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第一章集合与函数概念

一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些

东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

3、集合的表示：{…}

（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内

表示集合。

{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合

（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA

（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

◆ 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

（1）.“包含”关系（1）—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合

有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或BＡ）

注意：有两种可能（1）A是B的一部分；

（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A （2）.“包含”关系（2）—真子集

如果集合，但存在元素xB且x￠A，则集合A是集合B的真子集

如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B

（3）．“相等”关系：A=B

“元素相同则两集合相等”

如果AB 同时 BA 那么A=B

（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

（5）集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②如果 AB, BC ,那么 AC

③如果A B且B C，那么A C

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

7、集合的运算

B})

二、函数的概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)

和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f(x)，x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }

叫做函数的值域．

2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域

（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐

标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、描点法：

B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：

1）加左减右——————只对x

2）上减下加——————只对y

3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)

4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)

6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=| f(x)|

7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得

函数f(|x|)

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）、求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4)拼凑法：

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域

是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无

关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

4、区间的概念：

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、值域（先考虑其定义域）

（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y

的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。