若在动画演示中显现坐标,设计还要多一些步骤.动画参数的范围的范围要反映迭代次数的范围.⑤.比如本例输入在0~47之间.见截图(截图上的的一些点线还没有作隐藏,课件完成后根据需要作隐藏):郑宗平 2015/7/29。
几何画板迭代全解

第二章:迭代与分形几何
分形作为现代数学的一个分支,从诞生的那天起,就有着独特的魅力。分形的特点是整体 与部分之间存在某种自相似性, 整体具有多种层次结构。 分形图片具有无可争议的美学感召力, 特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识, 但相对而言,分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边,我们身体中的血液循环管道系统、肺 脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形,参天大树、连绵的山脉、奔涌的 河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。人们对这些东西太熟悉了,当然熟悉不等于真正理解。 分形的确贴近人们的生活, 因而由分形而来的分形艺术也并不遥远, 普通人也能体验分形之美。 因为分形几何的迭代的原像一般不止一个,而且均为多映射迭代,为了叙述的方便,我们 先作以下两个约定。 1.用(A,B,C)表示有顺序的三点 A、B 和 C。 2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示 A 映射到 D,B 映射到 E,C 映射到 F,然后添加映射 A 映射到 G,B 映射到 H,C 映射到 I,以此类推。
例 2.1 Sierpinski 三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间, 为实变函数理论构造了几个典型的例子, 这些怪物常称作“谢氏三角” 、 “谢氏地毯” 、 “谢氏海绵” 、 “谢氏墓垛” 。如今,几乎任何一本讲
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《几何画板迭代全解》
图 1.1
图 1.2 在几何学中,迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G,各点 相距 1cm,那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢?我们可以发现其中的规律就是从左到右, 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像,B 点作为初像,迭代一 次得到 B 点,二次为 C 点,以此类推。 所以,迭代像就是迭代操作产生的象的序列,而迭代深度是指迭代的次数,迭代的终点就 是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种,一种是没有参数的迭代,另一种是带参数的迭代, 后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同,但前者需要手动改变迭代的深度,后者可通 过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 边形这个例子来看一下它们的区别。
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件.docx

例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件摘要:在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时,借助几何画板的深度迭代功能,能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件,有效突破了教学难点。
关键词:几何画板;深度迭代;数学课件几何画板操作简单、功能强大,是广大数学教师的首选教育软件。
笔者在用几何画板辅助教学的实践中,深感几何画板的深度迭代功能十分强大。
现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享,以期抛砖引玉,共同提高。
•深度迭代功能在数学上,迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。
这些操作必须根据某些输入来定义输出,迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。
几何画板中的迭代是按一定的迭代规则,从原象到初象反复映射的过程。
原象是产生迭代序列的初始对象,通常称为“种子”。
初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。
几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代,通过改变参数的值可改变迭代深度,从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行,可实现人机交互、动态变换。
•课件制作案例1.动态演示圆的内接与外切正多边形(1)设计思想在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中,一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术",其体现了朴素的极限思想。
在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程(如图1),随着分割的份数n的值越来越大,圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆,并动态计算圆周率的精确度也越来越高,这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。
(2)制作步骤①画一个圆,在圆上取一点A,圆心标记为0。
将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”,新建参数n,参数值为6,计算和的值。
②双击圆心0,将点A按标记角度旋转得点,构造线段、,过作线段的垂线a,将点A按标记角度旋转得点B,构造射线0B,与直线a交于点C。
(完整word版)几何画板迭代详解之迭代与分形几何

几何画板迭代详解之:迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性,整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力,特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识,但相对而言,分形美是通俗易懂的.分形就在我们身边,我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形,参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了,当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远,普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个,而且均为多映射迭代,为了叙述的方便,我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C.2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D,B映射到D,C映射到F,然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间,为实变函数理论构造了几个典型的例子,这些怪物常称作“谢氏地毯"、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛"。
如今,几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形,它是很有代表性的线性分形,具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点,挖去中间新的小三角形进行分割——-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零,总长度趋于无穷。
Sierpinski三角形在力学上也有实用价值,Sierpinski 三角形结构节省材料,强度高,例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F,连接DEF.2.新建参数n=33.顺次选择B,C,A三点和参数n,作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题
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在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题在几何画板中,以“迭代”方式来构图是构图的重要的手段,特别是一些较为复杂的组合图案更是离不开“迭代”功能的运用;“迭代”构图要弄清以下几个方面问题:1.关于迭代迭代可以理解为是不停的代换的意思,简单点说“迭代”就是一种重复操作,将上一步的参数保持不变,再执行一次的意思. (“参数保持不变”在几何画板中可以形象的理解为图形的旋转角度、平移距离、放缩比例等等保持不变). 迭代分为两种类型:第一种类型是简单迭代:先选中原象(通常是一个点或多个点,亦称原象点) → 然后变换 → 迭代 → 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点(初象点) → 最后按迭代按钮,即可得到固定迭代的图.默认的迭代次数是3次.(后面的图②③④都是简单迭代)第二种类型是深度迭代:按照设定参数确定迭代次数,不用进入迭代菜单,直接控制参数的增减就能控制迭代的深度(次数的多少).①.构造方法:选中选择你要迭代的原象点、新建的参数按钮并按住Shift 键 → 然后点开“变换”菜单下的迭代自然显示为“深度迭代” → 点击打开“深度迭代”的对话框 → 点入对应的初象点 → 迭代.(见下面的截图①) ②.作用:简化重复作图过程,选定参数按钮后操作“+”、“-”号键可以控制作图重复次数的效果.选中参数按钮后按Shift 键,按“+”号增加迭代,选中参数按钮直接按“-”号键减少迭代. 若把参数按钮设置动画可以自动增减.2.原象点的确立.原象:产生迭代序列的初始对象(起点的位置),通常称为“种子”.原象点的确定:第一次迭代的出发点为原象点,取决于绘制基本图形的起始条件,原象点必须是自由的点或自由路径上的点(主要不受其它路径控制的端点!“自由”是个关键词,即使在初始对象上任取在该路径活动的点都不算自由点). 如:正方形ABCD 是由线段AB “变换”(这里是旋转)和“构造”方式得到的,所以线段AB 的端点A B 、可以作为原象点(见组图②);而线段BC CD DA 、、 以因此其端点C D 、是不能作为迭代关系的原象点.又如选定B C 、后,点B 可以作为建立迭代关系的后原象点,而C 点不能作为原象点.即使在初始对象AB 用点的工具任意取一点都不能作为原象点.再次提醒直接用画板工具栏中的“工具”作出的自由的点或自由路径上的点(不受其它路径控制,比如起始线段的端点)才是原象点,而以别的图形为基础新建立的点不能作为原象点.①3.初象点的确立初象 :原象经过一系列变换操作而得到的象(第二个点的位置),与原象是相对概念. 初象点的确定:第二次迭代的出发点为初象点,它是和原象点个数相同且相对应的一组点.对于初象点的确立,不管是“变换”、“构造”还是直接用工具作的点,只要以原象为基础的点都可以作为初象点.比如在正方形ABCD 的的边上任意一处取一个点都可以作为原象点对应的初象点(因为它是以正方形的边为基础),但在正方形ABCD 的边之外的空处随便取一个点就不能作为初象点,抓住关键词“以原象为基础作出来点.”注:通过操作发现作为“原象”线段若已经 “构造”和“变换”的第三点,此时选定原象线段的两个端点同时都可以作为初象点,也就是此时的“原象线段”两个端点具有“原象点”和“初象点”的双重特性.组图②:选定A B 、作为原象点,而边的中点E F 、 作为初象点来迭代构图.组图③:直接用线段工具构造出五边形ABCDE ,以线段FG 为长度依次在边上截取AH EI DJ CK BL ====;此时选定A B C D E 、、、、作为原象点,截取的得到点H I J K L 、、、、 作为初象点进行迭代构图.组图④:以线段AB 绕端点B 逆时针旋转108°得到线段AC ,再以取出连线段的中点E F 、 ,连结EF .以点B A 、为原象点,以A C 、为初象点迭代构图,不但可以构造一个正五边形,还可以把其中点五边形同时构造出来,残缺的边可用键盘“+”键补全.4.初象点是怎样把原象点 “迭代”构图的?②④③利用几何画板的“迭代”功能构图,关键是映射点(初象点)与原象点的“迭代”对应关系,在选择对应的初象点是要注意方向;“迭代”出来的图会显示出初象点把原象点的的特性进行重新操作.下面举例来加以说明:例1.已知线段AB ,以 A 为旋转中心逆时针旋转108°得到AC .⑪.若以点B 为原象点,点C 为初象点,则“迭代”出来的图形体现点C 会按点B 绕点A 逆时针旋转108°的特性重新操作,……,依次类推!.(见截图⑤) ⑫.若以点A 为原象点,点C 为初象点,则点C 会成了下一个旋转中心,……; “迭代”出来的图形,点C 会依次把点A 为旋转中心旋转108°的特性体现出来.(见截图⑥)⑬.若以点B A 、 为原象点,点A C 、分别对应为初象点,则点C 成了下一个旋转中心,则“迭代”出来的图形,会把线段AB 绕着点A 逆时针旋转108°得到AC 的特征在点C 处为旋转中心一一体现出来,后面迭代出来图形依然如此.(见截图⑦,因为默认迭代次数为3次,所以恰好为正五边形.)注:若在线段AB AC 、取点连线,会把“连线”同时进行“迭代”,也就是迭代会“映射”原象点和初象点为基础的整个图形,依次类推!如前面组图④的进行“迭代”操作时同时也把中点连成的线段作了“迭代”构造.例2.如图以初始线段AB 为初始线段构造一Rt ⊿ACB ,在斜边AD 任取一点D ;以A C 、为原象点,分别以D B 、 为初象点,会以边DB 对应边DE AB 所在的Rt ⊿ACB 及其填充色进行“迭代”,但迭代图形依次按DB 所占比例缩小 .(见组图⑧.最右边的图用键盘“+”键增加了迭代次数的,有点近似“勾股螺”图案.)⑤⑥C⑦⑧5.关于“添加新的映射”的问题.映射是高中数学的一个概念,是指按某种规则的两个集合中的集合A 的任何一个元素,在集合B 都有唯一的元素与之对应. 在几何画板中最先的从原象点到初象点可以理解为是第一次映射,初象点就是映射点;因此只要还有新的初象点,那么根据需要就可以继续添加新的的映射.下面我举例说明:例:画勾股树.⑪.画一条线段(见图⑨隐藏了字母标签),并且构造一个矩形,以一边(本例取起始线段的对边)为直径作一个半圆,在半圆上取两点,隐藏半圆和圆心点;进行第一次映射点的添加(操作和前面一样,见迭代对话框和图中标示).⑫.添加新的映射:在图⑨的基础上→ 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框(见迭代对话框和图⑩标示). ⑬.继续添加新的映射:在图⑩的基础上 → 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框(见迭代对话框和图⑪中的标示).⑭.点击迭代完成构图.组图⑫的左图是最初成图,中图进行增加迭代次数、点的隐藏、颜色和形状姿态调整等等处理,右图进行颜色填充和色彩变化的处理等.上例可以看作画的三个迭代分支的勾股树.当然“添加新的映射”的次数和映射点对应的位置根据设计图案的需要而定,对应点构成的“基本图案”会在对应的⑨⑩映射点处呈现出来(前提是这些“基本图案”是由原象点为基础作出来的).下面是其它一些迭代构图的效果图:注:昨天在几何画板上画的,比较漂亮!几何画板中的“迭代”构图在制作组合图案和动画制作确实有优势.郑宗平 2017.12.24。
几何画板使用方法与技巧 深度迭代和参数颜色功能

A
B
AB = 2.96 厘米
2.选中线段AB和AB的度量值;
返回
主菜单
请单击
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
3.单击菜单“显示”---“颜色”---“参数”选项 ;
请单击
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
单击结 构/轨迹
A
B
AB = 2.96 厘米
动态演 示
4.选中线段AB和点A,执行“构造/轨迹”选项 ;
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
1.画一个三角形, 取内部和点A、B,连接AB,并度量长度;
用一个甚至多个参数动态地改变颜色,使得色彩更加丰富, 演示效果更加动感
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
2.选中线段AB和AB的度量值;
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
返回
主菜单
万花筒
动态演 示
返回
主菜单
选取映象点
返回Βιβλιοθήκη 主菜单深度迭代功能
动态演示 1
最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。选中参数n,按 “+”号键,增加迭代,按“-”号键,减少迭代。
返回
主菜单
迭代功能
迭代功能 迭代的两种方式:先绘制出一个“循环节”的图形(亦称原像)。 1)简单迭代:先选中原像一个点或多个点,然后执行〈变换/迭代〉命令,在 “迭代”对话框中选取与原像点相对应的一组(初像点)或多组映射点和迭代次 数,最后按“迭代”按钮。即可得到固定迭代的像。 2)深度迭代:新建一个参数n(取正整数),先选中原像一个点或多个点和参数 n,并按住Shift键,然后执行〈变换/深度迭代〉命令,在“迭代”对话框中选 取与原像点相对应的一组(初像点)或多组映射点,最后按“迭代”按钮。即可 得到动态迭代的像。选中参数n,按“+”号键,增加迭代,按“-”号键,减少迭 代。 原像点的确定:取决于绘制基本图形的起始条件,如用线段绘制正多边形,取第 一条边的两个端点为原像点;若用圆绘制正多边形,则取第一个顶点为原像点。 动态演示 2
用几何画板中的迭代法寻找极限

—74—工作研究用几何画板中的迭代法寻找极限信建榕(闽江师范高等专科学校,福建 福州 350000)摘 要:由于几何画板的出现,在高等数学教学中,已有技术上的手段,改进因计算能力不足,学生无法直观的体验高等数学中出现的概念、公式、定理等问题。
本文力求借助于几何画板中的迭代法,加强进一步的计算,寻找存在的极限。
关键词:几何画板;迭代法;随机逼近;迭代优选;极值;费尔马点及其拓展一般情况下,学生学完高等数学中的极限知识,已知一些问题是存在极限现象的,但要找出存在的极限是困难的。
比如,极值可以认为是一个变化过程中的极限,教材上都有利用导数知识求存在的极值的方法,但面对复杂的函数,用导数求出一阶导为0的点,而后判断出极值情况,并求出极值,但常常是求出一阶导为0的点就很难做到,当然无法求极值了,况且,面对复杂的几何现象,列出的函数可能相当复杂,即使能列出函数表达式,但求极限的过程虽然能求出,但过程相当复杂,比如著名的费马定理。
在几何画板中,可以利用迭代法超强的计算能力,通过不断的迭代优化,每一次的迭代,都使得数据更接近于所要寻找的极限,虽然最终的答案仍是近似的,但精确度极高,如果极限本身是精确值,将这近似值取有效数字后,常常就是所要寻找的精确值了。
本文先以求极值为例,探讨极值的迭代法求法,而后将其方法拓展到费尔马点及其拓展,解决平面几何中求极限的问题。
1 迭代法求极值1.1对简单的函数:一般地,极值可以认为是一个变化过程中,函数值达到局部最小或最大。
这极值点特殊,如极小值,函数值是局部最小的,利用这性质,可以在曲线上任取一点,利用迭代法,让这点了函数值越变越小,当然其也会越来越接近极小值,当迭代次数足够多时,可以看见,这点与实际的极小值点几乎没有区别了,如函数y=x 3-2x ,在曲线上任取一点A 及随机取点B ,将两点进行比较,若A 点的函数值小于B 点的函数值,则保留A 点的函数值,若A 点的函数值大于B 点的函数值,则将A 点变化到B 点,此时A 点的函数值则变小了,继续随机取点B 与A 点进行比较,每次都取小的,则经过多次迭代计算后,A 点的函数值越变越小,会无限接近极小值。
几何画板培训教程(附几何画板迭代全解)
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目录第一篇画板入门第一章用工具框作图 (3)第二章用构造菜单作图 (19)第三章用变换菜单作图 (33)第四章动作按钮的制作 (51)第五章智能化菜单详解 (58)第六章认识奇妙的参数 (64)第二篇范例赏析范例1 眩目的动画彩轮 (69)范例2 漂亮的勾股树 (70)范例3 一个梦幻万花筒 (72)范例4 闪烁效果的制作 (75)第三篇精选附录附录一迭代帮助文件 (79)附录二平面几何著名定理 (87)附录三圆锥曲线教材培训 (93)第一章:用工具框作图通过本章,你应1、 熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆”2、 学会在几何对象上画“点”、“线”、“圆”3、 学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧4、 学会“点”、“线”、“圆”的标签的显示和隐藏5、 理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍1、启动几何画板:单击Windows何画4.06中文完美增强版”,单击即可启动几何画板。
进入几何画板系统后的屏幕画面如下图所示几何画板的窗口是不是和其他Windows 应用程序窗口十分类似?有控制菜单、最大/最小化以及标题栏,画板窗口的左侧是画板工具栏,画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。
画板的左侧是画板工具箱,把光标移动到工具的上面,一会儿就会显示工具的名称,看看它们分别是什么?它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直尺工具】、【文本工具】、【自定义画图工具】。
和一般的绘图软件相比,你会不会感觉它的工具是不是少了点?几何画板的主要用途之一是用来绘制几何图形。
而几何图形的绘制,我们通常是用直尺和圆规,它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。
因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。
这种公里化作图思想因为“三大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重大,源远流长。
从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。
例说几何画板4.04版的迭代功能
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例说几何画板4.04版的迭代功能天津市葛沽第三中学李玉强用过几何画板4.0版的朋友们都知道【变换】菜单下有个【迭代】命令。
但大部分读者觉得该命令有些高深莫测,不知它有什么作用。
其实迭代就是指一个初始对象(可以是数值、几何图形等)按一定的规则反复映射的过程。
本文通过实例对【迭代】命令进行说明。
通过阅读本文您可以对【迭代】命令有所了解,并能在教学中初步运用。
让我们一起进入【迭代】世界,感受它的强大功能吧!例1:【迭代】在代数学中的运用(1)在【图表】菜单中,选择【新建参数】命令,在工作区建立一个参数a(关于参数的相关内容,请读者参阅《中国电脑教育报》第46期《用好几何画板的参数》一文)。
然后利用【度量】菜单下的【计算】命令,得到a2的值;(2)单击选中参数a后,在【变换】菜单下选择【迭代】命令,打开【迭代对话框】,如(图1)。
单击工作区的计算值a2=4,来映射 a a2,工作区显示如(图2);(3)单击【迭代】按钮后,最后效果如(图3),迭代完成。
改变原象参数a的值,初象a2的值相应改变,如(图4);选中迭代产生的表格,按小键盘上的“+”号键可以增加迭代的次数,如(图5),按“-”键则减少迭代的次数。
通过本例,您应该了解在代数学中,一个迭代就是一个计算结果的循环(用一个输入值计算一个输出值)。
迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代的输入。
当然,若要开始迭代过程,首先必需有个初始值,如上例中的参数a。
请您以a为原象,以a的不同计算值为初象,来试试【迭代】吧!例2、【迭代】在几何学上的运用(1)用画圆工具在工作区中画出⊙O,以⊙O的半径OA为直径构造⊙P如(图6)。
这样点P 和点O发生关联,它P 既是大圆半径的中点同时也是绿色的小圆的圆心;(2)单击选中点O,从【变换】菜单选择【迭代】命令,打开【迭代对话框】,如(图7);(3)单击工作区中的点P,来建立原象O到初象P的映射,效果如(图8);(4)单击迭代按钮,完成迭代,效果如(图9)。
几何画板迭代详解之:函数迭代
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几何画板迭代详解之:函数迭代佛山市南海区石门中学 谢辅炬【多项式432()f x ax bx cx dx e =++++求根】 【分析】多项式求根的迭代式是1()()n n n n f x x x f x +=-'。
【步骤】1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1,n =5。
2. 新建函数432()f x ax bx cx dx e =++++,画出它的图像。
3. 在图像上任取一点A ,度量A 的横坐标A x 。
4. 计算()()A A A f x x f x -';计算()()()A A A f x f x f x -'。
5. 依次选择()()A A A f x x f x -',()()()A A Af x f x f x -'单击【图表】【绘制点】。
得到点B 。
6. 度量B 的横坐标B x 。
7. 选中点A ,和参数n ,按住Shift 键,单击【变换】菜单【深度迭代】,弹出迭代对话框,单击点B 。
结果如图1所示。
图 1图 28. 选择迭代像,单击【变换】菜单【终点】,得到迭代的终点C ,度量C点的横坐标C x 。
9. 观察表格可知,显示方程的一个近似根是0.42。
10. 拖动A 点,改变它的位置。
观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。
如图2所示。
【MIRA 】【步骤】1. 在平面上取一点A ,度量A 的横坐标A x 和纵坐标A y 。
2. 新建参数a =0.4,b=0,99875。
(b 取得尽量接近1)3. 新建函数22(1)()1a x f x ax x-=++。
4. 计算f(A x )+b A y ,f(f(A x )+b A y )-A x 。
注意这里用的是函数嵌套。
顺次选择这两个结果,单击【图表】【绘制(x ,y )】。
得到点B 。
5. 顺次选择点B 和三个计算结果:f(A x )+bA y ,f(f(A x )+b A y )-A x ,A x 。
【几何画板高级教程】——中考数学问题中的图形迭代系列制作教程
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【⼏何画板⾼级教程】——中考数学问题中的图形迭代系列制作教程亲爱的朋友们:今天给⼤家介绍我的最新⼏何画板专辑——《动态⼏何图形与⼀次函数图像重叠部分⾯积问题的教程》,都是⼏何画板在初中数学教学中的⾼级应⽤,每个实例都是中⼩学数学经典问题,通过这些实例的学习并实际操作,您将学会动态⼏何图形的制作以及⼀次函数图像问题中的重叠⾯积问题动画制作,您的⼏何画板的制作⽔平将⼤⼤提⾼,动态⼏何图形与重叠部分⾯积问题是⼏何画板在初中数学应⽤中最难的制作应⽤,⼀旦学会了这些操作,您将会很快地进⼊⼏何画板⼤师级的⾏列,并给您的数学教学课堂带来翻天覆地的惊⼈变化,也会给您的学⽣带来前所未有的精彩体验。
【最新实⽤画板教程】简介:友情提醒:观看视频讲解是最⾼效的学习⼏何画板教程的⽅法,⽐看书效率⾄少要⾼三倍以上。
【⼏何画板⾼级视频教程】是我花了⼀年多的时间精⼼设计制作完成,主要讲解初中数学教学特别是中考数学经典问题——《动点问题的动画》,《双动点变速运动的动画制作》,《复杂的重叠部分⾯积问题》以及《复杂的平⾯图形特别是圆的滚动问题》,《迭代与深度迭代》,《圆的真滚动》等等,每个作品都是我的原创,其中很多画板制作⽅法和制作技巧都是我的⾸创,也是全球⾸创(真不是吹⽜哦),市场上肯定找不到第⼆家(不信你可以去找,哈哈!),210个作品全都是数学教师在教学中⼀定会遇到的问题,也是最常见的数学动点问题,所有作品都是有⼀定的制作难度的,可以说本教程是有史以来最实⽤的⼏何画板教程之⼀(呵呵),如果对210个作品都能够理解和熟练掌握,那您肯定将成为⼀名画板的顶尖⾼⼿,我希望我的作品能够对⼴⼤数学教师和⼏何画板爱好者有⼀定的帮助,谢谢朋友们的⽀持!公众号——《初中数学新天地与⼏何画板微课堂》⾃⾯世以来,已经发布了图⽂消息共500多篇,其中有16道《勾股定理的应⽤问题》和225道《初中数学动点问题》,以及很多有关初中数学的⽂章和视频,其中包括300多道初中数学问题的视频讲解和⼏何画板视频教程。
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几何画板迭代全解市南海区石门中学辅炬目录✧迭代的基本概念以及迭代的基本操作◆迭代的概念◆迭代在代数、几何中的应用◆画正多边形◆数列的图像、前n项和与积✧迭代与分形几何◆Sierpinski 三角形◆Sierpinski 地毯◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树◆分形树◆KOCH 曲线◆KOCH Snowflake柯克雪花◆数学之美◆H迭代◆蜂巢◆其它分形欣赏✧函数迭代:函数映射,M集,朱丽亚集◆迭代法求方程解◆MIRA◆Henon-Attractor◆Mandelbrot集合◆Julia Sets集合◆牛顿迭代法✧下期预告第一章:迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能,它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义:!(1)!(1)!(1)(2)!n n nn n n=⨯--=-⨯-。
递归算法的特点是书写简单,容易理解,但是运算消耗存较大。
我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代:按一定的迭代规则,从原象到初象的反复映射过程。
原象:产生迭代序列的初始对象,通常称为“种子”。
初象:原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点,在代数学中,如计算数列1,3,5,7,9......的第n项。
我们知道12n na a-=+,所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像,3作为初像,迭代一次后得到5,再迭代一次得到7,如此下去得到以下数值序列7 , 9,11, 13, 15......如图1.1所示。
图 1.1 图 1.2在几何学中,迭代使一组对象产生一组新的对象。
图1.2中A、B、C、D、E、F、G,各点相距1cm,那么怎么由A点和B点得到其它各点呢?我们可以发现其中的规律就是从左到右,每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。
所以我们以A点作为原像,B点作为初像,迭代一次得到B点,二次为C点,以此类推。
所以,迭代像就是迭代操作产生的象的序列,而迭代深度是指迭代的次数。
那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的控制方式分为两种,一种是没有参数的迭代,另一种是带参数的迭代,我们称为深度迭代。
两者没有本质的不同,但前者需要手动改变迭代的深度,后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。
我们先通过画圆的正n边形这个例子来看一下它们的区别。
【例1】画圆的接正7边形。
【分析】由正7边形的特征,我们知道,每一个点都相当于前面的点逆时,抓住这个规律,我们可以用迭代功能来解决。
针旋转3607【步骤】1.新建圆O,在圆O上任取一点A。
2.双击圆心O作为旋转中心。
选中A点,单击菜单【变换】【缩放】,旋转参数选为选择固定角度,然后在框中输入360/7,得到B点。
连接线段AB。
第 2 步第 3 步3.选择A点,单击【变换】【迭代】,点击B点作为初像。
屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边(因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次)。
4.单击迭代框的【显示】按钮,选择【增加迭代】。
(或者按键盘的‘+’或‘-’)。
增加三次迭代后,我们可以看到一个完整的正7边形。
此时的迭代次数为6次,正7边形制作完成。
第 4 步第 5 步5.单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】,得到的图像仅是最后一条边。
6.点击迭代框【结构】按钮,我们可以设置创建的对象,选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正多边形的各条边,而没有顶点,反之则有。
选择迭代像,我们可以修改他们的属性,比如颜色和粗细等,但是细心的你会发现,线段的迭代像是不能够度量其长度的,当然也就不能取中点之类的操作。
迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标,但是我们可以得到迭代的终点,方法是选择迭代的点,然后单击【变换】【终点】,可以发现最后的那个点变成实点了,这个功能在函数映射里面会用到。
上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦,而且迭代规则限定了,即每次都是旋转同样的角度。
迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢?可以的,这就是深度迭代。
【例2】画圆的任意n边形【步骤】1.新建圆O并在圆上任取一点A。
双击圆心O作为旋转中心。
2.新建参数n=7,计算360,注意这时要带单位‘度’。
n3.选择A点,单击菜单【变换】【旋转】,出现旋转对话框,单击计算结果’作为标记角度,得到B点。
连接线段AB。
‘360n第 3 步第 4 步4.顺次选择点A和参数n,按住“shift”键不放,单击【变换】【深度迭代I】,出现迭代对话框。
单击B点作为初像,屏幕上显示出完整的正7边形。
按【迭代】完成操作。
5. 如何改变参数n 呢?有两种方法,第一种是双击参数n ,然后在对话框中输入值。
第二种是单击参数n ,按键盘的‘+’、‘-’,系统默认变化量为1。
右键单击可以修改变化量的大小。
注意:迭代时,作为迭代深度的参数n 一定要在最后面选择,这是系统的规定。
上面讲的都是迭代在几何方面的应用,下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。
【例3】求数列12n n a =+(n=1,2......)的图前8项,并在平面上画出散点(,)n n a 。
【分析】由数列的表达式可知,(,)n n a 是直线y=1+0.5x 上面的点。
我们要产生两个数列,一个是作为横坐标的数列1,2,3......,一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。
【步骤】1. 新建函数y=1+0.5x 。
2. 新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。
(计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a 。
因为迭代次数为0的时候,f(a)=1.5,a 的值在迭代数据表中是不会显示出来的。
)3. 新建参数n =7作为迭代深度。
4. 选择a 和n ,做深度迭代,原像是a,初像是a +1。
5. 右键点击数据表,选择‘绘制表中记录’,设置x 列变量为(a+1)-1,y列为f(a)。
坐标系为直角坐标系。
第 5 步 第 6 步6. 点击绘图,得到散点。
这些点是可以度量的。
但是当参数n 改变的时候,这些点不与数据表同步,所以是不会改变的。
【例4】求数列1,3,5,7,9(n=1,2......)的前n 项和。
【分析】公差为d ,假设前n 项和为n S ,111(1)*n n n n S S a S a n d --=+=++-,在平面上描出(n, n S )。
【步骤】1. 新建参数x=1,计算x +1。
2. 新建参数a=1,d=2。
分别表示数列首项和公差。
3. 新建参数s=1,计算s+a+x*d4. 选择x,x+1,s, s+a+x*d,和n 做深度迭代。
绘制数据表,x 列为x +1,y 列为s +a+x*d 。
第 4 步 第 4 步 与此同理那么等比数列的制作也是一样的。
下面我们来看看通项公式不知道的数列怎么画出其图像。
【例4】画出菲波拉契数列12121,1,n n n a a a a a --===+。
【分析】数列的前提条件是121,1a a ==,因为12n n n a a a --=+;所以原像是12,a a ,初像是23,a a 。
【步骤】1. 新建参数f1=0,f2=1,计算f1+f2,把计算结果的标签改为f3。
2. 新建参数a=1,计算a+1,。
计算(a+1)+1(因为迭代0次的时候f3=2,而,所以下标应该是3,而a=1,故计算a+1+1)3. 新建参数n=84. 依次选择f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。
第 5 步第 6 步5. 绘制表中数据,x 列为13a +,y 列为3f 。
6. 画点(0,1),(1,1)两点,作为数列的前两项。
从图像可以看出,数列前面增长的很缓慢,但是到了后面就非常的惊人了。
【小结】在开始下一章“迭代与分行”之前,先复习一下深度迭代的过程是:1.顺次选择原像和参数n。
(注意顺序)2.按住shift不放,单击菜单【变换】【深度迭代】(出现对话框后可以松开shift键)。
3.依次选取初像。
(注意顺序)。
添加映射的方法是按键盘‘Ctrl+A’。
第二章:迭代与分形几何分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性,整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力,特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识,但相对而言,分形美是通俗易懂的。
分形就在我们身边,我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形,参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了,当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远,普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个,而且均为多映射迭代,为了叙述的方便,我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D,B映射到D,C映射到F,然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家尔宾斯基在1915-1916年期间,为实变函数理论构造了几个典型的例子,这些怪物常称作“氏地毯”、“氏三角”、“氏海绵”、“氏墓垛”。
如今,几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形,它是很有代表性的线性分形,具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点,挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零,总长度趋于无穷。
Sierpinski三角形在力学上也有实用价值,Sierpinski三角形结构节省材料,强度高,例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F,连接DEF。
2.新建参数n=33.顺次选择B,C,A三点和参数n,作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
4.添加新的映射, (B,C,A)(B,E,D)⇒。
第 3 步第 4 步5.继续添加映射。
(B,C,A)(E,C,F)⇒6.改变参数n可观察图形变化。
第 5 步第 6 步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似,只是步骤多了一些。
取正方形将其 9 等分,得到 9 个小正方形,舍去中央的小正方形,保留周围 8 个小正方形。
然后对每个小正方形再 9 等分,并同样舍去中央正方形。
按此规则不断细分与舍去,直至无穷。
尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零,小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多,它是一个线集,图形具有严格的自相似性。
【步骤】1.平面上任取线段AB,以线段AB构造正方形ABCD。
2.以A为缩放中心,B、D缩放为1/3,得到E、F;以D为缩放中心,A、C缩放为1/3得到G、H。