(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。
对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。
在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。
一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。
对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。
同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。
考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。
我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。
对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。
偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。
求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。
二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。
对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。
拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。
设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。
首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。
然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。
解这组方程，即可得到满足条件的极值点。
多元函数求极值（拉格朗日乘数法）
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。
如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。
(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
2243y x z +=例２ 函数在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
xOy 22y x z +-=例３ 函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设在点处有极大值。
多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法
多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法、条件极值、拉格朗日乘数法1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为,则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件,解得,于是得V .只需求V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数z = f ( x , y ) 在条件j( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y) , 其中l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出x , y 及l , 则其中( x , y )就是所要求的可能的极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
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下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
多元函数的极值与拉格朗日乘法
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充分条件
如果多元函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的或 负定的，则该点为极小值或极大值点。
多元函数的极值示例
球面函数
考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，该函数在原点$(0,0,0)$ 处取得极小值。
倒立方体函数
考虑函数$f(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)$，该函数在原点 $(0,0,0)$处取得极大值。
拉格朗日乘法的应用场景
拉格朗日乘法适用于求解受约束条件 限制的多元函数的极值问题，如线性 规划、非线性规划、最优控制等问题。
在实际应用中，拉格朗日乘法可以用 于求解生产计划、资源分配、物流优 化等问题，以实现最优资源配置和最 大经济效益。
拉格朗日乘法的计算步骤
第一步
构造拉格朗日函数，将约束条件与目标函数 相结合。
第二步
对拉格朗日函数求极值，得到可能的极值点。
第三步
验证得到的极值点是否满足约束条件，并确 定是否为真正的极值点。
第四步
根据实际情况选择合适的算法进行求解，如 梯度下降法、牛顿法等。
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拉格朗日乘法在多元函数极值中的应
用
应用方法
定义拉格朗日乘数
对于多元函数$f(x,y)$，引入F(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda(g(x,y))$。
求解条件极值
将拉格朗日函数$F(x,y,lambda)$分别对$x, y, lambda$求偏导数，并令偏导数等于零，得到条件 极值方程组。
解方程组求极值
解条件极值方程组，得到可能的极值点，再 根据函数的性质判断这些点是否为极值点。
用拉格朗日数乘法求条件极值
用拉格朗日数乘法求条件极值拉格朗日乘数法是一种在条件极值问题中常用的数学方法。
它适用于多元函数在一定约束条件下求极值的情况，能够帮助我们找到目标函数在约束条件下取得极值的点。
下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法的原理和应用，并用一个具体的例子来说明。
首先，我们来介绍拉格朗日乘数法的原理。
假设我们要求一个多元函数f(f_1,f_2,…,f_f)在一定约束条件下的极值，即要求出f=(f_1,f_2,…,f_f)使得f(f)取得最大或最小值。
而约束条件可以用等式的形式表示，即f(f_1,f_2,…,f_f)=0。
为了求解这个问题，我们引入拉格朗日乘子f，将约束条件加入目标函数的表达式中，并构造一个新的函数f(f_1,f_2,…,f_f,f)=f(f_1,f_2,…,f_f)+ff(f_1,f _2,…,f_f)。
接下来，我们需要求解f(f_1,f_2,…,f_f,f)对各个自变量f_1,f_2,…,f_f和f的偏导数，并令其等于零，即求解以下方程组：∂f/∂f_1=0,∂f/∂f_2=0,…∂f/∂f_f=0,∂f/∂f=0.我们解得的解集即为目标函数在约束条件下的可能极值点。
下面我们用一个生动的例子来说明拉格朗日乘数法的应用。
假设我们要求函数f(f,f)=f^2+f^2的最小值，且约束条件为f+f=1。
我们首先构造拉格朗日函数f(f,f,f)=f^2+f^2+f(f+f−1)。
然后通过求解以下方程组来求解目标函数的极值点：∂f/∂f=2f+f=0,∂f/∂f=2f+f=0,∂f/∂f=f+f−1=0.解方程组得到f=1/2，f=1/2，f=−1。
将得到的解f=1/2，f=1/2代入f(f,f)中，可得到最小值为1/2。
通过这个例子，我们可以看出，拉格朗日乘数法能够在约束条件下帮助我们找到函数的极值点。
在实际中，拉格朗日乘数法常常被应用于经济学、物理学、工程学等领域中的优化问题求解。
综上所述，拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以用于求解多元函数在一定约束条件下的极值。
0914条件极值与拉格朗乘数法
第九章多元函数微分法及其应用9.14条件极值与拉格朗日乘数法主要内容1 2条件极值的概念及拉格朗日乘数法条件极值应用举例1主要内容1 2条件极值的概念及拉格朗日乘数法条件极值应用举例11 条件极值的概念有约束极值（条件极值）：对自变量有附加条件的极值．.0122的极值满足条件求函数=-++=y x y x z 例如2 条件极值的一般形式.),,(),,1(0),,(11的极值求目标函数的限制下，，在条件组n n k x x f u n m m k x x =<==ϕ无约束极值：寻求函数极值点的范围是目标函数的定义域..),(0),(),(00为极值点下取得极值，且在约束条件设目标函数y x y x y x f z ==ϕ),(00d d y x x z ),(0),(x y y y x ==确定隐函数设ϕ0d d x x x y =又),(),(),(),(00000000y x y x f y x y x f y y x x ϕϕ=.),(),(),,(),,(000的驻点是y x y x f y x L y x λϕλλ+=⇔3 Lagrange乘数法0λ-=记为.))(,(化为无约束极值x y x f z =得则代入),(y x f z =,),(),(0000y x y x y x ϕϕ-=,0),(),(00000=⋅+=x y x dx dy y x f y x f 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ故有⎩⎨⎧=+=+0000y y x x f f ϕλϕλ0),(00=y x ϕ拉格朗日乘数法要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点， 先构造函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=， 由⎪⎩⎪⎨⎧===.0,0,0λL L L y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(,0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ解出λ,,y x ，其中y x ,就是可能的极值点的坐标.（拉格朗日函数）拉格朗日乘数.称为数λ推广：要找函数),,,(t z y x f u =在条件0),,,(=t z y x ϕ，0),,,(=t z y x ψ下的极值.方法：构造函数+=),,,(),,,(t z y x f t z y x L ),,,(),,,(21t z y x t z y x ψλϕλ+ 其中21,λλ均为常数，求出函数L 的驻点（t z y x ,,,），即得可能极值点的坐标.主要内容1 2条件极值的概念及拉格朗日乘数法条件极值应用举例10282=+=a x yz L x λ解得唯一驻点)3,3,3(c b a 由实际情况可知abc c b a V 9383338max ==)1(8222222-+++=c z b y a x xyz L λ设0282=+=b y xz L y λ0282=+=c z xy L z λ01222222=-++=c z b y a x L λ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧例1大者。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
多元函数求条件极值的原理
多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。
求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。
一、拉格朗日乘数法：当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时，可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。
其基本思想是在考虑目标函数值的同时，引入一个约束函数，通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。
设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0，其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数，同样需要求导来得到其极值点。
具体步骤如下：1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
3. 解方程组，得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。
4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值，得到条件极值。
拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂，但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。
二、边界条件法：边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。
当约束条件形式为不等式时，可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件，并在约束区域的边界上求解得到条件极值。
具体步骤如下：1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件，得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。
2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则).
函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )具有偏导数, 且在( x0 , y0 )取得 极值,则fx ( x0 , y0 ) 0, fy ( x0 , y0 ) 0. 证 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值,
Q(h, k)
1 A
[(
Ah
2
2ABhk
B2k 2 )
( AC
B2)k2]
1A[(Ah Bk)2 ) ( AC B2 ) k 2 ]
可见 , 当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0, y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点
则称z f ( x, y)在P0 ( x0 , y0 )有极大值 或极小值f ( x0, y0 ).
极大值与极小值统称为极值. P0 ( x0 , y0 )为极值点.
若引进点函数, 则 当f (P ) f ( P0 )时, f (P0 )为极大值; 当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值.
＋
所以， f(x,y) 没有极值.
－
二、多元函数的最值问题
1.多元函数的最值问题
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值.
多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
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说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
多元函数条件极值的几种求解方法概述
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
高中数学备课教案多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法
高中数学备课教案多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法高中数学备课教案-多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法一、引言多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法是高中数学课程中的重要内容之一。
本文将介绍多元函数的条件极值的概念及其判定条件，并详细讲解拉格朗日乘数法的原理和应用。
通过本课教案的学习，学生将能够准确理解和运用多元函数的条件极值及拉格朗日乘数法，并能够解决相关的实际问题。
二、多元函数的条件极值1. 概念及定义多元函数的条件极值是指在一定的限制条件下，函数取得的极大值或极小值。
与单元函数的极值相似，多元函数的条件极值也是在局部范围内进行判定的。
2. 判定条件多元函数的条件极值有以下两种判定条件：（1）一阶导数法：通过对多元函数的偏导数进行求解，判断偏导数为0的点是否为极值点。
（2）二阶导数法：通过求解多元函数的二阶偏导数，判断二阶偏导数的正负性来判断点的类型：极大值、极小值或鞍点。
三、拉格朗日乘数法1. 概念及原理拉格朗日乘数法是一种求解带条件的多元函数极值的方法。
通过构建拉格朗日函数，将约束条件融入目标函数中，并通过解方程组求解出极值点坐标。
2. 应用步骤（1）确定目标函数和约束条件，列出拉格朗日函数：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)其中，f(x, y)为目标函数，g(x, y)为约束条件，λ为拉格朗日乘数。
（2）求解方程组：∇L(x, y, λ) = 0解方程组得到(x0, y0, λ0)为可能的极值点。
（3）构建极值点的类型判定表通过计算二阶偏导数或其他方法，得出(x0, y0, λ0)的极值类型：极大值、极小值或鞍点。
（4）判断边界点如果有边界点的话，将边界点的值代入目标函数，比较与已求得的极值的大小，得出最终的极值。
四、教学设计1. 知识讲解通过板书、课件等形式，详细讲解多元函数的条件极值的概念、判定条件，以及拉格朗日乘数法的原理和应用步骤。
2. 实例演示给出多元函数的具体实例，引导学生运用条件极值的判定方法和拉格朗日乘数法，一步步求解极值。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
在约束条件 x y 25
在点 3，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,2) ，取得最大值点。
在点 3，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,0) ，无极值点。
在点1，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例4: 求函数f x, y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值
拉格朗日函数是
G(x, y,) 40x 20y 25 x y 25
5 x 10 y
解一阶导数为零的方程组：
Gx x,
y
200
5 x2
0
Gy x,
y
200
10 y2
0
x y 25 0
解方程得 15,10
最大利润
x
x
x,
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多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法
小结
思考题
作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近 将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f ( P ) f ( P0 ), 则称
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x , y )的极值.
解 法二 配方法 方程可变形为
( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 16
于是
z 2 16 ( x 1)2 ( y 1)2
※
显然, 当x 1, y 1时, 根号中的极大值为4,
由※可知, z 2 4 为极值. 即 z 6 为极大值, z 2 为极小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
极值只可能在驻点处 注 由极值的必要条件知, 取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,
这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点. 如: 函数 z x 2 y 2 在点(0,0)处的偏导数 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
选择题
2003年考研数学(一), 4分
在点(0,0)处, AC B 2 9a 2 0
故 f ( x , y )在(0,0)无极值; 在点(a,a)处, AC B 2 27a 2 0 且A 6a 0 故 f ( x, y ) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a 3 .
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
f z ( x0 , y0 , z0 ) 0.
仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点, 均称为函数的驻点.
注 驻点ห้องสมุดไป่ตู้
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的 驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2 (充分条件) 设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
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x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 2 2 2 y 4上 求 f ( x , y ) x 4 y 9在D : x
的最大值与最小值. 解 令f x 2 x 0, f y 8 y 0 驻点 (0,0) 2 2 将x y 4代入f ( x, y ), 得
2 y 0 , z 1 x x 0 x 1上, ＊在边界线 1 1 3 dz 由于 1 2 x , 有驻点 x ,函数值 z( ,0) 2 4 2 dx
又在端点(1,0)处, 有 z (1,0) 1.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
y
x y1
z 1 x x2 2 y
证 不妨设 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时,
有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
A z xx |P 1 2 z B z xy |P 0
1 P| yyz C z 2
1 故 AC B 0 ( z 2) 2 (2 z ) 函数在P有极值.
2
将P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 1 当 z1 2时, A 0, 4 所以 z f (1,1) 2 为极小值; 1 当 z2 6时, A 0, 4
(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
4.多元函数的最值 与一元函数相类似,可利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法
将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
有时, 极小值可能比极大值还大.
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 容易判断的.
存在极值, 在简单的情形下是
z
例 函数 z 3 x 2 4 y 2
2 2 z x y 例 函数
椭圆抛物面
x z x
O
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
y
下半个圆锥面
O
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 例 函数 z xy 在(0,0)点无极值.
将上方程组再分别对x, y求偏导数, 1 1 A z xx |P , B z , yy | P xy |P 0, C z 2 z 2 z
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
f ( x, y ) 3 y 13 g( y ) 令g( y ) 6 y 0 y 0
2
y [2,2]
此时 x 4 y 2 2
当y 2时, 均有x 0
f (0,0) 9 f (2,0) 13 f (0,2) 25
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故f ( x, y)在D上的最大值为 25, 最小值为 9.
8
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y ) 3axy x 3 y 3 (a 0) 的极值. 2 f 3 ay 3 x 0 x 驻点 解 (0,0),(a, a ). 2 f y 3ax 3 y 0
又 f xx 6 x, f xy 3a, f yy 6 y .
已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,
f ( x , y ) xy 则 且 lim 2 2 2 1, x 0 ( x y ) y0
(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x , y )的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数, 2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2z zy 2 4zy 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1),
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y
x y1
D
O
x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z 1 x x2 2 y
y
＊在边界线 x 0, 0 y 1上,
z 1 2y x y1 D dz 2 0, z 1 2 y 单调上升. 由于 O x dy 所以, z (0,0) 1 最小, z (0,1) 3 最大.
点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
2
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
则f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值, 当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值, 也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
y
马鞍面
z
O
x
y
4
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该
点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0.
＊在边界线 x y 1, 0 x 1上,
D
O
z 1 x x 2 2(1 x ) 3 3 x x 2 dz 由于 3 2 x 0 (0 x 1), 函数单调下降, dx z ( 0 ,0 ) 1 所以, 最值在端点处. z (0,1) 3 1 (3) 比较 z (0,0), z (1,0), z (0,1) 及z ( ,0) z (1,0) 1 2 1 3 1 3 zmax z(0,1) 3 z( 2 ,0) 4 zmin z ( ,0) 2 4
由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积 一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方 体体积最大.