3.2函数关系的建立教案学案

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3.2函数关系的建立(学案)

一、要点与难点解决实际问题是，应仔细阅读，准确把握题中变量之间的内在联系，从而正确建立函数关系式。

定义域的确定应考虑变量的实际意义。

函数关系的建立一般分以下步骤：（1）确定自变量和因变量（2）列出两个变量满足的等式（3）等式变形得出函数解析式（4）有实际意义确定定义域二、例题1、一个矩形的周长为20，设矩形面积为y，矩形的长为x，写出y关于x的函数关系式。

y=的函数关系式。

2、等腰三角形的周长为1，底边长为x，腰长为y，写出函数()x f3、动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫室。

如果可供建造的围墙的材料长是30米，将熊猫居室面积y表示成关于宽x的函数，并求出熊猫居室的最大面积。

——分段函数一、要点与难点：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。

值域也是各段函数值域的并集。

其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，且各段定义域交集为空集，分段区间的公共端点称为分界点。

注意分界点的归属。

如：二、例题1、某商店卖西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下，则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 或4kg 以上，则超出部分的销售价格为0.8元/kg，求一个西瓜的销售收入y元与重量x kg 的函数关系表示为。

2、根据图中的函数图象，写出y关于x的函数解析式。

探究1：调研上海市出租车价格计算方法,设车价y元，里程数x公里，试写出y关于x的函数关系式。

探究2：在2018年10月1日起，对纳税人实际取得的工资、薪金所得，按5000元/月的基本减除费用进行扣除，并适用新税率表。

设该月税前收入超出（5000+x）元，应缴税为y元，试写出y 关于x的函数关系式。

高中数学函数关系教案

高中数学函数关系教案
课题：函数关系
教学目标：
1. 理解函数的概念及表示方法；
2. 掌握函数的性质和特点；
3. 能够运用函数的相关知识解决实际问题。

教学内容：
1. 函数的概念和表示方法；
2. 函数的性质和特点；
3. 函数的应用。

教学重点：
1. 函数的概念和表示方法；
2. 函数的性质和特点。

教学难点：
1. 函数的应用。

教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和习题；
2. 学生准备纸和笔。

教学过程：
一、课堂导入（5分钟）
教师引导学生回顾前几节课学过的内容，引出函数的相关知识。

二、讲解函数概念和表示方法（15分钟）
1. 函数的定义；
2. 函数的符号表示；
3. 函数的图象表示。

三、探讨函数性质和特点（20分钟）
1. 函数的定义域和值域；
2. 函数的奇偶性；
3. 函数的单调性。

四、练习题（15分钟）
教师出一些例题，让学生进行练习。

五、课堂讨论（10分钟）
学生互相讨论解题思路和方法。

六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固课堂所学知识。

教学总结：
通过本节课的学习，学生对函数的概念和性质有了更深入的理解，能够熟练运用函数的相关知识解决实际问题。

评价反馈：
对学生进行课堂表现评价，并鼓励他们在家多做练习。

延伸拓展：
学生在课后可以进一步拓展函数的应用，深入理解函数在数学中的重要性。

3.2函数关系的建立(教案)

课题： 3.2函数关系的建立丰华高级中学高一（2）班张落飞一、学习目标1、掌握函数关系建立的一般步骤；2、会对一些实际问题建立变量之间的关系，并确定函数的定义域；3、会用函数的观点去观察分析问题，激发学生主动探索问题的兴趣。

二、重点：建立变量之间的关系难点：建立准确的函数关系，并求定义域三、教学过程（一）自学内容（1）如图，一个边长为a、b(b<a)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积s表示成x的函数.（2）如图，有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是1002cm，试用解析式将杯子的容积V(3cm)表示成底面内半径x(cm)的函数.（二）课堂展示与研讨1、自学反馈与展示a、学生将自己的答案写在黑板上；（通过做题的过程，了解建立函数关系式的步骤）b、通过解题让学生发现在建立函数关系式过程中的注意事项【设计意图】此部分为学生预习部分，通过学生自主解决题目的过程中，初步了解如何建立简单的函数关系，找出隐藏在实际条件中的函数定义域，并发现在建立函数关系式中的注意事项。

2、课堂研讨：例1、小明、小强和小红的爸爸每月的工资分别为1500元、2500元和3500元，问他们每月应交纳多少个人所得税？个人所得税法规定：1、每人每月的工资薪水中，1600元为免税收入，其余部分为应纳税收入。

2、税率按应纳税收入额规定如下表：【设计意图】通过具体实例，让学生对函数需要“分段”有初步的概念。

例2、正方形ABCD 边长为2，动点P 从点A 出发，沿正方形边界经过B 、C 、D 回到A ，设P 经过的路程为x ，点P 到点A 的距离PA 为y ，试建立y 关于x 的函数关系式.归纳：建立函数关系式的步骤：（1）确定变量（自变量、因变量），必要时引进中间量（2）找出两个变量之间的等量关系（3）列函数关系式()x f y =（4）求函数的定义域练习1、例2中求三角形ADP 的面积S 关于x 的函数关系式.练习2、如图，在直角坐标系的第一象限内,△OAB 是边长为2的等边三角形,设直线L:z=t (0≤t ≤2)截这个三角形。

初中几何中的函数关系教案

初中几何中的函数关系教案1. 让学生理解函数关系的基本概念，掌握函数关系式的表达方法。

2. 通过实际问题，培养学生运用函数关系解决几何问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 函数关系的基本概念：函数关系、函数关系式、自变量、因变量。

2. 函数关系的表达方法：解析式、表格法、图象法。

3. 函数关系在几何中的应用：求解几何问题、判断几何图形的性质。

三、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引导学生思考几何中的函数关系。

例如：在等腰梯形中，已知周长为24cm，上底为4cm，腰长为x，下底为y，求x与y 的函数关系。

2. 探究：让学生分组讨论，引导学生发现x与y之间的关系。

学生通过讨论、分析，得出x与y的函数关系式为：y = 20 - 2x。

3. 讲解：讲解函数关系的基本概念，引导学生掌握函数关系式的表达方法。

讲解函数关系的表达方法，包括解析式、表格法、图象法，让学生了解不同表达方法的特点和应用。

4. 练习：让学生运用函数关系解决实际问题，巩固所学知识。

例如：已知一个长方形的周长为24cm，长为x，宽为y，求x与y的函数关系。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数关系在几何中的应用。

6. 作业：布置一道运用函数关系解决几何问题的作业，巩固所学知识。

四、教学评价1. 学生能理解函数关系的基本概念，掌握函数关系式的表达方法。

2. 学生能运用函数关系解决实际问题，判断几何图形的性质。

3. 学生能积极参与讨论，展示自己的思考过程。

4. 学生能按时完成作业，巩固所学知识。

五、教学资源1. 教学PPT：包含函数关系的基本概念、表达方法及应用实例。

2. 实际问题：提供一些涉及函数关系的实际问题，供学生练习。

3. 作业：布置具有代表性的作业，帮助学生巩固所学知识。

4. 团队协作工具：如白板、投影仪等，便于学生展示和讨论。

六、教学建议1. 注重学生对函数关系基本概念的理解，引导学生掌握函数关系式的表达方法。

初中数学教案函数与关系

初中数学教案函数与关系教案：函数与关系一、教学目标1. 掌握函数与关系的基本概念。

2. 理解函数的特性和性质。

3. 能够应用函数进行实际问题的求解。

二、教学重点1. 函数与关系的概念。

2. 函数的特性和性质。

三、教学内容1. 函数与关系的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的取值，对应唯一确定的因变量的取值。

函数可以用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y 是因变量，f是函数的表达式。

2. 函数的特性和性质2.1 定义域和值域定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2.2 奇偶性如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果既不是偶函数也不是奇函数，则函数是非奇非偶函数。

2.3 单调性如果对于定义域内的任意两个不同的x、y，当x<y时有f(x)≤f(y)，则函数是递增函数；如果当x<y时有f(x)≥f(y)，则函数是递减函数。

2.4 零点与极值函数的零点是因变量为零时的自变量值。

函数的极大值和极小值是函数在定义域内具有最大值和最小值的点。

2.5 对称轴当函数关于y轴对称时，y轴称为函数的对称轴；当函数关于原点对称时，原点称为函数的对称中心。

四、教学步骤1. 导入新知识教师通过提问和引入实际问题，引发学生对函数与关系的思考，激发学习兴趣。

2. 理解函数与关系2.1 教师通过示例分析，引导学生理解函数与关系的概念，并与实际问题相联系。

2.2 学生通过小组合作讨论，归纳总结函数与关系的定义和特性。

3. 探究函数的特性和性质3.1 教师以多个实例展示函数的特性和性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、零点与极值以及对称轴等。

3.2 学生进行足够的练习，通过解决实际问题，掌握函数的特性和性质。

4. 进一步应用函数进行问题求解4.1 教师提供一些实际问题，引导学生运用所学函数的知识进行求解。

4.2 学生进行个人或小组练习，解决给定的实际问题。

《文本》函数关系的建立《函数关系的建立》(上教版高一上册).doc

课题：3. 2-函数关系的建立(2课时)教学目标：1. 会对一些简单的实际问题建立两个变量Z 间的函数关系式，并确定函数的定义域。

2. 通过函数关系式的建立，提高实际问题转化为数学问题的能力。

3 •培养数学应用意识和理论联系实际的观点。

教学重点：建立实际问题中两个变量之间的函数关系式教学难点：实际问题转化为数学问题第1课时：［重点：建立函数关系式；难点：实际问题转化为数学问题］头脑体操：1、若函数 f(x)=3x 2-2x,则 f ［f(2)］= _________________ o2、函数y = V4— X 2 •』2x +3 H ——的定义域是 ______________ o 1x1-1X + 2,当 X G (一00,— 1］日寸，3、已知f(x) =« x',当x w (-1,2)时, 那么当 X = -------------- 时，f(x) = 3。

2x,当x G ［2,+co)时，教学过程:复习：函数的定义。

强调y=f(x), xeDo［例1］如图，一个边长为a, b(a>b)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为x 的正方形，试用解析式将图屮阴彫部分的面积S 表示成x 的函数。

分析：右下阴影部分的长为a —x,宽为b —x, 面积为(a —x)(b —x)；左上阴影部分面积为x? 得 S=x 2+(a —x)(b —x)=2x 2—(a+b)x +ab 解析式容易求，定义域容易忘！x 取值范围：0<xWb则 S = 2x 2-(a+b)x + ab, OVxWb反思：求函数解析式不能忘记函数定义域。

［例2］等腰三角形周长为20o (1)若底边长为x,腰长为y,将y 表示成x 的函数；(2)若腰长为x,底边长为y,将y 表示成x 的函数。

-4、有下列四组函数中，表示同一函数的有 __________ 组。

课题函数关系的建立(1)

课题：函数关系的建立（1）教学目标：能够在解决简单的实际问题时建立两个变量间的函数关系式，并学会如何确定函数的定义域；初步掌握建立数学模型的方法和步骤；通过函数关系建立的过程，提高分析问题、解决问题的能力，培养化归、分类讨论、建模等数学思想运用的意识；在师生互动、生生互动的合作与交流活动过程中，提高数学学习兴趣，树立解决实际问题的自信心，培养合作精神和创新意识。

教学重点：函数关系的建立教学难点：实际问题转化为数学问题；确定函数的定义域。

教学方法：独立自主式、启发探究式、合作交流式；教学过程：引入：数学是一门工具学科，可以用来解决实际生活中的许多问题，在解决实际问题时，我们首先要把实际问题转化成为数学问题，这个过程叫做建模。

实际生活中的许多问题都是变量之间的关系问题，因此我们常常需要建立变量之间的函数关系。

下面我们解决几个实际生活中的问题，看看如何建立函数关系：问题１：如图，有一个边长为a米、b米(a<b)的长方形草坪，被平行于为x米的正方形，求鲜花的种植面积S。

师生共同分析，得到S关于x的函数。

引出课题《函数关系的建立（1）》回顾建立S关于x函数的过程，总结建立函数关系的一般步骤：1、审题明确变量；2、找变量关系列式；3、化简整理得函数解析式；4、确定定义域。

问题２：有一个圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是100cm2，试用解析式将杯子的容积V(cm3)表示成底面内半径x(cm)的函数。

x 外，还要注意高也应大于０.点评：本例中求定义域中除了注意0因此，在确定函数定义域时，除了自变量本身的范围外，还因注意相关变量的取值范围；问题３：如图，正方形ABCD，AB=1,已知正方形上有一点M沿着正方形从A出发，经过B,C,D，最后回到A点，设此时M走过的路程为x，M点到AC的距离为y，求此时y 与x的函数关系式y＝f(x),并画出函数图像。

点评：Ｍ在的边不同，所得的函数解析式不同，因此这样的函数在不同区间就用不同的解析式，即分段函数表示。

山西省忻州市2016-2017学年高中数学第三章函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例(2)

§3.2.2函数模型的应用实例【教学目标】1.知识与技能能够建立恰当函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题. 能用函数描述现实世界中的变量关系,体会函数模型在解决实际问题中的作用.2.过程与方法通过课本例5学会建立二次函数模型解决利润最大问题的方法，让学生进一步体会选择自变量对解题的重要性；通过例6理解解决实际问题的过程方法.3.情感、态度、价值观进一步感受建立函数模型的过程和方法.对给定的函数模型进行简单的评价和分析. 让学生感受到函数是解决实际问题的最有力的工具.从而增强学生应用意识.【预习任务】阅读p104-106完成下列任务1.围绕例5解决问题①选择设销售价在进价基础上增加x元，日均销售利润为y元的函数关系式，并指出定义域②选择设销售价为x元，日均销售利润为y元的函数关系式，并指出定义域③选择不同的变量对解题过程有何影响？2.围绕例6解决问题①用自己的语言描述散点图的意义；②为什么选择指数型函数y=a b x解决问题？③用待定系数法求函数模型选择怎样的两组数合适？选择数据后怎样求出a,b的值【自主检测】1.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减，则t年后，求这种放射性元素质量ω的表达式_____________2．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．(1)分别求出总成本y1(单位：万元)；单位成本y2(单位：万元)；销售总收入y3(单位：万元)；总利润y4(单位：万元)与总产量x(单位：件)的函数关系式；(2)画出y4的图象，并对这个公司的盈亏状况作出简单分析．【组内互检】解答数学应用题的解题步骤及注意事项。

2。

《32函数的基本性质》教研教案教学设计

《32函数的基本性质》教研教案教学设计一、教学目标1.理解函数的定义和表示方法。

2.掌握函数的基本性质。

3.能够应用函数的性质解决实际问题。

二、教学重点1.函数的定义和表示方法。

2.函数的基本性质。

三、教学难点1.函数的定义和表示方法的理解和应用。

2.函数的性质的理解和应用。

四、教学内容与过程1.预习导入（10分钟）-引导学生回顾函数的定义和表示方法，并简要复习函数的基本性质。

-提问：函数的定义是什么？函数有哪些表示方法？函数的基本性质有哪些？2.理论学习（30分钟）-讲解函数的定义和表示方法：-函数的定义：函数是一个集合，它由一个自变量集合、一个因变量集合和一个对应关系组成。

其中，自变量集合中的每个元素只能和因变量集合中的一个元素对应。

-函数的表示方法：方程表示法、图像表示法、映射表示法等。

-讲解函数的基本性质：-单调性：函数在定义域上的任意两个元素的对应值之间的大小关系不变。

-奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性有关，可通过函数的对称轴和图像的对称性来确定函数的奇偶性。

-周期性：函数的周期性表示函数的图像在一定的横坐标上有规律地重复出现。

-最值和增减性：函数图像在一定范围内是否有最大值、最小值以及函数的增减情况。

-零点和方程的解：函数的零点是函数在定义域上使得函数值为零的自变量值，根据函数的定义域和图像可以求解方程。

3.实例分析（30分钟）-提供一些函数实例，引导学生分析函数的性质。

-案例一：已知函数f(x)在区间[0,2π]上单调递增，并且f(0)=0，f(π)=1，求f(x)的表达式。

-案例二：已知函数g(x)=x^2-4x+3在区间[-1,5]上单调递增，求g(x)的零点和最值。

4.练习巩固（20分钟）-给出一些综合性的练习题，让学生应用函数的性质解答。

-练习题一：已知函数h(x)=2x+1，求h(x)在区间[-2,3]上的图像。

-练习题二：已知函数k(x)在区间[-π,π]上的零点为x=-π/2，x=0，x=π/2，求k(x)的表达式。

《函数的应用(一)》教案、导学案与同步练习

《第三章函数的概念与性质》《3.4函数的应用（一）》教案【教材分析】客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把我相应的运动变化规律.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．数学学科素养1.数学抽象：总结函数模型；2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数；3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值.；4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。

【教学重难点】重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入我们学习过了一次函数、二次函数、分段函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，请学生们举例说明与此有关的生活实例.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本93-94页，思考并完成以下问题1.一、二次函数、反比例函数的表达形式分别是什么？2.幂函数、分段函数模型的表达形式是什么？3.解决实际问题的基本过程是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;第三步:解答数学问题,求得结果;第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.四、典例分析、举一反三题型一一次函数与二次函数模型的应用例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】（1）D（2）见解析【解析】(1)因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.(2)①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.解题技巧：（一、二次函数模型应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?2、某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24).①从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?②若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.【答案】见解析【解析】 1.解:由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.2.解:①设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t−120√6t,令√6t=x,则x2=6t,即t=x26,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,∴当x=6,即t=6时,y min=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨.②令400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<√6t<8,83<t<323.因为323−83=8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象.题型二分段函数模型的应用例2一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．【答案】见解析【解析】解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km.（2）获得路程关于时间变化的函数解析式：图像如图解题技巧：(分段函数注意事项）)1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.跟踪训练二1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-1t2(万元).2(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?【答案】见解析【解析】解:(1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125(万元).当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本95页习题3.4【教学反思】本节课主要就一次函数、二次函数、分段函数模型举例说明就函数的实际应用.在实际应用中，建立合适的函数模型,把实际应用问题转化为数学问题为关键点.《3.4 函数的应用（一）》导学案【学习目标】1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．【重点与难点】重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．【学习过程】一、预习导入阅读课本93-94页，填写。

人教版初一数学下册函数关系优秀课程公开教案教学现场

人教版初一数学下册函数关系优秀课程公开教案教学现场教案名称：人教版初一数学下册《函数关系》优秀课程公开教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的性质和表示方法。

2. 培养学生运用函数解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

二、教学内容1. 函数的概念和性质2. 函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法3. 函数的应用：解决实际问题三、教学重点与难点1. 重点：函数的概念、性质和表示方法，函数的应用。

2. 难点：函数的性质的理解和运用，函数图象的解读。

四、教学过程1. 导入：通过生活实例引入函数的概念，激发学生的兴趣。

2. 新课导入：介绍函数的定义、性质，引导学生理解函数的概念。

3. 实例分析：通过具体例子，讲解函数的表示方法，引导学生掌握列表法、解析式法、图象法。

4. 练习与讨论：让学生分组练习，相互讨论，巩固函数的表示方法。

5. 应用拓展：引导学生运用函数解决实际问题，培养学生的应用能力。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程中的不足。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检查函数概念、性质和表示方法的掌握程度。

3. 应用能力：评价学生在解决实际问题中的表现，了解学生的应用能力。

六、教学资源1. 教材：人教版初一数学下册《函数关系》相关章节。

2. 课件：函数的概念、性质、表示方法、应用实例等。

3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固学生对函数的理解。

七、教学时间1课时八、课后作业1. 复习本节课的内容，巩固函数的概念、性质和表示方法。

2. 完成课后练习题，提高应用能力。

九、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，总结优点和不足，不断改进教学方法，提高教学质量。

同时，关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，确保学生能够扎实掌握函数知识。

函数与关系的建立

函数与关系的建立导语：函数与关系是高中数学的重要内容，它们在数学中的应用广泛且深入。

本教案将以函数与关系的建立为主题，通过多个小节的论述，帮助学生深入理解函数与关系的概念、性质以及具体应用。

第一节：函数的定义与性质函数是数学中一种重要的数学工具，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。

在数学中，函数可以用多种方式表示，例如函数图像、函数表达式、函数关系式等。

函数的定义如下：定义：设有两个非空集合A和B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一确定的B中元素与之对应，那么我们称这种对应关系为函数，记作f：A→B。

在函数的定义中，我们可以看出函数有以下几个重要性质：1. 唯一性：函数中的每个输入（自变量）都有唯一的输出（因变量）与之对应。

2. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能输出的集合。

3. 图像：函数的图像是自变量和因变量之间的一种可视化表示，常用于展示函数的特征和性质。

小节一：函数的图像与性质函数的图像是函数性质的一种重要表达方式，通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。

1. 增减性：函数的增减性描述了函数在定义域内的变化趋势。

当函数在某个区间上递增时，函数的图像会从左向右上升；当函数在某个区间上递减时，函数的图像会从左向右下降。

2. 奇偶性：奇函数与偶函数是函数的两种特殊性质。

奇函数的图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。

3. 周期性：周期函数是指函数的图像在某个区间内具有重复的特征。

周期函数的图像在一个周期内呈现出相同的形状，例如正弦函数和余弦函数。

小节二：函数的应用函数作为一种数学工具，在实际问题中有着广泛的应用。

以下是函数应用的几个典型例子：1. 函数模型：函数可以用来建立模型，描述事物之间的关系。

例如，利用函数可以建立起距离与时间之间的关系，从而计算出物体的速度。

2. 经济学中的函数：经济学中的函数可以描述价格与需求之间的关系，从而帮助我们了解市场的供求关系。

高中数学：《函数关系建立》教学设计

必修1教材一道函数关系建立习题的复习课教学设计及反思函数是中学数学的核心内容,函数关系的建立是函数的”灵魂”,具有实际背景的函数关系的建立是一个难点.如何破解这个难点是笔者历年高三复习中面临的一个无法回避的问题.在今年的高三复习中,笔者试从必修1教材一道习题出发, 通过该题的横向变式和纵向类比来突破,是否妥当,请各位专家和同行评品.1. 具体的教学设计过程. 原问题普通高中课程标准实验教科书数学必修1第126页复习参考题B 组2 如图1,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(>=t t x 左侧的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式,并画出函数)(t f y =的图象.本题是一道以求函数解析式为知识目标的习题,在解题过程中,可以训练学生观察、思考、分析图中的信息,由”形”的变化得出”数”的结论,由”形”的分类得出”数”的分类,很自然地寓数形结合、分类讨论于解题之中,使学生在不经意间经历了一次用联系的、变化的辩证观点审视事物的过程.同时,通过对本题的横向变式和纵向类比探究,能进一步培养学生的数形结合、分类讨论和类比思维能力,从而充分发挥习题的教学功能.教学中笔者采用”由易入难,进一步深化”的策略,首先给出本题的一种较简单情形,即问题1 如图2,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(>=t t y 上方的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式,并画出函数)(t f y =的图象.本题的解决是容易的,绝大多数学生都会用三角形相似来解决,但也会有一部分学生因为弄错直线t y =上方的小三角形的高而出错;还有一部分学生会错求成直线下方的四边形面积.对于这些错误教师可简单点评一下.给出本题的目的是通过本题为引入原问题作准备.接下去即可抛出问题2,也就是原问题. 问题2的解决一般不会有太大的挫折,我们可将重点放在探究下面两个问题.问题3 如图3,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(33>+-=t t x y 左侧的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式.该问题与原问题在本质上没有太大的变化,因为直线t x y +-=33与直线OB 仍是垂直的;同理,如果将直线方程换成t x y +=33也没有改变本质. 问题4 如图4,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(>+-=t t x y 左侧的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式.本题的解决较前面的问题要难,因为所得三角形不是直角三角形了.如果有必要还可以考虑更一般的情况展开探究.前面的问题是在原问题的基础上进行横向变式而来的.纵方向上进行升维类比会怎样呢?三角形是边数最少的平面封闭图形,边数最少的空间封闭图形是四面体,类比后能得到如下一些问题.问题5 如图5,四面体ABCD 是边长为2的正四面体,设点B 到垂直于底面BCD 的截面OPQ ∆的距离为t ,截面左侧的图形的体积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式.问题6 如图6,四面体ABCD 是边长为2的正四面体,设点B 到平行于侧面ACD 的截面OPQ ∆的距离为t ,截面左侧的图形的体积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式. 问题5和问题6可引导学生自己提出,这样不仅可以培养学生提出问题的能力,还能提高学生类比能力.上述两问题不只是平面到空间的简单类比,而且在问题解决过程中会遇到不少新问题,如面积计算到体积计算的转化.这些问题的解决又有利于学生解决问题的能力.根据学生的实际情况,还可以继续设计一些问题探究,如改变截面OPQ ∆的位置.2. 设计反思高三数学复习课是高三教学的重点,也是教学的难点,尤其是高三数学第一轮复习课如何上一直是众多中学数学教师研究的课题.由于高三数学复习时间的紧促,不允许我们像讲解新课一样开展第一轮复习教学,这就对复习课提出了更高的要求:既要让学生在课堂上获得基本解题方法的熟练掌握,又要保证复习进度.通过本节课的教学设计,笔者认识到1. 教材中习题是教材编著者精心挑选或设计出来的,具有典型性、示范性和明确的针对性, 而且是学生十分熟悉的,对习题的变式能在学生”最近发展区”产生认知冲突,从而构建新的知识体系,能使学生认识到教材才是”最好的参考书”,从而脱离”题海”与”书海”之苦,并且也是符合新课程理念和高考要求的.因为第一,标准倡导教师立足教材,强调教师不仅是教材的使用者,更应是教材的开发者和再设计者,要创造性的合理使用好教材.前苏联数学教育家奥加涅相指出:”必须重视,很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……”.第二,新世纪后高考命题的一个基本理念之一是:以课本为本,试题源于课本而高于课本.我们已看到,在近几年高考中每年都有大量的试题是课本习题的变式题,因此,探究习题变式对提高数学成绩是大有益处的,当然,更重要的是通过对习题的变式研究能揭示知识与方法的内在联系,即不仅”广积粮”而且还能”深挖洞”.2. “复习课如何上好？”确实是一个值得全体教师认真探讨的课题,尤其是新教师.从笔者自己亲身的体会来看,新教师（特别是还没上过高三的新教师）想上好复习课远比新授课要难的多,一是书店有大量的经典的众多特级教师的教案可供参考,另一方面,复习书虽多,AB C D 图5 O P Q AB C D图6 O P Q但基本上是知识的重复和例题的简单罗例,如果想自己设计一个课题,能力不够更怕把握不好高考的方向,从而影响学生的前途.因此,笔者提议有丰富高三教学经验的老师能多写一些高三复习方面的案例或教学对策,也希望众多的关心中学数学教育的专家、教授能给我们一些方向上的指导,使中学的高考复习能走上“轻负担高质量”的道路.。

高中高一数学上册《函数关系的建立》教案、教学设计

（5）布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的函数关系建立的知识，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，选择一个生活中的实际问题，尝试建立函数模型，并运用函数的性质进行分析。例如，可以选择交通工具的油耗问题、商品的定价问题等。请将问题、模型建立过程以及分析结果撰写成作业报告。
二、学情分析
本章节主要面向高中一年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了基本的代数运算和方程求解，具备了一定的数学基础。然而，在函数概念的理解和运用方面，学生可能还存在以下问题：对函数定义的理解不够深入，难以从实际问题中抽象出函数关系；对函数性质的分析和运用不够熟练，解题过程中容易忽视图像的辅助作用。此外，学生的自主学习能力和合作交流能力有待提高。因此，在教学过程中，教师应关注以下方面：
（二）过程与方法
1.探索与实践：引导学生通过观察、分析、归纳等探究活动，发现并理解函数关系及其性质。
2.合作交流：鼓励学生在小组内或班级内进行讨论、分享，培养团队协作能力和表达能力。
3.问题解决：培养学生运用函数知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识和实践能力。
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，形成自我评价和同伴评价的能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，梳理函数的定义、性质、表示方法等。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结函数的定义、性质、表示方法等。
（2）提问：本节课我们学习了哪些函数的性质？它们在生活中的应用有哪些？
（3）学生回答，教师点评、补充。
（4）强调函数在数学及其他学科中的重要性，激发学生学习函数的兴趣。
高中高一数学上册《函数关系的建立》教案、教学设计

高一数学上册《函数关系的建立》教案、教学设计

-鼓励学生利用课余时间，通过网络资源、数学期刊等途径，了解函数的拓展知识。
-学生自主选择一个感兴趣的函数问题进行深入研究，撰写一篇小论文。
作业布置要求：
1.明确作业完成时间，指导学生合理安排学习计划。
2.鼓励学生在完成作业时，积极思考、主动探索，提高作业质量。
3.教师要及时批改作业，对学生进行个性化辅导，关注学生的进步与成长。
2.教学方法
-采用提问式教学法，激发学生的思考，引导学生主动探索。
-使用多媒体展示相关图片和实例，增强学生的直观感受。
3.教学目标
-使学生理解函数的概念，了解函数的定义和基本要素。
-培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。
（பைடு நூலகம்）讲授新知
1.教学内容
-讲解函数的定义，强调定义域、值域、对应法则的重要性。
二、学情分析
针对高一上学期的学生，他们在学习《函数关系的建立》这一章节时，已经具备了以下基础：
1.掌握了初中的代数基础，如解方程、不等式等，为学习函数的定义和性质奠定了基础。
2.具备了一定的逻辑思维能力，能够理解并运用数学概念进行推理。
3.学生在初中阶段对函数的概念有了初步了解，但可能对函数的深入理解和应用还不够熟练。
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生独立思考、合作交流的能力，使学生体验数学学习的乐趣，增强自信心。
3.培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度，提高学生的数学素养。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，培养学生的应用意识。
5.引导学生关注社会、关注生活，将所学知识服务于社会，培养学生的社会责任感。
3.教学目标
-巩固学生对函数概念和性质的理解，提高学生的解题能力。

2019-2020年高一数学上册必修13.2《函数关系的建立》教案3篇

从实际问题出发，说明利用函数解决实际问题，建立函数关系是很重要的，而把实际问题转化为数学问题，许多学生中存在着畏难的情绪，所以，在教学中选择适当的问题，把问题解决分解为四个步骤．如何设出适当的自变量，找出变量之间的相等关系及函数的定义域，是本课的难点．
3.2函数关系的建立
一、教学内容分析
对于函数关系的建立,在初中阶段,要求学生通过解决现实生活中简单实际问题的举例,体会二次函数的基本应用和函数的模型思想,知道函数是描述客观世界的变化规律的重要数学模型.
（六）课堂小结，布置作业
（1）课堂小结
（2）作业布置
课本练习1、习题册习题3．2组第1、2、3、4题．
3．2函数关系的建立（1）
教学设计说明
一、教材的地位与作用
本节课是上海市二期课改数学教材（试用本）高中一年级第一学期第3章“函数的基本性质”中的“3．2函数关系的建立”的第一课时．本章内容是在初中学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上，对函数进行更深入的研究．要求学生进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数；再从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质
（2）圆柱体积=底面积高.
解：设杯子的高为，根据题意，得
，，于是
=.根据实际意义,自变量必须且,即.因此所求函数是 ().
[说明]
(1)对有一定难度的的实际问题,当难以找到变量与的直接关系;先列出问题中的等量关系,通过中间变量,可以使问题变得简单.
(2)建立函数关系包含函数的定义域,学生往往忽略了函数的定义域,本题中,学生容易理解,对于,可以根据 ,因为,所以;它的几何意义是杯子的底面面积小于内表面积.
1．
2.建立函数关系的步骤: